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1 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Un'equazione del tipo x 2 + (x+4) 2 = 20 è un'equazione DI SECONDO GRADO IN UNA INCOGNITA. Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO. Pertanto la nostra equazione può essere scritta nel modo seguente: x 2 + (x+4) 2 = 20 Sviluppiamo il quadrato indicato in parentesi: si tratta di un prodotto notevole: x 2 + x x = 20. Sommiamo i termini simili presenti a primo membro, cioè quelli contenenti la x 2 : 2x 2 + 8x +16 = 20. Portiamo 20 a primo membro cambiandogli di segno: 2x 2 + 8x = 0. Sommiamo +16 e -20: 2x 2 + 8x - 4 = 0. Quella che abbiamo ottenuto è un'equazione di secondo grado COMPLETA o anche equazione di secondo grado ridotta a FORMA NORMALE.

2 Quindi, generalizzando, un'equazione di SECONDO GRADO COMPLETA o ridotta a FORMA NORMALE si presenta nel seguente modo: ax 2 + bx + c = 0 dove a è il PRIMO COEFFICIENTE o coefficiente del termine di secondo grado; b è il SECONDO COEFFICIENTE o coefficiente del termine di primo grado; c è il TERZO COEFFICIENTE o termine noto. Un'equazione di secondo grado del tipo ax 2 + bx + c = 0. si dice COMPLETA. Abbiamo, qui, sottinteso che a 0 b 0 c 0. Ora consideriamo il caso in cui: a 0 b 0 c = 0. La nostra equazione diventa:

3 ax 2 + bx + 0 = 0. ovvero ax 2 + bx = 0. Questa equazione di secondo grado si dice SPURIA. Se, invece: a 0 b = 0 c 0 la nostra equazione diventa: ax 2 + 0x + c = 0 ovvero: ax 2 + c = 0. Questa equazione di secondo grado si dice PURA. ATTENZIONE!!!! Nella nostra equazione deve essere sempre a 0 altrimenti avremmo: 0x 2 + bx + c = 0 ovvero: bx + c = 0. Ma questa è un'equazione di PRIMO GRADO e non di secondo grado.

4 Vediamo, ora, come si risolve un'equazione di questo tipo. Data la nostra equazione ax 2 + bx = 0 possiamo mettere in evidenza, tra i termini a primo membro, la x. Avremo: x (ax + b) = 0. Quello che abbiamo scritto è un prodotto tra due fattori. Dalla LEGGE DI ANNULLAMENTO del PRODOTTO sappiamo che se un PRODOTTO E' UGUALE a ZERO almeno uno dei suoi FATTORI è uguale a ZERO. Quindi il nostro prodotto sarà uguale a zero se: oppure se: x = 0 ax + b = 0. Quest'ultima è un'equazione di primo grado che si risolve nei modi consueti, ovvero: ax + b = 0 ax = -b

5 x = -b/a. Quindi l'equazione SPURIA ha sempre due soluzioni distinte. Esse sono: x 1 = 0 (si legge x con 1 uguale zero) x 2 = -b/a (si legge x con 2 uguale meno b fratto a). Lo zero annulla il primo fattore del prodotto (x) e, quindi, rende nullo il prodotto stesso. -b/a annulla il secondo fattore del prodotto (ax + b) e quindi rende nullo il prodotto. Applichiamo, quanto abbiamo visto, ad un esempio. Si voglia risolvere l'equazione: x 2-5x = 0. L'EQUAZIONE è SPURIA, infatti manca il termine noto. Mettiamo in evidenza la x e abbiamo: x (x - 5) = 0. Per la legge di annullamento del prodotto, il prodotto indicato è nullo quando: x = 0 oppure quando x - 5 = 0 cioè quando x = 5.

6 Quindi le due soluzioni sono: x 1 = 0 x 2 = 5. Vediamo un altro esempio: 3x 2-12x = 0. Mettiamo in evidenza la x e abbiamo: x (3x - 12) = 0. Per la legge di annullamento del prodotto, il prodotto indicato è nullo quando: x = 0 oppure quando 3x - 12 = 0 cioè quando 3x = 12 x = 12/3 x = 4. Quindi le due soluzioni sono: x 1 = 0 x 2 = 4.

