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1 ESERCIZI ELEMENTARI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Teorema della somma 1) Giocando alla roulette, calcolare la probabilità che su una estrazione esca: a) Un numero compreso tra 6 e 12 (compresi) oppure maggiore strettamente di 25; b) Un multiplo di 6 o di 7; c) Un numero maggiore o uguale di 18 oppure un multiplo di 3. 2) Siano A e B due eventi in Ω tali che P(A) = 0.6 e P(B) = 0.9. Possono i due eventi A e B essere incompatibili? Ed indipendenti? Probabilità condizionate 3) Si considerino 4 lanci di una moneta equilibrata, e si considerino gli eventi A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }. Gli eventi A e B sono indipendenti? 4) Considerate 300 persone, di queste 170 parlano solo tedesco, 90 solo inglese e 40 tedesco ed inglese. Preso un individuo a caso, determinare la probabilità che esso parli tedesco sapendo che parla inglese. Teorema del prodotto 5) Considerato il lancio di due dadi non truccati, calcolare a) la probabilità che la somma sia uguale a due; b) la probabilità che la somma sia uguale a 7. 6) Considerata l estrazione di tre carte da un mazzo da 52, calcolare a) la probabilità che escano tre figure supponendo la reintroduzione delle carte estratte; b) la probabilità che escano tre figure senza reintroduzione delle carte estratte. Teorema delle probabilità totali 7) Considerata l estrazione di tre carte da un mazzo da 52, calcolare a) la probabilità che escano tre figure dello stesso seme supponendo la reintroduzione delle carte estratte; b) la probabilità che escano tre figure dello stesso seme senza reintroduzione delle carte estratte. c) la probabilità che escano due figure ed un asso (indipendentemente dall ordine). 8) Un mobiletto possiede tre cassetti. Nel primo cassetto ci sono due anelli d oro ed uno d argento, nel secondo c è un anello d oro e tre d argento, nel terzo cassetto ci sono due anelli d argento. Calcolare la probabilità che aprendo un cassetto a caso ed estraendo un anello a caso ne esca uno d oro. Formula di Bayes 9) Due urne indistinguibili esternamente. La prima contiene 2 palle rosse, 2 bianche e 2 verdi, mentre la seconda contiene 1 palla rossa, 4 bianche e 1 verde. Scelta un urna, ed effettuando da questa due estrazioni con reimbussolamento, calcolare la probabilità che a) l urna da cui stiamo estraendo sia la prima quando la prima palla estratta 1

2 è verde; b) la seconda palla estratta da un urna sia bianca quando la prima è bianca. 10) Abbiamo a disposizione 20 carabine, 5 di tipo A, 8 di tipo B e 7 di tipo C. Sapendo che con quelle di tipo A la probabilità di centrare il bersaglio è 0.8, mentre è 0.5 e 0.3 rispettivamente con quelle di tipo B e C, dire: a) qual è la probabilità di colpire il bersaglio al primo colpo estraendo una carabina a caso; b) sapendo che il bersaglio é stato colpito, determinare la probabilità che sia stata utilizzata una carabina di tipo A. 11) Sono considerati 100 individui, 50 italiani, 20 inglesi e 30 tedeschi. L inglese è parlato dal 50 % degli italiani, dal 100 % degli inglesi e dall 80 % dei tedeschi. Preso un individuo a caso, ed osservato che parla inglese, qual è la probabilità che egli sia italiano? Misti 12) Si estraggono, con reintroduzione, 2 carte da un mazzo da 52. determinare la probabilità che esse siano: a) la prima di fiori e la seconda di quadri; b) una di fiori ed una di quadri; c) almeno una di fiori o di quadri. 13) Ripetere l esercizio precedente nell ipotesi che non vi sia reintroduzione. 14) Si lancino due dadi. Determinare la probabilità che la somma dei punti sia a) uguale a 2; b) uguale a 11; c) strettamente minore di 5. 15) Si consideri l estrazione di un numero dalla tombola (90 numeri), e siano: A = {il numero estratto è pari} Dire se gli eventi A e B sono indipendenti. B = {il numero estratto è minore o uguale a 20}. 16) Lanciando n volte due dadi, qual è la probabilità di ottenere il doppio 6 almeno una volta? 17) In tre lanci di una moneta escono due teste e una croce. Calcolare la probabilità che il risultato del primo lancio sia testa. 18) In 4 lanci di una moneta si verificano 3 teste ed una croce. Calcolare la probabilità che i risultati dei primi due lanci siano stati a) una testa e la croce, nell ordine; b) una testa e la croce, indipendentemente dall ordine. 19) In un negozio lavorano 6 impiegati e 5 operai. Tre degli impiegati sono uomini, e tre degli operai sono donne. Se si estrae un uomo a caso, qual è la probabilità che si tratti di un operaio? 20) Un urna contiene 9 biglie bianche e 4 biglie nere. Calcolare la probabilità che estraendo in successione (senza reimbussolamento) 5 biglie almeno una sia nera. Ripetere poi l esercizio supponendo il reimbussolamento. 21) Di 120 motori 45 sono stati costruiti nella fabbrica F 1, 39 nella fabbrica F 2 e 36 nella F 3. Sia p i, i = 1, 2, 3, la probabilità che un motore costruito in F i superi il collaudo. Calcolare la probabilità che un motore scelto a caso tra i 120 superi il collaudo, supponendo p 1 = 0.95, p 2 = 0.87, p 3 =

