Introduzione alla probabilità

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1 Introduzione alla probabilità Osservazione e studio dei fenomeni naturali: a. Caso deterministico: l osservazione fornisce sempre lo stesso risultato. b. Caso stocastico o aleatorio: l osservazione fornisce ogni volta un risultato differente. Lo studio della probabilità e della statistica si occupa di fenomeni aleatori.

2 Definizioni e terminologia Spazio campionario o dei casi: insieme di tutti i possibili valori che può assumere il risultato di un fenomeno aleatorio. E anche detto insieme fondamentale o universo. E denotato da Ω e può essere finito, infinito numerabile o infinito non numerabile. Evento: particolare combinazione dei possibili risultati di un fenomeno aleatorio: è denotato con Ω.

3 Evento elementare: evento costituito da un solo elemento dello spazio campionario: ={ω i } se Ω={ω 1, ω 2,,, ω n, } Probabilità: valutazione quantitativa della possibilità di ottenere un determinato evento dello spazio campionario. Prova: insieme delle operazioni che portano alla realizzazione dell evento. Esperimento: insieme di prove. Campione: risultato di un esperimento costituito da un numero finito di prove. Popolazione: risultato di un numero di prove che può essere finito o infinito ma che esaurisce tutti gli eventi dello spazio campionario.

4 Definizione del concetto di probabilità Probabilità soggettiva: grado di convinzione soggettiva (in inglese degree of belief) circa il verificarsi di un evento. Viene utilizzata nell ambito dell approccio bayesiano. Probabilità deduttiva: definizione di probabilità data in ambito più strettamente matematico: Probabilità a priori o classica. Probabilità frequentista.

5 Probabilità a priori o classica Se n è il numero totale di casi dello spazio campionario per un fenomeno aleatorio ed n è il numero di casi favorevoli al verificarsi dell evento, purchè tutti i casi siano ugualmente possibili, la probabilità a priori è data dal rapporto del numero di casi favorevoli sul numero di casi possibili: P( ) = n n

6 Critica di circolarità: Tutti i casi ugualmente possibili Tutti i casi equiprobabili. Giustificata in base al principio di indifferenza: Se non si hanno particolari ragioni per ritenere che I diversi casi elementari debbano essere trattati in modo differente, essi dovranno essere considerati tutti equiprobabili. mbito: viene applicata nello studio di fenomeni aleatori legati ai giochi d azzardo.

7 Probabilità frequentista Indichiamo con n il numero di prove in cui in un esperimento si è verificato l evento su un totale di n prove. llora la probabilità di sarà data da P( ) = lim n n n Il limite che compare in questa definizione non va inteso in senso matematico ma in senso sperimentale: occorre aumentare sempre più il numero di prove.

8 n Il termine rappresenta la frequenza relativa n dell evento. Essendo irrealizzabile un numero infinito di prove, si conclude che la frequenza relativa dell evento approssima sempre meglio la probabilità di all aumentare del numero n delle prove. mbito: viene applicata nelle scienze sperimentali quando non è applicabile la definizione di probabilità a priori. L evento deve essere ripetibile nelle stesse condizioni.

9 Frequenza con cui si presenta la faccia testa al crescere del numero dei lanci di una moneta

10 Probabilità assiomatica Nella sua accezione più generale la probabilità rappresenta una misura della possibilità di realizzazione di un evento Ω. Il modo in cui vengono determinati i valori di probabilità dipendono fortemente dalla natura del fenomeno aleatorio studiato. In qualunque modo venga valutata la probabilità, essa gode di alcune proprietà che possono essere formalizzate utilizzando il linguaggio della matematica e, più in particolare il linguaggio degli insiemi. Questa formalizzazione è detta probabilità assiomatica.

11 Corrispondenza tra significato insiemistico e significato probabilistico Notazione Significato insiemistico Significato probabilistico Ω Insieme totale Spazio campionario ω Elemento di Ω Risultato di una prova Sottoinsieme di Ω Evento Insieme vuoto Evento impossibile Ω Insieme totale Evento certo B B Insieme degli elementi di Ω non appartenenti ad : ω ω Unione: ω B ω oppure ω B Intersezione: ω B ω ed ω B Evento contrario L evento si realizza se si realizzano gli eventi oppure B oppure entrambi L evento si realizza se si realizzano gli eventi e B contemporaneamente

12 Corrispondenza tra significato insiemistico e significato probabilistico Notazione Significato insiemistico Significato probabilistico B B B = Elementi di non appartenenti a B: ω ma ω B sottoinsieme di B e B hanno intersezione vuota Si realizza l evento ma non l evento B L evento implica l evento B Gli eventi e B sono mutuamente esclusivi o incompatibili o disgiunti

13 Definizioni e proprietà Si dice che due eventi e B sono mutuamente esclusivi o incompatibili o disgiunti se, quando si realizza non si realizza B e viceversa, cioè se e B non si realizzano contemporaneamente: B= Si dice che l evento implica l evento B se, ogni volta che si realizza, si realizza anche B: B Si chiama partizione di Ω l insieme di tutte le famiglie finite e numerabili di eventi 1, 2,, n e mutuamente esclusivi a due a due tali che 1 2 n = Ω

14 Valgono ovviamente tutte le proprietà degli insiemi: a. Distributività: (B C) = ( B) ( C) (B C) = ( B) ( C) b. Leggi di De Morgan: B B = B B = = B B = B B =

15 Definizione assiomatica di probabilità di Kolmogorov Una probabilità P() su uno spazio campionario Ω è una funzione P definita su un generico sottoinsieme che soddisfi i seguenti assiomi: 1. 0 P() 1 Ω 2. P(Ω) = 1 3. Per ogni famiglia 1, 2,, n di eventi mutuamente esclusivi si ha (additività finita) P( n U i= 1 i n ) = P( i ) i 1 se i j = i j

16 Questi primi tre assiomi sono sufficienti per definire la probabilità se Ω è finito. Il terzo assioma può essere esteso ad una serie infinita purché numerabile di eventi mutuamente esclusivi (additività numerabile). Uno spazio campionario Ω con una leggi di probabilità P è detto uno spazio di probabilità o probabilistico ed è indicato con (Ω,P).