Equazioni algebriche di terzo grado: ricerca delle soluzioni

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1 Equazioni algebriche di terzo grado: ricerca delle soluzioni 1 Caso particolare: x 3 + px + q = Caso generale: x 3 + bx + cx + d = Esercizi

2 Equazioni algebriche di terzo grado: ricerca delle soluzioni Occupiamoci della ricerca delle soluzioni reali dell equazione di terzo grado x 3 + bx + cx + d = 0, con b, c, d R. Poichè la funzione fx) = x 3 + bx + cx + d è continua su R e lim fx) =, lim x fx) = +, x + per il Teorema degli zeri la funzione f ammette almeno uno zero in R. l equazione x 3 + bx + cx + d = 0 ammette sempre almeno una soluzione reale. Presentiamo un procedimento per calcolare le soluzioni, anche quelle eventualmente non reali, dell equazione. 1 Caso particolare: x 3 + px + q = 0 Siano p, q R. Consideriamo l equazione di terzo grado x 3 + px + q = 0. Siano u, v C tali che { x = u + v, Sostituendo si ottiene l equazione p = 3uv. u + v) 3 3uvu + v) + q = 0 che semplificata diventa u 3 + v 3 = q. u, v C risolvono il sistema cioè { u 3 + v 3 = q, uv = p 3, u 3 + v 3 = q, u 3 v 3 = p3 7. z u 3 + v 3) z + u 3 v 3 = 0, cioè z + qz p3 7 = 0.

3 Caso particolare: x 3 + px + q = 0 3 Le soluzioni in C di questa equazione sono date da dove z 1, = q ± q p3 = q ± q 4 + p3 7, q 4 + p3 7 indica una delle due radici quadrate complesse del numero reale q 4 + p3 7. Sussistono due casi: 1) se q 4 + p3 7 0, allora otteniamo z 1, z R. posto u 3 = z 1 e v 3 = z si ha u = z 1, v = z e di conseguenza x = u + v = z 1 + z. Osserviamo che questa soluzione dell equazione di terzo grado è reale; ) se q 4 + p3 7 < 0, allora otteniamo z 1, z C \ R z = z 1 ). posto u 3 = z 1 e v 3 = z = z 1 otteniamo le tre radici terze complesse u k di z 1 e le tre radici complesse v k di z 1, per ogni k = 0, 1,. dell equazione di terzo grado sono Di conseguenza le tre soluzioni in C x k = u k + v k, k = 0, 1,. Essendo il polinomio di terzo grado reale, almeno una delle tre soluzioni è reale. Infatti, posto z 1 = z 1 e iϑ, si ha che z 1 = z 1 e iϑ e quindi u k = 3 z 1 e i ϑ+kπ 3, v k = 3 z 1 e i ϑ+kπ 3, k = 0, 1,. ) x 0 = u 0 + v 0 = z 3 1 e i ϑ 3 + e i ϑ 3 = 3 z 1 cos ϑ 3 R. in entrambi i casi si determina una soluzione reale x 0 dell equazione di terzo grado. Dividendo il polinomio x 3 + px + q per x x 0 si ottiene un polinomio di secondo grado. Le altre soluzioni dell equazione sono le radici di questo polinomio di secondo grado. 1.1) Osservazione Il metodo appena descritto si può applicare anche se p, q C. In questo caso non è detto che esistano soluzioni reali.

4 4 Equazioni algebriche di terzo grado: ricerca delle soluzioni 1.) Esempio Determinare le soluzioni reali dell equazione x 3 + 3x + 1 = 0. Posto x = u + v, con u, v C, si ha che u, v risolvono il sistema { u 3 + v 3 = 1, u 3 v 3 = 1. z + z 1 = 0. z 1, = 1 ± u = z 1 = 3 1, v = z = 3 + 1, x = u+v = Osserviamo infine che questa è l unica soluzione reale dell equazione x 3 + 3x + 1 = 0. Infatti, la funzione fx) = x 3 + 3x + 1 è strettamente crescente. 3 Caso generale: x 3 + bx + cx + d = 0 Posto x = y b 3, l equazione x3 + bx + cx + d = 0 diventa che semplificata è Posto y 3) b 3 + b y 3) b + c y b ) + d = 0 3 y 3 + c 1 ) 3 b y + 7 b3 1 ) 3 bc + d = 0. p = c 1 3 b, q = 7 b3 1 bc + d, 3 si ricade nel caso particolare y 3 + py + q = 0..1) Osservazione Il metodo appena descritto si può applicare anche se b, c, d C. In questo caso non è detto che esistano soluzioni reali..) Esempio Determinare le soluzioni reali dell equazione x 3 + 3x + 6x + 5 = 0. Posto x = y 1 si ottiene l equazione y 1) 3 + 3y 1) + 6y 1) + 5 = 0

