STATISTICA esercizi svolti su: INTERPOLAZIONE PER/FRA PUNTI NOTI

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1 STATISTICA esercizi svolti su: INTERPOLAZIONE PER/FRA PUNTI NOTI 1

2 2 1. La popolazione (in migliaia) residente a Milano negli anni 1971 e 1981 è riportata nella seguente tabella: Anno Abitanti Valutare il numero di residenti negli anni intermedi usando le due funzioni interpolanti Ŷ = p 0 +p 1 X e Ŷ = α 0α1 X dove si è indicato con X l anno e con Y la popolazione. Svolgimento Per semplificare i calcoli, poniamo, come origine del tempo, l anno 1971 ed esprimiamo X come gli anni trascorsi dal Avremo perciò la seguente tabella: X Y A questo punto dobbiamo determinare i due parametri p 0 e p 1 in modo tale che la retta Ŷ = p 0 + p 1 X passi per i punti A = (0; 1731) e B = (10; 1605). Impostiamo perciò il sistema { 1731 = p0 + p 1 0 -passaggio per A = p 0 + p passaggio per B- da cui ricaviamo p 0 = 1731 p 1 = = 12.6 L equazione della retta interpolante per punti noti è quindi: Ŷ = X. Seguiamo ora lo stesso procedimento per determinare i parametri α 0 e α 1 in modo che la funzione Ŷ = α 0 α X 1 passi per i punti A e B. Il sistema da impostare è: { 1731 = α0 α1 0 -passaggio per A = α 0 α1 10 -passaggio per B-

3 3 da cui α 0 = 1731 Abbiamo quindi ricavato l equazione: α 1 = = Ŷ = 1731 (0.9925) X. Per valutare il numero di residenti negli anni compresi tra il 1971 e il 1981, tramite le due funzioni interpolanti trovate, basterà sostituire in esse i valori di X corrispondenti. Facendo ciò è possibile completare la seguente tabella: Anno x Ŷ = x Ŷ = 1731 (0.9925) x Dalla tabella ricaviamo che ad esempio, per l anno 1975, secondo la retta interpolante Ŷ = X, la popolazione residente a Milano è stata di (migliaia di persone), mentre, secondo la funzione Ŷ = 1731 (0.9925)X è stata di (migliaia di persone). 2. La seguente tabella riporta, per due famiglie, il reddito annuo netto X e la spesa annua per abbigliamento Y (dati in migliaia di euro): X Y Si determinino i parametri della funzione interpolante Ŷ = α 0X α 1. Svolgimento Consideriamo i seguenti due punti A = (20.5; 0.8) e B = (25; 1.1) e impostiamo il seguente sistema imponendo il passaggio della funzione interpolante per essi: { 0.8 = α0 (20.5) α 1 -passaggio per A- 1.1 = α 0 (25) α 1 -passaggio per B-

4 4 Risolvendo si ottiene: α 0 = 0.8 (20.5) α = 0.8 (20.5) α 1 (25)α 1 α 0 = 0.8 (20.5) α 1 ( = ) α1 α 0 = 0.8 (20.5) α 1 ( ) 1.1 log = α 1 log 0.8 α 0 = 0.8 (20.5) α 1 ( ) 1.1 log 0.8 α 1 = ( ) 25 log 20.5 ( ) da cui: { α0 = α 1 = Abbiamo perciò ottenuto l equazione della funzione interpolante cercata: Ŷ = X Valutare l area sottesa alla curva normale standardizzata in corrispondenza del valore z = 0, 537. Calcolare inoltre il 75-esimo percentile della distribuzione normale standardizzata. Svolgimento Dalle tavole della distribuzione normale standard, ricaviamo i seguenti valori z Φ(z)

5 5 Abbiamo quindi i due punti A = (0.53; ) e B = (0.54; ) e cerchiamo i parametri della retta interpolante passante per A e B. Impostiamo il sistema da cui otteniamo { = p p 1 -passaggio per A = p p 1 -passaggio per B- { p0 = p = p p 1 { p0 = p 1 p 1 = { p0 = p 1 = L equazione della retta interpolante passante per A e per B è perciò Ŷ = Z per 0.53 < Z < 0.54 e tale retta nel punto z = assume il valore Abbiamo quindi determinato, come richiesto, l area sottesa alla curva normale standardizzata da a 0.537: Φ(0.537) = Per calcolare il 75-esimo percentile (terzo quartile) della distribuzione normale standardizzata, consultiamo le tavole ed otteniamo: Φ(z) z Abbiamo quindi i due punti A = (0.67; ) e B = (0.68; ) e cerchiamo i parametri della retta interpolante passante per A e B. Impostiamo il sistema { = p p 1 -passaggio per A = p p 1 -passaggio per B- da cui otteniamo con calcoli analoghi a quelli svolti precedentemente che { p0 = p 1 =

6 6 La retta interpolante passante per A e per B è perciò Ŷ = Z. Andiamo ora a calcolare il valore di z in corrispondenza del quale Ŷ = 0.75: 0.75 = z z = Il 75-esimo percentile della distribuzione normale standardizzata, è perciò Nove soggetti di età diversa sono stati sottoposti ad un test. Per ogni individuo è stata registrata l età in anni compiuti (carattere X) ed il tempo di risoluzione del test (carattere Y ) espresso in minuti: x i y i a) Dopo aver rappresentato graficamente la nuvola di punti (x i, y i ) per i = 1,...9, determinare l equazione della retta interpolante Ŷ = α 0 + α 1 X ottenuta col metodo dei minimi quadrati. Rappresentare inoltre la retta interpolante ed interpretare il significato dei parametri α 0 e α 1. b) Al fine di valutare la bontà di adattamento della retta interpolante ricavata al punto precedente: calcolare i residui di interpolazione e fornirne un opportuna rappresentazione grafica; valutare, mediante un opportuno indice, l ordine di grandezza dei residui; scomporre la devianza totale di Y in devianza spiegata (dalla retta) e devianza residua; calcolare l indice di determinazione della retta commentando i risultati. Svolgimento a) Il grafico della nuvola di punti è il seguente:

