Generazione di numeri pseudocasuali

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1 Generzione di numeri pseudocsuli

2 Obiettivo Simulzione stocstic Si vogliono generre delle sequenze di numeri che si possno interpretre come relizzzioni di vribili letorie venti un dt distribuzione di probbilità. I meccnismi di generzione sono deterministici e replicbili, m un osservtore esterno (che non bbi conoscenz del meccnismo di generzione deve essere indotto ritenere che l sequenz di numeri si effettivmente costituit d relizzzioni i i di un vribile letori.

3 I numeri rndom Numeri csuli (rndom numbers, RN: un successione di numeri u 1, u 2, u 3, che devono potersi interpretre come relizzzioni di un sequenz di v.. U 1,U 2,U 3, indipedenti e U(0,1. Il meccnismo è deterministico per grntire l riproducibilità numeri pseudocsuli

4 Uniformità e indipendenz Prtizionre [0,1] in n intervlli di ugule mpiezz. Si generno N numeri csuli Proprietà di uniformità: numero di osservzioni in ogni sottointervllo N/n per N + (legge dei grndi numeri test di dttmento Proprietà di indipendenz: l probbilità di ottenere il k-mo numero csule in un prticolre intervllo è indipendente di vlori precedentemente ottenuti test di indipendenz

5 Metodo dell congruenz linere I genertori utilizzti oggigiorno sono un evoluzione del metodo dell congruenz linere (Lehmer, 1951 = k 1 ( + + k cmodm u m / k+ 1 = k+ 1 L sequenz dipende dll scelt del seme, 0 I metodi purmente moltiplictivi (c=0 sono d preferiti (un operzione in meno, prità di ltre condizioni

6 Metodo dell congruenz linere Il metodo è in grdo di ingnnre un osservtore esterno? L sequenz u k è: 1. ciclic (con periodo m 2. le u k ssumono soltnto i vlori 0, 1/m, 2/m, (m-1/m Condizione NECESSARIA il RNG si buono : il modulo m deve essere sufficientemente grnde in rpporto l numero di numeri pseudocsuli richiesti. Perché l condizione NON è SUFFICIENTE? Provre m= (un google!, =1, c=0, 0 =0

7 Metodo dell congruenz linere L lgoritmo: È Veloce (può essere richimto molte volte nel corso dell simulzione di un sistem complesso; Gener sequenze replicbili

8 Esempio Si vuole generre un sequenz di numeri csuli utilizzndo il metodo dell c.l. con =1, c=5 e m=4, 0 =2,. k + = ( + 1 k c mod m 1 = (12+5 mod 4 = 3 u 1 = 3/4 = = (13+5 mod 4 = 0 u = 0/4 = = (10+5 mod 4 = 1 u 3 = 1/4 = = (11+5 mod 4 = 2 u 4 = 2/4 = = (12+5 mod 4 = 3 u 5 = 3/4 = 0.75 Nuovmente 0.75!

9 Proprietà di un clsse di RNGs m numero primo c=0 : il più piccolo numero intero kche rende k -1 divisibile per mèk=m-1 mssimo periodo ottenibile = m-1 Esempio: =7 5 =16807 c=0 m=2 31-1= (numero primo

10 RNG per simulzione di sistemi complessi RNG con periodo 10 9 si rivelno indtti molte ppliczioni Genertori più evoluti (disponibili in R: Whichmnn-Hill, ciclo Mrsgli-Multicrry, ciclo 2 60 Super-Duper (nni 70, ciclo Knuth-TAOCP (1997, 2002, ciclo Mersenne-Twister ( , ciclo Anlisi pprofondit: non rientr tr gli scopi del corso

11 Genertore di Ecel

12 Genertore di Ecel

13 Genertore di Ecel

14 Genertore di Ecel

15 Generzione di vribili letorie con distribuzione generic

16 Generzione di vribili letorie con distribuzione generic A prtire d un sequenz di numeri rndom (U(0,1 opportunmente generti, i metodi per l generzione di vribili letorie con distribuzione generic sono: 1. tecnic di trsformt invers 2. tecnic di trsformzione dirett 3. metodo di ccettzione/rifiuto E evidente che l routine di generzione dei numeri csuli per essere veloce deve chimre poche volte l routine di generzione dei numeri distribuiti in mnier uniforme.

17 Tecnic di trsformzione invers Si F( l CDF desidert. F( ssume vlori [0,1] ed è strettmente crescente (e quindi invertibile. Si U U(0,1. Si osserv che l v.. definit d X=F -1 (U h CDF pri proprio F(. Inftti: P(X = P(F -1 (U = P(U F(= F( poichè P(U u = u per 0 u 1.

18 Liner congruentil method u k F -1 ( k F(=1-e - Distribuzione esponenzile con prmetro λ=1 U=1-e - 1

19 Può essere utilizzt per ottenere cmpioni d molte tipologie di funzioni di distribuzione, come esponenzili, uniformi, tringolri. Risult essere il più intuitivo m non il più efficce dl punto di vist computzionle.

20 Esempio: generre un vribile letori X con funzione di distribuzione esponenzile con medi 1/λ 1. F ( λt = λe dt = 1 0 e λ 2. u = 1 e -λ, con u U(0,1 λ e = 1 u λλ = ln(1 u 3. X = -ln(1-u/λ, o, in modo equivlente, X = ln( u 1 λ

21 Osservzioni: L routine di generzione di un vribile letori X con funzione di distribuzione esponenzile: 1. chim un sol volt il RNG, per ogni istnz di X 2. h lo stesso ciclo di RNG 3. è replicbile se lo èrng 4. genererebbe numeri con proprietà RNGgenersse numeri rndom ideli sttistiche ideli se

22 λ=5

23 λ=5

24 Esempio: generre un vribile letori X uniformemente distribuit in (,b 1. F ( = f ( = 2. u = (-/(b-, con u U(0,1 1 dt b = b 3. X = +u(b- f( 0 b c

25 Esempio: generre un vribile letori X con distribuzione tringolre, ossi: se b, llor f(=[2(-]/[(c-(b-]; ltrimenti f(=[2(c-]/[(c-(c-b] f( 0 b c

26 1 ( 2 1. ( ( ( ( ( b, 2 b c F se = ( ( ( 2 b c u = 2 ( ( ( 1 ( ltrimenti 2 b c c c F = ( ( ( ( ( 2 b c u b c u + = = 2. ( ( (1 c ltrimenti ( ( b, b c c u b c u se = + = ( ( (

27 Esercizio: generre un vribile letori X con distribuzione uniforme in [-2,1]U[4,5] [, ] f(

28 Smpling discrete distribution Let p 1 p2 Pr( Y = i =... pn be the required mss probbility function (of course p 1 + +p+p n =1.

29 Smpling discrete distribution By ppling the inversion method, we get: Y 1 2 = n if 0 u p if p1 if p u... 1 p 1 + p p 1 1 n 1 u 2 Y= 1 Y= 2 Y= n 0 1 p 1 p 2 p n

30 Emple Assume Pr(Y=2=0.3; Pr(Y=5=0.2; Pr(Y=10=0.5

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