Fibonacci s project. La matematica che non si vede. Marco Moscatelli

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1 Fibonacci s project La matematica che non si vede Marco Moscatelli

2 Quale di questi rettangoli è il più bello? Test dei rettangoli

3 Test dei rettangoli Nel rettangolo che avete scelto, ci guardereste un film? Sono stati mostrati questi rettangoli a 1000 persone, chiedendo loro di scegliere, quali fra i rettangoli in figura, fosse il loro preferito. Il test è stato poi ripetuto diverse e diverse volte e alla fine vince sempre questo rettangolo. Ma, perchè proprio questo rettangolo? Per ora accontentiamoci di sapere che alla maggior parte delle persone piace quel tipo di rettangolo.

4 Carta di credito, tv e iphone Tutti sapete cos'è un bancomat e o una carta di credito, un iphone e una tv. Partiamo dalla carta di credito. La carta di credito è un rettangolo, ma che rettangolo è? Se la guardiamo bene assomiglia tantissimo al rettangolo che piace maggiormente alle persone. Un caso? Può essere.

5 Carta di credito, tv e iphone Passiamo alla tv. Molti anni fa le tv erano rettangoli che assomigliavano più a quadrati, poi si sono sempre di più schiacciate assomigliando sempre di più a un rettangolo, fino ad arrivare alla famosa risoluzione 16:9, Conoscete tutti la risoluzione 16:9? 16:9 vuol dire che il rapporto tra il lato maggiore del rettangolo e quello minore si può ridurre a 16:9. Anche questo accontentiamoci di tenerlo lì per ora.

6 Carta di credito, tv e iphone Anche lo schermo dell iphone sembra avere delle caratteristiche particolari: - Assomiglia tantissimo al rettangolo di prima - Ha una risoluzione che si avvicina a 16:9

7 Uomo di Leonardo e Partenone L'avete mai visto l'uomo di Leonardo? E il partenone? Leonardo ha costruito il suo ideale di uomo perfetto dicendo: quest'uomo è perfetto, è bello! Il partenone è stato costruito in modo che fosse "bello ; con "bello" intendo una cosa che magari può non piacere, ma sicuramente se costruita in altro modo sarebbe piaciuta ancora meno. Ad esempio l uomo di leonardo con le braccia o le gambe più lunghe o il partenone con 3 pilastri in meno o 5 in più ecc

8 Relazione con la matematica Andiamo a vedere ora cosa c'entra la matematica in tutto questo. Semplicemente facendo delle divisioni ci accorgiamo che il rettangolo scelto dalla maggior parte delle persone ha un rapporto di circa 1,618, la carta di credito allo stesso modo, dividendo il lato maggiore con quello minore dà come risultato 1,585 (85,60 / 53,98). Il partenone? Dividendo i lati dei rettangoli del partenone si ottiene un numero che si avvicina a 1,618. Fermiamoci un secondo qui e diamo un senso a questi valori. Cosa c entra Fibonacci in tutto ciò? Nulla, più o meno. Fibonacci ha avuto il merito di scoprire la famosissima successione che parte così: 1,1 Il termine successivo è dato dalla somma dei due precedenti, cioè il terzo numero è 1+1=2, il quarto termine è 1+2=3 e così via... 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 ecc Che cos'ha di tanto particolare questa semplice successione? In realtà questa successione ha un sacco di particolarità, quella che mi interessa di più per ora è che se divido un qualsiasi termine della successione per il suo precedente ottengo un valore che si avvicina sempre di più al valore 1,618...

9 Relazione con la matematica Progressione: 1/1=1 2/1=1.5 5/3=1, /5=1,6 13/8=1,625 21/13=1, /21=1, /34=1, /55=1, /89=1, /144= 1, /233= 1, /288= 1, /322= 1, /377=1, /411= 1, /432= /466= /521= /555= /576=

10 Il rettangolo aureo Che cos è un rettangolo aureo? E come si costruisce? Un rettangolo aureo è un rettangolo tale che il rapporto tra i lati sia esattamente 1,618 Di seguito la semplice costruzione:

11 La sezione aurea Perché ci siamo fissati sul valore 1,618? La sezione aurea (o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina), nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due.

