Appunti sul corso di Complementi di Matematica mod.analisi prof. B.Bacchelli a.a. 2010/2011

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1 Appunti sul corso di Complementi di Matematica mod.analisi prof. B.Bacchelli a.a. 2010/ Estremi: Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 4.1. Esercizi 4.1 Estremi liberi: punti di massimo, di minimo, punti stazionari, punti di sella, condizioni necessarie, condizioni sufficienti, matrice hessiana, test delle derivate seconde. Estremi liberi per funzioni reali di più variabili Def. Sia f : R n R una funzione a valori reali, definita in un dominio A R n. Si dice che f ha un massimo assoluto (o globale) in un punto a A se f(x) f(a) per ogni x in A. Si dice che la funzione f ha un massimo relativo (o locale) in a se la disuguaglianza f(x) f(a) è soddisfatta per ogni x in un intorno U(a) contenuto in A. Si definiscono in modo analogo i termini minimo assoluto e minimo relativo usando la disuguaglianza opposta f(x) f(a). Def. Si dice estremo di f un punto a che sia un massimo o un minimo, assoluto o relativo. Def. Un punto a si dice punto stazionario (o critico) se f è differenziabile in a e vale f(a) = 0. Un punto a stazionario è detto punto di sella (o colle) se in ogni intorno di a ci sono punti x in cui f(x) < f(a) e altri in cui f(x) > f(a). Oss. Per funzioni di due variabili la condizione di stazionarietà ha una interpretazione geometrica: se a =(a, b) è un punto stazionario, esiste il piano tangente alla superficie z = f nel punto P = (a, b, f(a, b)), di equazione z = f(a, b), cioè la superficie ha un piano tangente orizzontale (parallelo al piano xy). Inoltre, se si pensa alla superficie come la superficie (liscia) di una montagna, i punti stazionari di massimo, minimo e sella corrispondono rispettivamente alle cime, ai fondi delle valli e ai passi montani. 1

2 Teorema. Condizioni necessarie per un estremo. Una funzione f : R n R ha un estremo in un punto a del suo dominio solo se è verificata una delle seguenti condizioni: (a) a è un punto di frontiera del dominio di f, (b) a è un punto singolare di f, cioè f non è differenziabile in a, (c) a è un punto stazionario. Dim. E evidente che un estremo può essere un punto di frontiera o un punto in cui f non è differenziabile (in realtà neppure continua!). Se a è un estremo interno al dominio e f è differenziabile in a, allora anche la restrizione di f alla direzione di un asse cartesiano g i (t) = f(a+te i ) avrà un estremo in t = 0, punto interno e derivabile, e per il teorema di Darboux (applicato alla restrizione g i ) necessariamente g i(0) = 0. Allora, poichè D i f(a) =g i(0) = 0 per ogni i = 1,..., n, si ha f(a) = 0. Esempi Sia f = x 2 + y 2. Il punto (0, 0) è un minimo assoluto essendo sempre f 0 = f(0, 0). f non è differenziabile in (0,0) che quindi non è punto stazionario. Sia f = x 2 + y 2 1. I punti tali che x 2 + y 2 1 = 0 sono punti di frontiera e punti di minimo assoluti. Sia f = 3 x 2 y 2. Il punto (0, 0) è punto stazionario ed è un massimo assoluto essendo sempre f 3 = f(0, 0). { x Sia f = 2 + 4, se x 2 + y 2 > 1 0 se x 2 + y 2 1. I punti { : x 2 + y 2 1} sono punti di minimo. I punti per cui x 2 +y 2 < 1 sono stazionari, mentre i punti per cui x 2 + y 2 = 1 sono di discontinuità per f. Sia f = xy. Il punto (0, 0) è punto stazionario ed è una sella essendo (esclusi gli assi in cui vale zero) f < 0 = f(0, 0) nel secondo e quarto quadrante del piano di definizione di f, f > f(0, 0) nel primo e terzo quadrante. Sia f = e y2 + x Il punto (0, 0) è punto stazionario ed è una sella essendo f(0, y) f(0, 0) < 0 se y 0 e f(x, 0) f(0, 0) > 0 se x 0. 2

