1 CAMPO LONTANO DI UNA ANTENNA

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1 1 CAMPO LONTANO DI UNA ANTENNA Uno dei problemi più importanti in elettromagnetismo è il calcolo del campo prodotto da una data struttura fisica(antenna), opportunamente alimentata. Questo problema può essere decomposto in due sottoproblemi calcolare la corrente che si induce su di una antenna a causa della alimentazione; calcolare il campo prodotto dalla distribuzione di corrente indotta 1. Il primo sottoproblema dipende in maniera essenziale dalla struttura della antenna, che può essere molto varia. Pertanto andrà affrontato caso per caso, e nel seguito vedremo alcuni dei casi di interesse per questo corso. Il secondo sottoproblema, invece, ammette una soluzione generale relativamente semplice, che si semplifica ulteriormente se il campo che ci interessa è quello a grande distanza dalla antenna. Vedremo quindi come prima cosa come si esprime il campo elettromagnetico prodotto da una distribuzione di correnti elettriche J(r), che occupa un volume V J finito, nei punti al di fuori di V J. Una delle proprietà della delta di Dirac è J(r) = J(r )δ(r r )dv (1) in cui l integrale dovrebbe essere esteso a tutto lo spazio. Tuttavia, essendo J diverso da zero solo in V J, basta estenderlo solo a questo volume. Ricordando che un integrale è una somma, la (1) afferma che la distribuzione di corrente J può essere considerata come la somma di tante distribuzioni elementari J e (r) = J(r )dv δ(r r ) (2) che sono dipoli elementari di ampiezza J(r )dv, posti in r. Per la sovrapposizione degli effetti, detto de e (r) il campo elettrico 2 della corrente elementare (2), il campo elettrico complessivo E(r) della distribuzione di correnti J(r) è pari a E(r) = de e (r) (3) V J E evidente che la espressione (3) é solo formalmente semplice, in quanto il suo utilizzo, nella forma completa, richiede una valutazione numerica. Se peró ci limitiamo a distanze grandi tra punto sorgente e punto campo, sono possibili alcune semplificazioni della (3), dipendenti però dalla distanza a cui si ci trova. La prima semplificazione si può fare se β r r 1 r 1 Comevisto nella discussione del teorema di equivalenza, è sempre possibile sostituire all oggetto fisico (antenna) la sua corrente indotta e calcolare il campo (nel vuoto) di questa corrente indotta. 2 Analoga relazione vale ovviamente anche per il campo magnetico, e anche a questa possono essere applicate le semplificazioni che vedremo per il campo elettrico. Tuttavia, in molti dei casi di interesse, il campo magnetico potrá essere ottenuto in modo immediato una volta noto il campo elettrico. 1

2 ovvero se la distanza tra il punto campo e un qualunque punto della sorgente è grande rispetto alla lunghezza d onda. In tal caso anche la relazione diretta tra correnti e campo può essere espressa in termini semplici. Se la corrente ha solo componente z 3 il campo del dipolo (2) vale de(r) = j ζ J z(r )dv 2λ r r e jβ r r sinθ i θ (4) dove l angolo θ è l angolo tra la congiungente il punto sorgente e il punto campo, e l asse polare z. Di conseguenza il versore i θ dipende anch esso dalle posizoni del punto sorgente e del punto campo. Sommando su tutti i dipoli della sorgente segue allora E(r) = j ζ 2λ V J J z (r ) r r e jβ r r sinθ i θ dv (5) in cui θ e i θ varianoal variaredel dipoloche consideriamo nellasomma (5), equindinonpossono essere portati fuori dall integrale. La (5) è ancora abbastanza complessa. Ulteriori semplificazioni sono possibili solo