Variabili aleatorie e test statistici

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1 Vrsion. ( dicmbr ) Corso di Laura in Scinz Tcnologi Agrari Facoltà di Scinz Tcnologi Libra Univrsità dgli Studi di Bolzano A.A. / Introduzion Qusta dispnsa contin solo la part sull distribuzioni continu sui tst statistici pr il corso di Matmatica Statistica. La dispnsa è in continuo aggiornamnto, attnzion alla data alla vrsion. Indic Introduzion... Indic... Variabili alatori discrt.... Indipndnza.... Misur di cntralità disprsion Brnoulliana Binomial Poisson... 7 Variabili alatori continu Misur di cntralità disprsion Uniform....3 Esponnzial....4 Normal... 3 Torma dl limit cntral Campionamnto Intrvallo di confidnza... Tst di vrifica d ipotsi Esmpio Ipotsi nulla ipotsi altrnativa Significatività....4 Accttar rifiutar....5 Rquisito di normalità... 7 Tst t di Studnt pr una mdia t di Studnt pr du mdi Analisi dlla varianza (ANOVA) monofattorial... 8 Tablla di contingnza Chi quadro χ di Parson Traduzion... 4

2 Variabili alatori discrt L variabili utilizzat comunmnt in matmatica possono assumr un solo valor, anch s spsso qusto valor rsta incognito oppur è da dtrminar risolvndo dll quazioni. L variabili alatori invc possono assumr un insim di valori, ognuno con la propria probabilità. Ess si indicano in qusto modo: dov è la probabilità dl risultato, la probabilità dl risultato, cc. Soltanto quando un vnto associato alla variabil alatoria si vrifica potrmo qual risultato assum la variabil, d a qusto punto la variabil smtt di ssr una variabil alatoria divnta una variabil non alatoria. Ad smpio, un lancio di dado può ssr rapprsntato, prima dl lancio, dalla variabil alatoria lancio di dado I rquisiti ch una variabil alatoria discrta dv soddisfar, pr far sì ch uno solo uno di risultati si vrifichrà, sono:. ogni probabilità dv ssr comprsa tra. la somma dll probabilità dv ssr. Indipndnza Du variabili alatori si dicono indipndnti quando la probabilità ch si vrifichi una coppia di risultati è data sattamnt dal prodotto dll probabilità di singoli risultati. In trmini matmatici P P P pr ogni possibil risultato. S anch una dll coppi di risultati non soddisfa qusta rlazion, allora l variabili alatori non sono indipndnti. Vicvrsa, pr ssr indipndnti tutt l possibili coppi di risultati dvono soddisfar qusta rlazion. Il conctto di indipndnza tra variabili alatori indica ch l du variabili non hanno nulla a ch far l una con l altra non hanno modo di influnzar rciprocamnt i risultati. Ad smpio, considrando l variabili alatori lancio di dado lancio di monta (indicando con il risultato tsta con il risultato croc) qust du variabili vidntmnt non possono influnzarsi i risultati. Difatti, ad smpio, la probabilità di ottnr 3 con il dado tsta con la monta è proprio /, sattamnt / /. Facndo il calcolo con tutt l altr coppi ottniamo lo stsso risultato. Considrando invc l variabili alatori lancio di dado quadrato dl lancio prcdnt, qust du variabili sono palsmnt dipndnti in quanto la sconda variabil è dtrminata unicamnt dalla prima. Infatti Vrsion. ( dic ) Pag. di 5

3 lancio di dado quadrato di lancio di dado 5 Plancio di dado quadrato stsso lancio di dado 5, dato ch è impossibil ottnr con il lancio 5 con il quadrato dl lancio! Invc Plancio di dado Pquadrato stsso lancio di dado 5 / //. I du risultati non sono uguali, quindi l du variabili non sono indipndnti. Non è ncssario vrificar altr coppi, in quanto basta una coppia ch non soddisfa la rlazion pr mostrar ch l du variabili non sono indipndnti. Pr fornir un altro smpio costruiamo la variabil ch indica la somma di du lanci di dado. Qusta variabil è fatta in qusto modo somma di du lanci di 3 dado somma 8 5 di du lanci di 4 3, riassumndo i valori uguali, dado dov la probabilità è smpr / / / dato ch i du lanci non hanno modo di influnzarsi a vicnda. S ora considriamo invc com X la variabil somma com Y la variabil primo lancio, Y influnza vidntmnt X, dato ch mtà dlla somma è dtrminata proprio dal primo dado. Infatti, facciamo il calcolo dlla probabilità di ottnr X4 Y, cioè Psomma 4 lancio primo dado. La probabilità ch il primo dado dia è /, a qusto punto, la probabilità di ottnr una somma ugual a 4 condizionata dal fatto ch il primo dado ha fatto è /, dato ch l unico risultato possibil pr il scondo lancio è 3. Quindi la probabilità dlla coppia è /. Mntr Psomma 4 Plancio primo dado 3/ //7 ch è divrso da /.. Misur di cntralità disprsion.. Valor attso Il valor attso di una variabil alatoria X è Vrsion. ( dic ) Pag. 3 di 5

4 E dov j sono i valori dlla variabil alatoria p j sono l rlativ probabilità. Il valor attso ci dà una misura dl punto cntral dlla variabil alatoria, considrando i possibili valori la probabilità di avvnir. Dalla dfinizion si capisc ch intuitivamnt il valor attso è l analogo dlla mdia di un insim di dati. Calcolando il valor attso dl lancio di dado ottniamo Elancio di dado ,5 da qui possiamo notar ch il valor attso non coincid ncssariamnt con uno di valori dlla variabil alatoria ma può anch ssr un numro ch in raltà non avvin mai. Il valor attso ha dll intrssanti proprità:. E E E, cioè s sommiamo du variabili alatori (ottnndo una trza variabil alatoria X+Y), il valor attso dlla somma è la somma di du valori attsi di partnza;. E E, cioè s moltiplichiamo una variabil alatoria pr una costant (ottnndo così un altra variabil alatoria cy), il valor attso è qullo di partnza moltiplicato pr la costant; 3. E, cioè s calcoliamo il valor attso di una costant (ch è in pratica una variabil alatoria con un solo valor possibil) ottniamo sattamnt la costant; 4. E E, cioè s aggiungiamo una costant ad una variabil alatoria il valor attso aumnta di una costant. Ad smpio, s considriamo la variabil alatoria doppio di lancio di un dado, ch ha i sgunti valori Il suo valor attso è doppio di lancio di dado 4 8 Edoppio di lancio di dado ch è sattamnt il doppio dl valor attso Elancio di dado 3,57... Mdiana Un altra misura di cntralità ch tin maggiormnt conto dlla distribuzion di probabilità mno di valori è la mdiana. Qusto valor è dfinito com qul valor pr cui il 5% dll probabilità rstano a sinistra il 5% dll probabilità rstano a dstra. Nl caso dl lancio di dado la mdiana può ssr 3,5, in quanto i valori a sinistra (, 3) hanno una probabilità di 3/, cioè dl 5%, qulli a dstra (4,5 ) hanno una probabilità di 3/, cioè dl 5%. Prò anch 3, è una possibil mdiana, anch 3,999. Prtanto la mdiana di una variabil alatoria discrta potrbb non ssr unica. Vrsion. ( dic ) Pag. 4 di 5