3 Teorema di Weierstrass (Condizione sufficiente di esistenza). Se f : K R n R è definita e continua in un insieme K chiuso e limitato, allora esistono in K un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto per f. Esempio Sia f = 3 (x 1)(y 2 x) f è continua in R 2, non differenziabile nei punti dell insieme C = { : x = 1 x = y 2 }. Il segno del f nei punti di C coincide col segno della funzione. Pertanto si ha che in ogni intorno di tali punti f cambia segno, quindi non sono estremi. Inoltre nel chiuso e limitato K = { : y 2 x 1} f è continua. Valendo zero nel bordo di K ed essendo f positiva all interno di K, allora deve esistere un massimo all interno di K per il teorema di Weierstrass. f = 0 : { (x 1) + y 2 x = 0 { y = 0 x = 1/2 2y = 0 il punto P = (1/2, 0) K è il massimo che cercavamo. Si noti che i punti della frontiera di K sono punti di minimo per la restrizione di f all insieme K. Teorema. Test delle derivate seconde per funzioni di due variabili. Supponiamo che f : R 2 R abbia derivate parziali del secondo ordine continue in un intorno U(a, b) contenuto nel dominio di f, dove (a,b) è un punto stazionario di f. Costruita la matrice hessiana (simmetrica) H = 2 f x2 2 f x y 2 f y x 2 f y2 si hanno le seguenti condizioni sufficienti: (a) se deth(a, b) > 0 e 2 f (a, b) > 0, allora (a, b) è un punto di minimo; x2 (b) se deth(a, b) > 0 e 2 f (a, b) < 0, allora (a, b) è un punto di massimo; x2 (c) se deth(a, b) < 0 allora (a, b) è un punto di sella. N.B. Se deth(a, b) = 0, questo test non ci fornisce informazioni sulla natura del punto stazionario (a, b). 3

4 Per esempio per le funzioni f = x 4 + y 4, g = x 4 y 4, h = x 4 y 4, il punto P = (0, 0) è stazionario. La matrice hessiana in (0, 0) ha tutti gli elementi nulli,quindi det H(0, 0) = 0, e (0, 0) è un minimo per f, un massimo per g e una sella per h (si valuti il segno del f, g e h). Dim. Scriviamo la formula di Taylor al primo ordine col resto di Lagrange e centro nel punto stazionario a=(a, b) e incremento h =(h, k) (0, 0): esiste un θ, 0 < θ < 1 tale che f (a,b) (h, k) := f(a + h, b + k) f(a, b) = 1 2 (hd 1 + kd 2 ) 2 f(a + θh, b + θk), 0 < θ < 1.. Oppure equivalentemente, usando la scrittura vettoriale, f a (h) := f(a + h) f(a)= 1 2 ht H(a + θh)h, 0 < θ < 1. Poichè le derivate parziali sono continue, se h T H(a)h ha segno costante (non nullo) per 0 < h < r, allora anche h T H(a + θh)h per θ piccolo, e quindi f a (h), avrà lo stesso segno di h T H(a)h per h sufficientemente piccolo e non nullo. La espressione h T H(a)h si chiama forma quadratica., di cui quindi esaminiamo il segno, per h < r : 1) se il segno di h T H(a)h per h < r è positivo, a è un minimo (la forma quadratica è definita positiva); 2) se il segno di h T H(a)h per h < r è negativo, a è un massimo (la forma quadratica è definita negatva); 3) se esistono degli h non nulli per cui h T H(a)h >0 e degli h non nulli per cui h T H(a)h <0, allora a è una sella (la forma quadratica è indefinita). N.B. Se esistono degli h non nulli per cui h T H(a)h =0, non si può decidere, e questo succede se e solo se il det H(a) = 0. Per esempio per le funzioni f = x 4 + y 4, g = x 4 y 4, h = x 4 y 4, il punto a = (0, 0) è stazionario e det H(a) = 0, e (0, 0) è minimo per f, massimo per g e sella per h (si valutino i segni di f, g, h). 4

5 Siano quindi A = f xx (a, b), B = f xy (a, b) e C = f yy (a, b) i valori delle derivate seconde nel punto. Allora h T H(a)h = Ah 2 + 2Bhk + Ck 2 e det H = A.C B 2 = Poichè (h, k) (0, 0), sia per esempio k 0. Posto t = h/k, si ha Ah 2 + 2Bhk + Ck 2 = k 2 (At 2 + 2Bt + C). e distinguiamo tre casi: i) Se det H > 0, deve essere A.C 0. Ma il discriminante del trinomio è negativo poichè /4 = det H, e quindi il trinomio (e quindi f (a,b) (h, k)) ha il segno di A( 0), e sono mostrati i casi (a) e (b). ii) Se det H < 0 e A.C 0, il discriminante è ora positivo, e il trinomio ha segno diverso in quattro regioni delimitate da due rette passanti per (0, 0) di equazione h = t 1 k e h = t 2 k. (dove t 1, t 2 sono le radici del trinomio). Quindi (a, b) è sella. iii) Se det H < 0 e A.C = 0 deve essere B 0, allora f(a, b) = k (2Bh+Ck) che ha segno diverso nelle quattro regioni delimitate dalle rette 2 passanti per (0, 0) di equazione k = 0 e 2Bh + Ck = 0, quindi (a, b) è sella.. I casi ii) e iii) mostrano (c), e abbiamo finito. Esercizi Si vedano nella directory ESERCIZI estremi/ i file estremi soluzione temi.pdf e esempi critici.pdf 5