7 7 Y X Fig. 1: Grafico della nuvola di punti (x i,y i ). Completiamo la seguente tabella per agevolare i calcoli successivi: x i y i x i y i x 2 i yi Andiamo quindi a determinare ˆα 0 e ˆα 1 della retta interpolante Ŷ = ˆα 0 + ˆα 1 X dove ˆα 1 = cov(x, Y ) var(x) ˆα 0 = ȳ ˆα 1 x Calcoliamo per prima cosa le medie dei due caratteri: x = = 19

8 8 e quindi la covarianza: cov(x, Y ) = Calcoliamo la varianza di X: ȳ = = n n x i y i xȳ = 1 (1896) = V ar(x) = M 1 (X 2 ) [M 1 (X) 2 ] [ ] 2 = 1 N x 2 i N 1 N x i N = (19)2 9 = Quindi: ˆα 1 = ˆα 0 = ( ) { ˆα1 = ˆα 0 = L equazione della retta interpolante ai minimi quadrati è perciò: Ŷ = X. Il grafico della retta è riportato in Figura (2). Interpretiamo ora i valori dei parametri: * ˆα 0 = significa che (in teoria) un soggetto di 0 anni impiega per risolvere il test minuti. Notiamo che in questo contesto, il valore di α 0 è poco significativo (perchè non ha senso valutare il tempo di risoluzione del test per un individuo di 0 anni). * ˆα 1 = significa che all aumentare di un anno dell età del soggetto, il tempo di risoluzione del test diminuisce di minuti.

9 9 Y (X,Y) X Fig. 2: Grafico della retta interpolante Ŷ = X. b) Calcoliamo ora i residui di interpolazione, completando la seguente tabella. x i y i ŷ i y i ŷ i y i ŷ i A titolo esemplificativo, riportiamo i calcoli effettuati per completare la quarta riga: le altre sono state riempite in modo analogo. Consideriamo x 4 = 18 e il corrispondente valore di Y : y 4 = 12. Per determinare ŷ 4 sostituiamo, nell equazione della retta interpolante Ŷ = 30.76ˆ X, il valore x 4 = 18 ad X: ŷ 4 = 30.76ˆ x 4 = 30.76ˆ = A questo punto calcoliamo il residuo di interpolazione y 4 ŷ 4 = = Per riempire l ultima colonna, non resta che calcolare il modulo del residuo: y 4 ŷ 4 = =

10 10 Ora è necessario controllare che i segni dei residui non si susseguano in modo sistematico. Per fare ciò controlliamo la quarta colonna (y i ŷ i ) della tabella precedente: in questo caso, si può notare che il segno dei residui non è propriamente casuale, infatti si può evidenziare una certa regolarità. Osserviamo inoltre che in corrispondenza dei punti in cui y i ŷ i > 0 la retta interpolante sottostima Y, infatti il valore previsto ŷ i è inferiore al valore effettivo y i. Nei punti invece dove y i ŷ i < 0 la retta interpolante sovrastima Y dal momento che ŷ i > y i. Possiamo ora rappresentare graficamente i residui di interpolazione (vedi Figura (3)). y -y i i X Fig. 3: Rappresentazione grafica dei residui di interpolazione. Notiamo che anche l analisi grafica dei residui di interpolazione evidenzia un andamento dei residui non casuale: ciò sottolinea maggiormente che i segni dei residui non si susseguono in modo non sistematico. Per valutare l ordine di grandezza dei residui, calcoliamo la media aritmetica

11 11 dei loro valori assoluti: M 1 ( Y Ŷ ) = y i ŷ i = = É possibile commentare il valore ottenuto nel seguente modo: mediamente i valori osservati (Y ) si discostano dai valori previsti dalla retta (Ŷ ) di minuti. Un altro modo per valutare l ordine di grandezza dei residui è quello di calcolare la media quadratica dei residui: per fare ciò, completiamo la seguente tabella x i y i ŷ i y i ŷ i y i ŷ i e calcoliamo la media quadratica dei residui: M 2 ( Y Ŷ ) = 1 9 y i ŷ i = = É possibile commentare il valore ottenuto nel seguente modo: mediamente (in media quadratica) i valori osservati (Y ) si discostano dai valori previsti dalla retta (Ŷ ) di minuti. Continuando l analisi dell ordine di grandezza dei residui, possiamo calcolare anche i seguenti due indici relativi alla media aritmetica: (a) M 1 ( Y Ŷ ) M 1 (Y ) = =

12 12 (b) che significa che mediamente lo scostamento tra i valori osservati e i valori interpolati è pari al 6.32% della media di Y ; M 2 ( Y Ŷ ) M 1 (Y ) = = che significa invece che mediamente (in media quadratica) lo scostamento tra i valori osservati e i valori interpolati è pari al 7.25% della media di Y. Per calcolare la devianza totale di Y e la devianza residua, riprendiamo la precedente tabella e completiamola: x i y i ŷ i y i ŷ i (y i ŷ i ) 2 ŷ i ȳ (ŷ i ȳ) Calcoliamo ora la devianza totale la devianza residua e la devianza spiegata 9 (y i ȳ) 2 = 9 yi 2 9 (ȳ) 2 = (11. 4) 2 = (y i ŷ i ) 2 = (ŷ i ȳ) 2 = É quindi verificata la scomposizione: = DEVIANZA = DEVIANZA + DEVIANZA TOTALE RESIDUA SPIEGATA

13 13 Calcoliamo infine l indice di determinazione: I 2 d = DEV. SPIEGATA DEV. TOTALE = = La retta interpolante ai minimi quadrati spiega il 90.9% della variabilità totale del carattere Y : possiamo pertanto concludere che esiste un buon adattamento della retta ai minimi quadrati al fenomeno analizzato. 5. La seguente tabella riporta il numero di occupati (in migliaia di unità) in Italia per gli anni dal 1998 al 2002 (Fonte Istat): anno occupati a) Rappresentare graficamente il fenomeno; b) Determinare e rappresentare graficamente l equazione della retta interpolante: Ŷ = ˆα 0 + ˆα 1 X dove X rappresenta il numero di anni trascorsi dal 1998; c) Calcolare i residui di interpolazione e valutare la bontà di adattamento della retta interpolante. Svolgimento a) La rappresentazione grafica del fenomeno è riportata in Figura (4).

