VARIABILI ALEATORIE E. DI NARDO

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1 VARIABILI ALEATORIE E. DI NARDO 1. Vibile letoi Definizione 1.1. Fissto uno spzio di pobbilità (Ω, F, P ), un funzione X : Ω R si dice vibile csule (o vibile letoi, v..), se ess è F misubile, ossi B B(R) isult X 1 (B) F. In genele con l notzione (X B) si intendeà l evento (X B) = {ω Ω : X(ω) B} = X 1 (B). L definizione di v.. pot sposte l ttenzione dllo spzio cmpione Ω ll insieme dei numei eli R ed nzicchè lvoe sull σ lgeb F l ttenzione viene spostt sull insieme dei boellini. Teoem 1.2. Si X un v... L ten (R, B(R), P ), dove P è un misu di pobbilità definit d è uno spzio di pobbilità. P (B) = P (X B) B B(R), Poof. Dimostimo che P soddisf gli ssiomi di Komogoov dti nell pim lezione. Intnto isult P (R) = P (X R) = P ({ω Ω : X(ω) R}) = P (Ω) = 1. Inolte si h B B(R), P (B) 0 peché B B(R) X 1 (B) F ossi P [X 1 (B)] 0 d cui l sseto, essendo P (B) = P [X 1 (B)]. Infine pe il tezo ssiom, si considei un successione di boellini {B } due disgiunti. Vle che ( ) X 1 B = X 1 (B ). Inftti se ω X 1 ( B ) llo X(ω) B ossi esiste un 1 tle X(ω) B, d cui ω X 1 (B ), e quindi ω X 1 (B ). Inolte se B B s = llo X 1 (B ) X 1 (B s ) =. Petnto si h ( ) [ ( )] [ ] P B = P X 1 B = P X 1 (B ) = P [ X 1 (B ) ] = P (B ). Ad integzione dell Lezione 4 - Clcolo delle Pobbilità e Sttistic Mtemtic II. 1

2 2 E. DI NARDO Il vntggio dell uso dell v.. st popio in questo: l misu di pobbilità P su Ω induce un misu di pobbilità P su R che consev tutte le ctteistiche dell misu P. Petnto qulsisi si l ntu degli oggetti contenuti in Ω, è possibile lvoe sullo spzio (R, B(R), P ) dimenticndo lo spzio (Ω, F, P ). Ciò fino qundo l v.. X non viene studit ccnto d un o più vibili letoie, nel qul cso l ten (Ω, F, P ), ssocit d ogni v.. pes in esme, ient necessimente in gioco. Nel seguito, lì dove l uso dell medesim notzione non cei confusione, non femo distinzione t P e P. 2. Funzione di iptizione Definizione 2.1. Dt un v.. X, l funzione F X : R [0, 1] così definit F X (x) = P (X x) = P ({ω Ω : X(ω) x}) pende il nome di funzione di iptizione dell v.. X. Teoem 2.2. L funzione di iptizione F X (x) di un v.. X gode delle seguenti popietà: i) F X (x) è non decescente, ossi x 1, x 2 R tle che x 1 < x 2 isult F X (x 1 ) F X (x 2 ); ii) F X (x) è continu dest x R; iii) lim x F X (x) = 1 e lim x F X (x) = 0. Poof. i) Si ossevi che pe x 1 < x 2 si h {ω Ω : X(ω) x 2 } = {ω Ω : X(ω) x 1 } {ω Ω : x 1 < X(ω) x 2 }. Tttndosi di eventi disgiunti, segue che P ({ω Ω : X(ω) x 2 }) = P ({ω Ω : X(ω) x 1 })+P ({ω Ω : x 1 < X(ω) x 2 }), ossi d cui l sseto. P ({ω Ω : x 1 < X(ω) x 2 }) = F X (x 2 ) F X (x 1 ) 0 ii) E sufficiente moste che pe ogni x R si bbi: ( lim F X x + 1 ) = F X (x). n n Consideimo gli eventi A n = { ω Ω : x < X(ω) x + n} 1. Essi costituiscono un successione decescente ll insieme vuoto, sicchè lim n P (A n ) = 0. L sseto segue ossevndo che, medinte gomentzioni simili quelle uste nel punto pecedente si h ( P (A n ) = F X x + 1 ) F X (x). n iii) È sufficiente moste che lim n F X ( n) = 0 e lim n F X (n) = 1. Posto A n = {ω Ω : X(ω) n} con n = 0, 1, 2,..., gli eventi A n fomno un successione decescente ll insieme vuoto, e pe l popietà di continuità dell pobbilità, si h lim n P (A n ) = 0 m P (A n ) = F X ( n) d cui il pimo sseto. Anlogmente, posto B n = {ω Ω : X(ω) n} con n = 0, 1, 2,..., gli eventi B n fomno un successione cescente ll evento ceto, e pe l popietà di continuità

