I numeri irrazionali nella geometria e nella storia. Daniela Valenti, Treccani scuola

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1 I numeri irrazionali nella geometria e nella storia 1

2 Costruzioni geometriche di!a Con la geometria possiamo costruire un segmento che sia lungo esattamente!a Una costruzione semplice e versatile è basata sul 2 teorema di Euclide. Osserviamo la costruzione con il file Animazione_radice(a). 2

3 Costruzioni geometriche di!a Costruzione basata sul teorema di Pitagora. È facile, ma per costruire!20. 3

4 Calcolare la radice quadrata Possiamo usare il tascabile, ma otteniamo un numero decimale, che, in molti casi è un approssimazione del risultato con al massimo 10 o 15 cifre decimali. Nei secoli si sono diffusi vari algoritmi per calcolare la radice quadrata a mano anche con più di 10 o 15 cifre. Si tratta generalmente di algoritmi lunghi e macchinosi. Ecco invece un algoritmo che porta facilmente a successive approssimazioni della radice cercata. L algoritmo è dovuto al matematico greco Erone, vissuto intorno al 2 secolo d.c. 4

5 Algoritmo di Erone Debbo calcolare!8. Risolvo il problema se costruisco il quadrato di area 8. Procedo con approssimazioni successive. 1.! Scelgo un numero b < 8; ad esempio b = 5 e costruisco il rettangolo base b = 5 e altezza h = 8/5 = 1,6. Il rettangolo ha area 8 e dà una prima approssimazione del quadrato richiesto. Perciò b e h approssimano il lato del quadrato (uno per eccesso e l altro per difetto). 2. Calcolo la media b 1 fra b e h, quindi ripeto il procedimento. 5

6 Algoritmo di Erone Con 3 passi dell algoritmo di Erone Stima dell errore e 3 = 2,8286 2,7951 = 0,0335 Con il tascabile 8 " 2,

7 I radicali nella storia del pensiero 7

8 Radice di 2 nella storia del pensiero Le difficoltà di scrittura rispecchiano le difficoltà concettuali e la lunga, faticosa storia di!2. I babilonesi (! 1800 a.c), gli indiani (V a.c) lasciano traccia di procedimenti per calcolare la diagonale del quadrato. Lo scandalo della scoperta attribuita alla scuola pitagorica (VI a.c.) e riportato in opere di Platone (V a.c) e Aristotele (IV a.c.): non si può trovare un segmento, anche piccolissimo, che sia contenuto un numero intero di volte sia nel lato che nella diagonale del quadrato, cioè lato e diagonale del quadrato sono incommensurabili. Nel III secolo (d.c.) si trova la prima dimostrazione scritta di questa incommensurabilità, strettamente legata all irrazionalità di!2: nella dimostrazione già si parla di numeri e non di segmenti. 8

9 Dimostrare che!2 è irrazionale 9

10 Il lato e la diagonale del quadrato sono incommensurabili La scienza pitagorica era basata sull idea di figura geometrica formata di piccolissimi elementi-unità, ossia di punti estesi. Perciò la scoperta degli incommensurabili determinò una profonda crisi nella scuola pitagorica. 10

11 Radice cubica di 2 nella storia del pensiero Una leggenda dell antica Grecia: il problema di Delo A Delo infuria la peste e gli abitanti interrogano l'oracolo di Apollo sul modo di liberarsi dall epidemia. L oracolo dà l'ordine di costruire un altare, di forma cubica, con il volume doppio di quello presente nel tempio. Gli abitanti si affrettano a costruire un altare con il lato doppio, ma la pestilenza continua. I matematici cercano la soluzione: bisogna raddoppiare il volume di un cubo. Nasce il problema della duplicazione del cubo. 11

12 La duplicazione del cubo Il cubo di lato 1 ha il volume V dato da: V = 1 3 = 1 Il cubo di lato 2 ha il volume V dato da: V = 2 3 = 8. Se raddoppio il lato, moltiplico per 8 il volume. Come trovo il lato x del cubo di volume 2? Con il nostro linguaggio matematico attuale rispondo: Risolvo l equazione x 3 = 2 e trovo la soluzione 3 x = 2 Ma come hanno lavorato gli antichi Greci?! 12

13 La soluzione di Menecmo (IV a.c.) Con il linguaggio dell algebra e della geometria analitica è facile descrivere l idea che Menecmo espone con procedimenti geometrici complicati. Tuttavia proprio con quei ragionamenti Menecmo introduce, sembra per la prima volta, la parabola. 13

14 I radicali nella storia della matematica La storia dell estrazione di radice si dipana lungo molti secoli: nascono i numeri negativi, l algebra e la geometria analitica, nel 1525 viene introdotto il simbolo!, poi nel 1671 Newton introduce le potenze ad esponente frazionario convivenza difficile fra tutti questi simboli! 14