Trattamento delle Osservazioni

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1 Unverstà d Bresca - Corso d Topografa A Trattamento delle Osservazon Generaltà Scopo: descrzone d fenomen; Metodologa: elaborazone d modell e dotazone d strument per verfcare l grado d approssmazone d tale elaborazone. MODELLI: VERIFICA: relazon matematche fra grandezze, che descrvano e prevedano l fenomeno; medante nterrogazone della realtà fsca, coè msurando grandezze. Msura d grandezze Non è mmedato decdere se un valore attrbuto ad una certa grandezza (lunghezza, qualtà d un processo produttvo, ntellgenza) s possa defnre msura d quella grandezza. E qund ovvo dover affermare che l concetto d msura non può prescndere dalla consderazone delle caratterstche dello strumento d msura, dalle sue nterazon con l'ambente e dalla defnzone d un modello per la grandezza stessa. Incertezza d msura Osservazone spermentale che la rpetzone della msura d una medesma grandezza n talune condzon porta a rsultat dvers. Esempo Msura della lunghezza d una trave rettlnea, d dvers metr. La varabltà de rsultat dpende almeno da due cause: a) l rporto dello zero dello strumento; b) la stma della tacca della graduazone mllmetrca a cu corrsponde l'estemo della trave. Testo coordnato da Prof. Gorgo Vassena 1

2 Unverstà d Bresca - Corso d Topografa A In ogn rpetzone del processo rport e la stma sono soggett a fluttuazon accdental che generano pccole varazon nel valore fnale stmato della lunghezza. In generale s nota che: la dscordanza fra le rpetzon della msura cresce con l numero de rport; se la lunghezza della trave fosse nferore al metro, la dscordanza sarebbe al pù d 1 mllmetro. In conclusone, qualsas strumento/metodo d msura ha una propra ncertezza, che s evdenza quando le condzon d msura (es. la necesstà del rporto) ntroducono un rumore superore alla sensbltà dello strumento e quando s usa uno strumento a lmt della sua sensbltà (es. volendo stmare l decmo d mllmetro con una rga mllmetrata).. l rsultato d un'operazone d msura è dato dall'assocazone del valore numerco della grandezza msurata con la valutazone dell'ncertezza con cu tale valore è stato rcavato. Oltre alle cause accdental, esstono cause sstematche d'errore, legate al modello mpegato per descrvere l fenomeno. Approssmazone del modello Descrvere matematcamente un fenomeno fsco comporta la defnzone d un modello con un certo grado d semplfcazone. Il modello deve essere: a) l pù semplce possble (es.: non dpendente da tropp parametr); b) complcato quanto necessaro, n relazone alla approssmazone che s rchede a valor predett dal modello stesso. Nel modello sono present due component, quella funzonale e quella stocastca, strettamente connesse. Componente funzonale: descrve analtcamente la relazone fra la grandezza osservable e parametr ad essa collegat. Componente stocastca: è legata al complesso delle cause accdental d varabltà del valore osservato non ncluse esplctamente nel modello funzonale, o perché sfuggono alla modellzzazone analtca, o perché troppo complesse per decdere d modellzzarle analtcamente. Testo coordnato da Prof. Gorgo Vassena 2