3 VARIABILI ALEATORIE 3 dell pobbilità, si h lim n P (B n ) = 1 m P (B n ) = F X (n) d cui il secondo sseto. Vle nche un sot di invesione del teoem pecedente. Teoem 2.3. Assegnt un funzione F : R [0, 1] tle che: i) F (x) è non decescente, ossi x 1, x 2 R tle che x 1 < x 2 isult F X (x 1 ) F X (x 2 ), ii) F (x) è continu dest x R, iii) lim x F (x) = 1 e lim x F (x) = 0, esistono uno spzio di pobbilità (Ω, F, P ) e un vibile letoi X, definit su Ω, tle che F X (x) = F (x) pe ogni x R. Poof. Si pone Ω = R, F = B(R) e P [(, x)] = F (x). Posto X(ω) = ω segue che F X (x) = F (x). Teoem 2.4. Si X un v.. con funzione di iptizione F X (x). Si h i) P (x 1 < X x 2 ) = F X (x 2 ) F X (x 1 ); ii) P (X = x) = F X (x) F X (x ); iii) P (x 1 X x 2 ) = F X (x 2 ) F X (x 1 ); iv) P (x 1 < X < x 2 ) = F X (x 2 ) F X(x 1 ); v) P (x 1 X < x 2 ) = F X (x 2 ) F X(x 1 ); vi) P (X > x) = 1 F X (x); vii) P (X < x) = F X (x ); viii) P (X x) = 1 F X (x ); Poof. i) Segue dll essee {ω Ω : X(ω) x 2 } = {ω Ω : X(ω) x 1 } {ω Ω : x 1 < X(ω) x 2 }. ii) Posto A n = { ω Ω : x 1 n < X(ω) x} pe n = 1, 2,... si h che l successione {A n } decesce ll insieme {ω Ω : X(ω) = x}. Dll popietà di continuità dell pobbilità segue llo che P ({ω Ω : X(ω) = x}) = lim n P (A n). ( L sseto segue dll essee P (A n ) = F X (x) F X x 1 n) ed ossevndo che ( lim F X x 1 ) = F X (x ). n n iii) L sseto segue ossevndo che {ω Ω : x 1 X(ω) x 2 } = {ω Ω : x 1 < X(ω) x 2 } {ω Ω : X(ω) = x 1 } ed pplicndo i isultti l punto i) e ii). iv) L sseto segue ossevndo che {ω Ω : x 1 < X(ω) x 2 } = {ω Ω : x 1 < X(ω) < x 2 } {ω Ω : X(ω) = x 2 } ed pplicndo i isultti l punto i) e ii). v) L sseto segue ossevndo che {ω Ω : x 1 X(ω) < x 2 } = {ω Ω : x 1 < X(ω) < x 2 } {ω Ω : X(ω) = x 1 } ed pplicndo i isultti l punto ii) e iv). vi) L sseto segue ossevndo che {ω Ω : X(ω) x} {ω Ω : X(ω) > x} = Ω ed pplicndo l definizione di funzione di iptizione.

4 4 E. DI NARDO vii) L sseto segue ossevndo che {ω Ω : X(ω) x} = {ω Ω : X(ω) < x} {ω Ω : X(ω) = x} ed pplicndo i isultti di cui l punto ii). viii) L sseto segue ossevndo che {ω Ω : X(ω) x} = {ω Ω : X(ω) > x} {ω Ω : X(ω) = x} ed pplicndo i isultti di cui l punto vi) e ii). 3. Mss di pobbilità Definizione 3.1. Assegnt un v.. X con funzione di iptizione F X (x), ess si dice discet qundo esiste un funzione p : R [0, 1] e un successione {x n } finit o numebile di eli distinti tle che F X (x) = p(x n ). {n : x n x} L funzione p dicesi mss di pobbilità, l successione di coppie {(x n, p(x n ))} dicesi distibuzione di pobbilità. Risult p(x n ) = P (X = x n ) poichè dll popietà ii) del Teoem 2.4, si h P (X = x n ) = F X (x n ) F X (x n ) = p(x n ) p(x n ). {n : x n x} Dll essee lim n F X (x) = 1 segue che p(x n ) = 1, {n} dett condizione di nomlizzzione. {n : x n<x} Ossevzione 3.2. V.. discete hnno pe dominio spzi cmpioni finiti o numebili. In tl cso, come σ lgeb ssocit Ω si può scegliee l insieme delle pti di Ω. E sufficiente ttibuie gli eventi elementi gli elementi di un successione {p k } k=1 tli che p k 0, k = 1, 2, e p k = 1 peché si definisc un misu di pobbilità su Ω. In tl cso non ci sono difficoltà psse dllo spzio (Ω, P(Ω), P ) llo spzio (R, B(R), P ). Accennimo nel seguito i pssi pincipli. Si S = {x k, k = 1, 2,...} R l insieme dei vloi ssunti d X. Posto p k = P (X = x k ) isult p k = P (X = x k ) = P ({ω Ω : X(ω) = x k }) = P [X 1 (x k )]. Scelto B B, si {x kj, j = 1, 2,...} = S B. Risult X 1 (B) = X 1 (B S) = j X 1 (x j ) e quindi k P (B) = P [ X 1 (B) ] = P [ j X 1 (x j ) ] = j P [ X 1 (x j ) ] = j p j ossi con ovvi notzione P (X B) = x B Ovvimente l funzione p : R [0, 1] di cui ll definizione 3.1 è tle che p(x n ) = p n. p.

