I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito.

Transcript

1 TEST DI AUTOVALUTAZIONE - SETTIMANA I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Metodi statistici per la biologia 1 Parte A 1.1 Si considerino gli eventi A = nessuno studente ha superato l esame e B = nessuno studente maschio ha superato l esame. Allora A c B è uguale a: 1. almeno uno studente ha superato l esame ; almeno uno studente femmina ha superato l esame ; almeno uno studente maschio ha superato l esame ; nessuno studente maschio e almeno uno studente femmina ha superato l esame. Siano A e B due eventi, con P(A) = 1 4 e P(B) = 1. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera? 1. A B = Ω; A B ; P((A B) c ) > 0; P(A B) = 0. Un evento A ha probabilità 1/. È noto che B è indipendente da A, e che P(Ac B c ) = 1/. Allora P(B) è uguale a: 1.4 1/4; 1/; 1/6; non ci sono dati a sufficienza per rispondere alla domanda. Calcolare P(A) impiegando, se possibile, i dati a disposizione, che sono P(B) = e P(A B) = 1. Quale delle seguenti è la risposta corretta P(A) = 4 9 ; P(A) = 1; P(A) = ; non ci sono informazioni sufficienti al calcolo di P(A). 1

2 1.5 Si considerino due mazzi di 5 carte da Poker; si estrae una carta dal primo mazzo e due dal secondo. Si definiscano gli eventi A = la carta estratta dal primo mazzo è un 7, B = le due carte estratte dal secondo mazzo sono di cuori. Allora 1.6 A B = ; P(A B) = 1; P(A B) = P(A) + P(B); P(A B) = P(A)P(B). Siano A e B due eventi, con P(A) = 1 e P(B) =. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera? 1.7 A B = Ω; A e B non sono indipendenti; A B ; P(A B) < 1. Sia Ω l insieme delle possibili scelte di tre carte da un mazzo di 5. Si considerino gli eventi A = le prime due carte sono di cuori B = la seconda e la terza carta non sono dello stesso seme. Allora: 1.8 A c B = la seconda e la terza carta non sono entrambe di cuori; A B c = le tre carte sono di cuori; A B = le prime due carte sono di cuori e la terza non è di cuori; A B =. Si considerino due eventi A e B tali che P(A) > 0, P(B) > 0 e A B = Ω. Allora 1.9 A e B sono sicuramente indipendenti; A e B sono sicuramente disgiunti; può essere P(A) + P(B) > 1; sicuramente P(A) + P(B) = 1. Siano A e B due eventi, con A B =. Allora è sicuramente vero che P(A B) = 1; P(A) + P(B) > 1; P(B A) = 1; P(A B) = 0.

3 1.10 Tre eventi indipendenti A, B a C hanno ciascuno probabilità 1/. Allora l evento (A B) C ha probabilità 1/8; /8; 5/8; 7/8. Parte B.1 Cinque biglietti di una lotteria sono rimasti invenduti. Fra questi c è il biglietto vincente. Due amici A e B decidono di comprarne uno a testa. A sceglie per primo il biglietto. (a) Qual è la probabilità che B acquisti il biglietto vincente se A non lo acquista? (b) Qual è la probabilità che B acquisti il biglietto vincente? Soluzione. (a) Siano E = B acquista il biglietto vincente, F = A acquista il biglietto vincente. Si ha P(E F c ) = 1/4. (b) Essendo P(F) = 1/5 e P(E F) = 0, per la formula di disintegrazione: P(E) = P(E F)P(F) + P(E F c )P(F c ) = = 1 5 (!). I clienti di una libreria hanno a disposizione tre sezioni: saggistica, narrativa e turismo e viaggi. Il 4% dei clienti visita in prevalenza la sezione turismo e viaggi, e di essi il 64% acquista almeno un libro. Il 8% dei clienti visita in prevalenza la sezione narrativa, e il 47% di essi acquista almeno un libro. Il rimanente 19% dei clienti visita in prevalenza la sezione saggistica, e di essi il 76% acquista almeno un libro. a. Se si considera un cliente scelto a caso, qual e la probabilita che egli acquisti almeno un libro? b. Se il cliente del punto a. ha effettuato un acquisto, qual è la probabilità che abbia in prevalenza visitato la sezione narrativa? c. Si consideri ora un gruppo di tre clienti scelti a caso, i cui comportamenti si assumono indipendenti. Qual e la probabilita che tutti e tre acquistino un libro? d. Se e noto che i tre clienti del punto c. hanno tutti effettuato un acquisto, qual e la probabilita che due di essi abbiano visitato in prevalenza la sezione narrativa, e il terzo la sezione saggistica? Soluzione. a. Si considerino gli eventi A = il cliente ha visitato in prevalenza la sezione turismo e viaggi, B = il cliente ha visitato in prevalenza la sezione narrativa, C = il cliente ha visitato in prevalenza la sezione saggistica, D = il cliente ha acquistato almeno un libro. Sappiamo che P(A) = 0, 4 P(B) = 0, 8 P(C) = 0, 19 P(D A) = 0, 64P(D B) = 0, 47 P(D C) = 0, 76. Per la formula di fattorizzazione P(D) = P(D A)P(A) + P(D B)P(B) + P(D C)P(C) =...

