Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati II Semestre 2005/2006. Riassunto sui dizionari

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1 Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati II Semestre 2005/2006 Alberi di Ricerca Bilanciati Marco Antoniotti Riassunto sui dizionari Dizionario: astrazione di collezioni <chiave, valore> Operazioni fondamentali Insert Search Delete BSTs randomizzati esplicitamente O() tempo per operazione A meno di non essere estremamente (e ridicolmente) sfortunati Si memorizza la dimensione del sottoalbero radicato in ogni nodo Si generano dei numeri casuali ad ogni operazione di inserimento Alberi bilanciati esplicitamente Trees Red-Black trees B-trees (cenni) II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti /23

2 Alberi Uno schema per mantenere l albero bilanciato durante inserimenti e rimozioni Si può generalizzare a chiavi multiple Ogni nodo interno (più la radice) può avere 2, 3, o 4 figli 2-nodo: una chiave, due figli 3-nodo: due chiavi, tre figli 4-nodo: tre chiavi, quattro figli II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 2/23 Alberi 2-3-4: inserimento e ricerca Search Confronta la chiave da ricercare con le chiavi nel nodo Trova l intervallo che contiene la chiave di ricerca Segui il link associato e ricorri Inserimento Cerca la chiave da inserire fino in fondo (si assumono chiavi distinte) e trova il nodo dove va inserita Se la chiave va inserita in un 2-nodo: trasformalo in un 3- nodo 3-nodo: trasformalo in un 4-nodo 4-nodo:???? II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 3/23 2

3 Divisione (split) di un 4-nodo durante la ricerca Idea: si trasforma l albero mentre si discende Si assicura che il nodo finale (in cui bisogna inserire la chiave) non sia un 4-nodo Per dividere un 4-nodo si usano solo operazioni locali Invariante: Una delle operazioni qui sopra va applicata al prossimo nodo L inserimento alla foglia è semplice, perchè il nodo è un 2- od un 3-nodo II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 4/23 Divisione di un 4-nodo Si muove la chiave di mezzo in su II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 5/23 3

4 Crescita di un albero L albero cresce dal basso verso l alto II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 6/23 Bilanciamento in un albero Proprietà: tutti i cammini dalla radice ad una foglia hanno la stessa altezza Altezza dell albero Caso peggiore: tutti 2-nodi, Caso migliore: tutti 4-nodi, log 4 () = /2 Tra 0 e 20 per un milione di nodi Tra 5 e 30 per un miliardo di nodi ota: le analisi di complessità per i nodi non tengono conto dei confronti intra-nodo II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 7/23 4

5 Alberi 2-3-4: implementazione? L implementazione diretta degli alberi è piuttosto complicata a causa della casistica da tener presente durante le operazioni Tre tipi di nodi Come implementiamo getchild? Casistica per l operazione split // ota: il codice seguente va considerato come // pseudo-codice. ode234* insert(ode234* h, Key k, Value v) { ode234* x = h; ode234* p; while (x!= null) { p = x; x = x->getchild(k); if (x->is4ode()) x->split(); } // Ora possiamo inserire if (p->is2ode()) p->changeto3ode(k, v); else (p->is3ode()) p->changeto4ode(k, v); } II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 8/23 Alberi Red-Black Gli alberi possono essere interpretati direttamente come degli alberi binari particolari: gli alberi red-black Vantaggi Sono alberi binari bilanciati, quindi l operazione di search è uguale a quella dei BSTs Le trasformazioni che li mantengono bilanciati sono facilmente interpretabili come operazioni su alberi II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 9/23 5

6 Alberi Red-Black Rappresentazione di un albero come un albero red-black Si usano degli archi interni colorati di rosso per rappresentare i 3- e 4-nodi Conseguenza? Corrispondenza tra alberi e alberi red-black on - perchè i 3-nodi possono essere rappresentati in due modi II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 0/23 Divisione di 4-nodi: versione con alberi red-black Due casi semplici: si scambia semplicemnte il colore degli archi Due casi più complicati: si usano le rotazioni Una rotazione Due rotazioni II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti /23 6