7 Vediamo ancora un altro esempio: 6x 2 = -3x. Portiamo -3x a primo membro cambiando di segno. Abbiamo: 6x 2 + 3x = 0. Mettiamo in evidenza la x e abbiamo: x (6x + 3) = 0. Per la legge di annullamento del prodotto, il prodotto indicato è nullo quando: x = 0 oppure quando 6x + 3 = 0 cioè quando 6x = -3 x = -3/6 x = -1/2. Quindi le due soluzioni sono: x 1 = 0 x 2 = -1/2. Come possiamo notare dagli esempi precedenti, una delle due soluzioni dell'equazione spuria è sempre lo zero. Abbiamo visto in una precedente lezione che un'equazione di SECONDO GRADO del tipo:

8 ax 2 + c = 0 si dice PURA. Vediamo, ora, come si risolve un'equazione di questo tipo. Data la nostra equazione ax 2 + c = 0 portiamo c a secondo membro cambiando di segno. Avremo: ax 2 = -c. Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per a e abbiamo: x 2 = -c/a. Poiché noi dobbiamo trovare il valore di x, ma abbiamo il valore di x 2, dobbiamo estrarre la radice quadrata dal primo e dal secondo membro. Ovvero: Da cui abbiamo: Esaminiamo ora il valore posto sotto radice, ovvero -c/a: Innanzitutto facciamo una precisazione:

9 -c/a non indica necessariamente un valore negativo. Ad esempio: Quindi Ipotizziamo che -c/a sia un NUMERO NEGATIVO, ovvero: -c/a < 0. Noi sappiamo che la radice è l'operazione inversa all'elevamento a potenza. Inoltre sappiamo che la potenza di un numero relativo k n si determina nel modo seguente: il suo valore assoluto si ottiene moltiplicando il valore assoluto per se stesso per n volte. il suo segno sarà positivo se l'esponente è pari, mentre risulterà invariato rispetto al segno della base se l'esponente è dispari. La radice quadrata, in particolare, è l'operazione inversa rispetto all'elevamento al quadrato. Quindi, se abbiamo un numero relativo k e lo eleviamo alla seconda, ovvero: k 2 otterremo sempre un numero positivo essendo l'esponente pari. Quindi, dato un numero dispari, non possiamo trovare la sua radice quadrata. Pertanto se la nostra equazione NON HA SOLUZIONI. -c/a < 0

10 Viceversa, se -c/a > 0 la nostra equazione ammette DUE SOLUZIONI. Cioè: Cerchiamo di capirne il perché. Prendiamo un numero qualunque positivo, ad esempio, +2 e calcoliamone il quadrato. Avremo: +2 2 = +4. Ora prendiamo lo stesso numero, ma con segno negativo, ovvero, -2 e calcoliamone il quadrato. Avremo: -2 2 = +4. Se ora cerchiamo la radice quadrata di 4 possiamo dire che essa è sia +2 che -2. Cioè: che si può scrivere anche: In maniera analoga, quando cerchiamo la radice quadrata di -c/a dovremo prendere come soluzioni:

11 Infine, se c = 0 avremo: ax = 0 cioè: ax 2 = 0 che può essere scritta come: a x x = 0. Posto che a è diverso da zero, cioè posto: a 0 per la legge di annullamento del prodotto l'equazione è uguale a zero quando x è uguale a zero. In questo caso lo zero si dice RADICE DOPPIA dato che la soluzione zero viene contata due volte: Ricapitolando: -c/a < 0 IMPOSSIBILE -c/a > 0 -c/a = 0 x 1 = 0 x 2 =0 Vediamo un esempio.

12 4x 2-1 = 0 4x 2 = 1 x 2 = 1/ EQUAZIONE di SECONDO GRADO del tipo: ax 2 + bx + c = 0 si dice COMPLETA o RIDOTTA A FORMA NORMALE. Prima di vedere come si risolve tale equazione, iniziamo con l'esaminare alcuni casi pratici. Esempio: 4x 2 + 8x + 4 = 16. Possiamo notare che al primo membro abbiamo il QUADRATO di UN BINOMIO, esattamente di 2x +2. Allora scriviamo: (2x +2) 2 = 16. Per trovare il valore della x calcoliamo la RADICE QUADRATA del primo e del secondo membro. Avremo: Le soluzioni dell'equazione saranno: 2x + 2 = - 4 2x + 2 = + 4. Risolviamo la prima di esse avremo:

13 2x + 2 = -4 2x = x = -6 x = -6/2 x = -3. Risolviamo la seconda di esse e avremo: 2x + 2 = +4 2x = x = +2 x = +2/2 x = 1. Quindi le soluzioni della nostra equazione sono: x 1 = -3 e x 2 = 1. Ora proviamo a risolvere questa equazione: 4x 2 + 8x + 3 = 0. Se al posto di 3 noi sostituiamo 4-1 avremo: 4x 2 + 8x = 0. In questo modo i primi tre termini dell'equazione sono il QUADRATO di UN BINOMIO, esattamente di 2x +2.