14 14 Y X Fig. 4: Rappresentazione grafica della nuvola dei punti. b) Per prima cosa riscriviamo i dati relativi agli anni considerando il carattere X come il numero di anni trascorsi dal 1998 e completiamo la seguente tabella: Anno x i y i x i y i x 2 i ŷ i TOT Per determinare i parametri della retta interpolante Ŷ = ˆα 0 + ˆα 1 X impostiamo il seguente sistema: ˆα 1 = cov(x, Y ) var(x) ˆα 0 = ȳ ˆα 1 x Calcoliamo le medie dei due caratteri: x = x i = 10 5 = 2 ȳ = y i = =

15 15 e grazie alla tabella sopra riportata, calcoliamo la covarianza tra X e Y e la varianza di X: cov(x, Y ) = x i y i xȳ = = var(x) = x 2 i ( x)2 = = 2 Sostituendo tali valori, otteniamo: ˆα 1 = ˆα 0 = ˆα 1 2 vale a dire ˆα 1 = ˆα 0 = L equazione della retta interpolante fra punti noti è quindi: Ŷ = X. In Figura (5) vediamo rappresentata tale retta interpolante.

16 16 Y X Fig. 5: Rappresentazione grafica della retta interpolante Ŷ = X. c) Per calcolare i residui di interpolazione, completiamo la seguente tabella: Anno x i y i ŷ i y i ŷ i yi 2 (ŷ i ȳ) TOT Osservando i segni dei residui di interpolazione, risulta chiaro che la retta interpolante ai minimi quadrati tende a sottostimare il carattere Y in corrispondenza dei valori estremi (anno 1998 e anno 2002), mentre tende a sovrastimare Y in quasi tutti gli anni intermedi (anno 1999 e anno 2000). Calcoliamo ora la devianza totale: 5 (y i ȳ) 2 = e la devianza spiegata: 5 yi 2 5 (ȳ)2 = ( ) 2 = (ŷ i ȳ) 2 = A questo punto possiamo calcolare l indice di determinazione per valutare la bontà di adattamento della retta interpolante: I 2 d = DEV. SPIEGATA DEV. TOTALE

17 17 = = La retta interpolante ai minimi quadrati spiega il 98.7% della variabilità totale del carattere Y : possiamo quindi concludere che esiste un ottimo adattamento della retta interpolante ai minimi quadrati al fenomeno analizzato. 6. Siano X e Y due variabili di cui sono note le seguenti quantità: N = 10; N x i = 150; N y i = 600; N x 2 i = 2410; N y 2 i = 46240; N x i y i = Determinare i parametri delle due rette di interpolazione Ŷ = a + bx e ˆX = c + dy e rappresentare graficamente le due rette. Svolgimento Determiniamo i parametri a e b tali che Ŷ = a + b X. Impostiamo perciò il sistema: b = cov(x, Y ) var(x) a = ȳ b x e andiamo a calcolare le quantità che ci interessano: x = 1 N ȳ = 1 N N x i = = N y i = = 60 10

18 18 var(x) = 1 N N x 2 i ( x)2 = (15)2 10 = 16 var(y ) = 1 N N yi 2 (ȳ)2 cov(x, Y ) = Sostituendo nel sistema, otteniamo: = (60)2 10 = N N x i y i xȳ = (15 60) 10 = 80. b = a = 60 b 15 cioè b = 5 a = 135 Otteniamo perciò la retta interpolante: Per determinare i parametri c e d tali che Ŷ = X. ˆX = c + d Y è necessario invece risolvere il sistema d = cov(x, Y ) var(y ) c = x d ȳ

19 19 Andiamo quindi a sostituire i valori ricavati: d = c = 15 d 60 e otteniamo d = c = La retta interpolante è pertanto: ˆX = Y. Il grafico delle due rette interpolanti è riportato in Figura (6). Y X= Y 60 (X;Y) Y=135-5X X Fig. 6: Rappresentazione grafica delle due rette interpolanti.

20 20 Osserviamo che l unico punto che hanno in comune le due rette è il punto (15; 60) che ha come coordinate le medie aritmentiche dei due caratteri. 7. La seguente tabella riporta il numero di spettatori Y (in migliaia) delle sale cinematografiche di una città della Lombardia negli anni X dal 1995 al 2001: Anni Spettatori a) Costruire la retta interpolante a minimi quadrati Ŷ = a + bx ed interpretare il significato dei parametri a e b. b) Indicare quale numero di spettatori si può prevedere per l anno 2008 e commentare il risultato ottenuto. c) Calcolare i residui dopo aver rappresentato graficamente la retta interpolante. d) Supponendo che il dato relativo all anno 1998 non sia noto, ricalcolare i parametri della retta interpolante, rappresentarla graficamente e calcolare il numero di spettatori per l anno 1998, commentando. Svolgimento a) Per prima cosa riscriviamo i dati relativi agli anni considerando il carattere X come il numero di anni trascorsi dal 1995 e completiamo la seguente tabella: Anno x i y i x 2 i x i y i TOT Determiniamo i parametri a e b tali che Impostiamo perciò il sistema: Ŷ = a + b X. b = cov(x, Y ) var(x) a = ȳ b x

21 21 e andiamo a calcolare le quantità che ci interessano: x = 1 N N x i = = 3 ȳ = 1 N N y i = = var(x) = 1 N N x 2 i ( x)2 cov(x, Y ) = = 1 91 (3)2 7 = 4 1 N N x i y i xȳ = ( ) 7 = Sostituendo nel sistema, otteniamo: b = a = b 3 cioè b = a = La retta interpolante ha equazione: Ŷ = X. Interpretiamo ora i valori dei parametri: * a = significa che la retta prevede che nell anno 1995 (cioè quando sono trascorsi 0 anni dal 1995) nelle sale cinematografiche della città della Lombardia presa in esame, ci siano stati migliaia di spettatori.