se la distanza r r è grande rispetto alle dimensioni della sorgente medesima. Per valutare numericamente quest ultima, si può considerare la minima sfera che include completamente la antenna, e assegnare come dimensione della antenna il diametro D di tale sfera. Se la distanza r tra il punto campo e il centro di tale sfera è grande rispetto al semidiametro della sorgente r D 2 allora un osservatore, posto nel punto campo, vede la sorgente come puntiforme. In tal caso possiamo considerare, dal punto di vista geometrico, tutti i dipoli posti nello stesso punto, e quindi considerare θ e i θ costanti (al variare del punto campo). Se indichiamo con θ e i θ i valori relativi al centro della sorgente, la (5) diventa, in questa ipotesi E(r) = j ζ 2λ V J J z (r ) r r e jβ r r dv sinθ i θ (6) Altre semplificazioni sono possibili esaminando i termini contenenti r r nella (5) (e quindi, anche, nella (6) ), sempre nella ipotesi che la distanza r sia grande rispetto al diametro della sorgente. Risulta r r 2 = (r r ) 2 = r 2 2r r +(r ) 2 = r 2 [ 1 2 i r r r ( ) ] r 2 + r essendo r = ri r. Estraendo la radice quadrata segue 3 Una corrente qualunque può essere sempre decomposta in tre parti, ciascuna con una sola componente x, y, z. Basterà applicare la sovrapposizione degli effetti per vedere che tutte le conclusioni di questa sezione sono valide in generale (mentre molte delle formule vanno modificate) 2

3 r r = r 1 2 i r r r ( ) r 2 + (7) r Il secondo fattore a secondo membro è, per r grande, la radice quadrata di 1+X, con X = 2 i r r e piccolo. L espansione di Taylor di tale radice è r ( r + r ) 2 X 1+X 1+ 2 X che va applicata tenendo conto dell ordine di piccolezza relativa dei vari termini che risultano nello sviluppo. Partendo dallo sviluppo completo 1 2 i ( ) [ r r r { 2 i r r ( ) ]} r 2 + r r 2 r r [ 1 2 i r r ( ) ] r r r +... possiamo arrestarci al secondo ordine, e quindi conservando solo un termine del quadrato, ottenendo 1 2 i r r r ( r + r ) [ { 2 i r r 2 r ( r = 1 i r r + 1 r 2 Sostituendo la (8) nella (7) si ottiene infine r ( ) ]} { r [ 2 i r r ] } 2 r 8 r (8) ) 2 1 [ ir r ] 2 2 r r r r ( i r r ) + 1 [ (r ) 2 (i r r ) 2] (9) 2r Tuttavia, essendo interessati al campo, la (9) può essere usata solo se l errore relativo sul campo è piccolo. Per valutare questo errore sul campo (6), occorre considerare che la (9) dovrebbe essere sostituita sia nel termine di ampiezza r r 1, sia nel termine di fase. Nel termine di ampiezza basta approssimare r r r, arrestandosi al primo termine. L errore relativo che si commette vale infatti ir r r r r D 2r in quanto r è la distanza di un punto interno alla sfera di diametro D dal centro. Se r D/2, allora si può approssimare r r 1 con r 1. Poichè questa è la stessa condizione geometrica che abbiamo utilizzato per gli angoli, possiamo dire che se r D 2 3

4 allora E(r) = j ζ J z (r )e jβ r r dv sinθ i θ (10) 2λr V J Diverso, e indipendente, è il discorso relativo all approssimazione dell esponenziale, discorso già affrontato nella parte sulle onde piane. Infatti occorre considerare non la approssimazione (9), ma quella dell esponente completo del termine esponenziale della (10), ovvero jβ r r jβr +jβ ( i r r ) j β 2r [ (r ) 2 (i r r ) 2] (11) Se decidiamo di utilizzare solo i primi due termini della (11) (sempre assumendo che r D/2) per approssimare l esponenziale della (10) (ovvero della (6)) e jβ r r e jβr e jβ ( i r r ) (12) questo conduce a un errore accettabile sul campo (che si ottiene da un integrale in cui va