14 Allora scriviamo: (2x +2) 2-1 = 0 (2x +2) 2 = 1. Per trovare il valore della x calcoliamo la RADICE QUADRATA del primo e del secondo membro. Avremo: Le soluzioni dell'equazione saranno: 2x + 2 = - 1 2x + 2 = + 1. Risolviamo la prima di esse avremo: 2x + 2 = -1 2x = x = -3 x = -3/2. Risolviamo la seconda di esse e avremo: 2x + 2 = +1 2x = x = -1 x = -1/2. Quindi le soluzioni della nostra equazione sono:

15 x 1 = -3/2 e x 2 = -1/2. Gli esempi fin qui visti ci permettono di comprendere che per risolvere una equazione di secondo grado completa dobbiamo cercare di TRASFORMARLA in una UGUAGLIANZA che vede a primo membro un il QUADRATO di un BINOMIO e a secondo membro un NUMERO. Vediamo come possiamo applicare questa regola al caso generale. Data l'equazione: ax 2 + bx + c = 0 cerchiamo di trasformarla in una uguaglianza che abbia a primo membro il quadrato di un binomio e a secondo membro un numero. Iniziamo col portare portare c a secondo membro ax 2 + bx = - c. Moltiplichiamo entrambi i membri per 4a: 4a (ax 2 + bx) = (- c) 4a 4a 2 x 2 + 4abx = -4ac. In questo modo il primo termine dell'equazione (4a 2 x 2 ) è il quadrato di 2ax. Il secondo termine dell'equazione (4abx) è il doppio prodotto tra 2ax e b. Quindi, al primo termine manca b 2 per avere il quadrato di un binomio. Allora aggiungiamo a primo e secondo membro b 2. 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2-4ac. In questo modo, a primo membro abbiamo il quadrato di 2ax + b. Quindi, possiamo scrivere: (2ax + b) 2 = b 2-4ac. Poniamo sotto radice quadrata il primo e il secondo membro e avremo:

16 Ora estraiamo la radice e risolviamo in modo da trovare la x. Avremo: Quella che abbiamo appena trovato si dice FORMULA RISOLUTIVA dell'equazione di secondo grado. Quindi, data l'equazione ax 2 + bx + c = 0 le sue soluzioni sono: b 2-4ac

17 prende il nome di DISCRIMINANTE. Abbiamo già detto che, tutto ciò che compare sotto il segno di frazione (cioè b 2-4ac), si chiama DISCRIMINANTE dell'equazione. Il DISCRIMINANTE viene indicato anche col seguente simbolo che prende il nome di DELTA, cioè la quarta lettera maiuscola dell'alfabeto greco. Δ Quindi: Δ = b 2-4ac che si legge delta uguale b al quadrato meno 4 a c. Il DISCRIMINANTE è molto importante in quanto da esso dipende il numero delle soluzioni dell'equazione. Si possono avere tre casi distinti: 1. DISCRIMINANTE POSITIVO. Ovvero Δ = b 2-4ac > 0. Se il discriminante è positivo, l'equazione ha DUE SOLUZIONI distinte. Esse sono:

18 Esempio: 2. DISCRIMINANTE UGUALE a ZERO. Ovvero Δ = b 2-4ac = 0. Se il discriminante è nullo, l'equazione ha UNA SOLA SOLUZIONE o, come si è soliti dire, ha DUE RADICI COINCIDENTI infatti: ma se b 2-4ac = 0

19 avremo e di conseguenza Esempio: 3. DISCRIMINANTE NEGATIVO. Ovvero Δ = b 2-4ac < 0. Come sappiamo non è possibile estrarre la radice quadrata di un numero negativo. Infatti, la radice quadrata è l'operazione inversa rispetto all'elevazione al quadrato, ma se eleviamo un qualsiasi numero, sia esso positivo che negativo, al quadrato otteniamo sempre un numero positivo. Quindi se il discriminante è negativo la nostra equazione NON HA SOLUZIONI.

20 Esempio: Δ = -64 L'equazione non ammette soluzioni.

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