5 ..3 Varianza dviazion standard La varianza è una misura di disprsion, cioè ci dà un ida di quanto disprsi sono i valori possibili dlla variabil alatoria. Essa è calcolata così: Var E Quindi, pr calcolar la varianza abbiamo bisogno dl valor attso. Ad smpio, nl caso dl lancio di dado, Varlancio di dado 3,5 3,5 3 3,5 4 3,5 5 3,5 3,5,5,5,5,5,5,5,9 La varianza ha dll intrssanti proprità:. Var Var Var soltanto quando l variabili X Y sono indipndnti;. Var Var; 3. Var ; 4. Var Var. Inoltr notiamo ch la varianza, ssndo una somma di quadrati moltiplicati pr probabilità, ch sono smpr positiv, ha smpr un valor maggior di. L unico caso in cui val sattamnt è quando la variabil alatoria ha un solo valor, cioè è costant. Dfiniamo la dviazion standard com la radic quadrata dlla varianza Var..3 Brnoulliana La variabil alatoria di Brnoulli è una smplic variabil alatoria discrta con du valori: brnoulliana dov p è un paramtro con valor tra. Prtanto la variabil di Brnoulli è non è una singola variabil alatoria, ma un intra famiglia di variabil alatori. Ad smpio, il lancio di una monta può ssr rapprsntato, indicando con tsta con croc, tramit una variabil di Brnoulli con p,5: tsta 5% lancio di una monta croc 5% Il valor attso di una brnoulliana è facil da calcolar EBrnoulli. La varianza è VarBrnoulli. Pr quanto riguarda la mdiana, s p,5 allora qualunqu valor tra è una possibil mdiana, mntr s p,5 la mdiana non sist in quanto automaticamnt uno di du valori possid una probabilità suprior al 5% prtanto è impossibil trovar un valor ch abbia a sinistra 5% di probabilità a dstra 5% di probabilità..4 Binomial S sommiamo du variabili brnoullian indipndnti con lo stsso paramtro p,3 ottniamo: Vrsion. ( dic ) Pag. 5 di 5

6 ,7,7,49,3,7 somma di du brnoullian con paramtro,3,4,7,3,9,3,3 dov l probabilità sono dat dal prodotto dll probabilità dato ch l du variabili sono indipndnti. Sommandon tr, ottniamo:,7,7,7,3,7,7,7,3,7,343,3,3,7,44 somma di tr brnoullian con paramtro,3,7,7,3,89,3,7,3 3,7,7,3,3,3,3,3 Vdiamo ch la variabil risultant ha valori ch vanno da, quando non abbiamo mai ottnuto un valor, a N, quando abbiamo smpr ottnuto il valor in tutt l variabili brnoullian considrat. La variabil alatoria binomial è dfinita com la somma di N variabili casuali brnoullian, indipndnti tutt con lo stsso paramtro p. È important sottolinar ch l variabili brnoullian sommat dvono avr tutt lo stsso paramtro p dvono ssr indipndnti. Si può dimostrar ch in gnral la variabil binomial è B; Quindi la probabilità pr il valor k dlla variabil binomial è data sattamnt dal cofficint binomial moltiplicato pr. La variabil alatoria binomial è una variabil a du paramtri, in quanto cambia al variar di paramtri N p, ch dvono ssr N un numro intro maggior di mntr p un numro tra. Il valor attso dlla variabil binomial è facil da calcolar usando la proprità a pagina 4: EB; EBrnoulli EBrnoulli EBrnoulli Dato ch l variabili sono indipndnti, possiamo usar la proprità a pagina 5 pr calcolar la varianza: VarB; VarBrnoulli VarBrnoulli VarBrnoulli La mdiana invc è difficil da calcolar nl caso gnral potrbb non sistr pr molti paramtri N p. Un smpio di una possibil applicazion dlla distribuzion binomial è il sgunt. Sappiamo ch la probabilità ch una mla sia marcia è dll %; s una cassa di ml contin ml, quali sono l probabilità di trovar zro ml marc, non più di 5 ml marc non più di ml marc? S N è, allora la variabil binomial è una variabil di Brnoulli. Vrsion. ( dic ) Pag. di 5

7 Considrando la variabil brnoulliana mla con valor corrispondnt a marcia corrispondnt a buona, la distribuzion di ml marc nlla cassa è una variabil binomial B(;,) quindi: PB;,,,99,3398 3,398% PB;, 5 PB;, PB;, PB;, PB;, 3 PB;, 4 PB;, 5,,99,,99,,99 3,,99 4,,99 5,,99,3398,77,73,8,9,357 98,398% Com è vidnt, calcolar i valori di una binomial è un procdimnto lungo prtanto è consigliabil utilizzar la funzion Ecl BINOMDIST(k;N;p;FALSE) pr calcolar la probabilità di un singolo valor la funzion Ecl BINOMDIST(k;N;p;TRUE) pr calcolar la probabilità cumulata, cioè la somma dll probabilità da a k. Difatti pr calcolar PB;, utilizziamo BINOMDIST(;;,;TRUE) ottniamo dirttamnt 99,999%..5 Poisson Quando dobbiamo studiar un vnto ch ha una distribuzion binomial ma non è noto il valor di N ma abbiamo la crtzza ch sia un valor grand, allora ricorriamo alla variabil alatoria di Poisson.! Poisson!!! Com notiamo dalla dfinizion, la variabil di Poisson non ha un numro limitato di valori possibili ma può toricamnt assumr qualunqu numro intro da in poi com valor. Essa ha un paramtro µ ch dv ssr un numro, anch non intro, positivo. Considrando un intrvallo di tmpo o di quantità, il paramtro µ rapprsnta quant volt solitamnt ossrviamo il fnomno in qull intrvallo. Ad smpio, considrando un albro di ml con un numro indtrminato di ml sapndo ch solitamnt su ogni albro ci sono 7 ml marc, la probabilità ch l ml marc siano sattamnt 4 è PPoisson ! 4,99 9,% 4 Anch pr la variabil di Poisson sist la funzion Ecl POISSON(k;µ;FALSE), pr la probabilità cumulata, POISSON(k;µ;TRUE). Il valor attso la varianza dlla variabil di Poisson sono difficili da calcolar sono ntrambi uguali a µ. La mdiana dipnd molto dal paramtro µ non sist una formula gnral, addirittura in alcuni casi non sist. Vrsion. ( dic ) Pag. 7 di 5