22 22 * b = significa che passando da un anno al successivo, il numero di spettatori nelle sale cinematografiche della città lombarda presa in esame, diminuisce di migliaia di unità. b) Per calcolare il numero di spettatori previsti nel 2008, basta andare a valutare il valore della retta interpolante in corrispondenza del valore x = 13 (13 anni trascorsi dal 1995): Ŷ 2008 = = Per l anno 2008 si prevedono nelle sale cinematografiche della città lombarda presa in esame migliaia di spettatori. c) In Figura (7) vediamo rappresentata tale retta interpolante. Y (X,Y) Y= X X Fig. 7: Rappresentazione grafica della retta interpolante Ŷ = X. Per calcolare i residui di interpolazione, completiamo la seguente tabella: Anno x i y i ŷ i y i ŷ i d) Supponiamo ora che il dato relativo all anno 1998 non sia noto. Avremo quindi la nuova tabella:

23 23 Anno x i y i x 2 i x i y i TOT tramite la quale determiniamo i nuovi parametri ã e b tali che Ŷ = ã + b X. Impostiamo perciò il sistema: b = cov(x, Y ) var(x) ã = ȳ b x e andiamo a calcolare le quantità che ci interessano: x = 1 N x i = 1 N 6 18 = 3 ȳ = 1 N y i = = N 6 var(x) = 1 N N x 2 i ( x) 2 cov(x, Y ) = = 1 82 (3)2 6 = N N x i y i xȳ = ( ) 6 = 2.3. Sostituendo nel sistema, otteniamo: 2.3 b = 4. 6 ã = b 3

24 24 cioè b = ã = Si ottiene perciò la retta interpolante: Ŷ = X. In Figura (8) vediamo rappresentata tale retta interpolante. Y (X,Y) Y= X X Fig. 8: Rappresentazione grafica della retta interpolante Ŷ = X. Per calcolare il numero di spettatori nel 1998 (dato mancante), basta andare a valutare il valore della retta interpolante in corrispondenza del valore x = 3 (3 anni trascorsi dal 1995): Ŷ 1998 = = Supponendo di non avere il dato relativo all anno 1998, si prevedono nelle sale cinematografiche della città lombarda presa in esame, per l anno 1998, migliaia di spettatori. Notiamo che tale previsione non si discosta in modo eccessivo dal valore effettivo relativo all anno 1998 (11.1): ciò conferma il buon comportamento della retta ai minimi quadrati nella situazione analizzata.

25 STATISTICA: esercizi svolti sulla CONNESSIONE 1

26 1 LA CONNESSIONE 2 1 LA CONNESSIONE 1. I dati relativi alla popolazione occupata per grande ripartizione geografica e per settore di attività economica sono riportati nella seguente tabella: Ripartiz. Nord (N) Centro-Sud (CS) Attività Totale Agricoltura (A) Industria (I) Altre attività (AA) Totale a) Determinare la distribuzione bivariata di frequenze relative; b) determinare le distribuzioni condizionate di frequenze relative; c) valutare, mediante il calcolo delle frequenze teoriche, se esiste indipendenza distributiva tra i due caratteri. In caso di risposta negativa, costruire la tabella corrispondente a questa situazione; d) calcolare le contingenze e fornire la loro interpretazione; e) calcolare le contingenze relative e fornire la loro interpretazione; f) valutare la connessione tra i due caratteri mediante un indice basato sulle contingenze relative. Svolgimento. Svolgimento punto a) Le frequenze congiunte relative sono ricavabili dalle frequenze congiunte attraverso la relazione: fr(a i, b j ) = n ij N Nel nostro caso abbiamo ad esempio che: per i = 1, 2, 3 e j = 1, 2. fr(a, N) = n 11 N = = Tale valore indica l importanza numerica relativa degli individui che nella popolazione occupata sono caratterizzati dall essere contemporaneamente impiegati in agricoltura e risiedere al nord. In particolare possiamo dire che il 3.32% della popolazione occupata risiede al nord ed è impiegata nel settore agricolo. fr(a, CS) = n 12 N = = Tale valore dice che il 5.94% della popolazione occupata risiede al centro sud ed è impiegata nel settore agricolo. Procedendo in modo del tutto analogo nel caso di tutte le altre frequenze congiunte relative si ottiene la seguente tabella:

27 1 LA CONNESSIONE 3 Ripartiz. Nord (N) Centro-Sud (CS) Attività Totale Agricoltura (A) Industria (I) Altre attività (AA) Totale fr(i, N) = indica che il 19.65% della popolazione occupata risiede al nord ed è impiegata nel settore industriale; fr(i, CS) = indica che il 12.5% della popolazione occupata risiede al centro sud ed è impiegata nel settore industriale; fr(aa, N) = indica che il 27.12% della popolazione occupata risiede al nord ed è impiegata nelle altre attività; fr(aa, CS) = indica che il 31.47% della popolazione occupata risiede al centro sud ed è impiegata nelle altre attività; Nell ultima riga e colonna della tabella sopra ricavata sono riportate le frequenze marginali relative rispettivamente dei caratteri Ripartizione Geografica e Settore di Attività Economica. Esse sono state ricavate, rispettivamente, utilizzando le espressioni: fr(b j ) = n.j j = 1, 2 N fr(a i ) = n i. i = 1, 2, 3. N Le frequenze marginali relative del carattere Ripartizione Geografica forniscono le seguenti informazioni: fr(n) = indica che il 50.09% della popolazione occupata risiede al nord. f r(cs) = indica che il 49.91% della popolazione occupata risiede al centro sud. Le frequenze marginali relative del carattere Settore di Attività Economica forniscono invece le seguenti informazioni: fr(a) = indica che il 9.26% della popolazione occupata è impiegata nel settore agricolo. fr(i) = indica che il 32.15% della popolazione occupata è impiegata nel settore industriale. fr(aa) = indica che il 58.59% della popolazione occupata è impiegata in altre attività..

28 1 LA CONNESSIONE 4 Svolgimento punto b) Iniziamo con il calcolo delle frequenze relative condizionate del carattere Settore di attività Economica. Fissiamo innanzi tutto l attenzione sulla distribuzione parziale associata alla modalità N del carattere Ripartizione Geografica. In tal caso le frequenze relative condizionate sono date da: fr(a N) = n 11 n.1 = = fr(i N) = n 21 n.1 = = fr(aa N) = n 31 n.1 = = In modo del tutto analogo possono essere ricavate le frequenze relative del carattere Settore di Attività Economica condizionate alla modalità CS del carattere Ripartizione Geografica. I risultati sono riportati nella seguente tabella: Ripartiz. Nord (N) Centro-Sud (CS) Attività Agricoltura (A) Industria (I) Altre attività (AA) Totale Si osservi che l ultima colonna della tabella sopra riportata contiene le frequenze relative marginali del carattere Settore di Attività Economica. Le frequenze relative condizionate del carattere Settore di Attività Economica danno le seguenti informazioni: fr(a N) = indica che il 6.64% della popolazione occupata residente al nord risulta essere impiegata nel settore agricolo; fr(i N) = indica che il 39.23% della popolazione occupata residente al nord risulta essere impiegata nel settore industriale; f r(aa N) = indica che il 54.13% della popolazione occupata residente al nord risulta essere impiegata in altre attività; f r(a CS) = indica che il 11.91% della popolazione occupata residente al centro sud risulta essere impiegata nel settore agricolo; f r(i CS) = indica che il 25.04% della popolazione occupata residente al centro sud risulta essere impiegata nel settore industriale; f r(aa CS) = indica che il 63.05% della popolazione occupata residente al centro sud risulta essere impiegata in altre attività. Per quanto riguarda il calcolo delle frequenze relative condizionate del carattere Ripartizione Geografica, fissiamo innanzi tutto l attenzione sulla distribuzione parziale

