identificando (a, 0) con a, (b, 0) con b e posto i =(0, 1) possiamo esprimere un numero complesso nella forma 2 = a + ib. 2 ) a

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1 Numeri Complessi E be oto che o esiste lcu umero rele x tle che x = o, equivletemete, che l equzioe x + = 0 o h soluzioi reli. Cosí come è possibile estedere i umeri rzioli, itroducedo i umeri reli, i modo che equzioi quli d esempio X = 0 bbio soluzioi è che possibile estedere i umeri reli i modo che l equzioe x + = 0 bbi soluzioi. Il sistem di umeri cui si perviee, i umeri complessi, h proprietà molto iteressti, desempio ogi equzioe lgebric h soluzioi complesse. Defiizioe. Nell isieme C = R R delle coppie ordite di umeri reli defiimo u somm e u prodotto poedo: (, b)+(c, d) =( + c, b + d) (, b) (c, d) =(c bd, d + bc) E immedito verificre che queste operzioi soo commuttive e ssocitive e vle l proprietà distributiv del prodotto rispetto ll somm Poiché per ogi umero complesso (, b) si h: (, b)+(0, 0) = (, b) e (, b) (, 0) = (, b) (0, 0) è l elemeto eutro rispetto ll somm e (, 0) è l elemeto eutro rispetto l prodotto. Ioltre si verific subito che (, b) è l opposto di (, b) e,se e b o soo etrmbi ulli, (, b) ( + b, b )=(, 0) + b cioè (/( + b ), b/( + b )è l iverso di (, b). Itroducimo or u ltr otzioe per i umeri complessi che risult prticolrmete efficce per effetture i clcoli. Siccome per ogi (, b) C si h: (, b) =(, 0)+(b, 0) (0, ) idetificdo (, 0) co, (b, 0) co b e posto i =(0, ) possimo esprimere u umero complesso ell form + ib dove, b R ed i C è il umero complesso, detto uità immgiri, tle che i =(0, ) (0, ) = (, 0) =. Ciò sigific che i C il umero è u qudrto. Più i geerle si h: Proposizioe Ogi umero complesso è u qudrto. Dim. Segue dll ugugliz ( ( + b )+ + b + i ) = + ib. Defiizioe 3. Dto u umero complesso z = +i b, defiimo prte rele Re (z), prte immgiri Im (z), modulo z e orm N(z) diz poedo: Re (z) = Im (z) =b z = + b N(z) = z = + b Il umero z = ib si dice coiugto di z e l ppliczioe σ : C C defiit d σ(z) =z è dett coiugio.

2 Proposizioe 4 Vlgoo le segueti proprietà:. (z) =z ;. z + z = z + z ; 3. z z = z z ; 4. z = z ; 5. z = z z ; 6. z R se e solo se z = z ; 7. z =0 se e solo se z =0. Dim. Soo fcili verifiche. Proposizioe 5 L somm e il prodotto di due umeri complessi coiugti soo due umeri reli. Dim. Se z = + ib, si h iftti: z + z = e z z = + b. Proposizioe 6 Dti due umeri complessi z e z si h: z + z z + z. Dim. Si h: z + z =(z + z )(z + z )= z + z + z z + z z. Poiché z z e z z soo coiugti, l loro somm è il umero rele Re (z z ). M l prte rele di u umero complesso è miore o ugule l suo modulo, quidi z z + z z z z = z z. Ne segue z + z z + z + z z =( z + z ). Rppresetzioe trigoometric Poiché u umero complesso è determito d u coppi di umeri reli, possimo rppresetre geometricmete u umero complesso co u puto di u pio dotto di u sistem di coordite crtesie ortogoli. Più precismete ssocido l umero complesso + ib il puto di coordite (, b) si h u corrispodez biuivoc tr umeri complessi e puti del pio. I quest situzioe, qudo cioè i puti soo idetificti co umeri complessi il pio è detto pio di Argd-Guss, l sse x si dice sse rele e l sse y sse immgirio. U umero complesso z è idividuto el pio di Argd-Guss dl suo modulo ρ e, z = + i b se z 0, dll rotzioe tiorri ϑ che il semisse positivo rele deve compiere per b sovrpporsi ll semirett uscete dll origie e che cotiee z. L rotzioe ϑ, misurt z i rditi, è defiit meo di multipli di π e si chim rgometo di z e si deot Arg (z). Quidi l rgometo di z o è uico Arg(z) m se ϑ = Arg (z), ogi umero rele del tipo O ϑ +kπ co k Z è u rgometo di z. Se ρ e ϑ soo il modulo e l rgometo di u umero complesso z = + ib o ullo, si h llor = ρ cos ϑ b = ρ si ϑ edche cos ϑ = b + b si ϑ = + b Dlle formule precedeti si ottiee: z = ρ(cos ϑ + i si ϑ) che è dett form trigoometric del umero complesso z.