12 Alcune proprietà Di seguito, giocando un po con le operazioni matematiche, sono riportate alcune caratteristiche del numero aureo. Inoltre c è una relazione con il triangolo di Tartaglia: la somma delle diagonali è proprio la successione di Fibonacci. Relazione con il triangolo di Tartaglia

13 Alcune proprietà Se dividiamo qualsiasi numero per il secondo che lo precede nella sequenza, otterremo sempre due come risultato, e come resto il numero immediatamente precedente il divisore. Cioè, data la successione di Fibonacci Scelgo il 144 e lo divido per 2 numeri prima cioè /55=2 con il resto di 34 (il numero prima di 55) Scelgo il 610 e lo divido per 2 numeri prima cioè /233=2 con il resto di 144 (il numero prima di 233)

14 Alcune proprietà A partire da qualsiasi termine della successione, contandone 10, la somma di questi 10 termini è un multiplo di 11. Non solo, il risultato è 11 volte il settimo termine del pezzo di successione scelta Cioè, data la successione di Fibonacci Parto da 21 e quindi prendo i termini che vanno da 21 a 1597 e li sommo =4147=377*11 Oppure parto da 2 e quindi prendo i termini che vanno da 2 a 144 e li sommo =374=34*11

15 Alcune proprietà Prendendo qualsiasi quaterna consecutiva della successione di Fibonacci siamo in grado di ottenere una terna pitagorica (a,b,c). Prendiamo ad esempio la quaterna 5, 8, 13, 21 a si ottiene moltiplicando il primo termine per l ultimo: a=5*21=105 b si ottiene moltiplicando il secondo per il terzo per 2: a=2*8*13=208 c è il quadrato del secondo + il quadrato del terzo: a=8 2 *13 2 =233 (105,208,233) è una terna pitagorica, infatti = 233 2

16 Alcune proprietà Esiste un altra relazione con Pitagora. Prendendo 3 termini consecutivi della successione il prodotto del primo e dell ultimo differisce di uno dal quadrato del secondo. Cioè prendendo la terna (5,8,13) si ha che 5*13 = 65 e 8 2 = 64 (65 differisce di 1 da 64) Di seguito è riportato un giochino che sfrutta questa proprietà della successione di Fibonacci.

17 La spirale aurea Esistono infiniti tipi di spirali in natura ma molte assomigliano a quella aurea. Come viene costruita? Partendo da due quadrati di lato 1 costruisco un quadrato che ha lato la somma dei 2 quadrati precedenti, proprio come la successione di Fibonacci. A sinistra possiamo vedere la costruzione e a destra l esempio in natura.

18 Il Partenone Ecco un altro esempio di costruzione che si riconduce ai rettangoli aurei: La suddivisione in figura mostra come si può costruire la successione di Fibonacci per tutto il Partenone.

19 L uomo di Leonardo Ogni rapporto de L uomo di Leonardo è in rapporto aureo: altezza con altezza ombelico, braccio con avambraccio, avambraccio con mano, mano con dita ecc.

20 Fibonacci in musica Nel pianoforte viene dato particolare rilievo alla struttura della tastiera, in special modo con parallelismi fra i numeri di questa e quelli di Fibonacci. I tredici tasti delle ottave, distinti in otto bianchi e cinque neri, a loro volta divisi in gruppi da due e tre tasti ciascuno; 2, 3, 5, 8, 13 appartengono infatti tutti alla successione di Fibonacci, ma anche in questo caso, ancor più che nel precedente, si tratta di una coincidenza che non può neppure essere attribuita a una specifica volontà del costruttore, trattandosi di una soluzione motivata unicamente dall'evoluzione strutturale dello strumento. Inoltre numerando le note da 1 a 7 modulando i numeri maggiori di 7 si è scoperto che i primi 16 termini della successione danno una melodia ricorsiva.

21 Fibonacci in chimica Alcuni elementi chimici sono più stabili di altri, e tale maggiore stabilità chimica è connessa, tramite i numeri magici, alla successione di Fibonacci. La stabilità nucleare è il numero di nucleoni (cioè protoni o neutroni) per cui all'interno del nucleo atomico si formano livelli energetici completi. Tali numeri sono: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Ecco in seguito come la successione di Fibonacci ha a che fare anche con la chimica:

22 L angolo aureo b a Come per i segmenti esiste anche la proporzione aurea, o divina proporzione, per gli archi di una circonferenza; e perché no? A pensarci bene gli archi di una circonferenza non sono altro che linee curve e quindi possono essere rapportate tra loro. Chiamiamo l arco più corto a e l arco più lungo b e scriviamo la proporzione: a:b=b:2πr che diventa (per semplicità si pone r=1) a:b=b:2π Ponendo a=x si ha b=2π-x la proporzione diventa: x:(2π-x)=(2π-x):2π

23 L angolo aureo Con la proprietà delle proporzioni tali per cui il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi si ottiene Svolgendo i conti si ottiene: (2π-x) 2 =2πx X 2-6πx + 4π 2 = 0 Risolvendo si ottiene x=3π-π 5 (che per intenderci è il nostro a di partenza) E di conseguenza 2π-x= π 5 -π (che per intenderci è il nostro b di partenza) Se eseguo il rapporto b/a, dopo svariati conti, ottengo che b/a= che altro non è che il nostro numero aureo

24 L angolo aureo Non ci resta che calcolare quanto misura l angolo al centro dell arco a e per farlo basta impostare una semplicissima proporzione: 2π : 360 = 3π - π 5 : α Facendo un paio di conti si ottiene α = 137,51 Questo è l angolo aureo. Ovviamente anch esso impatta sui fenomeni naturali. Ad esempio osserviamo questa margherita:

25 L angolo aureo Apparentemente non dice nulla, ma se osservo attentamente scopro che sono disposti esattamente seguendo l angolo aureo: Il primo petalo con il secondo forma un angolo aureo, proseguendo in questo senso ottengo tutti i petali del fiore (che sono 21 non un numero a caso) e se osservo attentamente l angolo tra il 21-esimo petalo e il primo è ancora un angolo aureo.