29 1 LA CONNESSIONE 5 associata alla modalità A del carattere Settore di attività Economica. In tal caso le frequenze relative condizionate sono date da: fr(n A) = n 11 n 1. = = fr(cs A) = n 12 n 1. = = In modo del tutto analogo possono essere ricavate le frequenze relative del carattere Ripartizione Geografica condizionate alla modalità I e AA del carattere Settore di attività Economica. I risultati di questi calcoli sono riportati sinteticamente nella seguente tabella: Ripartiz. Nord (N) Centro-Sud (CS) Attività Totale Agricoltura (A) Industria (I) Altre attività (AA) Si osservi che l ultima riga della tabella sopra riportata contiene le frequenze relative marginali del carattere Ripartizione Geografica. Le frequenze relative condizionate del carattere Ripartizione geografica forniscono le seguenti informazioni: fr(n A) = indica che il 35.87% della popolazione occupata impiegata nel settore agricolo risiede al nord; f r(cs A) = indica che il 64.13% della popolazione occupata impiegata nel settore agricolo risiede al centro sud; fr(n I) = indica che il 66.12% della popolazione occupata impiegata nel settore industriale risiede al nord; f r(cs I) = indica che il 38.88% della popolazione occupata impiegata nel settore industriale risiede al centro sud; f r(n AA) = indica che il 46.29% della popolazione occupata impiegata in altri settori risiede al nord; f r(cs AA) = indica che il 53.71% della popolazione occupata impiegata in altri settori risiede al centro sud. Svolgimento punto c) Affinchè tra i due caratteri Settore di attività Economica e Ripartizione geografica vi sia indipendenza distributiva, è necessario che ciascuna delle frequenze congiunte n ij coincida con la corrispondente frequenza teorica di indipendenza distributiva ˆn ij = n i. n.j N : n ij = ˆn ij i = 1, 2, 3 j = 1, 2.

30 1 LA CONNESSIONE 6 E sufficiente che una sola frequenza congiunta differisca dalla corrispondente frequenza teorica per concludere che tra i due caratteri non vi è indipendenza distributiva. Ad esempio, se i due caratteri in considerazione fossero indipendenti in distribuzione, n 11 dovrebbe coincidere con: ˆn 11 = n 1. n.1 N = = In realtà abbiamo che n 11 = 698 ˆn 11 e di conseguenza tra i due caratteri in considerazione non vi è indipendenza distributiva. Come richiesto dal testo dell esercizio, si ricava la tabella delle frequenze teoriche nel caso di indipendenza distributiva: Ripartiz. Nord (N) Centro-Sud (CS) Attività Totale Agricoltura (A) Industria (I) Altre attività (AA) Totale Si osservi che le distribuzioni marginali della tabella delle ferquenze teoriche ˆn ij coincidono con quelle della tabella delle frequenze effettive n ij. Svolgimento punto d) Le contingenze C ij sono per definizione costituite dalla differenza tra la frequenza effettiva n ij e quella teorica nel caso di indipendenza distributiva ˆn ij : C ij = n ij ˆn ij i = 1, 2, 3 j = 1, 2. Il loro calcolo è riportato nella seguente tabella: Ripartiz. Nord (N) Centro-Sud (CS) Attività Totale Agricoltura (A) Industria (I) Altre attività (AA) Totale Si osservi che sia i totali di riga che di colonna delle contingenze sono nulli. Il valore assunto dalle contingenze appena ricavate fornisce le seguenti informazioni: C 11 = : la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità A del carattere Settore di Attività Economica e N del carattere Ripartizione Geografica, risulta essere minore rispetto a quella teorica in ipotesi di indipendenza distributiva. Tra le modalità A del carattere Settore di attività Economica, e N del carattere Ripartizione Geografica vi è repulsione in quanto la frequenza congiunta che si è osservata è inferiore a quella che si sarebbe dovuta osservare se tra i due caratteri vi fosse stata indipendenza distributiva;

31 1 LA CONNESSIONE 7 C 12 = : la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità A del carattere Settore di Attività Economica e CS del carattere Ripartizione Geografica, risulta essere maggiore rispetto a quella teorica in ipotesi di indipendenza distributiva. Tra le modalità A del carattere Settore di Attività Economica e CS del carattere Ripartizione Geografica vi è attrazione in quanto la frequenza congiunta che si è osservata è maggiore di quella che si sarebbe dovuta osservare se tra i due caratteri vi fosse stata indipendenza distributiva; C 21 = : la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità modalità I del carattere Settore di Attività Economica e N del carattere Ripartizione Geografica, risulta essere maggiore rispetto a quella teorica in ipotesi di indipendenza distributiva. Tra le modalità I del carattere Settore di Attività Economica e N del carattere Ripartizione Geografica vi è attrazione in quanto la frequenza congiunta che si è osservata è maggiore di quella che si sarebbe dovuta osservare se tra i due caratteri vi fosse stata indipendenza distributiva; C 22 = : la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità modalità I del carattere Settore di Attività Economica e CS del carattere Ripartizione Geografica, risulta essere minore rispetto a quella teorica in ipotesi di indipendenza distributiva. Tra le modalità I del carattere Settore di Attività Economica e CS del carattere Ripartizione Geografica vi è repulsione in quanto la frequenza congiunta che si è osservata è inferiore a quella che si sarebbe dovuta osservare se tra i due caratteri vi fosse stata indipendenza distributiva; C 31 = : la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità modalità AA del carattere Settore di Attività Economica e N del carattere Ripartizione Geografica, risulta essere minore rispetto a quella teorica in ipotesi di indipendenza distributiva. Tra le modalità AA del carattere Settore di Attività Economica e N del carattere Ripartizione Geografica vi è repulsione in quanto la frequenza congiunta che si è osservata è inferiore a quella che si sarebbe dovuta osservare se tra i due caratteri vi fosse stata indipendenza distributiva; C 32 = : la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità modalità AA del carattere Settore di Attività Economica e CS del carattere Ripartizione Geografica, risulta essere maggiore rispetto a quella teorica in ipotesi di indipendenza distributiva. Tra le modalità AA del carattere Settore di Attività Economica e CS del carattere Ripartizione Geografica vi è attrazione in quanto la frequenza congiunta che si è osservata è maggiore di quella che si sarebbe dovuta osservare se tra i due caratteri vi fosse stata indipendenza distributiva; Svolgimento punto e) Per contingenze relative si intendono le grandezze: ρ ij = C ij ˆn ij i = 1, 2, 3 j = 1, 2.