3 Proposizioe 7 Se z, z C, sih Arg (z z ) = Arg (z ) + Arg (z ). Dim. Si z = ρ (cos ϑ + i si ϑ )ez = ρ (cos ϑ + i si ϑ ). Allor z z = ρ ρ (cos ϑ + i si ϑ )(cos ϑ + i si ϑ ) = ρ ρ (cos ϑ cos ϑ si ϑ si ϑ )+i (cos ϑ si ϑ + si ϑ cos ϑ ) = ρ ρ (cos(ϑ + ϑ )+i si(ϑ + ϑ ). Corollrio 8 (Formul di de Moivre) Per ogi Z si h [ρ(cos ϑ + i si ϑ)] = ρ (cos ϑ + i si ϑ). Rppresetzioe espoezile I mtemtic u delle fuzioi più importti è sez dubbio l fuzioe espoezile e x. Tle fuzioe si può estedere l cmpo complesso utilizzdo l formul di Eulero, u delle formule più curiose (e più utili) di tutt l mtemtic, che permette di defiire le poteze co espoete immgirio. L formul è l seguete: se ϑ R, e iϑ = cos ϑ + i si ϑ No riportimo l dimostrzioe di tle formul che richiederebbe lcue ozioi di teori delle fuzioi di vribile compless. Dll formul di Eulero si ricv u scrittur più comptt dell rppresetzioe trigoometric di u umero complesso. z = ρ(cos ϑ + i si ϑ) =ρe iϑ Quest otzioe risult prticolrmete comod si per l brevità si per il ftto che, come si può dimostrre, le proprietà delle poteze vlgoo che per l espoezile complesso. Acceimo d lcue cosegueze dell formul (). Se z = + ib C è u umero complesso, llor dll () si ricv e z = e +ib = e e ib = e (cos b + i si b) quidi si può defiire l espoezile di u quluque umero complesso. L fuzioe di vribile compless e z è u fuzioe periodic di periodo immgirio πi per cui si h e z+kπi = e z z C Il ftto che e z o è iiettiv poe problemi per l su iversioe. I effetti l defiizioe di u fuzioe logritmo el cmpo complesso, che se possibile, o è uic e l su itroduzioe poe precchi problemi troppo delicti per essere ffrotti i quest sede. E ivece fcile estedere l cmpo complesso le fuzioi trigoometriche i modo tle che l formul di Eulero vlg i geerle e o solo per u espoete purmete immgirio. Iftti dlle si ricv e iz = cos z + i si z ; si z = eiz e iz i e iz = cos z i si z ; cos z = eiz + e iz. Esempio Se z = ρe iϑ e Z, usdo l otzioe espoezile l formul di de Moivre si riscrive i modo più comptto z = ρ e iϑ Si vogli desempio clcolre ( + i) 00. Poiché +i = e iπ/4 si h ( + i) 00 =( ) 00 e i 00π/4 = 50 e i 5π = 50. () 3