8 Variabili alatori continu La variabil alatoria continua, dtta anch distribuzion, è un stnsion dlla variabil alatoria discrta nl caso in cui i valori oltr ad ssr infiniti sono anch dnsi, cioè comprndano intri intrvalli di numri non ncssariamnt intri. La variabili alatori continu sono dfinit tramit una funzion di dnsità f() ch ha l sgunti proprità:. f(). d 3. P d Quindi, prndndo una funzion f() smpr positiva, com da richista f() d la proprità 3 di pagina 8 ci dic ch la probabilità di ottnr un valor comprso da 3 è l ara sotto qusta curva comprsa tra 3, dato ch l intgral rapprsnta l ara sotto la curva. La proprità inoltr ci garantisc ch prndndo tutti i possibili valori tra la probabilità è sattamnt ugual a %, com dv intuitivamnt ssr. Facndo un analogia con l variabili alatori discrt, la proprità coincid con la di pagina (ogni probabilità dv ssr comprsa tra ), mntr la è l analogo dlla proprità di pagina (la somma dll probabilità dv ssr ). Qualora dsidrassimo calcolar la probabilità ch la variabil alatoria continua assuma sattamnt un singolo valor c, in virtù dlla proprità 3 tal probabilità sarbb P d ch è nullo dato ch è l intgral di una zona con bas di lunghzza. Quindi pr l variabili alatori continu non ha snso parlar di un singolo valor, dato ch i valori possibili sono così tanti ch la probabilità ch sca un singolo valor prdtrminato è nulla. Vicvrsa, parlrmo smpr di probabilità di intrvalli. Ad smpio, considrando la sgunt funzion 3 3 è facil dimostrar ch è una funzion di dnsità. Difatti la funzion è fuori dall intrvallo [; 3 mntr è smpr positiva all intrno quindi la proprità è soddisfatta. Inoltr l intgral tra si riduc all intgral tra 3 ssndo la funzion nulla al di fuori dll intrvallo. Quindi Vrsion. ( dic ) Pag. 8 di 5

9 f(),5,5,5 d 3 3 3,5,5,5. Misur di cntralità disprsion.. Valor attso Il valor attso di una variabil alatoria continua X è dato dalla formula E d Esattamnt com pr l variabili alatori discrt sso indica un punto, ch non è ncssariamnt un valor, ch si trova al cntro dlla distribuzion di valori di probabilità. Nll smpio prcdnt, E d d d ,87.. Mdiana La mdiana di una variabil alatoria continua X è dfinita sattamnt com la mdiana di una variabil alatoria discrta: qul valor pr cui mtà dlla probabilità sta a sinistra mtà a dstra, cioè Nll smpio prcdnt, mdiana d mdiana d mdiana d, risolvndo l quazion, ottniamo 5% d Vrsion. ( dic ) Pag. 9 di 5 mdiana 5% mdiana 3 mdiana mdiana,5 3 3 mdiana,5 mdiana,5..3 Varianza La varianza di una variabil alatoria continua X è data dalla formula Var E d,447

10 Esattamnt com pr l variabili alatori discrt sso ci dà un ida di quanto disprsi siano i valori di X anch ssa richid la conoscnza dl valor attso pr potr ssr calcolata. Nll smpio prcdnt, Var,87 d,87 d,87 d,34,775 d,34, ,48,34,775, ,34 3 4, Anch pr l variabili alatori continu la dviazion standard è dfinita com la radic quadrata dlla varianza.. Uniform La variabil alatoria uniform è l analogo continuo dl lancio di un dado. Essa è dfinita dalla funzion di dnsità f() a b dov a b sono du paramtri, ch possono assumr qualunqu valor purché a<b. Il valor attso dlla distribuzion uniform è facil da calcolar, dato ch la sua dnsità è costant: EU; d d Il valor attso dlla distribuzion uniform è quindi il punto di mzzo tra i du valori strmi. La varianza Vrsion. ( dic ) Pag. di 5

11 VarU; d d d Notiamo ch la varianza è smpr positiva in quanto a<b ovviamnt aumnta quando a b sono molto distanti. La mdiana invc è chiaramnt, valor ch divid l ara sotto f() in du parti prfttamnt uguali ognuna pari a,5. In gnral, pr tutt l variabili alatori continu simmtrich la mdiana coincid con il valor attso..3 Esponnzial La variabil alatoria sponnzial è l analogo continuo dlla variabil alatoria di Poisson. Essa è dfinita dalla funzion di dnsità f() dov è un paramtro ch può assumr qualunqu valor positivo. Vrsion. ( dic ) Pag. di 5

12 Vrsion. ( dic ) Pag. di 5 Il valor attso è varianza 3 dlla distribuzion sponnzial sono più complssi da calcolar sono pari a / /..4 Normal La distribuzion normal, dtta anch gaussiana, è l analogo continuo dlla binomial. Essa è dfinita dalla funzion di dnsità dov µ è un paramtro ch può assumr qualunqu valor rapprsnta il punto di massimo dlla funzion di dnsità, mntr σ è un altro paramtro ch può assumr qualunqu valor positivo la sua radic quadrata rapprsnta quanto larga è la distribuzion. Quindi mntr µ indica dov è posizionata la distribuzion sull ass di valori, σ ci indica quanto larga è la distribuzion. Chiaramnt, dovndo ssr l intra ara sotto la curva smpr ugual a, s σ è grand sarà larga ma schiacciata, mntr s σ è piccolo sarà strtta ma molto più alta. pr parti d d d )d ( )) (sponnzial( E f ( ) lim d 3 ( ) ( ) ( ) ( ) d d )d ( ) sponnzial( Var s f s ( ) ( ) ( ) ( ) + lim pr parti d d 3 s ( ) ( ) lim pr parti d d f() µ σ