32 1 LA CONNESSIONE 8 Il calcolo delle contingenze relative è riportato nella segeunte tabella: Ripartiz. Nord (N) Centro-Sud (CS) Attività Agricoltura (A) Industria (I) Altre attività (AA) Il valore assunto dalle contingenze relative appena ricavate fornisce le seguenti informazioni: ρ 11 = : la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità A del carattere Settore di Attività Economica e N del carattere Ripartizione Geografica, è inferiore del 28.39% rispetto a quella teorica d indipendenza distributiva. ρ 12 = : la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità A del carattere Settore di Attività Economica e CS del carattere Ripartizione Geografica, supera del 28.39% quella teorica d indipendenza distributiva. ρ 21 = : la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità I del carattere Settore di Attività Economica e N del carattere Ripartizione Geografica, supera del 22.02% quella teorica d indipendenza distributiva. ρ 22 = : la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità I del carattere Settore di Attività Economica e CS del carattere Ripartizione Geografica, è inferiore del 22.02%rispetto a quella teorica d indipendenza distributiva. ρ 31 = : la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità AA del carattere Settore di Attività Economica e N del carattere Ripartizione Geografica, è inferiore del 7.56% rispetto a quella teorica d indipendenza distributiva. ρ 11 = : la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità AA del carattere Settore di Attività Economica e CS del carattere Ripartizione Geografica, supera del 7.56% quella teorica d indipendenza distributiva. Svolgimento punto f) Al fine di effettuare una sintesi delle contingenze relative in precedenza calcolate, utilizziamo l indice di connessione di Mortara e l indice quadratico di connessione di K. Pearson. L indice di connessione di Mortara è dato da: M 1 ( ρ ) = ρ ij ˆn ij N = 1 N = 3 2 C ij 1 ( ) 21002

33 1 LA CONNESSIONE 9 = = Il valore appena individuato informa che, in media, le frequenze effettive differiscono da quelle teoriche del 14.19% del valore di quest ultime. Nella seguente tabella sono riportati i valori dei rapporti C2 ij ˆn ij. Tali valori saranno utili per il calcolo dell indice quadratico di connessione di K. Pearson. Ripartiz. Nord (N) Centro-Sud (CS) Attività Totale Agricoltura (A) Industria (I) Altre attività (AA) Totale L indice quadratico di connessione di K.Pearson è dato da: M 2 ( ρ ) = ρ 2 ij N ˆn ij = Cij 2 N = ˆn ij = Il valore appena individuato informa che, in media quadratica, le frequenze effettive differiscono da quelle teoriche del 16.29% del valore di quest ultime. Per avere informazioni sul grado della connessione esistente tra i due caratteri, è opportuno ricorrere ad un indice normalizzato. Un indice che possiede tale caratteristica, viene ottenuto dividendo l indice di connessione quadratico di Pearson per il suo massimo valore assumibile. Il valore massimo assumibile da M 2 ( ρ ) corrisponde al caso di massima connessione tra i due caratteri e, in tale caso, si dimostra che M 2 ( ρ ) = (k 1) 1 2 dove k = min(r, c) ed r e c indicano il numero di modalità dei due caratteri. Otteniamo quindi l indice di connessione quadratico normalizzato: C = M 2( ρ ). (k 1) 1 2 L indice appena introdotto gode delle seguenti proprietà: 0 C 1; C = 0 se e solo se tra i caratteri in considerazione vi è indipendenza distributiva;

34 1 LA CONNESSIONE 10 C = 1 se e solo se tra i caratteri vi è massima connessione. Nel nostro caso abbiamo: C = = Concludendo, l indice quadratico di connessione di Pearson, è pari al 16.29% del suo massimo valore (che corrisponde al caso di massima connessione). Si può quindi concludere che tra i due caratteri Settore di Attività Economica e Ripartizione geografica vi è un basso grado di connessione. 2. I 300 partecipanti ad un concorso pubblico costituito dalle due prove C e D hanno ottenuto le seguenti valutazioni: C\D Insufficiente (I D ) Sufficiente (S D ) Buono (B D ) Tot Insufficiente (I C ) Sufficiente (S C ) Buono (B C ) Tot a) Si confrontino le distribuzioni condizionate del carattere Esito della prova C e si commenti; b) calcolare le contingenze relative e fornire la loro interpretazione; c) calcolare un indice di connessione ed interpretare il valore ottenuto. Svolgimento Svolgimento punto a) Le 3 distribuzioni condizionate, o parziali, del carattere Esito della prova C, corrispondono alle colonne della tabella di contingenza fornita dal testo dell esercizio. Si osservi che tali distribuzioni parziali non sono direttamente confrontabili in quanto hanno differente numerosità complessiva. Per effettuare un confronto, è opportuno ricavare le distribuzioni condizionate (o parziali) di frequenze relative: C\D Insufficiente (I D ) Sufficiente (S D ) Buono (B D ) Tot Insufficiente (I C ) Sufficiente (S C ) Buono (B C ) Tot La tabella sopra riportata mostra che la quota di prove C valutate insufficienti, varia al variare dell esito della prova D. Lo stesso possiamo dire anche per le quote di prove C che sono state valutate sufficienti o buone. Dato che, se i due caratteri in considerazione fossero indipendenti in distribuzione, tutte le distribuzioni condizionate di fequenze relative sarebbero identiche, si può concludere che tra Esito della prova C