5 VARIABILI ALEATORIE 5 Ogni successione di numei eli positivi, l cui somm è uno, fonisce un esempio di modello pobbilistico su spzi numebili. Alcuni di questi si impongono come modelli ntuli pe ceti tipi di fenomeni letoi. Sono esempi di vibili letoie discete l v.. di Benoulli, l v.. binomile, l v.. ipegeometic, l v.. geometic, l v.. di Pscl, l v.. binomile negtiv, l v.. di Poisson. Pe lcune di queste veà effettut un tttzione pte. 4. Densità di pobbilità Nel cso di v.. con funzione di iptizione continu, non h senso ifeisi ll pobbilità di ssumee uno specifico vloe, in qunto tli pobbilità sono nulle. Conviene llo fe ifeimento ll pobbilità che l v.. ssum vloi in un intevllo. Definizione 4.1. Assegnt un v.. X con funzione di iptizione F X (x), ess si dice ssolutmente continu se esiste un funzione f(x) nonnegtiv tle che : (4.1) F X (x) = x f(t)dt. L funzione f(x) si chim funzione densità di pobbilità. In ogni punto di continuità dell funzione f(x), dl teoem fondmentle del clcolo integle segue che f(x) = d dx F (x) = d x f(t)dt, dx petnto l funzione di iptizione di un v.. ssolutmente continu è l pimitiv dell funzione densità. Ossevzione 4.2. Il temine ssolutmente continu viene dll nlisi. Inftti, l clsse delle funzioni pe le quli vle l seguente uguglinz F (t)dt = F (b) F () è quell delle funzioni ssolutmente continue. Un funzione F definit su un intevllo [, b] si dice ssolutmente continu su questo intevllo se pe ogni ɛ > 0 esiste un δ > 0 tle che, qulunque si l fmigli finit di intevlli peti due due disgiunti ( k, b k ) pe k = 1, 2,..., n tli che n (b k k ) < δ l disuguglinz n F (b k ) F ( k ) < ɛ si veifict. Si dimost che ogni funzione F ssolutmente continu mmette un ppesentzione del tipo (4.1). Dll essee lim n F X (x) = 1 segue che f(t)dt = 1,

6 6 E. DI NARDO dett condizione di nomlizzzione. A diffeenz dell distibuzione di pobbilità, l funzione densità non h il significto di pobbilità. Intnto può essee f(x) > 1. Inolte se l F X (x) è ssolutmente continu, è nche continu, quindi F X (x) = F X (x ) = F X (x + ) ed in pticole P (X = x) = 0. Dlle popietà dell integle si h f(x)dx x+dx x f(t)dt = P (x < X x + dx) cioè, f(x)dx è l pobbilità di un intevllo infinitesimo. L funzione densità individu univocmente l funzione di iptizione. Ad esempio si h f(x)dx = P (X b) P (X ) = P ( < X b) = P ( X b). Viceves ogni funzione nonnegtiv, che soddisf l condizione di nomlizzzione, è un densità, nel senso che l su pimitiv è un funzione di iptizione. 5. Mistue Definizione 5.1. Dt un successione (finit o numebile) di numei eli { n } tli che n 0 pe ogni n e n = 1, e un successione (finit o numebile) di funzioni di iptizione {F n (x)}, l funzione di iptizione F (x) = n F n (x) è nco un funzione di iptizione e viene dett mistu delle {F n (x)}. Un mistu F (x) = 1 F 1 (x) + 2 F 2 (x) di due funzioni di iptizione, l pim discet e l second ssolutmente continu, ovvimente non è nè discet nè ssolutmente continu. In questi csi, pe detemine P (X B) è necessi qulche conoscenz dell integle di Stieltjes, che ichimimo di seguito Integle di Riemnn-Stieltjes. L Integle di Riemnn-Stieltjes costituisce un genelizzzione dell usule integle di Riemnn: nel clcolo delle somme pzili, l ptizione non viene effettut sull intevllo su cui è definit l funzione integnd, m sui vloi ssunti d un lt funzione pessegnt. Si F un funzione non decescente, vizione limitt, definit in [, b] ed ivi continu dest. Si = x 0 < x 1 < < x n = b un ptizione dell intevllo [, b] con mpiezze x i = x i x i 1, pe i = 1, 2,..., n. Si g un funzione continu in [, b]. Si può dimoste che l somm n g(ε i )[F (x i ) F (x i 1 )], ε i (x i 1, x i ) mmette limite pe n e mx x i 0. Questo limite pende il nome di integle di Riemnn-Stieltjes dell funzione g ispetto F esteso ll intevllo [, b] e viene indicto con g(x)df (x). Ovvimente se F (x) = x si itov l usle integzione di Riemnn.