13 , f(),8 f(),,4, Distribuzion normal con µ σ. Distribuzion normal con µ σ,4. Il valor attso è varianza dlla distribuzion sponnzial sono molto complicati da calcolar sono proprio uguali a µ σ. Essndo la distribuzion prfttamnt simmtrica, la mdiana coincid con il valor attso µ. Pr calcolar i valori dlla funzion di dnsità sist in Ecl la funzion NORMDIST(;µ;σ ;FALSE), mntr pr conoscr i valori dll ara tra, dato ch l intgral è impossibil da calcolar analiticamnt, c è la funzion NORMDIST(;µ;σ ;TRUE). Ad smpio, s dobbiamo calcolar la probabilità di ottnr da una distribuzion normal con µ σ 3 un valor infrior a, P(N(;3)<) ara sotto f() tra NORMDIST(;;3;TRUE),944%. S invc vogliamo calcolar la probabilità di ottnr, dalla mdsima distribuzion, un valor comprso tra 4 7, P(4<N(;3)<7) ara sotto f() tra 4 7 (ara sotto f() tra 7) (ara sotto f() tra 4) NORMDIST(7;;3;TRUE) NORMDIST(4;;3;TRUE) 95,% 74,75%,47% La distribuzion normal è la più important distribuzion in statistica in quanto in natura moltissim variabili alatori sguono qusta distribuzion. In particolar, quando si ffttua una misura il valor ottnuto è una variabil alatoria con µ pari al valor vro dlla misura σ ch dipnd da quanto prciso è lo strumnto di misura: strumnti molto prcisi hanno σ molto piccolo quindi tutti i valori misurati saranno vicini al valor vro µ, mntr strumnti grossolani hanno σ grand quindi i valori misurati sono molto sparpagliati anch abbastanza lontano da µ. 3 Torma dl limit cntral Il torma dl limit cntral dic ch la mdia di N variabili alatori idntich indipndnti si distribuisc, al crscr di N, approssimativamnt scondo una distribuzion normal con µ pari al valor attso dll variabili alatori (ch è lo stsso dato ch sono idntich) σ pari alla varianza dll variabili alatori divisa pr N. Ad smpio, prndndo com variabil alatoria il lancio di un dado a facc, ottniamo pr N,, 3, 4,5 l sgunti distribuzioni di probabilità: Vrsion. ( dic ) Pag. 3 di 5

14 lancio di dado mdia dl lancio di dadi % % 5% 5% % % 5% 5% % %,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 mdia dl lancio di 3 dadi mdia dl lancio di 4 dadi 4% % % 8% % 4% % % % % 8% % 4% % % mdia dl lancio di 5 dadi normal con µ3,5 σ,97/5 % 8% % 4% % %,,4,8,, 3, 3,4 3,8 4, 4, 5, 5,4 5, Com possiamo vdr già con N5 la distribuzion somiglia molto ad una normal con µ3,5 ch è sattamnt il valor attso dl lancio di un dado. L approssimazion con una normal prtanto migliora tanto più N aumnta; s la distribuzion di partnza è abbastanza rgolar già con N l approssimazion è molto buona, mntr pr distribuzioni irrgolari è opportuno aspttar almno fino a N3 pr avr una buona approssimazion normal. Vrsion. ( dic ) Pag. 4 di 5

15 normal con µ3,5 σ,97/ normal con µ3,5 σ,97/ La varianza, ch misura la larghzza dlla distribuzion, diminuisc smpr di più in quanto è approssimativamnt pari a,97/. S considriamo la sgunt variabil alatoria / notiamo ch è sattamnt la mdia considrata prima ma a cui abbiamo sottratto il proprio valor attso divisa pr la propria dviazion standard /. Prtanto anch ssa si distribuisc normalmnt, ma stavolta con paramtri µ σ. 4, 4 Campionamnto Una ricrca statistica può analizzar i dati di una popolazion o di un campion. La popolazion è l insim di tutti gli oggtti pr i quali vogliamo ricavar rlazioni tra l variabili analizzat. In qusto caso i dati sono complti la ricrca statistica si limita a dscrivr la situazion snza porsi nssun altro obittivo snza ncssitar di tst statistici. S invc i dati sono disponibili solo su un campion, un sottoinsim dlla popolazion, allora la statistica si pon il problma di chidrsi s l rlazioni individuat sul campion siano stnsibili a tutta la popolazion oppur s qust rlazioni siano prsnti solo pr una sclta particolar dal campion. Prtanto la sclta dl campion rivst nll ricrch statistich un importanza notvol. Molt tcnich statistich prmttono di stndr i risultati ottnuti sul campion a tutta la popolazion a patto ch il campion sia un campion casual, cioè un campion i cui mmbri siano stratti dalla popolazion compltamnt a caso snza alcuna sclta arbitraria. Lavorar con un campion dl gnr purtroppo prsnta notvoli problmi, dato ch non smpr è facil ffttuar una slzion prfttamnt casual. 4 Possiamo dimostrar facilmnt ch il nuovo valor attso, ch pr una distribuzion normal corrispond al paramtro µ, è utilizzando l proprità dl valor attso, E(c X)c E(X), 4, E(X+c)E(X)+c, di pagina 4: E E E. Possiamo / / / / anch dimostrar nllo stsso modo ch la varianza, ch pr una distribuzion normal corrispond al paramtro σ, è usando l proprità dlla varianza, Var(c X)c Var(X), 4, Var(X+c)Var(X), di pagina 5: Var V / / V / / /. Vrsion. ( dic ) Pag. 5 di 5

16 Una stratgia molto usata pr costruir un campion ch si comporta com un campion casual è il campionamnto stratificato. In qusto campionamnto il campion vin sclto in modo da rispttar l proporzioni di alcun variabili significativ nlla popolazion; ad smpio, s vogliamo analizzar una popolazion di albri avrmmo cura di slzionar un campion di albri ch riflttano la distribuzion di altzza, d tà, d illuminazion di carattristich dl trrno ch sono prsnti nll intra popolazion di albri. In qusto modo il campion rispcchia prfttamnt la popolazion, pr lo mno pr quanto riguarda l variabili prs in considrazion. Ovviamnt qust variabili vanno sclt con cura, bilanciando il loro numro dato ch un numro troppo basso non cra un campion bn stratificato mntr un numro di variabili ccssivo rnd molto difficil crar il campion. Un altro asptto dl campionamnto riguarda il numro di soggtti da insrir nl campion. Ovviamnt più grand è il campion mglio riuscirà a dscrivr la popolazion, tnndo prò in considrazion ch è smpr prfribil una buona qualità tramit una sclta casual oppur una stratificazion bn fatta, ad una grand quantità. 5 Intrvallo di confidnza Considriamo una variabil alatoria dlla qual prò ignoriamo la distribuzion abbiamo a disposizion soltanto un campion casual di dati. Vogliamo stimar il valor attso, cioè trovar un valor ch si avvicina al valor attso satto. Pr far ciò utilizziamo ovviamnt la mdia aritmtica di dati ch abbiamo a disposizion dato ch è l oggtto ch più naturalmnt si avvicina al valor attso. Quindi s i nostri dati sono: 7, 8, 9, 9, 9,,, 5, 5,, la nostra stima dl valor attso è,9. Su quanto sia attndibil qusta stima al momnto prò non abbiamo alcuna informazion, considrando soprattutto ch con pochi dati potrbb il valor attso dlla popolazion potrbb ssr molto divrso. Introduciamo quindi il conctto di intrvallo di confidnza, ch è un intrvallo, cntrato sulla nostra stima, all intrno dl qual il valor attso si trova con una crta probabilità. Purtroppo è impossibil ottnr un intrvallo all intrno dl qual il valor attso si trova con crtzza, quindi ad ogni intrvallo di confidnza associamo la probabilità ch il valor attso si trovi ffttivamnt all intrno. Solitamnt la probabilità ch si utilizza è dl 9%, 95% o dl 99%. Supponiamo a qusto punto ch la popolazion di partnza sia distribuita normalmnt (prché, ad smpio, si tratta di una misura natural o di qualch altro fnomno ch sappiamo ssr distribuito normalmnt) o ch i nostri dati siano in numro sufficintmnt grand 5 da potr applicar il torma dl limit cntral sostnr ch la mdia aritmtica di dati sia distribuita normalmnt. Prtanto possiamo utilizzar il torma dl limit cntral (capitolo 3 a pagina 3) sapr ch 5% 9% 5% 3 3 / si distribuisc com una normal N(;). A qusto punto andiamo a guardar l ara ch copr il 9% cntral dlla distribuzion, usando la funzion Ecl NORMINV(5%;;) 5 Una buona rgola mpirica ci suggrisc almno 3 dati. Vrsion. ( dic ) Pag. di 5

