Prodotto realizzato con il contributo della Regione Toscana nell'ambito dell'azione regionale di sistema. Laboratoridel Sapere Scientifico

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1 Prodotto realizzato con il contributo della Regione Toscana nell'ambito dell'azione regionale di sistema Laboratoridel Sapere Scientifico

2 Traslazione, simmetria centrale, rotazione e antitraslazione anche come composizione di simmetrie assiali Istituto Comprensivo G. Mariti Scuole secondarie 1 grado Fauglia e Santa Luce Classi seconde Docenti: Cecilia Salutini, Alessandra Orlandini, Amelia Buono

3 Collocazione del percorso nel curricolo verticale Il percorso rappresenta la seconda fase di studio delle trasformazioni geometriche e costituisce un ulteriore supporto per affrontare il tema dei poligoni, della loro classificazione, delle loro proprietà e delle loro aree, dei fregi e delle pavimentazioni. Esso necessita di competenze precedentemente acquisite: saper osservare saper usare gli strumenti per il disegno geometrico e la misura saper individuare figure congruenti aver acquisito il concetto di trasformazione geometrica, di varianti e invarianti aver acquisito il concetto di isometria come trasformazione geometrica del piano in sé la cui unica variante è la posizione. riconoscere figure direttamente e inversamente congruenti aver acquisito i concetti di isometria invertente e non invertente, punto unito, retta unita, retta fissa conoscere la simmetria assiale riconoscere e saper disegnare figure corrispondenti in una simmetria assiale.

4 Obiettivi essenziali di apprendimento acquisire i concetti di traslazione, simmetria centrale, rotazione ed antitraslazione individuare la caratterizzazione delle suddette isometrie riconoscere e saper disegnare figure corrispondenti nelle varie isometrie acquisire il concetto di composizione di isometrie sviluppare il linguaggio specifico sviluppare competenze informatiche potenziare la capacità di usare gli strumenti per il disegno geometrico conoscere e saper utilizzare il sistema di riferimento cartesiano ortogonale

5 Elementi salienti dell approccio metodologico La metodologia didattica scelta per affrontare lo studio di questo argomento privilegia un approccio di tipo laboratoriale attraverso il quale lo studente, sotto la guida dell insegnante, arriva a scoprire proprietà e ad acquisire concetti. Allo scopo si è fatto ricorso a: Lavoro individuale Lavoro in piccoli gruppi omogenei e/o eterogenei Utilizzo di GeoGebra come strumento didattico che consente di affrontare le varie tematiche in modo dinamico e veloce, trovando conferme di intuizioni e proprietà. Problem solving Costruzione della conoscenza attraverso la ricercazione : a) osservazione della realtà b) manipolazione di opportuni materiali c) confronto, discussione collettiva, condivisione dei risultati d) individuazione di un linguaggio appropriato via via più articolato e corretto e) organizzazione logica delle esperienze fatte e brevi relazioni scritte dopo attività collettive di verbalizzazione f) concettualizzazione

6 Materiali, apparecchi e strumenti impiegati Carta quadrettata Cartoncino Carta bianca Carta da lucido Spilli Bottoni automatici Forbici Matite colorate Geopiano Gommini Strumenti per il disegno geometrico Quaderno Lavagna Computer (Geogebra)

7 Ambiente/i in cui è stato sviluppato il percorso Aula di classe

8 Tempo impiegato Per la messa a punto preliminare nel Gruppo LSS, corso di formazione di 10 ore su attività laboratoriali relative alle isometrie. Per la progettazione specifica e dettagliata nelle classi, 4 ore. Tempo-scuola di sviluppo del percorso, 16 ore. Per la documentazione, 25 ore.

9 Descrizione del percorso didattico (1) In questo percorso si è voluto far sì che i ragazzi familiarizzassero con i concetti di traslazione, rotazione ed antitraslazione comprendendone le proprietà e che acquisissero successivamente la consapevolezza che ciascuna di esse può essere ottenuta anche dalla composizione di simmetrie assiali. E stato pertanto ripreso il lavoro precedente (classe 1 a ) nella sua parte introduttiva alla simmetria assiale.

10 Descrizione del percorso didattico (2) I ragazzi avevano compreso che in alcune coppie di bandierine le due figure potevano essere sovrapposte in tre modi diversi: trascinando, ruotando o ribaltando indifferentemente una delle due fino a farla combaciare con l altra. Nel precedente percorso fu scelto di sviluppare il concetto di ribaltamento per poter poi affrontare le altre isometrie anche come trasformazioni generate da più simmetrie assiali.