4 b. P(B D) = P(D B)P(B) P(D) =... c. Sia E = tutti tre i clienti acquistano un libro. Per l indipendenza: P(E) = P (D) =... d. Sia F = due clienti hanno visitato la sezione narrativa e il terzo la sezione saggistica. Notare che P(F) = 0, 19 (0, 8). Il fattore e dovuto al fatto che non si specifica quale dei tre visita la sezione saggistica. Inoltre P(E F) = (0, 47) 0, 76 Dunque P(F E) = P(E F)P(F) P(E) =.... Una scatola contiene due dadi equilibrati. Uno di essi è un dado usuale, mentre nell altro il numero uno compare su due facce e il numero sei non compare. Si sceglie, a caso, uno dei due dadi. a. Si lanci il dado scelto. Qual è la probabilità di ottenere il punteggio uno? b. Si lanci il dado scelto due volte. Qual è la probabilità di ottenere tre come punteggio totale? Soluzione. a. Siano A = il dado scelto è quello usuale, B = il punteggio ottenuto è 1. Sappiamo che P(B A) = 1/6, P(B A c ) = 1/, P(A) = P(A c ) = 1/. Allora P(B) = P(B A)P(A) + P(B A c )P(A c ) = 1/4. b. Sia C = il punteggio totale è tre. Abbiamo che P(C A) = /6 = 1/18, in quanto due combinazioni di risultati danno punteggio totale tre. Per l altro dado, essendoci due facce con un uno, ci sono quattro combinazioni di facce che danno tre come punteggio totale. Pertanto P(C A c ) = 4/6 = 1/9. Allora.4 P(C) = P(C A)P(A) + P(C B)P(B) = 1/1. Siano A, B due eventi. Sapendo che P(A B) = 0.7, P(A B c ) = 0. e P(B A) = 0.6, calcolare P(A). Soluzione. Posto x = P(A), y = P(B), per la formula delle probabilità totali Inoltre, per la formula di Bayes, x = P(A B)P(B) + P(A B c )P(B c ) = 0.7y + 0.(1 y). 0.6 = P(B A) = P(A B)P(B) P(A) = 0.7y x. Abbiamo ottenuto allora un sistema lineare in x, y, che si risolve ottenendo x = 1/46. 4