inserita la (12)) se il massimo del termine trascurato nella (11) è inferiore a π/8. Il massimo del termine trascurato j β 2r [(r ) 2 (i r r ) 2] si ottiene considerando che L errore è allora accettabile se (r ) 2 (i r r ) 2 (r ) 2 ( ) 2 D 2 β D 2 2r 4 π 8 = r 2D2 λ (13) In questo caso possiamo approssimare l esponenziale nella (10) con la (12) e si ha quindi E(r) = j ζ 2λr e jβr V J J z (r )e jβ(i r r ) dv sinθ i θ (14) Se vale la (13), e si dice allora che il punto campo è in campo lontano, o in zona di Fraunhofer, Notiamo infine che i campi prodotti, in zona di Fraunhofer, da correnti lungo i x o lungo i y hanno una espressione del tutto simile alla (14). L unica differenza (oltre al fatto di usare J x o J y nell integrale) e nel fattore sinθ i θ, che va riferito alla direzione della corrente. Per correnti generiche (con tutte le tre componenti), quindi, vanno sommati tre termini come (14). 4

5 2 ANTENNE ALTEZZA EFFICACE CAMPO LONTANO Il dipolo corto è il più semplice caso di antenna effettivamente realizzabile. Una antenna è un dispositivo che, se opportunamente alimentato, produce un campo elettromagnetico nello spazio. Le forme possibili delle antenne sono le più svariate. Per i nostri scopi, comunque, le proprietà che ci interessano sono solo due: Ogni antenna ha una porta di ingresso per alimentarla. Se attraverso tale porta viene fattascorrereunacorrentei A,l antennaproducenellospaziouncampoelettromagnetico (effetto) il cui valore è, in ogni punto, proporzionale alla corrente di alimentazione I A (causa), in quanto, in elettromagnetismo, le relazioni causa effetto sono lineari. Ogni antenna ha una dimensione massima. Per valutarla numericamente si può considerare la minima sfera che include completamente la antenna, e assegnare come dimensione della antenna il diametro D di tale sfera. Se esiste una porta di ingresso, e quindi una corrente I A la densità di corrente risulta proporzionale ad I A. La (14) può allora essere ulteriormente modificata, scrivendo E(r) = j ζ 2λr e jβr I A V J J z (r ) I A e jβ(i r r ) dv sinθ i θ (15) L ultima parte della (15) ovvero J z (r ) V J I A e jβ(i r r ) dv sinθ i θ, contiene tutte le informazioni sulla forma della distribuzione di corrente. Questo termine (o la sua generalizzazione al caso di distribuzioni di corrente tridimensionali) prende il nome di altezza efficace della antenna. L altezza efficace è una funzione di (θ,φ) che si indica con h (e si misura in m). Tenendo anche conto che il campo deve essere localmente una onda piana, possiamo scrivere il campo in zona di Fraunhofer di qualunque antenna, alimentata da una corrente I A nella forma E = j ζi A 2λr e jβr h(θ,φ) H = 1 ζ i r E (16) in cui l altezza efficacce h(θ,φ) è caratteristico della singola antenna e fornisce le proprietà direzionali della antenna stessa, ovvero come il campo varia rispetto alle direzioni angolari θ, φ. Inoltre h indica anche la polarizzazione del campo elettrico (che viene detta polarizzazione della antenna). Sempre dalle proprietà del campo lontano, risulta che h deve essere ortogonale a i r h i r = 0 Per un dipolo elementare di lunghezza z risulta e per un dipolo corto di lunghezza 2l h(θ,φ) = z sinθ i θ (17) h(θ,φ) = l sinθ i θ (18) Le altezze efficaci (e quindi i campi) di tali antenne sono indipendenti da φ per la simmetria delle antenne stesse. 5