7 VARIABILI ALEATORIE 7 Pe qunto igud gli integli impopi, si h: g(x)df (x) def = lim b g(x)df (x) e g(x)df (x) def = g(x)df (x) + g(x)df (x). Si può dimoste che se l funzione g è continu e limitt, llo esiste il suo integle di Riemnn-Stieltjes ispetto ll funzione F si esteso d intevlli finiti che infiniti. Dimo o un poposizione (senz dim.) che isult pticolmente utile nell tttzione dei poblemi di clcolo delle pobbilità. Poposizione 5.2. Si F : [, b] R un funzione monoton non decescente e si g(x) un funzione continu o vizione limitt in [, b]. i) Se F mmette deivt continu f(x), isult g(x)df (x) = g(x)f(x)dx. ii) Se F è un funzione gdini con discontinuità nei punti x i con i = 1, 2, e coispondenti slti F i, si h g(x)df (x) = i g(x i )F i. iii) Se F è in pte deivbile e in pte discontinu, con discontinuità numebile nei punti x i pe i = 1, 2,... e coispondenti slti F i, si h g(x)df (x) = g(x)df (x) + g(x i )F i I i dove I ppesent l unione degli intevlli in cui F è deivbile, mente l somm è estes tutti i punti di discontinuità nell intevllo [, b]. Occoe pecise che, nel definie l intevllo di integzione pe l integle di Stieltjes, bisogn indice se si includono o meno i punti estemi. Inftti n g(x)df (x) = lim g(ε i )[F (x i ) F (x i 1 )] n n 1 = lim g(ε i )[F (x i ) F (x i 1 )] + n = g(x)df (x) + g(b)[f (b) F (b )], lim g(ε n)[f (b) F (x i 1 )] x n 1 x n=b dove il simbolo b indic che b è escluso dll intevllo di integzione. Anlogmente isult g(x)df (x) = g(x)df (x) + g()[f ( + ) F ()],

8 8 E. DI NARDO dove + indic che l intevllo di integzione è (, b]. D o in poi ssumeemo che l estemo desto dell intevllo è incluso nell intevllo di integzione mente quello sinisto è escluso. Tle convenzione consente di scivee df (x) = F (b) F (). Gzie ll integle di Stieltjes, se F (x) = 1 F 1 (x) + 2 F 2 (x) è un mistu di due funzioni di iptizione, l pim discet e l second ssolutmente continu, llo P (X B) = df (x) = 1 df 1 (x) + 2 df 2 (x) = 1 p + 2 f 2 (x). B B B x B 6. Decomposizione dell funzione di iptizione L funzione di iptizione è un funzione vizione limitt, in qunto non ssume vloi supeioi 1. Ogni funzione vizione limitt si può decompoe nell somm di un funzione di slto H e un funzione continu vizione limitt, cioè F = H + ϕ. Si ϕ un funzione continu vizione limitt, m non ssolutmente continu e si φ(x) = x ϕ (t)dt l su pimitiv. L diffeenz χ = ϕ φ è un funzione vizione limitt m con deivt null qusi ovunque. Un funzione continu vizione limitt si dice singole se l su deivt è qusi ovunque null. Vle llo l seguente poposizione. Poposizione 6.1. Ogni funzione vizione limitt può essee ppesentt come somm di te componenti F = H+φ+χ che sono ispettivmente un funzione di slto, un ssolutmente continu e un singole. Tli funzioni possono nche essee peste ispetto dei coefficienti tli che 1, 2, 3 0 e = 1. F = 1 H + 2 φ + 3 χ B