17 NORMINV(95%;;), troviamo i valor di,4 +,4 com strmi. Prtanto possiamo affrmar ch: P,4 mdia valor attso dviazion standard,4 9%,4 dviazion standard,4 dviazion standard P mdia valor attso 9%,4 dviazion standard,4 dviazion standard Pmdia valor attso mdia 9% Abbiamo quindi ottnuto l intrvallo di confidnza al 9% pr il valor attso ch è,, mdia ; mdia. All intrno di qusto intrvallo al 9% si trovrà il valor satto dl valor attso. S vogliamo ottnr l intrvallo di confidnza al 95% al 99% basta studiar l ara ch copr il 95% o il 99% trovar di consgunza, al posto di,4, i numri,9,58. Pr calcolar qusti intrvallo di confidnza com si può notar abbiamo bisogno dlla dviazion standard. Qualora anch ssa non sia nota possiamo stimar anch ssa usando la dviazion standard dl campion mdia. Chiaramnt a qusto punto il ragionamnto prcdnt non val più ma si può dimostrar ch pr un campion sufficintmnt grand l intrvallo di confidnza rsta qullo indicato prcdntmnt. Tst di vrifica d ipotsi I tst di vrifica d ipotsi, chiamati anch tst statistici, sono dgli strumnti dlla statistica infrnzial pr vrificar con qual probabilità i risultati ottnuti sul campion possono ssr stsi a tutta la popolazion. L carattristich di ogni tst di vrifica d ipotsi sono: un campion, su cui abbiamo i dati, una popolazion, su cui vogliamo stndr i risultati ricavati dai dati; l ipotsi nulla la sua contraddittoria ipotsi altrnativa; i rquisiti, condizioni ncssari affinché il tst funzioni. Tra i rquisiti c è smpr, anch s non lo indichrmo mai, ch i dati provngano da un campion casual o quantomno di un campion bn stratificato pr quanto riguarda tutt l variabili ch possono influnzar il risultato; la funzion calcolata sui dati, dtta smplicmnt statistica, il cui valor è il risultato dl tst; tramit la statistica ottniamo la significatività dl tst (dtta anch p valu), in bas alla qual potrmmo dcidr s accttar o rifiutar l ipotsi nulla. Ni programmi di statistica la significatività appar automaticamnt durant il calcolo dlla statistica. Infatti a qusto punto invc dlla distribuzion normal dovrmmo, finché il campion è piccolo, utilizzar una distribuzion t di Studnt, com vdrmo nl paragrafo 7. a pagina. Vrsion. ( dic ) Pag. 7 di 5

18 . Esmpio Pr illustrar tutti gli lmnti di un tst di vrifica di ipotsi utilizziamo un smpio molto smplic in sguito spighrmo d analizzrmo, uno ad uno, i passi ffttuati. Supponiamo di volr stimar il diamtro mdio dll ml prodott dal nostro campo. Formuliamo innanzitutto l ipotsi ch la mdia sia 7 mm l ipotsi altrnativa è ch la mdia sia divrsa da 7 mm. Scriviamo qust ipotsi com - H : mdia 7 - H : mdia 7 A qusto punto prndiamo un campion casual di ml 7. Calcoliamo la mdia di qust ml ottniamo 7,4. Confrontiamo qusto risultato con il 7 ipotizzato vdiamo ch scarta di +,4. A qusto punto ci chidiamo s la diffrnza di +,4 sia dovuta smplicmnt ad una fluttuazion casual pr una sclta poco fortunata dl campion oppur sia dovuta al fatto ch la mdia dl diamtro dll ml dlla popolazion non è 7 ma prsumibilmnt di più. Ovviamnt non prndiamo una dcision basandoci su una stima prsonal, ma ricorriamo in modo più scintifico ad un tst di vrifica di ipotsi. Prndiamo in considrazion com statistica qusta funzion: mdia dl campion mdia ipotizzata dviazion standard dl campion / n dov la mdia ipotizzata è vidntmnt 7 n è. È important vdr cosa succd al variar dll ossrvazion sul campion: s troviamo un valor pr la mdia sul campion di sattamnt 7 la statistica sarà nulla. Prtanto un valor nullo dlla statistica è da considrarsi un ottima confrma dlla nostra ipotsi. Vicvrsa, s la mdia calcolata sul campion è molto più grand di 7, pssimo sgnal pr la nostra ipotsi H, la statistica vin largamnt positiva. Anch s la mdia campionaria è molto più piccola di 7, altro pssimo sgnal pr la nostra ipotsi H, la statistica vin largamnt ngativa. Quindi, considrando ch nl nostro caso la dviazion standard è 7,3 quindi la statistica è +,4, possiamo riassumr la situazion con un grafico: H probabilmnt falsa H probabilmnt vra H probabilmnt falsa +,4 A sconda di quanto il valor dlla statistica si discosta dallo l ipotsi H sarà confrmata dai dati o smntita. A qusto punto rsta smpr la domanda s +,4 sia un valor troppo grand o troppo piccolo. Pr scoprirlo, crchiamo di calcolar qual sia la probabilità di ottnr un risultato ancora pggior 8 di qullo ottnuto, cioè un risultato suprior a,4 oppur infrior a,4. Sfruttiamo il torma dl limit cntral ch ci garantisc ch, s n è abbastanza grand, la nostra statistica si distribuisc con una 7 I dati ch utilizziamo sono: 5; 5; 54; 5; 58; ; ; ; ; 8; 7; 7; 74; 7; ; ; 8; 84; 8; 88; 9; 9; 94; 9; 98; ; ; 4; 4; 8; ; ; 4; 4; 4; 4; ; ; 4; ; 8; 7; 7; 74; 7; 78; 8; 8; 84; 8; 88; 9; 9; 94; 9; 98; ; 4; 4; 44; 4; 48; 5; 5; 54; 5; 58; ; ; 4; ; 8; 7; 7; 74; 7; 78; 8; 7; 7; 74; 7; 7; 74; 7; 7; 74; 7; 7; 74; 7; 7; 74; 7; 7; 74; 7; 7; 74; 7. 8 Con il trmin pggior intndiamo pggior pr la confrma di H, quindi più lontano dallo. Vrsion. ( dic ) Pag. 8 di 5