35 1 LA CONNESSIONE 11 ed Esito della prova D non vi è indipendenza distributiva. Svolgimento punto b) Per calcolare le contingenze è comodo ricavare dapprima le frequenze congiunte teoriche ˆn ij nell ipotesi di indipendenza distributiva. Ricordiamo che il valore di tale frequenze è dato da: ˆn ij = n i. n.j N Il loro calcolo è riportato nella seguente tabella: i = 1,..., r; j = 1,..., c. C\D Insufficiente (I D ) Sufficiente (S D ) Buono (B D ) Tot Insufficiente (I C ) Sufficiente (S C ) Buono (B C ) Tot Nella seguente tabella sono riportati i valori delle contingenze C ij = n ij ˆn ij : C\D Insufficiente (I D ) Sufficiente (S D ) Buono (B D ) Tot Insufficiente (I C ) Sufficiente (S C ) Buono (B C ) Tot A questo punto è possibile ricavare agevolmente le contingenze relative ρ ij ricordando che: ρ ij = C ij ˆn ij i = 1,..., r; j = 1,..., c. Il loro valore è riportato nella seguente tabella: C\D Insufficiente (I D ) Sufficiente (S D ) Buono (B D ) Insufficiente (I C ) Sufficiente (S C ) Buono (B C ) Il valore assunto dalle contingenze relative appena ricavate, fornisce le seguenti informazioni: ρ 11 = 1.168: la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità I C del carattere Esito della prova C e I D del carattere Esito della prova D, supera del 116.8% quella teorica d indipendenza distributiva. ρ 21 = 0.445: la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità I C del carattere Esito della prova C e S D del carattere Esito della prova D, è inferiore del 44.5% rispetto a quella teorica d indipendenza distributiva. ρ 31 = 0.579: la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità I C del carattere Esito della prova C e B D del carattere Esito della prova D, è inferiore del 57.9% rispetto a quella teorica d indipendenza distributiva.

36 1 LA CONNESSIONE 12 ρ 12 = 0.770: la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità S C del carattere Esito della prova C e I D del carattere Esito della prova D, è inferiore del 77.0% rispetto a quella teorica d indipendenza distributiva. ρ 22 = 0.682: la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità S C del carattere Esito della prova C e S D del carattere Esito della prova D, supera del 68.2% quella teorica d indipendenza distributiva. ρ 32 = 0.168: la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità S C del carattere Esito della prova C e B D del carattere Esito della prova D, è inferiore del 16.8% rispetto a quella teorica d indipendenza distributiva. ρ 13 = 0.852: la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità B C del carattere Esito della prova C e I D del carattere Esito della prova D, è inferiore del 85.2% rispetto a quella teorica d indipendenza distributiva. ρ 23 = 0.051: la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità B C del carattere Esito della prova C e S D del carattere Esito della prova D, è inferiore del 5.1% rispetto a quella teorica d indipendenza distributiva. ρ 33 = 0.954: la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità B C del carattere Esito della prova C e S D del carattere Esito della prova D, supera del 95.4% quella teorica d indipendenza distributiva. Nel loro complesso le contingenze relative sembrano suggerire che tra i due caratteri allo studio vi sia una elevata connessione, in particolare permettono di osservare la tendenza dei partecipanti al concorso pubblico ad ottenere la medesima valutazione in entrambe le prove. Infatti le coppie di modalità (I C ; I D ), (S C ; S D ) e (B C ; B D ) sono le uniche che si attraggono e, come evidenziano i commenti fatti in precedenza, il grado di tale attrazione è in genere elevato. E interessante anche osservare che il grado di repulsione tende a crescere all aumentare della diversità nella valutazione delle due prove. Si osservi ad esempio che ρ 31 < ρ 21. Svolgimento punto c) Per completezza calcoliamo sia l indice di connessione di Mortara sia l indice quadratico di connessione di K.Pearson. L indice di connessione di Mortara è dato da: M 1 ( ρ ) = 1 N = 1 N ρ ij ˆn ij 3 C ij = 1 ( ) 300 = = Il valore appena individuato informa che, in media, le frequenze effettive differiscono da quelle teoriche del 61.55% del valore di quest ultime.

37 1 LA CONNESSIONE 13 Nella seguente tabella sono riportati i valori dei rapporti C2 ij ˆn ij. Tali valori saranno utili per il calcolo dell indice quadratico di connessione di K. Pearson. C\D Insufficiente (I D ) Sufficiente (S D ) Buono (B D ) Tot Insufficiente (I C ) Sufficiente (S C ) Buono (B C ) Tot L indice quadratico di connessione di K.Pearson è dato da: M 2 ( ρ ) = ρ 2 ij N ˆn ij = Cij 2 N = ˆn ij = In alternativa, il valore di M 2 ( ρ ) si sarebbe potuto ricavare mediante il procedimento indiretto. A tal fine, ricordiamo che: dove X 2 = = = M 2 ( ρ ) = 3 (n ij ˆn ij ) ˆn ij n 2 ij ˆn ij 3 n 2 ij ˆn ij N 1 N X2 3 ˆn ij n ij Nella seguente tabella sono riportati i valori dei rapporti n2 ij ˆn ij. Tali valori sono utili per il calcolo, mediante il procedimento indiretto, dell indice quadratico di connessione di K. Pearson. C\D Insufficiente (I D ) Sufficiente (S D ) Buono (B D ) Tot Insufficiente (I C ) Sufficiente (S C ) Buono (B C ) Tot