4 Rdici di u umero complesso Dto u umero complesso α e u itero positivo, si dice che z C è u rdice -esim di α se z = α. Utilizzdo l rppresetzioe trigoometric di u umero complesso si può provre il seguete teorem che geerlizz l Proposizioe. Teorem 9 Ogi umero complesso α 0 h rdici -esime distite. Dim. Sio r = α e ϑ = Arg (α), llor il modulo ρ e l rgometo φ di u rdice -esim di α devoo essere tli che ρ = r e φ ϑ (modπ). Quidi ρ = r e φ = ϑ +kπ k Z qui r sigific rdice -esim ritmetic del umero rele positivo r. Vicevers si vede subito che ogi umero complesso dell form β k = r ( cos ϑ +kπ + i se ϑ +kπ ) k Z () è u rdice -esim di α. E chiro che l vrire di k i Z l () o forisce umeri tutti distiti, zi due diversi vlori k e k di k foriscoo lo stesso umero complesso se e solo se ϑ +k π ϑ +k π (modπ) cioè sek k 0 (mod ). Per vere tutte le rdici -esime di α, e ciscu u volt sol, bst duque ttribuire k i vlori 0,,...,. Se α = l () forisce le rdici -esime dell uità ε k = cos kπ + i sekπ k =0,,...,. (3) Le rdici -esime dell uità costituiscoo u gruppo ciclico (moltiplictivo) di ordie esih ε k = ε k. I geertori di questo gruppo soo le rdici -esime primitive dell uità; esse si ottegoo dll (3) qudo k è primo co. I prticolre u rdice primitiv è ε = cos π + i seπ Si osservi che l () si può così riscrivere: β k = β 0 ε k Rppresetdo i umeri complessi el pio di Argd-Guss si vede subito che le rdici dell uità soo i vertici di u poligoo regolre co lti iscritto el cerchio di cetro l origie e rggio e che h u vertice el puto (, 0). Cosiderimo l equzioe x + bx + c = 0, dove, b, c soo umeri reli e 0. Tle equzioe si può riscrivere ell form ( x + b ) 4c b + 4 =0 Se = b 4c 0, l equzioe h le rdici reli ( b ± )/(). Se < 0, l equzioe o h rdici reli m esistoo due rdici complesse coiugte dte d x = b + i e x = b i Questo ftto si esprime dicedo che ogi poliomio di secodo grdo coefficieti reli h due rdici complesse coiugte. Di ftto vle u risultto molto più geerle oto come teorem fodmetle dell lgebr che fferm che ogi poliomio o costte i C[X] h rdici i C. Vi soo molte dimostrzioi di questo teorem, m che le più semplici richiedoo l uso di strumeti che esulo dll mbito di questo corso (fuzioi di due vribili reli oppure fuzioi di vribile compless). Pertto qui ci limiteremo dre l eucito ed lcue importti cosegueze. Teorem 0 (D Alembert) Ogi poliomio coefficieti complessi di grdo positivo possiede i C lmeo u rdice. 4

5 Esercizi Es.. Clcolre l prte rele e l prte immgiri dei segueti umeri complessi: 4+ 3i 5+ 3i, ( +i) 7, i( i) 5,, (i i 3) 3, i. Es.. Risolvere le equzioi: ( + 3i)z =4; ( 3i)z = i; z z i =/3. Es. 3. Determire tutti i umeri complessi z di modulo tli che ( + 3i)z R. Es. 4. Determire i umeri complessi z tli che z 3 R e z =. Es. 5. Scrivere i form trigoometric i segueti umeri complessi: +i, 3 i, 4, 3i,, 3 i, 3+i, cos π/3 i si π/3, Es. 6. si π/4+i cos π/4, cos 0 + i si π/, 4(cos π/4 i si π/4)(si 3π/4+i cos 3π/4), (cos π/4 i si π/3), (si φ i cos φ), Clcolre il modulo dei umeri complessi: + + i, +i +i i 3 i. (+3i)(cos 7 + i si 7), (4+3i)(cos 3 + i si 3) 45. Es. 7. Rppresetre el pio di Guss gli isiemi: {z C Re (z) }, {z C Im (z) =}, {z C z =}, {z C z z =}, {z C z z =0}, {z C z + z =7}, {z C Arg (z) = 5π 3 }, {z C z + z = i}, {z C Re (z) Im(z) =0}. Es. 8. Determire: ) le rdici seste di ; b) le rdici qurte di i; c) le rdici cubiche di ( +i i )3 ; d) le rdici qudrte di + i 3. Es. 9. Determire le rdici dei segueti poliomi: (X i) 5 ; X 4 +; X 3 3X +7X 5; X 6 +X, X 4, ix 3 X 3, 3X 5 i.. 5