19 distribuzion normal con µ σ quindi riusciamo a calcolar la probabilità di ottnr valori infriori a,4 o supriori a +,4. Qusta probabilità è chiamata significatività o p valu, d è indicata in figura. 3,4 +,4 3 Qualora qusta significatività risulti alta, vuol dir ch, prndndo un altro campion, possiamo ottnr pr caso un valor bn pggior di qullo ottnuto quindi ch il valor ottnuto può ssr considrato vicino a, cosa ch propnd a favor dll ipotsi nulla. S invc qusta significatività foss bassa, significa ch, prndndo un altro campion, possiamo ottnr pr caso un risultato simil o pggior solo in pochissimi casi ch quindi il nostro risultato è ffttivamnt molto distant da, cosa ch propnd a favor dll ipotsi altrnativa. In qusto caso la significatività è dl % 9, ch vin considrata un valor grand dato ch la soglia sclta nll ricrch statistich è tipicamnt dl 5%.. Ipotsi nulla ipotsi altrnativa Il cuor di un tst statistico è l ipotsi nulla H, ch rapprsnta l informazion ch vogliamo crcar di stndr dal campion alla popolazion. È important ch l ipotsi nulla ci fornisca dll prcis informazioni aggiuntiv, prché qust informazioni vngono succssivamnt utilizzat dalla statistica pr potr ssr calcolata sui dati dl campion. Ipotsi null formulat in vrsion ngativa solitamnt invc non forniscono informazioni utilizzabili. Ad smpio, ipotsi null accttabili sono mdia 7 oppur distribuzion è uniform o ancora l du variabili sono indipndnti. Al contrario, non sono accttabili l ipotsi mdia 35 oppur distribuzion non è uniform dato ch qust ipotsi non ci stanno dicndo nulla di utilizzabil. Anch l ipotsi l du variabili sono indipndnti ci fornisc un informazion facilmnt utilizzabil pr la succssiva statistica, mntr l du variabili sono dipndnti non ci fornisc informazioni in quanto non ci dic com sono dipndnti. Nl tst di smpio prcdnt, formulando l ipotsi nulla mdia 7 siamo poi riusciti a calcolar la diffrnza tra la mdia ossrvata di 7,4 qulla ipotizzata di 7. S invc avssimo formulato un ipotsi mdia 7 non avrmmo potuto concludr nulla con il 7,4 ossrvato prché non avrmmo saputo con ch valor confrontarlo. 9 Può ssr calcolata, ad smpio, usando la funzion di Microsoft Ecl ingls NORMDIST(,4;;;TRUE) ch fornisc l ara dlla zona a sinistra pari all 8%. L ara dlla zona a dstra è ovviamnt idntica. Vrsion. ( dic ) Pag. 9 di 5

20 Accanto all ipotsi nulla si scriv l ipotsi altrnativa H, ch è il contrario logico dll ipotsi nulla, ovviamnt, è di tipo ngativo. È anch possibil formular un ipotsi nulla dl tipo mdia 7 con ipotsi altrnativa mdia > 7, d in qusto caso il tst si chiama tst ad una coda prché, pur ssndo svolto in modo idntico, durant il calcolo dlla significatività nlla distribuzion dlla statistica si considra solamnt una coda..3 Significatività La probabilità di ottnr, sotto l ipotsi ch H sia vra, strando un altro campion casual, un risultato ugual o pggior è chiamata significatività oppur p valu. Qusta si calcola calcolando il valor dlla statistica sui dati calcolando l ar strn, qull lontan dallo, dlla distribuzion dlla statistica. Utilizzando un programma statistico la significatività vin fornita dirttamnt dal programma stsso. Chiaramnt una significatività alta mostra ch, quando H è vra, è molto probabil ottnr un valor così distant da quindi accttrmo l ipotsi nulla; vicvrsa una significatività bassa mostra ch, anch s H foss vra, sarbb difficil ottnr un risultato così lontano da quindi rifiutrmo l ipotsi nulla..4 Accttar rifiutar Giunti alla fin dl tst statistico, si ossrva s la significatività è sopra o sotto una soglia dcisa dal ricrcator: s la significatività è sopra la soglia, l ipotsi nulla vin accttata; s la significatività è sotto la soglia, l ipotsi nulla vin rifiutata. Il valor numrico di qusta soglia dipnd solitamnt dall ambito scintifico in cui si sta ffttuando la ricrca varia da % a %. Nl rsto di qusta dispnsa usrmo il valor tipico dl 5%. La sclta di una soglia così bassa fa sì ch accttar l ipotsi nulla non significa ch ssa sia vra. Difatti, accttar l ipotsi nulla vuol smplicmnt dir ch un valor così distant da può ssr considrato possibil. Vicvrsa, rifiutar un ipotsi nulla con una soglia dl 5% significa ch molto probabilmnt ssa è ffttivamnt falsa. Altro fftto da sottolinar è lgato alla numrosità dl campion. Quando i dati sono pochissimi è abbastanza probabil ottnr qualunqu valor dlla statistica quindi ottrrmo spsso significatività molto alt sarmo portati ad accttar molto di più. Quindi, soprattutto ni casi con pochi dati, accttar l ipotsi nulla significa smplicmnt ch non abbiamo abbastanza dati pr smntirla..5 Rquisito di normalità Tra i rquisiti dl tst figura spsso la richista ch i dati siano distribuiti normalmnt. Pr vrificarlo, solitamnt disponiamo di vari mtodi: s i dati non sono misur singol ma ottnut tramit mdia di molti altri dati, allora il torma dl limit cntral ci garantisc ch sono distribuiti normalmnt; s i dati provngono da misur di fnomni naturali, molto spsso sono distribuiti normalmnt; s l istogramma di dati dl campion prsnta una forma normal, possiamo ipotizzar ch anch la popolazion da cui provngono i dati sia distribuita normalmnt; Con il trmin pggior intndiamo pggior pr la confrma di H. Vrsion. ( dic ) Pag. di 5