5 .5 (Un po più difficile)un commerciante acquista certe componenti elettriche in egual misura da due fornitori A e B, Viene a sapere che il 15% delle componenti provenienti da B e difettosa, cioe si rompono dopo poche ore di utilizzo, contro solo il % di quelle provenienti da A. Il commerciante e in procinto di mettere in vendita una confezione tali componenti, tutte provenienti dallo stesso fornitore, ma di cui non ha registrato la provenienza. Per conoscerne la provenienza ne testa 0, di cui risultano difettose. Con quale grado di confidenza puo ritenere che la partita gli sia stata fornita da B? Soluzione. Si considerino gli eventi A = la confezione proviene dal fornitore A, B = la confezione proviene dal fornitore B, C = di 0 pezzi testati sono difettosi. Sappiamo che P(C A) = ( 0 ) (0.15) (0.85) 18, P(C B) = Per concludere basta applicare la formula di Bayes: P(B C) = ( 0 ) (0.0) (0.97) 18, P(A) = P(B) = 1/. P(C B)P(B) P(C B)P(B) + P(C A)P(A)..6 In un labirinto a T, ad un animale da laboratorio si dà la possibilità di andare a sinistra e ricevere cibo o di andare a destra e ricevere una leggera scossa elettrica. Assumete che prima di ogni condizionamento (nel tentativo 1) sia ugualmente probabile che gli animali vadano a destra o a sinistra. Dopo aver ricevuto il cibo ad un certo tentativo, le probabilità di andare a sinistra e a destra diventano 0.6 e 0.4, rispettivamente, per il tentativo successivo. Invece, dopo aver ricevuto una scossa elettrica ad un certo tentativo, le probabilità di andare a sinistra e a destra al tentativo successivo diventano rispettivamente 0.8 e 0,, rispettivamente. 1. Qual è la probabilità che l animale vada a sinistra al tentativo numero?. E al numero?. Se dopo il secondo tentativo si osserva che l animale è a sinistra, qual è la probabilità che l animale abbia ricevuto cibo prima dell ultimo movimento? Soluzione. S i : i-esimo passo della cavia verso sinistra, i = 1,... D i : i-esimo passo della cavia verso destra, i = 1,... P(S 1 ) = P(D 1 ) = 1/, P(S i+1 S i ) = 0.6 i = 1,..., P(S i+1 D i ) = 0.6, i = 1, P(S ) = P(S S 1 )P(S 1 ) + P(S D 1 )P(D 1 ) = 0.7 P(D ) = 1 P(S ) = 0.. P(S ) = P(S S )P(S ) + P(S D )P(D ) = /50.. P(S 1 S ) = P(S S1)P(S1) P(S ) = /7. 5

6 .7 Il signor A riceve un informazione che si esprime con un si o con un no, trasmette tale informazione al signor B, che la trasmette al signor C, che la trasmette al signor D, il quale la annuncia. Ognuno dei quattro signori, indipendentemente dagli altri, mente con probabilità 1/. Se si sa che D ha annunciato l informazione corretta, cioè quella che A ha ricevuto, qual è la probabilità che A abbia mentito? Soluzione. Notare che D dà l informazione corretta se e solo se il numero di persone che hanno mentito è un numero pari. Sia E = D ha annunciato l informazione corretta, F = A ha mentito. P(E) = ( ) 4 + ( 4 ) ( ) ( ) 1 + ( ) 4 1, da cui si calcola P(F E). P(E F) = ( ) ( ) 1 + ( ) 4 1,.8 Un sistema ingegneristico di n componenti è detto sistema k-su-n se il sistema funziona se è solo se almeno k componenti su n funzionano. Supponiamo che tutte le componenti funzionino indipendentemente una dall altra. Se l i-esima componente funziona con probabilità p i, qual è la probabilità che un sistema -su-4 funzioni? Soluzione..9 Pr( -su-4 funzioni) = = Pr(almeno componenti su 4 funzionano) = 1 Pr(al più 1 componente su 4 funziona) = [ = 1 Pr(non funziona nessuna componente )+ ] + Pr(funziona esattamente 1 componente) = = 1 4 (1 p i ) p 1 (1 p )(1 p )(1 p 4 )+ i=1 p (1 p 1 )(1 p )(1 p 4 ) p (1 p 1 )(1 p )(1 p 4 ) p 4 (1 p )(1 p )(1 p 1 ) Se p 1 = p = p = p 4 = /, allora Pr( -su- 4 funzioni) = 8 9. In una regione italiana, nel 1981, sul 15% della popolazione sotto gli 8 anni è stato sperimentato un vaccino contro il morbillo. Si è visto che solo il % dei vaccinati si sono ammalati di morbillo, contro il 16% dei non vaccinati. a. Si scelga a caso un individuo tra gli abitanti di quella regione che nel 1981 aveva meno di 8 anni. Qual è la probabilità che si sia ammalato di morbillo? b. Supponiamo di venir informati che l individuo del punto a. si è ammalato di morbillo. Qual è la probabilità che sia stato vaccinato? Soluzione. Si considerino gli eventi A = l individuo è stato vaccinato e B = l individuo si è ammalato di morbillo. Sappiamo che P(A) = 0.15, P(B A) = 0.0 P(B A c ) =

7 a. Per la formula di fattorizzazione b. Per la formula di Bayes P(B) = P(B A)P(A) + P(B A c )P(A c ) = P(A B) = P(B A)P(A) P(B) = 0.0 7