38 1 LA CONNESSIONE 14 In definitiva, si ha che: X 2 = = M 2 ( ρ ) = N X2 1 = = Il valore appena individuato informa che, in media quadratica, le frequenze effettive differiscono da quelle teoriche del 70.37% del valore di quest ultime. Per avere informazioni sul grado della connessione esistente tra i due caratteri, ricorriamo all indice normalizzato: C = M 2( ρ ) (k 1) 1 2 dove k = min(r, c) ed r e c indicano il numero di modalità dei due caratteri. Nel nostro caso k = 3 da cui: C = M 2( ρ ) (3 1) 1 2 = = L indice quadratico di connessione di Pearson, è pari al 49.75% del suo massimo valore (che corrisponde al caso di massima connessione). Si può quindi concludere che tra i due caratteri Esito della prova C e Esito della prova D vi è un medio grado di connessione. 3. I 400 studenti di due istituti di scuola media inferiore sono stati classificati in base al sesso ed alla categoria di peso (sottopeso, peso forma, sovrappeso). Da tale classificazione è emerso quanto segue: 1) i maschi sono il 40% degli studenti; 2) il 10% degli studenti è sottopeso; di questi il 30% sono maschi; 3) il 35% degli studenti è sovrappeso; di questi il 65% sono femmine. a) Costruire la distribuzione congiunta delle frequenze assolute dei due caratteri, Sesso e Peso ; b) determinare le distribuzioni di frequenze relative condizionate di Peso da Sesso ; c) determinare le contingenze assolute e fornire la loro interpretazione;

39 1 LA CONNESSIONE 15 e) valutare la connessione tra i due caratteri mediante un indice basato sulle contingenze. Svolgimento Svolgimento punto a) Nel seguito indicheremo ripettivamente con M e F le modalità maschio e femmina del carattere Sesso e con s, P ed S le modalità sottopeso, peso forma e sovrappeso del carattere Peso. Dall informazione 1) del testo dell esercizio abbiamo che e di conseguenza fr(m) = 0.4 fr(f ) = 1 fr(m) = 0.6. Abbiamo in questo modo ricavato la distribuzione di frequenze relative marginali del carattere Sesso. Dall informazione 2) del testo dell esercizio abbiamo che ed inolte Ricordando che fr(m s) = fr(m,s) fr(s) e di conseguenza fr(s) = 0.1 fr(m s) = abbiamo che fr(m, s) = fr(m s) fr(s) = = 0.03 fr(f, s) = fr(s) fr(m, s) = = Abbiamo così ricato le frequenze congiunte relative delle modalità del carattere Sesso con la modalità s del carattere Peso. Dall informazione 3) del testo dell esercizio abbiamo che fr(s) = 0.35 e sfruttando quanto ricavato in precedenza abbiamo fr(p ) = 1 (fr(s) + fr(s)) = = Siamo in questo modo riusciti a ricavare l intera distribuzione di frequenze relative marginali del carattere Peso. Abbiamo inoltre che: fr(f S) = Ricordando che fr(f S) = fr(f,s) fr(s) abbiamo fr(f, S) = fr(f S) fr(s) = =

40 1 LA CONNESSIONE 16 e di conseguenza fr(m, S) = fr(s) fr(f, S) = = Siamo in questo modo riusciti a ricavare le frequenze congiunte relative delle modalità del carattere Sesso con la modalità S del carattere Peso. Le frequenze congiunte relative che risultano ancora incognite sono fr(m, P ) e fr(f, P ). Il loro valore è calcolabile, sfruttando quanto in precedenza ricavato, nel seguente modo: fr(m, P ) = fr(m) fr(m, s) fr(m, S) = = fr(f, P ) = fr(f ) fr(f, s) fr(f, S) = = In definitiva, la distribuzione di fequenze congiunte relative è riportata nelle seguente tabella: Sesso\P eso s P S Tot M F Tot La distribuzione di frequenze assolute congiunte può essere a questo punto ricavata semplicemente moltiplicando per N = 400 le frequenze relative congiunte appena calcolate. Tale distribuzione è riportata nella tabella seguente: Sesso\P eso s P S Tot M F Tot Svolgimento punto b) Iniziamo con il ricavare la distribuzione di frequenze condizionate di Peso relative alla modalità M di Sesso. fr(s M) = fr(m, s) fr(m) = n(m, s) n(m) = = = fr(p M) = fr(m, P ) fr(m) fr(s M) = fr(m, S) fr(m) = n(m, P ) n(m) = n(m, S) n(m) = = = = = = Procedendo in modo analogo possiamo ricavare la distribuzione di frequenze condizionate di Peso relative alla modalità F di Sesso. I risultati di questi calcoli e di quelli già fatti in precedenza sono riportati nella seguente tabella. Sesso\P eso s P S Tot M F

41 1 LA CONNESSIONE 17 Svolgimento punto c) Per calcolare le contingenze ricaviamo dapprima le frequenze congiunte teoriche ˆn ij nell ipotesi di indipendenza distributiva. Ricordiamo che il valore di tale frequenze è dato da: ˆn ij = n i. n.j N Il loro calcolo è riportato nella seguente tabella: i = 1,..., r; j = 1,..., c. Sesso\P eso s P S Tot M F Tot Di seguito sono riportati i valori delle contingenze C ij = n ij ˆn ij : Sesso\P eso s P S Tot M F Tot Si osservi che sia i totali di riga che di colonna delle contingenze sono nulli. Il valore assunto dalle contingenze appena ricavate fornisce le seguenti informazioni: C 11 = 4: la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità M del carattere Sesso e s del carattere Peso, risulta essere minore rispetto a quella teorica in ipotesi di indipendenza distributiva. Tra le modalità F del carattere Sesso e s del carattere Peso vi è repulsione in quanto la frequenza congiunta che si è osservata è minore di quella che si sarebbe dovuta osservare se tra i due caratteri vi fosse stata indipendenza distributiva; C 21 = 4: la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità F del carattere Sesso e s del carattere Peso, risulta essere maggiore rispetto a quella teorica in ipotesi di indipendenza distributiva. Tra le modalità F del carattere Sesso e s del carattere Peso vi è attrazione in quanto la frequenza congiunta che si è osservata è maggiore di quella che si sarebbe dovuta osservare se tra i due caratteri vi fosse stata indipendenza distributiva; C 12 = 11: la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità M del carattere Sesso e P del carattere Peso, risulta essere maggiore rispetto a quella teorica in ipotesi di indipendenza distributiva. Tra le modalità M del carattere Sesso e P del carattere Peso vi è attrazione in quanto la frequenza congiunta che si è osservata è maggiore di quella che si sarebbe dovuta osservare se tra i due caratteri vi fosse stata indipendenza distributiva; C 22 = 11: la frequenza congiunta effettiva associata alle modalità F del carattere Sesso e P del carattere Peso, risulta essere minore rispetto a quella teorica in ipotesi di indipendenza distributiva. Tra le modalità F del carattere