21 sistono tst statistici spcifici (ad smpio il tst Kolmogorov Smirnov) ch prmttono di ddurr, ossrvando i dati dl campion, s i dati dlla popolazion sono distribuiti normalmnt. 7 Tst 7. t di Studnt pr una mdia H : mdia m Statistica: mdia dl campion m dviazion standard dl campion/ N Distribuzion: la statistica si distribuisc scondo la distribuzion t di Studnt con N gradi di librtà. William Studnt Gosst (88 937) Ad smpio, vogliamo vrificar s la mdia d tà di una popolazion è ugual o suprior a 3 prndndo un campion di soggtti con valori 5; ; 7; 8; 9; 3; 3; 3; 33; H : mdia 3 - H : mdia 3 La mdia dl campion è 9,3 la dviazion standard,9. La statistica quindi val,94. La significatività vin dll,7% quindi H è rifiutata 3, prtanto possiamo affrmar ch la mdia non è 3. Com si può facilmnt notar confrontando qusto paragrafo con il capitolo 5 a pagina, il tst t di Studnt pr una mdia coincid in tutto pr tutto con l intrvallo di confidnza dlla mdia. Difatti, quando i gradi di librtà sono grandi, la distribuzion t di Studnt divnta proprio la distribuzion normal. 7. t di Studnt pr du mdi Rquisiti: du popolazioni A B, la variabil è distribuita normalmnt sull popolazioni H : mdia dlla popolazion A mdia dlla popolazion B Statistica: mdia campion A mdia campion B. Qusta statistica val s l mdi di du ( N A ) varianza A + ( N B ) varianza B + N N A N B campioni A B sono uguali. Distribuzion: la statistica si distribuisc com una distribuzion t di Studnt con N gradi di librtà. Com abbiamo visto in prcdnza, nl caso di N molto grand si distribuisc com una distribuzion normal con µ σ. La significatività può ssr calcolata: dopo avr calcolato la statistica usando la funzion di Microsoft Ecl ingls TDIST(,94;9;) ch fornisc la somma dll ar dll du cod a sinistra di,94 a dstra di +,94. Attnzion: pr qusto tst, la funzion TTEST non può ssr utilizzata. 3 Qusto,7% significa ch strando dati a caso da una distribuzion normal con mdia pari a 3, abbiamo solo l % di possibilità di trovar di dati pggiori. Vrsion. ( dic ) Pag. di 5

22 Ad smpio, vogliamo vrificar - H : mdia altzza maschi mdia altzza fmmin - H : mdia altzza maschi mdia altzza fmmin Prndiamo un campion di maschi (8; 75; ; 8; 75; 5; 85; 8; 85; 9) 8 fmmin (7; 75; ; ; 75; 5; 5; 8). Supponiamo ch la distribuzion dll altzza di maschi fmmin sia una distribuzion normal con la mdsima varianza. La mdia di maschi dl campion è 77,5 qulla dll fmmin è 8,75. Il valor dlla statistica è +,8 a cui corrispond una significatività dl 4,4% quindi rifiutiamo Analisi dlla varianza (ANOVA) monofattorial Rquisiti: tr o più popolazioni, la variabil è distribuita normalmnt sull popolazioni H : la mdia di tutt l popolazioni è ugual Statistica: una funzion ch è quando l mdi campionari sono tutt uguali. Distribuzion: la statistica si distribuisc scondo la distribuzion F di Fishr con primo gradi di librtà pari a numro di popolazioni scondo grado di librtà pari a N numro di popolazioni. Qusta distribuzion ha solo valori positivi, quindi la coda da considrar è smpr a dstra. Ad smpio, supponiamo di avr altzz di giovani (8; 7; 5; ; 7), dgli adulti (7; ; 5) dgli anziani (55; ; ; 5; 75; 5) vogliamo vrificar - H : mdia altzza giovani mdia altzza adulti mdia altzza anziani - H : almno una mdia è divrsa dall altr Analizzando i dati ottniamo una mdia di pr i giovani, 5 pr gli adulti 3,3 pr gli anziani. Calcolando la statistica sul nostro campion ottniamo +,4 ch corrispond ad una significatività 5 dll 87% prtanto accttiamo. Quindi non abbiamo abbastanza dati pr sostnr ch l tr mdia siano divrs. L ANOVA si può anch far nl caso in cui l catgori siano soltanto, d in qusto caso fornisc lo stsso risultato dl t tst pr du mdi. 4 La significatività può ssr calcolata: usando uno di tst t (Zwistichprobn t Tst) dll Analisi di Dati in Ecl, scglindo tra varianz not (in qusto caso l varianz dll popolazioni vanno indicat splicitamnt), ugual non nota, divrs non nota (in qusti ultimi du casi l varianz dll popolazioni vngono stimat, dirttamnt da Ecl, prndndo l varianz dl campion), ch fornisc dirttamnt statistica significatività; usando la funzion Microsoft Ecl TTEST fornisc dirttamnt la significatività partndo dai dati, scglindo com typ s supponiamo l varianz uguali typ3 s l supponiamo divrs (in ntrambi i casi l varianz dll popolazioni vngono stimat, dirttamnt da Ecl, prndndo l varianz dl campion); calcolando la statistica usando la funzion di Microsoft Ecl ingls TDIST(,8;;) ch fornisc la somma dll ar dll du cod a sinistra di,8 a dstra di +,8. 5 La significatività può ssr calcolata: usando l ANOVA monofattorial (ANOVA: Einfaktorill Varianzanalys) dll Analisi di Dati in Ecl ch fornisc dirttamnt la statistica la significatività partndo dai dati; calcolando la statistica usando la funzion di Microsoft Ecl ingls FDIST(,4;;) ch fornisc l ara dlla coda a dstra di,4. Attnzion: pr qusto tst la funzion FTEST non può ssr utilizzata. Vrsion. ( dic ) Pag. di 5