6 Le espressioni (16) valgono se il punto campo (punto in cui si vuole calcolare il campo) é nella zona lontana della antenna (detta anche zona di Fraunhofer) caratterizzata dal verificarsi di tutte le seguenti condizioni per la distanza r tra il punto campo e la antenna [ β r D ] 1 r D 2 2 r > 2D2 λ che possiamo riscrivere, per avere tutte valutazioni quantitative (e con errori paragonabili), come [ r D ] > 10 2 β = 5λ π r > 5D r > 2D2 λ Naturalmente, al variare della frequenza e della dimensione della antenna, il collo di bottiglia sarà una o l altra di esse. Conviene allora considerare, in un diagramma, tutte le possibili condizioni. Il diagramma può essere in due dimensioni in quanto ciò che conta sono r/λ e D/λ. Le relazioni precedenti diventano allora (19) r λ > 1 D 2 λ + 5 π r λ > 5D λ (20) ( ) 2 r D λ > 2 (21) λ ciascuna di queste condizioni dividono il diagramma r/λ in funzione di D/λ riportato in Fig. 1 in due regioni. I confini di tali regioni sono due rette per le condizioni (20), e un arco di parabola per la condizione (21). r/λ 12.5 zona di Fraunhofer Fr zona delle sorgenti 5/π 10/9π zona dei campi reattivi 2.5 D/λ Fig. 1: Regioni di campo lontano e campo vicino. 6

7 La zona di Fraunhofer è quella in alto a sinistra. La restante parte viene detta di campo vicino, ed è divisa in due regioni. Quella in cui non vale la prima delle condizioni (20) viene detta zona dei campi reattivi. Si può infatti verificare che al di fuori di questa zona le densità di energia elettrica e magnetica sono uguali, mentre in questa zona sono diversi, e quindi vi è flusso di potenza reattiva. La zona intermedia è detta zona delle sorgenti perchè in essa la sorgente non viene vista come puntiforme ma estesa, benchè il flusso di potenza sia puramente reale. Nella Fig. 1 è poi evidenziata anche un altra zona, che esiste solo per sorgenti grandi, ed è indicata con Fr. Tale zona è detta di Fresnel, ed in essa il campo ha tutte le caratteristiche della zona lontana, salvo il fatto che l onda e, anche localmente, sferica. Il campo in zona lontana è quello che viene generalmente considerato per i collegamenti radio. L interesse per la zona vicina è cresciuto solo di recente in quanto i limiti normativi sulle esposizioni della popolazione vanno essenzialmente verificati nella zona delle sorgenti, in quanto, per le antenne che tipicamente si usano nelle aree urbane, il campo nella zona di Fraunhofer è molto più basso dei limiti stessi. La zona dei campi reattivi è invece molto piccola. Per le antenne per telefonia cellulare, ad esempio, tale zona termina a 2 3 metri dalla antenna, una zona in cui l accesso della popolazione è normalmente interdetto. Il campo in tale zona, quindi, interessa soprattutto per chi si occupa della manutenzione degli impianti. Notiamo infine che le (19), e di conseguenza la Fig. 1, sono relative al campo in un punto. In molti casi, peró, é richiesto che il campo della nostra antenna sia una onda piana in tutta unaregione di diametro D R, ovvero che il campoin tutta questaregione sia approssimabile come una onda piana, a partire dal valore della (16) al centro della regione stessa. In questo caso si dimostra che le (19) vanno sostituite da [ r D +D ] R > 10 2 β = 5λ π r > 5 max[d,d R ] r > 2(D +D R) 2 La seconda delle (22) é certamente verificata se r > 5(D + D R ), e in questo caso é possibile utilizzare il diagramma di Fig. 1, ovviamente considerando sulle ascisse (D +D R )/λ. Tuttavia, in qualche caso di antenne di dimensioni intermedie, questa richiesta potrebbe essere molto restrittiva 1. λ (22) 3 PARAMETRI DELLE ANTENNE IN TRASMISSIONE Una antenna in trasmissione é completamente caratterizzata dalla