11 Descrizione del percorso didattico (3) Si è proposto agli alunni un ritorno al foglio con le bandierine colorate, rosse e verdi, che avevano utilizzato per scoprire la relazione di congruenza diretta e inversa e si sono invitati ad individuare coppie di bandierine in cui le due figure si sovrapponevano con un movimento di trascinamento.

12 Descrizione del percorso didattico (4)

13 Descrizione del percorso didattico (5) Gli alunni ne hanno individuato agevolmente alcune, come ad esempio 16-17, e 14-8, rilevando immediatamente come esse fossero formate da bandierine dello stesso colore e che quindi dovesse trattarsi di trasformazione non invertente. Si sono invitati i ragazzi a scegliere una delle coppie prese in esame (21-10), ad individuare punti corrispondenti delle due figure e ad unirli con segmenti.

14 Descrizione del percorso didattico (6) Si sono invitati i ragazzi a scegliere una delle coppie prese in esame (21-10), ad individuare punti corrispondenti delle due figure e ad unirli con segmenti.

15 Descrizione del percorso didattico (7) Si è poi chiesto loro quali fossero le caratteristiche di tali segmenti; non hanno trovato difficoltà a coglierne congruenza e parallelismo (tutti i punti si erano mossi di uno stesso tratto e nella stessa direzione), mentre è stato necessario l intervento dell insegnante per completare l osservazione in merito al fatto che il movimento di ciascun punto era avvenuto nello stesso verso.

16 Descrizione del percorso didattico (8) E stato chiaro a questo punto che gli elementi caratterizzanti tale trasformazione sono tre: la direzione la lunghezza (modulo) il verso Si è dunque introdotto il concetto di segmento orientato (vettore) che riassume in sé le caratteristiche della trasformazione, definita TRASLAZIONE.

17 Descrizione del percorso didattico (9) I ragazzi sono stati in grado a questo punto, con la guida dell insegnante, di formulare una definizione corretta di traslazione come trasformazione del piano in sé tale che i segmenti che congiungono ciascun punto P con il corrispondente P sono paralleli, di uguale lunghezza e stesso verso.

18 Descrizione del percorso didattico (10) Affinché i ragazzi familiarizzassero con la traslazione si è proposto di costruire figure sul geopiano e sul foglio di carta quadrettata e di individuarne le traslate secondo vettori assegnati, dapprima paralleli alla quadrettatura e successivamente obliqui.

23 Descrizione del percorso didattico (15) Con una serie di domande e considerazioni l insegnante ha condotto la classe a puntualizzare e a approfondire la conoscenza della traslazione: E un isometria invertente o non invertente? I ragazzi hanno disegnato un triangolo ABC e, aiutandosi con la quadrettatura, hanno individuato il suo traslato secondo un certo vettore. Le lettere del contorno ABC e A B C si susseguono nello stesso verso dunque si tratta di una isometria non invertente.

25 Descrizione del percorso didattico (17) La traslazione ha o no punti fissi? I ragazzi hanno disegnato un poligono ABCDEF, lo hanno ricopiato su carta lucida e trascinato il lucido parallelamente secondo un certo vettore individuando il poligono A B C D E F. Il movimento di scorrimento effettuato non ha lasciato dubbi: non ci sono punti fissi.

26 Descrizione del percorso didattico (18) Questa esperienza ha fornito anche l occasione per introdurre il concetto di traslazione inversa come movimento che riporta la figura traslata sulla figura iniziale.

27 Descrizione del percorso didattico (19) Le attività grafiche fin qui effettuate hanno evidenziato che la traslazione trasforma rette in rette parallele, quindi si è ritenuto opportuno chiedere ai ragazzi: Nella traslazione ci sono rette che vengono trasformate in sé? L insegnante ha indirizzato l attività chiedendo di disegnare una figura a piacere, di scegliere in essa un segmento e di effettuare una traslazione con vettore parallelo al segmento scelto.

28 Descrizione del percorso didattico (20) Un gruppo di ragazzi ha disegnato un rettangolo ABCD, in esso ha scelto la diagonale AC ed ha effettuato la traslazione di vettore t parallelo alla diagonale ottenendo il rettangolo A B C D. Le diagonali AC e A C vengono a trovarsi sulla stessa retta.

29 Descrizione del percorso didattico (21) E evidente come la retta a cui appartiene la diagonale del rettangolo sia trasformata in sé dalla traslazione con vettore parallelo alla diagonale stessa. Si è introdotta dunque la terminologia di retta unita e si è concluso che le rette unite in una traslazione sono quelle parallele al vettore.

30 Descrizione del percorso didattico (22) Si è passati ora alla costruzione di figure traslate su carta bianca utilizzando riga e squadra.