3 22) Riferendosi all esercizio precedente, si supponga di aver scelto un motore a caso, e di aver visto che questo non è funzionante. Qual è la probabilità che questo arrivi dalla fabbrica F 1? 23) In una comunità di 100 persone vi sono 70 uomini e 30 donne. Sapendo che il 60 % degli uomini ed il 40% delle donne fumano. a) Calcolare la probabilità che scelta una persona a caso questa sia una fumatrice. b) Calcolare la probabilità che scelto un fumatore a caso questo sia un uomo. 24) Un cacciatore ha nel carniere 12 animali, per tre dei quali è vietata la caccia. Un guardiacaccia effettua un controllo esaminando 3 capi estratti a caso dal carniere. Calcolare la probabilità che egli non individui nessuno dei 3 animali vietati. 25) Si estraggono (con reintroduzione) tre carte da un mazzo da 52. Qual è la probabilità che escano tre figure dello stesso seme? 26) Per preparare un tema d esame ho bisogno di un calcolatore e di una fotocopiatrice funzionanti. In ufficio ci sono 3 calcolatori e 2 fotocopiatrici. Ogni calcolatore funziona con probabilità 0.9, mentre ogni fotocopiatrice funziona con probabilità 0.8. Calcolare la probabilità che io non possa preparare il tema d esame. 27) In un campo ci sono margherite di tipo I e II, rispettivamente con frequenza 80% e 20%. Quale è il minimo valore n di margherite da raccogliere per garantire che la probabilità che almeno una sia del II tipo superi il valore 0.9? ESERCIZI SU VARIABILI CASUALI 28) Sia X una variabile casuale assolutamente continua con densità { αt 2 (1 t) se t [0, 1], α R + f(t) = a) Determinare α affiché f sia effettivamente una funzione di densità. b) Determinare E[X] e la funzione di ripartizione F della X. c) Determinare P(X [0.2, 0.6)). 29) Sia X una variabile casuale discreta che può assumere i valori 0, 1 e 3, rispettivamente con probabilità 1/2, 1/4 e 1/4. Si determinino il valore atteso la varianza e si rappresentino graficamente la distribuzione di probabilità p X e la funzione di ripartizione F X. 30) Una moneta viene lanciata fino a quando non esce testa. Sia X il numero di volte che la moneta viene lanciata. Trovare: a) la distribuzione di probabilità di X; b) la funzione di ripartizione di X; 31) Sia X una variabile casuale assolutamente continua avente densità { 1 x se x [0, 2], f(x) = Trovare: a) Il valore atteso di X. b) La probabilità che X assuma valori compresi tra 1.5 e 2. c) La probabilità che X assuma il valore

4 32) Sia X una variabile casuale assolutamente continua avente densità { αe x (1 e x ) se x [0, + ), α R + f(x) = a) Determinare α affiché f sia effettivamente una funzione di densità. b) Determinare la corrispondente funzione di ripartizione. c) Determinare la probabilità che X assuma valori maggiori di 1. 33) Sia X una variabile casuale assolutamente continua avente densità f(t) = { 1 2t se t [0, k], k R+ Trovare: a) Il valore da attribuire a k affiché f sia effettivamente una funzione di densità. b) La corrispondente funzione di ripartizione. c) La probabilità che X assuma valori compresi tra 0.5 ed 1. 34) Un urna contiene 4 gettoni numerati (da 1 a 4). Si estraggono, con reimbussolamento, due gettoni. Sia X = somma dei numeri estratti. Per la variabile casuale X determinare: a) la distribuzione di probabilità; b) la funzione di ripartizione; c) valore atteso e varianza; d) P(X 5); e) P(2 < X 6). 35) Uno studente esegue tre esercizi su tre argomenti diversi. La probabilità di eseguire in modo corretto il primo esercizio è 0.5, il secondo è 0.25 ed il terzo è 0.8. Sia X = numero di risposte esatte. Determinare: a) la distribuzione di probabilità di X; b) il valore atteso di X; c) la probabilità che almeno due risposte siano corrette. 36) Un venditore porta a porta vende degli oggetti A a lire e degli oggetti B a lire Un cliente compra un oggetto A con probabilità 0.1, e un oggetto B con probabilità Si supponga che il venditore si presenti un giorno da 200 clienti, e sia X = ricavato dagli oggetti A, Y = ricavato dagli oggetti B. Calcolare valore atteso e varianza di Z = X + Y. (Si suppongano tutti gli eventuali acquisti indipendenti tra di loro). 37) Sia X una variabile casuale assolutamente continua avente densità c se t [0, 1) e t 2, 3) f(t) = 2c se t [1, 2) Determinare: a) Il valore c affinché f sia una densità; b) la funzione di ripartizione di X; c) valore atteso e deviazione standard di X; d) P(X 1.2); 4

5 e) P(1.2 < X 3.5); f) P(1.2 X 2.5). 38) Un urna contiene tre palle numerate, da 1 a 3. Sia Y = somma dei numeri di due palle estratte dall urna con reimbussolamento. Determinare valore atteso e varianza di Y. 39) Un urna contiene tre palle numerate, da 1 a 3. Sia Y = somma dei numeri di due palle estratte dall urna senza reimbussolamento. Determinare valore atteso e varianza di Y. 5

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