sua altezza efficace. Sono peró utili anche altri parametri, ovviamente collegati alla altezza efficace h(θ, φ). Ricordiamo che il vettore di Poynting di una antenna, calcolato a grande distanza, é reale e diretto lungo i r. Usando l espressione generale del campo lontano di una antenna (16) si ha per esso 1 Si consideri ad esempio una sorgente con D = λ e una regione con D R = λ. Usando la Fig. 1 con D+D R = 2λ si trova che la zona di Fraunhofer comincia a 10λ, e il collo di bottiglia é la seconda delle (19). In realtá, usando le (22), si trova che la zona di Fraunhofer comincia a 8λ, e il collo di bottiglia é la terza delle (22). Infatti la seconda delle (22) richiede ora solo r > 5λ. 7

8 S (r,θ,φ) = 1 2ζ E 2 i r = ζ 2 Si definisce diagramma di radiazione il rapporto F(θ,φ) = S (r,θ,φ) S MAX (r) = h(θ,φ) 2 h 2 MAX I A 2 (2λr) 2 h(θ,φ) 2 ir (23) dove S (r,θ,φ) é la componente radiale del vettore di Poynting a grande distanza, dato da (23) e indichiamo con S MAX il suo valore massimo rispetto agli angoli. Il diagramma di radiazione risulta funzione di (θ,φ), ed é normalizzato al suo valore massimo. A partire da (23) si ottiene la potemza irradiata da una antenna generica, come P irr = S (r,θ,φ) i r r 2 dω = 1 2 I A 2 ζ (2λ) 2 h(θ,φ) 2 dω (24) essendo dω = sinθdθdφ, e l integrale esteso a tutto lo spazio. Dal teorema di Poynting segue che la potenza irradiata da una antenna deve entrare dai morsetti di ingresso della antenna stessa. Se la antenna é ideale, la potenza din ingresso alla antenna viene tutta irradiata. Se invece la antenna non é ideale, vi sará anche potenza dissipata P D nella antenna, e quindi la potenza totale di ingresso vale P in = P irr +P D Se l antenna è usata in trasmissione, presenterà ai suoi morsetti una impedenza Z in = R in +jx in, detta impedenza di ingresso della antenna. La potenza in ingresso alla antenna vale allora P in = 1 2 R in I A 2 (25) Poichè anchepotenzairradiata, P irr, equelladissipata, P D, sonoanch esseproporzionali a I A 2, si possono introdurre una resistenza di irradiazione e una resistenza di dissipazione R D tramite da cui segue P irr = 1 2 R irr I A 2 = R irr = 2 P irr I A 2 P D = 1 2 R D I A 2 = R D = 2 P D I A 2 (26) ] R in = Re [Z in = R irr +R D (27) Possiamo introdurre una efficienza η (dovuta alle perdite) data da η = Potenza irradiata Potenza totale in ingresso = Ricordando le espressioni (26,27) segue Potenza irradiata Potenza irradiata + Potenza dissipata (28) 8

9 η = P irr P in = P irr P irr +P D = R irr R irr +R D = R irr R in (29) L altezza efficace é una misura della irradiazione, espressa tramite il campo irradiato. Conviene introdurre una misura differente, legata alla potenza irradiata, che é la direttivitá D(θ,φ) = lim r S(r,θ,φ) 1 4πr 2 P irr dove il limite non dipende da r in quanto S a grande distanza é proporzionale a r 2. In termini di campo o di altezza efficace la (30) diventa D(θ,φ) = lim r 1 4π 1 2ζ E 2 1 2ζ E 2 dω = h(θ,φ) 2 1 h(θ,φ) 2 dω 4π Il valore massimo della direttivitá si ottiene considerando a numeratore il massimo della altezza efficace, e puó quindi essere espresso tramite il diagramma di radiazione F(θ, φ) D MAX = 1 4π h 2 MAX h(θ,φ) 2 dω = 4π F(θ,φ)dΩ Gli integrali in(31) sono estesi a tutto lo spazio. La direttivitá D rappresenta il rapporto tra la potenza irradiata in una direzione, e quella media irrdiata, e quindi misura la capacitá di una antenna di concentrare la pootenza irradiata in una direzione. Si noti anche che la definizione (30) di direttivitá