7 Inserimento in un albero red-black Esempio Inserimento di G Cambio colori Rotazione a destra di R Rotazione a sinistra di E II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 2/23 Costruzione di un albero red-black II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 3/23 7

8 Bilanciamento in un albero red-black Proprietà: la lunghezza del cammino più lungo dalla radice ad una foglia è al più il doppio del cammino più corto Altezza dell albero nel caso peggiore: 2 ota: tutti i confronti sono contati II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 4/23 Dizionari a confronto Caso peggiore Caso medio Implementazione Search Insert Delete Search Insert Delete Array ordinato /2 /2 Lista non ordinata /2 Hash Table * * * Randomized BST ** ** ** ** ** ** Red-Black BST II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 5/23 8

9 Alberi Red-Black in pratica Alberi Red-Black rispetto ad Hash Tables Il codice delle Hash Table è di solito più semplice e più veloce Si usa l aritmentica invece del confronto Le prestazioni delle hash tables hanno in genere meno garanzie I BSTs (red black) sono più flessibili e permettono più facilmente l implementazione di operazioni extra Gli alberi Red-Black sono usati spesso come strutture dati di libreria TreeMap e TreeSet in Java map, multimap e multiset nella STL C++ II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 6/23 Esempio C++ La Standard Template Library (o perlomeno alcune sue implementazioni) di C++ usa gli alberi milanisti per degli array associativi chiamati map Esempio #include <map> #include <string> #include <iostream> using namespace std; int main() { map<string, string> st; st[" = " "; st[" = " "; cout << st[" << endl << st[" << endl << st["foo"] << endl; } II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 7/23 9

10 B-Trees I B-trees generalizzano gli alberi permettendo ad ogni nodo di avere fino ad M figli Applicazione principale: File Systems e/o Basi di Dati Leggere una pagina di un file system in memoria è un operazione costosa Una volta in memoria, accedere al contenuto di una pagina è praticamente gratis Obiettivo: minimizzare il numero di pagine lette da FS Dimensioni di un nodo pari alla dimensione di una pagina di file system (definita, di solito, dal sistema operativo e/o dal (sotto)sistema di file system) Analisi costi/benefici Se la dimensione M di una pagina è grande allora ci sono pochi livelli nell albero Se M è piccolo allora si spreca meno spazio Typicamente M = 000, < 0 2 Risultato: il numero di accessi ad una pagina è log M () per operazione In pratica 3 o 4 II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 8/23 Esempio di un B-tree II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 9/23 0

11 Esempio di un B-tree (cont) II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 20/23 Sommario delle prestazioni di Dizionari Caso peggiore Caso medio Implementazione Search Insert Delete Search Insert Delete Array ordinato /2 /2 Lista non ordinata /2 Hash Table * * * Randomized BST ** ** ** ** ** ** Red-Black BST Splay B-trees Per i B-trees si intende il numero di accessi a pagine su FS on abbiamo visto gli Splay Trees Vedremo le hash tables successivamente II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 2/23

12 I B-tree in atura File systems Windows: HPFS Mac: HFS, HFS+ Linux: ReiserFS, XFS, Ext3FS, JFS (journaling) Basi di Dati I B-trees sono il sistema più comune di indicizzazione per basi di dati Oracle, DB2, Ingres, PostgresSQL, Verificare MySQL!!! Varianti B-trees: Bayer-McCreight, 972 B+ trees: tutti i dati nei nodi esterni B* trees: mantiene le pagine fino a che non sono piene a 2/3 R trees: variante multidimensionale usata per applicazioni spaziali (GIS, VLSI etc etc) II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 22/23 Sommario Implementazioni di Dizionari con garanzia logaritmica sulle varie operazioni Garanzia probabilistica: BST randomizzato esplicitamente Garanzia ammortizzata: Splay tree Garanzia deterministica: Red-Black trees Tutti gli algoritmi sono una variazione sul tema: rotazioni durante l inserimento L astrazione si estende anche ad applicazioni per file di grandissime dimensioni: B trees II Semestre 2005/2006 Laboratorio Algoritmi - Marco Antoniotti 23/23 2