31 Descrizione del percorso didattico (23) Dopo aver proposto diverse applicazioni sia su foglio quadrettato che bianco si è passati all utilizzo del foglio quadrettato dotato di sistema di riferimento cartesiano esteso ai quattro quadranti (utilizzando i numeri relativi solo per individuare punti nel piano), ritenendo che questo renda anche più agevole lo svolgimento di vari esercizi sulle isometrie.

32 Descrizione del percorso didattico (24) Nel contempo il ricorso al riferimento cartesiano offre l occasione di proporre figure attraverso le coordinate dei loro vertici e vettori mediante le loro componenti, nonché di controllare gli esiti di esercitazioni con informazioni valide per tutti gli alunni. Le componenti del vettore andranno intese come spostamenti: verso destra o sinistra (componente orizzontale positiva o negativa) e verso l alto o il basso (componente verticale positiva o negativa).

33 Descrizione del percorso didattico (25) Il lavoro nel piano cartesiano è stato approfondito con l utilizzo di GeoGebra, che ha consentito di visualizzare velocemente e correttamente numerose traslazioni rendendo più agevoli ulteriori osservazioni. In tale contesto i ragazzi hanno scoperto facilmente l equazione di una traslazione, inizialmente di vettore parallelo ad uno degli assi e successivamente obliquo.

38 Descrizione del percorso didattico (30) Si è proposto poi ai ragazzi di cercare immagini nel mondo reale nelle quali potessero individuare le isometrie fin qui esaminate, considerando in particolare motivi che si ripetessero indefinitamente in una sola direzione a formare fregi. Si sono presi in esame motivi architettonici, vetrate, stoffe, carte da parati

42 Descrizione del percorso didattico (34) Il lavoro è proseguito con domande dell insegnante: Quali immagini sono riconducibili a fregi? Quali caratteristiche hanno questi ultimi? Qual è il motivo che si ripete? Quale isometria è stata utilizzata per la ripetizione del motivo? Il motivo che si ripete presenta delle isometrie?

43 Descrizione del percorso didattico (35) I ragazzi hanno compreso che un fregio si ottiene applicando ripetutamente la traslazione di un motivo sempre secondo lo stesso vettore, mentre tra le isometrie eventualmente presenti nel motivo del fregio hanno individuato ovviamente soltanto la simmetria assiale. L osservazione e lo studio dei fregi potrà pertanto essere completata una volta affrontate le altre isometrie.

44 Descrizione del percorso didattico (36) E stato poi proposto agli alunni di disegnare con GeoGebra un motivo base a piacere e di utilizzare le funzioni di simmetria assiale e traslazione per costruire fregi.

46 Descrizione del percorso didattico (38) A questo punto si è ritenuto opportuno stabilire un collegamento tra la traslazione e la simmetria assiale, facendo scoprire che la composizione di due simmetrie assiali può generare una traslazione; a questo scopo si sono invitati i ragazzi a disegnare una figura e ad effettuare in sequenza due simmetrie assiali con assi tra loro paralleli.

48 Descrizione del percorso didattico (40) Esiste una isometria che fa passare dalla figura ABCDE alla figura A B C D E? Si tratta di una isometria invertente o non invertente? Ha punti fissi? Dalla discussione è emerso che si trattava di una traslazione e sono stati proprio i ragazzi a volerne individuare il vettore; direzione e verso sono emersi facilmente, mentre non è stato immediato individuarne il modulo. A tale scopo si è suggerito agli alunni di ripetere l esercizio variando la distanza fra gli assi paralleli e i ragazzi hanno scoperto che la lunghezza della traslazione era sempre doppia della distanza tra gli assi; guidati dall insegnante ne hanno capito il perché.

50 Descrizione del percorso didattico (42) Si è provato poi ad invertire l ordine di esecuzione delle simmetrie assiali ad assi paralleli. Partendo dalla figura ABCDE si è eseguita stavolta prima la simmetria rispetto a r 2 e poi su A B C D E la seconda simmetria assiale rispetto a r 1. Gli alunni hanno dimostrato che si è generata una traslazione da ABCDE ad A B C D E come nel primo caso; stavolta però si è ottenuta una traslazione con stesso modulo, stessa direzione ma con verso opposto al precedente.

51 Descrizione del percorso didattico (43) Il proseguimento del percorso ha previsto lo sviluppo di attività riguardanti le altre isometrie ed ha utilizzato gli stessi criteri operativi. Per introdurre la simmetria centrale e la rotazione si è lavorato con un foglio di carta bianca (per rappresentare il piano) e un foglio di carta trasparente fissato al precedente con un bottone automatico inserito in un punto qualsiasi. Sul foglio di carta bianca sono stati disegnati punti e figure che sono stati ricalcati sulla carta trasparente; ruotando il foglio trasparente di angoli di 180, 90, 45 ecc. si sono individuati i punti e le figure corrispondenti attraverso la bucatura del foglio con uno spillo.