si puó applicare anche a una distribuzione generica di correnti, senza riferimento ad antenne o morsetti di ingresso (al contrario delle altre definizioni di questo paragrafo). In tal caso solo la prima espressione della (31) é applicabile. Il termine direttivitá, comunque, oltre che la funzione 1 D(θ,φ) data dalla (31), indica anche il suo valore massimo D MAX. Una grandezza analoga alla direttivitá, ma di maggiore interesse, é il guadagno. La definizione di guadagno é analoga alla (30) G(θ,φ) = lim r S(r,θ,φ) 1 4πr 2 P in = lim r 1 2ζ E 2 1 4πr 2 P in ma coinvolge la potenza entrante nella antenna, e quindi risulta piú utile nelle applicazioni. Infatti la (32) collega l effetto (il campo prodotto in una data direzione) alla causa di interesse (la potenza che deve essere fornita alla antenna per produrre quel campo). Invece la (30) usa, come causa, la potenza irradiata, che non tiene conto delle eventuali perdite 2. 1 La funzione direttivitá coincide, a meno di una costante, con il diagramma di radiazione. Piú precisamente, quest ultimo é anche la direttivitá normalizzata al suo massimo 2 Si tenga anche conto che, al contrario della direttivitá, il guadagno puó essere definito solo per antenne, coinvolgendo i morsetti di ingresso della antenna. (30) (31) (32) 9

10 Evidentemente risulterá G(θ,φ) = ηd(θ,φ) Viene anche talvolta usato il guadagno realizzato, in cui al denominatore va la potenza disponibile dal generatore, e che quindi tiene conto di eventuali disadattamenti. Se la alimentazione della antenna é fatta con una linea, allora il guadagno realizzato vale G R = (1 Γ 2 )G essendo Γ il coefficiente di riflessione sulla linea. Possiamo esprimere il guadagno in termini della resistenza di ingresso della antenna. Dalla definizione (32) e dalla (25) segue G(θ,φ) = lim r 1 2ζ E(r,θ,φ) 2 1 4πr 2 P in = lim r 1 2ζ mentre la direttivitá, per una antenna, vale analogamente ζ 2 I A 2 4λ 2 r 2 h(θ,φ) 2 = 1 1 4πr 2 2 R in I A 2 πζ h(θ,φ) 2 λ 2 R in (33) D(θ,φ) = πζ h(θ,φ) 2 λ 2 R irr La resistenza di irradiazione va normalmente calcolata a partire dalla potenza irradiata. Fanno eccezione alcune antenne semplici, in cui la resistenza di irradiazione è calcolabile direttamente tramite la (24). Traquestepossiamoconsiderareidipolielementari ocorti, con altezza efficace massima 3 pari ad h M. Usando l espressione giá calcolata della potenza irradiata, segue e ovviamente R irr = 2πζ 3 ( hm λ ) 2 = 800 ( hm λ ) 2 [Ω] (34) R in = 1 η R irr Sostituendo in (33) segue D(θ,φ) = πζ h2 M sin2 θ λ 2 2πζ ( ) 2 = 3 hm 2 sin2 θ = G(θ,φ) = 3 2 η sin2 θ 3 λ corrispondente a 1.76 db per una antenna ideale. Segue che un dipolo, elementare o corto, non é in grado di concentrare il campo in una data zona, e quindi produce campo sostanzialmente in tutto lo spazio. Per avere guadagni piú elevati, occorre utilizzare antenne piú grandi. 3 La lunghezza del dipolo é pari ad h M se il dipolo é elementare e a 2h M se corto 10

11 4 ANTENNE FILIFORMI Un asta metallica di lunghezza 2l e raggio a costituisce una antenna filiforme se il fattore di snellezza 1 Ω = log ( ) 2 2l a risulta abbastanza grande (superiore a 5-10). L asta é divisa in due parti con una piccola interruzione, detta gap, tramite cui l antenna viene alimentata. E i M Fig. 1: Alimentazioni di una antenna filiforme L alimentazione é costituita da un campo elettrico E i, orientato tra i due lati dal gap (come tra le armature di un condensatore), ovvero mediante un anello di corrente magnetica (frill current), ad esso