3 Unverstà d Bresca - Corso d Topografa A Esempo Msura della dstanza pana L con una rotella metrca centmetrata lunga 50 m. Sa a = kg -1 l coeffcente d allungamento del materale della rotella a cu vene applcata una tensone d F = 5 kg. Sa b = 10-5 C -1 l coeffcente d dlatazone termca della rotella e la temperatura ambente par a DT = 20 C. Le varazon d lunghezza corrspondent saranno: DL1 = a F L = = 1.25 cm DL2 = b DT L = = 1.00 cm E' evdente che se voglo msurare con un ncertezza dell'ordne del cm devo correggere valor msurat Loss della quanttà DL. DL = DL1+ DL2 => Loss = L (1- a F - b DT) Modello Funzonale Il modello funzonale contene n questo caso due effett sstematc, lnear ne parametr F e DT, attraverso coeffccent a e b. Se opero n condzon ambental stabl, la caratterstca d quest error è che posso prevederne l'enttà, perché l ho descrtt analtcamente. Se non lo facco, la loro presenza denota una nadeguatezza del modello. Se eseguo pù msure n condzon ambental nstabl (varazone "accdentale" della forza applcata e della temperatura) ottengo una maggore dspersone de rsultat e le due cause d'errore assumono, se non corrette, un comportamento d tpo accdentale. La dstnzone tra errore sstematco e errore accdentale, qund, pur netta concettualmente, non sempre è unvoca n pratca. I fenomen aleator Sono dett tal gl event l cu esto non è possble prevedere a pror (lanco d un dado, estrazone d una carta, msura d una lunghezza). Per quanto ncapac d prevederne con esattezza l rsultato, samo però n grado d evdenzare delle regolartà, d descrvere un comportamento "n meda", d assegnare delle probabltà agl event. Ne derva un approcco d tpo probablstco, n cu le oscllazon de valor osservat sono rappresentabl come estrazon d una varable casuale. La descrzone e l'nterpretazone de fenomen aleator sono oggetto d studo della teora della probabltà e della statstca. Teora della probabltà Essenzalmente deduttva, nsegna a costrure la probabltà d event compless a partre da un modello stocastco noto. Testo coordnato da Prof. Gorgo Vassena 3

4 Unverstà d Bresca - Corso d Topografa A Statstca D tpo nduttvo, s occupa d rcostrure un modello stocastco a partre da event gà realzzat. S artcola n: Teora della stma (la rcerca della mglor stratega d nterrogazone della realtà per estrarre nformazon sul fenomeno) e Inferenza (la verfca d potes sul modello nterpretatvo sulla base d dat estratt dal fenomeno). Varabl aleatore Quando s assoca ad ogn punto dello spazo campone un valore numerco: lo spazo campone - dventa l nseme de numer e prende l nome d varable aleatora. La realzzazone d un evento corrsponde ora all assegnazone d un valore (tra possbl) alla varable aleatora; tale valore prescelto prende dunque l nome d realzzazone della v.a. Dstnguamo noltre tra varabl aleatore dscrete e contnue, a seconda se la grandezza che descrvono abba valor numerabl o contnu. La caratterzzazone della varable aleatora avvene attraverso le 2 funzon d denstà d probabltà e d dstrbuzone d probabltà. I parametr statstc Sono ndc sntetc che rassumono fedelmente le nformazon contenute n una sere d dat raccolt su una popolazone, data l'nopportuntà d mantenere tutte le msure acquste (per ragon d charezza e anche per dffcoltà pratca). Un parametro statstco è tanto pù effcace quanto meglo rassume l contenuto nformatvo de dat con la mnor perdta d nformazon e quanto meglo s presta a calcol e test. Parametr statstc effcac: la meda artmetca e la varanza o la devazone standard. La meda La meda artmetca è l valore centrale attorno a cu s dstrbuscono dat. µ = X f dove f sono le frequenze relatve degl N valor argomental X. Contene solo una parte dell'nformazone su dat, non affermando nulla sulla Testo coordnato da Prof. Gorgo Vassena 4

