Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 4. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo

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1 Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 4 Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo

2 Dipendenza di un carattere QUANTITATIVO da un carattere QUALITATIVO o QUANTITATIVO DISCRETO 1

3 Tempo per trovare lavoro (Y) in mesi Residenza (X) Nord Centro Sud e isole Totale < Totale Media Il tempo che mediamente è occorso per trovare la prima occupazione è differente nelle tre aree geografiche di residenza. In che misura il tempo medio DIPENDE dalla zona geografica di residenza?

4 DIPENDENZA IN MEDIA di Y da X Si osservano valori medi di Y differenti in corrispondenza delle diverse modalità osservate di X Si realizza quando le medie condizionate di Y rispetto a X NON sono tutte uguali 3

5 INDIPENDENZA IN MEDIA di Y da X Si osservano valori medi di Y uguali in corrispondenza delle diverse modalità osservate di X Si realizza quando le medie delle distribuzioni condizionate di Y rispetto a X sono tutte uguali 4

6 SCHEMA TEORICO DI TOTALE INDIPENDENZA Le medie condizionate di Y rispetto a X sono tutte uguali La variabilità delle medie delle distribuzioni condizionate è nulla Le distribuzioni condizionate suddividono l intero collettivo in gruppi LA DEVIANZA TRA I GRUPPI è PARI A ZERO 5

7 Dev TOT (Y) = Dev ENTRO (Y) + Dev TRA (Y) Dev ENTRO (Y) = k ( ) Dev j Y è zero quando all interno di ciascun j =1 gruppo tutte le unità sono uguali Dev TRA (Y) = k ( y j Y ) n j è zero quando le medie di ciascun j =1 gruppo sono uguali (fra le medie dei gruppi non c è variabilità) 6

8 SCHEMA TEORICO DI TOTALE DIPENDENZA le medie condizionate di Y rispetto a X sono massimamente differenti fra loro Dev TRA (Y ) raggiunge il suo valore massimo, che è pari a Dev TOT (Y ) La variabilità delle medie condizionate riassume la variabilità complessiva del carattere Y Inoltre: Dev TRA (Y ) = Dev TOT (Y ) Dev ENTRO (Y ) = 0 7

9 Conosciamo la distribuzione congiunta di due caratteri X e Y - Y è un carattere quantitativo - X è un carattere qualitativo o quantitativo discreto Consideriamo le distribuzioni condizionate di Y dato X Y X =x i = M(Y X = x i ) = 1 Dev(Y X = x i ) = σ Y X =x i Y X = x i i = 1,,,H K j=1 n ii K j=1 y Y j X =x i y j n ij n ij =Var(Y X = x i ) = Dev(Y X = x i ) n ii 8

10 Possiamo calcolare la media della distribuzione marginale Y = H i=1 H n ii i=1 Y X =x i n ii Media ponderata delle medie delle distribuzioni condizionate Nota: se tutte le medie condizionate sono uguali, il loro valore coincide con la media della distribuzione marginale 9

11 H SCOMPOSIZIONE DELLA DEVIANZA Dev(Y ) = Y Y X =x i n + Dev(Y X = x ) ii i i=1 H i=1 Devianza delle (tra le) medie condizionate H i=1 Dev (Y ) = Y Y tra X =x i Somma delle devianze delle condizionate (Dev entro) n ii Quantifica la parte di variabilità dovuta alle differenze TRA i gruppi Quantifica la variabilità INTERNA a ciascun gruppo H i=1 Dev entro (Y ) = Dev(Y X = x i ) 10

12 Vale anche la relazione: 1 n Dev(Y ) = 1 n Dev tra (Y ) + 1 n Dev entro (Y ) Var(Y ) = 1 n H i=1 Y X =x i Y n ii + 1 n H i=1 σ n Y X =x i ii Varianza delle medie σ M(Y X =x i ) Media delle Varianze M σ Y X =x i 11

13 DIPENDENZA IN MEDIA DI Y DA X Si realizza quando le medie condizionate di Y rispetto a X NON sono tutte uguali Si misura attraveso il RAPPORTO DI CORRELAZIONE η Y X = Dev tra (Y ) Dev(Y ) = σ M(Y X ) σ Y 1

14 Dev(Y ) = Dev tra (Y ) + Dev entro (Y ) 0 Dev tra (Y ) Dev(Y ) 0 Dev tra (Y ) Dev(Y ) 1 0 η Y X 1 Il RAPPORTO DI CORRELAZIONE è un indice relativo di dipendenza in media 13

15 η Y X = Dev tra (Y ) Dev(Y ) η Y X = 0 Dev tra (Y ) = 0 TOTALE INDIPENDENZA in media η Y X = 1 Dev tra (Y ) = Dev(Y ) Dev entro (Y ) = 0 MASSIMA DIPENDENZA in media 14

16 Residenza (X) Tempo per trovare Nord Centro Sud e lavoro (Y) in mesi isole Marginale di Y < Marginale di X Media Devianza a) Calcolare la media aritmetica, la devianza e la varianza del tempo occorso per trovare lavoro dopo la laurea per i residenti in centro Italia ( distribuzione condizionata del tempo rispetto a X= Centro ). 15

17 Y X=Centro n j y j y n y n j j j j Totale M(Y X = Centro) = Y X =x Dev(Y X = Centro) = σ X =x 3 3 = 1 y n = 480 n j j 64 = 7.50 j=1 y n ny = = 05 j j j=1 = Dev n = = 3.06 σ X =x = 3.06 =

18 b) Calcolare la media aritmetica, la devianza e la varianza del tempo occorso per trovare lavoro. Possiamo usare la distribuzione marginale Y n j y j y n y n j j j j Totale 00 3 Y = 1 y n MA n j j j=1 17

19 Il calcolo è più rapido se usiamo i risultati appena visti. Residenza (X) Tempo per trovare Nord Centro Sud e lavoro (Y) in mesi isole Marginale Media Devianza numerosità Y = media pesata delle medie delle condizionate Y = = =

20 Residenza (X) Tempo per trovare Nord Centro Sud e lavoro (Y) in mesi isole Marginale Media Devianza numerosità Dev tot (Y ) = Dev tra (Y ) + Dev entro (Y ) Dev entro (Y ) = = Dev (Y ) = Y Y tra X =x j n = ij j=1 = ( ) 96 + ( ) 64 + ( ) 40 = =

21 Residenza (X) Tempo per trovare Nord Centro Sud e lavoro (Y) in mesi isole Marginale Media Devianza numerosità Dev entro (Y ) = Dev tra (Y ) = Dev tot (Y ) = = Var tot (Y ) = =

22 c) Quantificare la dipendenza in media del tempo occorso per trovare lavoro dalla zona geografica di residenza. Dev tot (Y ) = Dev tra (Y ) = η Y X Rapporto di correlazione = Dev tra (Y ) Dev(Y ) = = Si realizza il 19.44% della massima dipendenza possibile L 80.56% della variabilità complessiva è da attribuire alla variabilità interna ai tre gruppi 1

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