5 3. Esercizi 5 che semplificata è y 3 + 3y + 1 = 0 che è l equazione dell esempio 1.). l unica soluzione reale di y 3 + 3y + 1 = 0 è 5 5 y = e l unica soluzione reale di x 3 + 3x + 6x + 5 = 0 è 5 5 x = y 1 = ) Osservazione Data l equazione di terzo grado ax 3 + bx + cx + d = 0, con a, b, c, d C e a 0, dividendo per a ci si riconduce al caso precedente. 3 Esercizi Determinare le soluzioni reali delle seguenti equazioni di terzo grado: a) x x + 3 = 0 b) x 3 3 4x + 5 = 0 c) x 3 3x 3x = 0 d) x 3 + 3x x = 0 1 ] 4 1 ] 4 1 ; ] 8 6 ] Svolgimento a) Consideriamo l equazione x x + 3 = 0. Posto x = u + v, con u, v C, si ha che u, v risolvono il sistema { u 3 + v 3 = 3, u 3 v 3 = 4. z + 3z 4 = 0. z 1, = 4; 1.

6 6 Equazioni algebriche di terzo grado: ricerca delle soluzioni u = z 1 = 4, v = z = 1, x = u + v = 1 4. Osserviamo infine che questa è l unica soluzione reale dell equazione x x+3 = 0. Infatti, la funzione fx) = x x + 3 è strettamente crescente. b) Consideriamo l equazione x 3 3 4x + 5 = 0. Posto x = u + v, con u, v C, si ha che u, v risolvono il sistema { u 3 + v 3 = 5, u 3 v 3 = 4. z + 5z + 4 = 0. z 1, = 4; 1. u = z 1 = 4, v = z = 1, x = u + v = 1 4. Osserviamo infine che questa è l unica soluzione reale dell equazione x 3 3 4x+5 = 0. Infatti, la funzione fx) = x 3 3 4x+5 è strettamente crescente in, ] ) e in, +, mentre è strettamente decrescente in, ] ; x = è un punto di minimo locale e il minimo locale di f è f = 1 > 0. oltre a x = 1 4 la funzione f non ammette altri zeri. c) Consideriamo l equazione x 3 3x 3x = 0. Posto x = y + 1 si ottiene l equazione y 3 6y 4 = 0. Posto y = u + v, con u, v C, si ha che u, v risolvono il sistema { u 3 + v 3 = 4, u 3 v 3 = 8. z 4 z + 8 = 0. z 1, =.

7 Esercizi 7 u = v = z 1 = 3 = 6 8, y = u + v = 6 8. una soluzione reale dell equazione di terzo grado y 3 6y 4 = 0 è y = 6 8. Per determinare le altre eventuali soluzioni consideriamo la funzione fy) = y 3 6y 4. f è strettamente crescente in, ] e in ), +, mentre è strettamente decrescente in, ] ; y = è un punto di ) minimo locale e il minimo locale di f è f = 8 < 0, mentre y = è un punto di massimo locale e il massimo locale di f è f ) = 0. y = è un altro zero di f. Essendo anche un punto di massimo, ne segue che y = è una radice di molteplicità di fy). Essendo la funzione x = y + 1 strettamente monotona, ne segue che gli zeri di fx) = fy + 1) = x 3 3x 3x sono x 1 = y = e x = y + 1 = 1, quest ultimo con molteplicità. d) Consideriamo l equazione x 3 + 3x x = 0. Posto x = y 1 si ottiene l equazione y y + 3 = 0. Posto y = u + v, con u, v C, si ha che u, v risolvono il sistema { u 3 + v 3 = 3, u 3 v 3 = 6. z + 3z 6 = 0. z 1, = 3; 3. u = z 1 = 3 3 = 6 1, v = z = 3 3 = 6 3, y = u+v = una soluzione reale dell equazione di terzo grado y y + 3 = 0 è y = Osserviamo che questa è l unica soluzione reale dell equazione y y + 3 = 0. Infatti, la funzione fy) = y y + 3 è strettamente crescente. Essendo la funzione x = y 1 strettamente monotona, ne segue che la funzione fx) = fy 1) = x 3 + 3x x ammette l unico zero x = y 1 =