5 Unverstà d Bresca - Corso d Topografa A dstrbuzone de dat ntorno ad essa. Esempo S calcol la meda delle 3 sere d msure: 1a) 99; 100; 101; Ø meda = 2a) 50; 100; 150; Ø meda = 3a) 0.1; 100; 199.9; Ø meda = La meda è un parametro sgnfcatvo per confrontare le tre sere? S consderno ora le seguent 3 sere: 1b) 107; 105; 103; Ø meda = 2b) 51; 110; 154; Ø meda = 3b) 0.1; 115; 199.9; Ø meda = La dfferenza delle mede tra le nuove sere e le precedent ha sempre sgnfcato? La varanza e la devazone standard La varanza s 2 s defnsce matematcamente come: 2 = 2 ( X µ) f La devazone standard s è la sua radce quadrata. Esempo Valor X [m] Scart X - m = x [m] Quadrat degl scart: µ = ; Numerostà = N = 6; s 2 = ; = In aggunta s defnscono l coeffcente d varazone della meda m = N Nell esempo precedente C.V. = = µ C.V. = e l'errore standard µ Testo coordnato da Prof. Gorgo Vassena 5

6 Unverstà d Bresca - Corso d Topografa A m = = N Il coeffcente d varazone s esprme n %: % Perché l denomnatore d s 2 contene (N-1) e non N? La sere X del nostro esempo contene 6 msure ndpendent fra loro. S dce che la sere d N valor ha N grad d lbertà. I grad d lbertà sono la dfferenza tra l numero d dat dsponbl e l numero d relazon che l vncolano. Se consderamo la sere x degl scart, l'ndpendenza s conserva per N-1 element; quello rmanente s può determnare a partre da prm 5 valor perché la somma algebrca degl scart deve essere uguale a zero, come dmostrato nella formula seguente (tenendo conto che la somma delle frequenze relatve è par all untà) ( X µ ) f = X f + µ f = µ µ f = µ µ = 0 Qund grad d lbertà sono N-1 e non N. Altr parametr statstc, comunemente mpegat sono seguent: Indc d poszone: - Moda o Ascssa del punto d massmo della dstrbuzone - Medana o La medana M d un nseme d n dat ordnat n ordne d grandezza crescente è l valore centrale de dat, se l numero d dat è dspar, o la meda artmetca de due valor central, se l numero de dat è par. Questa defnzone della medana asscura che lo stesso numero d dat cade sa a snstra che a destra della medana stessa. L'uso della medana come ndce per descrvere le caratterstche de dat ha lo svantaggo d dover prma rordnare dat n ordne crescente, l che non è rchesto per l calcolo della meda. Testo coordnato da Prof. Gorgo Vassena 6

7 Unverstà d Bresca - Corso d Topografa A Indc d dspersone: - Intervallo d varazone (o range) o defnto come la dfferenza tra la pù pccola e la pù grande delle msure, pur semplce e ntutvo, è nadeguato. Poco robusto (sensble agl error grossolan) e molto nstable (perché legato a valor estrem, maggormente nfluenzat dalle oscllazon accdental). - Devazone meda o scarto medo o E la dfferenza fra un generco valore della sere ed l valore medo. Lo scarto medo s ottene facendo la meda de valor assolut degl scart. 1 n n 1 x - µ Indc d forma: - Indce d asmmetra (Skewness) o L'asmmetra msura quanto dat sono dstrbut da un lato della dstrbuzone rspetto alla meda artmetca, coe' se da un lato sono tutt molto vcn e dall'altro molto dstes verso valor lontan dalla meda. La skewness assume valore 0 se c e' smmetra, presenta valor < 0 con asmmetra negatva, coe' quando la moda e' spostata verso valor massm della dstrbuzone ed e' > 0 se la moda e' spostata verso l'estremo nferore della dstrbuzone (asmmetra postva). ( 3 X µ ) f 3 - Indce d Curtos o Msura l grado d appattmento, coe' msura la concentrazone o dspersone de dat attorno al valore centrale. La Curtos assume valore 0 se la dstrbuzone e' mesocurtca (come la dstrbuzone Normale tratta n seguto). o Con valor < -3 la dstrbuzone e' detta platcurtca e presenta una forma appattta con valor maggormente concentrat nelle code, per Curtos > 3 la dstrbuzone e' leptocurtca con pcco accentuato dato dalla Testo coordnato da Prof. Gorgo Vassena 7