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53 Descrizione del percorso didattico (44) Lo studio di quanto ottenuto ha permesso di caratterizzare queste isometrie e di individuarne le proprietà (isometrie non invertenti con un solo punto unito; involutoria la simmetria centrale ma non la generica rotazione; con rette unite la simmetria centrale;.....).

54 Descrizione del percorso didattico (45) A questo punto si sono effettuate attività volte ad evidenziare come la simmetria centrale e la rotazione si possano ottenere come composizione di due simmetrie assiali ad assi incidenti, perpendicolari nel caso della simmetria centrale.

55 Descrizione del percorso didattico (46) Si è disegnato un triangolo ABC su un foglio di carta che si è poi piegato in modo da ottenere due assi incidenti, rispetto ai quali si sono costruite in successione le figure simmetriche A B C e A B C. Cosa è possibile dire delle figure ABC e A B C? Osserviamo il senso di percorrenza del contorno delle figure: cosa notiamo? Esiste una isometria che porta ABC in A B C? Di quale isometria si tratta? I ragazzi hanno concluso agevolmente che si tratta di una rotazione e ne hanno individuato il centro e l angolo orientato, trovandone conferma attraverso la sovrapposizione di un lucido fissato al foglio bianco nel punto d incontro degli assi con un bottone automatico.

56 Descrizione del percorso didattico (47) Successivamente si è scoperta la relazione tra l ampiezza dell angolo di rotazione e quella dell angolo compreso tra i due assi: l angolo di rotazione è sempre doppio rispetto a quello tra gli assi di simmetria.

57 Descrizione del percorso didattico (48) Utilizzando GeoGebra è stato possibile visualizzare in maniera dinamica cosa accade facendo variare l ampiezza dell angolo compreso tra i due assi di simmetria. Questa attività ha reso evidente che la simmetria centrale non è altro che un caso particolare di rotazione, ossia quella di 180 : il mezzo giro.

58 Descrizione del percorso didattico (49) Per completare il quadro delle isometrie si è esaminato il caso di un isometria inversa senza punti fissi. Si è proposto ai ragazzi di disegnare su carta quadrettata una figura e di eseguire su di essa una simmetria assiale e successivamente una traslazione parallela all asse di simmetria (o viceversa). La trasformazione che porta la prima figura nella terza è sicuramente priva di punti fissi e cambia il verso di percorrenza del contorno; si tratta pertanto di una nuova isometria, detta antitraslazione o glissosimmetria, che trova corrispondenza nella realtà con le orme dei passi di una persona.

59 Verifiche degli apprendimenti a) Tipologie impiegate: - osservazione degli alunni durante le attività e ascolto dei loro interventi nelle discussioni collettive - prove strutturate (scelta multipla, vero-falso, completamento) - prove grafiche - domande aperte

60 b) Esempi 1) Individua le caratteristiche della traslazione: a) mantiene la lunghezza dei lati b) mantiene la posizione nel piano e) ha punti fissi c) mantiene l ampiezza degli angoli f) ha rette unite d) conserva il verso di percorrenza del contorno g) trasforma rette in rette parallele 2) Elenca gli elementi che caratterizzano una traslazione 3) Completa la seguente affermazione: una traslazione può essere ottenuta come composizione di due simmetrie assiali con assi: a) incidenti b) paralleli c) perpendicolari 4) Le figure ABC e A B C si corrispondono in una traslazione. Individua graficamente il vettore che porta la prima nella seconda. Nella traslazione inversa, quale elemento caratterizzante il vettore risulta variato?

61 5) Data la figura F, disegna la simmetrica F nella simmetria di asse s e successivamente realizza un fregio con il motivo ottenuto secondo il vettore t indicato. 6) Data la figura F disegna la simmetrica F nella simmetria di asse r e successivamente trasla F secondo il vettore t perpendicolare ad r ottenendo la figura F Si può passare dalla figura F alla figura F con una simmetria assiale? Se sì, rispetto a quale asse? Disegnalo.

62 Risultati ottenuti (analisi critica in relazione agli apprendimenti degli alunni) Gli alunni non hanno mostrato difficoltà a comprendere le questioni generali del percorso; hanno evidenziato buone capacità di intuizione e di osservazione; la fase operativa piuttosto articolata e anche l utilizzo di GeoGebra hanno sicuramente motivato l apprendimento agevolando il successivo momento della concettualizzazione. Non per tutti è stato facile utilizzare gli strumenti del disegno geometrico nell ultima parte del percorso riguardante la rotazione.