26 La fillotassi La fillotassi studia il modo in cui le foglie e i rami si distribuiscono intorno al fusto. Le foglie si dispongono attorno al ramo in modo da ottenere più luce possibile. Osserviamo la figura sottostante: Prendiamo la pianticella a sinistra e notiamo che la prima e l ultima foglia sono nella stessa posizione, numeriamo quindi le foglie (partendo da 0) dalla prima fino a quella che si trova nella medesima posizione. Cosa notiamo? Il numero tra la prima e l ultima foglia differisce di 8 (anche stavolta non è un numero a caso).

27 La fillotassi Ma non fermiamoci a questo. Contiamo quanti giri hanno dovuto fare le foglie prima di tornare nella posizione iniziale: 5 giri (e anche stavolta il numero non è per niente a caso). Cosa c entra tutto ciò con l angolo aureo? Bhe 5 giri sono 5 volte 360, 5*360 =1800. Abbiamo a disposizione 8 foglie, 1800 /8=225 e =135 molto molto vicino all angolo aureo di 137,51.

28 Alcune curiosità Numeri e natura In un fiore il numero dei «sepali», dei «petali», degli «stami» e dei «carpelli» molto spesso riproduce una cifra appartenente alla successione numerica di Fibonacci, infatti osserviamo fiori con: - 3 petali come ad esempio gigli e iris; - 5 ranuncoli, rosa selvatica, larkspur, colombina, ciliegio; - 8 il delphinium; - 13 margherita, calendula, cineraria; - 21 margherita, astro, occhio nero, loto (susan, susanna), cicoria; - 34 margherita, piantaggine, pytethrum; - 55, 89 margherite, e specie della famiglia delle asteraceae.

29 Alcune curiosità Le spirali Osserviamo attentamente queste immagini: Il numero delle spirali in senso orario (rosse) è 8, mentre quello in senso antiorario è 13, 8 e 13 sono 2 numeri consecutivi della successione di Fibonacci.

30 Alcune curiosità Le spirali Nei girasoli vale lo stesso principio: il numero delle spirali in senso orario è 34, mentre quello in senso antiorario è 55, 34 e 55 è una coppia di numeri della successione di Fibonacci.

31 Alcune curiosità Le spirali Osservando le immagini possiamo notare come la galassia, la tromba d aria e la tromba d acqua riproducano in maniera abbastanza precisa la spirale aurea.

32 Conclusioni Cosa voglio dimostrare con questo: il bello, la bellezza delle cose non è governata da un numero, da un rapporto, da un qualcosa già scritto, ma è esattamente il contrario: io costruisco, disegno, immagino una cosa, la rendo bella e con una discreta percentuale queste cose belle si possono ricondurre alla successione di Fibonacci. è proprio questo il bello di tutta questa storia: non costruisco, immagino, disegno in base ad una legge prestabilita, ma immagino, disegno e creo e tutto o quasi si può ricondurre a quello. Molti di voi penseranno: si bhe quindi? Bhe quindi è un modo alternativo di farvi vedere come la matematica sta nelle cose quotidiane, nelle cose che viviamo, che la matematica non è solo fare 2+2 o risolvere un equazione o risolvere un problema senza sapere il perchè; la matematica ha un perché, dietro un equazione, un numero, o un problema, la matematica si riflette nelle più classiche azioni e cose di ogni giorno.

33 Conclusioni Si potrebbe stare a parlare giornate intere perché ci sono un sacco di esempi e un sacco di altre cose interessanti che coinvolgono Fibonacci e la sua successione ma per ora è meglio fermarsi qui. Spero di avervi passato un pochino di fascino in queste piccole curiosità e questo piccolo rapporto tra la matematica e il mondo che ci circonda. Su internet ci sono molti link e molte informazioni, basta cercare Fibonacci o sezione aurea o successione di Fibonacci. Chiudo con una citazione di Einstein: quella del mistero è la più straordinaria esperienza che ci è dato di vivere. È l emozione fondamentale situata al centro della vera arte e della vera scienza. Da questo punto di vista chi sa e non prova meraviglia, chi non si stupisce più di niente è come simile ad un morto, ad una candela che non fa più luce

34 Contatti Marco Moscatelli Mail: Blog: moscaohfive.blogspot.it

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