8 Unverstà d Bresca - Corso d Topografa A concentrazone de dat ntorno al valore massmo. ( 4 X µ ) f 4 Campone d una popolazone Il metodo della statstca è d tpo nduttvo: s traggono concluson general da dat partcolar. Problema: fno a che punto l campone esprme le caratterstche della popolazone orgnara? L nduzone è garantta? L'esperenza ha dmostrato che la maggor parte delle msurazon può consderars estratta da popolazon dstrbute normalmente. Una dstrbuzone normale, o d Gauss ha una espressone matematca defnta (Karl Fredrch Gauss descrsse la dstrbuzone Normale studando l moto de corp celest [ funzone d sol due parametr: l'ascssa della sua sommtà (valor medo m) e l'ascssa de punt d flesso (devazone standard, ±s). Fgura 1 - Funzone d denstà d probabltà della varable casuale normale (fonte Wkpeda). Testo coordnato da Prof. Gorgo Vassena 8

9 Unverstà d Bresca - Corso d Topografa A In essa, uno de valor compare con frequenza massma e valor nferor e superor compaono con una frequenza tanto mnore quanto pù lontan dal valore pù frequente. La curva ha forma a campana ed è smmetrca rspetto al valore d massma frequenza. La curva è asntotca. Tutt gl ndvdu della popolazone stanno sotto la curva tra - e + ; la probabltà che un ndvduo preso a caso fra la popolazone present un valore compreso entro un ntervallo assegnato è data dal calcolo dell'area sottesa dalla curva n quell'ntervallo. Il 68.26% della popolazone s trova nell'ntervallo m± s, l 94.44% nell'ntervallo m±2s, l 99.73% nell'ntervallo m±3s, l 100% fra - e +. La meda artmetca X del campone è la mglore stma della meda m della popolazone. La devazone standard s del campone è la mglore stma della devazone standard s della popolazone. Immagnamo ora d estrarre dalla medesma popolazone (dstrbuta normalmente con meda m e devazone standard s) pù campon analogh a quello del nostro esempo, con la stessa numerostà (N=6). Per ogn k-esmo campone otterremmo dverse mede X k e devazon standard s k. Potendo estrarre un numero nfnto d campon, le mede X k (una popolazone d mede) s dstrburebbero secondo una gaussana d meda m (quella della popolazone d partenza) e devazone standard m = (errore N standard della meda) [TEOREMA FONDAMENTALE].. Le mede calcolate a partre da un campone oscllano meno attorno alla meda d quanto non faccano gl ndvdu del campone. E questo è vero tanto pù quanto pù numeroso è l campone. Al lmte, per N, la devazone standard tende a zero e qund la meda stmata tende alla meda vera. La propagazone dell errore Meda e varanza d una varable casuale monodmensonale ne rappresentano Testo coordnato da Prof. Gorgo Vassena 9

10 Unverstà d Bresca - Corso d Topografa A rspettvamente l barcentro e la dspersone. In topografa capta però raramente d msurare drettamente la quanttà che s vuole determnare: s msurano angol azmutal, angol zental, dstanze, dslvell per determnare coordnate. S deve allora essere n grado d determnare meda e varanza d varabl casual che sano funzone d altre varabl casual. Le caratterstche d aleatoretà delle quanttà msurate ndrettamente dpendono dalla statstca delle quanttà msurate drettamente, d cu le prme sono funzone. 1 Caso: funzon lnear o non lnear d grandezze osservate ndpendent Sa f una funzone lneare nelle grandezze X, Y, Z,... ndpendent e drettamente msurabl: f ( X, Y, Z, ) = ax + by + cz +... Estraendo n sere { Xk, Yk, Zk,...} (per k=1,...,n) l corrspondente valore d f sarà: f k = f (X k, Y k, Z k,...)= ax k + by k + cz k +... k = 1,..., n Sottraendo membro a membro ogn f k alla f, s ottene: f - f k = a (X - X k) + b (Y - Y k ) + c (Z - Z k ) +... k = 1,..., n coè l'errore ndotto n f dalla sere k-esma, dovuto agl error d msura: ek = ax k + by k + cz k +... k = 1,..., n avendo posto: Quadrando l'espressone e k e sommando membro a membro quadrat k : Testo coordnato da Prof. Gorgo Vassena 10