23 8 Tablla di contingnza Quando bisogna confrontar du variabili catgoriali, pr ossrvar s appartnr ad una catgoria di una variabil influnza la catgoria dll altra variabil, ricorriamo alla tablla di contingnza. Qusta tablla è ha l catgori di una variabil lungo l righ qull dll altra lungo l colonn contin, pr ogni incrocio, la frqunza assoluta di soggtti ch fanno part di qull du catgori. L ultima riga l ultima colonna contngono i totali dlla riga dlla colonna. Ad smpio, prndndo un campion di albri di un campo considrando l variabili tà (giovan, maturo, vcchio) malattia (malato, sano), la tablla di contingnza risulta ssr così: frqunz giovan maturo vcchio total malato 4 sano 4 5 total Da qusta tablla smbrrbb, ad un ossrvazion suprficial dlla riga di malati, ch gli albri giovani malati vcchi malati siano gli stssi ch qusti siano infriori ai maturi malati. Ma, ossrvando la riga di sani, notiamo ch gli albri vcchi sani sono molto mno dgli albri giovani di qulli adulti. Difatti nlla riga dl total vdiamo ch il basso numro di vcchi malati è dovuto al basso numro dgli albri vcchi in gnral prsnti nl campion (3 contro 5 giovani 7 maturi). Quindi un ossrvazion di numri prsnti in tablla può facilmnt ingannar prtanto solitamnt indichiamo anch l prcntuali pr riga l prcntuali pr colonna. prcntuali pr riga prcntuali pr colonna giovan maturo vcchio total giovan maturo vcchio total malato 5% 5% 5% % malato % 9% 33% 7% sano % 45% 9% % sano 8% 7% 7% 73% total 33% 47% % total % % % La sclta di quali prcntuali indicar dipnd da ciò ch vogliamo mostrar. S vogliamo vdr com la malattia è diffusa pr fasc d tà allora utilizzrmo l prcntuali pr colonna: da qusta tablla vdiamo ch la prcntual di malati sal dal % di giovani al 9% dgli albri maturi fino al 33% di qulli vcchi ch la prcntual mdia di malati è 7%. S invc vogliamo mostrar com sono suddivisi in tà gli albri malati gli albri sani, dalla tablla con l prcntuali pr riga ossrviamo ch il 5% di malati sono albri giovani, il 5% di malati è maturo il 5% di malati è un albro vcchio. Sulla tablla di contingnza a du variabili possiamo vrificar s l du variabili sono indipndnti, cioè s la distribuzion dlla variabil A all intrno dll catgori dlla variabil B sia la stssa, tnndo ovviamnt conto dl fatto ch l numrosità dll catgori possono non ssr la stssa. Tornando al nostro smpio, vrifichiamo s la distribuzion dlla malattia sia uniform sull tà, tnndo ovviamnt conto dl fatto ch nl nostro campion il numro dgli albri maturi è in total maggior di qulli di vcchi il numro di sani è in total maggior di qullo di malati. Cioè non vrifichiamo s la tablla sia statisticamnt simil a qusta Vrsion. ( dic ) Pag. 3 di 5

24 giovan maturo vcchio malato sano prché ovviamnt non potrà mai ssrlo, dato ch non abbiamo 5 vcchi nl campion né 75 malati. Bnsì vrifichiamo s la tablla sia statisticamnt simil a giovan maturo vcchio malato 3,3 8,7 8 sano,7 5,3 I numri in qusta tablla sono dtt frqunz torich sono i valori ch dovrmmo trovar s la distribuzion pr malattia foss totalmnt indipndnt da qulla pr tà. Qusti valori sono calcolati utilizzando i totali pr riga pr colonna con la formula. 8. Chi quadro χ di Parson Rquisiti: du variabili catgoriali con n m catgori, frqunz torich 5 H : l du variabili sono indipndnti Statistica:,,, ch è quando l frqunz torich ffttiv sono uguali. Distribuzion: la statistica si distribuisc com distribuzion chi quadro con (numro di catgori variabil A ) (numro di catgori variabil B ) gradi di librtà. Qusta distribuzion ha solo valori positivi, quindi considriamo solo la coda di dstra. Karl Parson (857-9) Nll smpio prcdnt, volndo vrificar - H : malattia d tà sono indipndnti - H : malattia d tà sono dipndnti Calcolando la statistica vin,95. I gradi di librtà sono, cioè. La significatività nl caso di gradi di librtà è 37,8% quindi accttiamo. 9 Traduzion Diamo in qusta tablla la traduzion di trmini più utilizzati nl libro in italiano, tdsco ingls amricano, ch è la lingua dalla qual molti trmini provngono. Italiano Dutsch English accttar bibhaltn accpt La significatività può ssr calcolata, una volta costruita la tablla dll frqunz torich: utilizzando la funzion di Microsoft Ecl ingls CHITEST, ch fornisc dirttamnt la significatività partndo dai dati dalla tablla dll frqunz torich, ch bisogna purtroppo costruir manualmnt; calcolando la statistica usando la funzion di Microsoft Ecl ingls CHIDIST(,95;) ch fornisc, dopo avr calcolato il valor dlla statistica, l ara dlla coda a dstra di,95. Vrsion. ( dic ) Pag. 4 di 5

25 analisi dlla varianza Varianzanalys ANOVA campionamnto Auswahlvrfahrn sampling campionamnto casual Zufallsauswahlvrfahrn random sampling campionamnto stratificato stratifizirts Auswahlvrfahrn stratifid sampling campion Stichprob sampl campion casual Zufallsstichprob random sampl chi quadro Chi Quadrat chi squar corrlazion linar Korrlation linar corrlation diagramma a barr Säulndiagramm bar plot diagramma a barr impilato gstaplts Säulndiagramm stackd bar plot diagramma a scatola / bo plot Boplot bo plot diagramma a torta / diagramma circolar Krisdiagramm pi chart distribuzion Vrtilung distribution distribuzion normal Normalvrtilung normal distribution distribuzion uniform Glichvrtilung uniform distribution F di Fishr Fishr F Fishr s F frqunza Häufigkit frquncy intrvallo di confidnza Konfidnzintrvall / Vrtraunsbrich confidnc intrval ipotsi altrnativa Altrnativhypoths altrnativ hypothsis ipotsi nulla Nullhypoths null hypothsis istogramma Histogramm histogram mdia Mittlwrt avrag / man mdia psata gwichtts Mittl wightd avrag mdiana Zntralwrt / Mdian mdian moda Modalwrt mod p valu p Wrt p valu popolazion Grundgsamthit population probabilità Wahrschinlichkit probability quartil Quartil quartil rgrssion linar linar Rgrssion linar rgrssion rgrssion logistica logistisch Rgrssion logistic rgrssion rgrssion multilinar multipl Rgrssion multilinar rgrssion rgrssion non linar non linar rgrssion rsiduo Rsidu rsidual rifiutar ablhnn rjct dviazion standard Standardabwichung standard dviation scattr plot / diagramma a disprsion Strudiagramm scattr plot significatività Signifikanz significanc t di Studnt Studntsch t Studnt s t tablla di contingnza Kontingnztafln contingncy tabl / cross tabl tst Tst tst tst dl chi quadro Chi Quadrat Tst chi squar tst variabil dipndnt abhängig Variabl dpndnt variabl variabil indipndnt unabhängig Variabl indpndnt variabl varianza Varianz varianc Vrsion. ( dic ) Pag. 5 di 5