11 Unverstà d Bresca - Corso d Topografa A Le somme mste nelle varabl, dovute a dopp prodott, al crescere d n, tendono a zero, perché n presenza d sol error accdental - la frequenza d termn postv e negatv tende a lvellars; qund, per n grande, s ha: e, dvdendo per n ogn termne, s ottengono gl error med: E qund la E per una funzone f non lneare n X, Y, Z,...? S ottene un rsultato analogo lnearzzando la funzone f medante svluppo n sere d Taylor arrestato al prmo ordne attorno a valor osservat { Xk, Yk, Zk,...}. Fgura 2 - Approssmazone n lnearzzazone d una funzone (fonte: Lorenzo Ro Element d teora degl error) I coeffcent a 2, b 2, c 2,... saranno quadrat delle dervate parzal d f rspetto alle grandezze osservabl X, Y, Z,... calcolate per un valore approssmato. Testo coordnato da Prof. Gorgo Vassena 11

12 Unverstà d Bresca - Corso d Topografa A Infatt: 2 Caso: funzon lnear o non lnear d grandezze osservate dpendent Se le grandezze X, Y, Z,... non sono tra loro ndpendent, non è pù possble affermare che termn mst tendano a zero al crescere d n. Osservando che tal sommatore corrspondono alla somma del prodotto degl scart n k = 1 x k y k e, dvdendo tutto per n, alla meda del prodotto degl scart M(xy), s ha rspettvamente, per l caso lneare: e per l caso non lneare: S può dmostrare che l'espressone M(xy) è equvalente al prodotto delle devazon standard sx sy per un coeffcente r xy, detto coeffcente d correlazone lneare. Il COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE r xy msura l grado d dpendenza lneare fra le varabl; vara tra -1 e +1. La matrce d varanza-covaranza Immagnamo d avere una varable casuale Y funzone d un vettore X d varabl casual. 1) Se la funzone Y è lneare s può dre: Y=AX+b. Data la lneartà della meda s ha MY=A MX+b e qund, sottraendo: Y-MY=A(X-MX) Testo coordnato da Prof. Gorgo Vassena 12

13 Unverstà d Bresca - Corso d Topografa A che è lo scarto della varable casuale Y. La covaranza d Y è l momento del 2 ordne, l cu termne generco vale c k =M[(x -Mx )(x k -Mx k )] dove: per =k varanza della componente k-esma per k covaranza delle componente, k; e n notazone matrcale dvene: C YY =M[(Y-MY)(Y MY) T ]=M{[A (X-MX)] [(X MX) T A T ]} e, graze alla lneartà della meda, C YY =A M[(X-MX) (X MX) T ] A T = A C XX A T che è la legge d propagazone della varanza per funzon lnear. S not che, per Y = scalare (A = vettore), s avrà: C YY = s 2 Y = A C XX A = a a dove, se c k =0 per k, le component X sono ndpendent e s può dre C YY = s 2 Y = A C XX A T 2 = a c = k c k a 2 2 X 2) Se la funzone Y non è lneare nelle component X s può comunque dre: Y = g(x) g(mx)+[ X g(x)] MX (X-MX) e, avendo lnearzzato, s può affermare che: C YY A C XX A T = [ X g(x)] MX C XX [ X g(x)] MX T = J X C XX J X T Testo coordnato da Prof. Gorgo Vassena 13

14 Unverstà d Bresca - Corso d Topografa A dove J X è Jacobano della varable X. Se Y è uno scalare: s 2 Y= [ X g(x)] [ X g(x)] k c k Testo coordnato da Prof. Gorgo Vassena 14