equivalente. Per effetto di questa alimentazione sulla corrente si induce una corrente superficiale J s, che produce un campo diffuso E d, ad essa proporzionale. Imponendo che sulla superficie metallica della antenna il campo diffuso e quello di alimentazione abbiano complessivamente componente tangente all antenna nulla si ottiene una equazione (integrale) nella corrente indotta, la cui soluzione consente di calcolare tale corrente. Un coefficiente di snellezza grande consente di assumere la densitá di corrente allineata con la antenna (ovvero avente solo la componente z), e indipendente da φ. La piccolezza di a z consente poi di imporre che la densitá di corrente si annulli sul bordo della antenna (ovvero non vi sia corrente sulle basi del ir cilindro) θ J s (z,φ) = J s (z)i z con J s (±l) = 0 La particolare forma della corrente, e la piccolezza di a consente di calcolare il campo di una tale antenna considerando una distribuzione lineare (e non tridimensionale) di dipoli di ampiezza I(z) dz, essendo I(z) la corrente totale che scorre sulla antenna. La (15) diventa allora E(r) = j ζ 2λr e jβr I A l l I(z) I A e jβ(i r r ) dz sinθ i θ (35) con r = z i z. Ricordando che i r i z = cosθ, la altezza efficace diventa h(θ) = l 1 Qui e nel seguito log indica il logaritmo naturale. l I(z) I A e jβz cosθ dz sinθ i θ (36) 11

12 La (36) mostra che la altezza efficace, e quindi il diagramma di radiazione, é (a meno di termini lentamente variabili) la trasformata di Fourier della distribuzione di corrente sulla antenna filiforme, considerando come variabili coniugate z e u = βcosθ. Questa relazione di trasformata di Fourier vale (in forma simile) anche per tutti gli altri tipi di antenne, ed ha una conseguenza molto importante. Il campo irradiato, come funzione degli angoli 2, può variare tanto più rapidamente, quanto più l antenna è grande, in quanto il campo è una funzione a banda limitata, con banda (spaziale) pari alla dimensione della antenna (espressa in termini di lunghezza d onda). Ne segue che antenna con guadagno elevato, dovendo avere una variazione molto rapida del campo in funzione degli angoli, devono necessariamente essere grandi rispetto alla lunghezza d onda. Si puó dimostrare che la distribuzione di corrente su di una antenna filiforme a sezione omogenea é ben approssimabile (in particolare per calcolare il campo lontano) da I(z) = I A sin[β(l z )] sinβl Questa approssimazione cade in difetto solo se βl = nπ, ovvero per antenne lunghe un multiplo intero di λ. In tal caso, infatti, la corrente di alimentazione predetta dalla (37) sarebbe nulla (mentre la corrente vera é certamente diversa da zero). Conviene allora parametrare la corrente alla corrente massima I M scrivendo I(z) = I M sin[β(l z )]. Se βl 1, allora la corrente varia linearmente ( I(z) = I A 1 z ) l e l antenna filiforme é in realtá un dipolo corto L altezza efficace si ottiene da (36) e vale h(θ) = λ π cos(βlcosθ) cosβl sinβl sinθ (37) i θ (38) L andamento vero (ottenuto tramite un programma di simulazione numerica di antenne filiformi, chiamato NEC-2 ), e il diagramma di radiazione di varie antenne filiformi é mostrato nel file aggiuntivo Va. Tuttavia, per il calcolo della potenza irradiata (e quindi della resistenza di irradiazione) la (38) è del tutto adeguata. Tenendo conto della simmetria, dalla (24) segue P irr = 1 2 R irr I A 2 con R irr = ζ π (2λ) 2 2π 0 λ π cos(βlcosθ) cosβl sinβl sinθ 2 sin θdθ (39) Particolare interesse hanno le antenne a λ/ 2, ovvero quelle per cui βl =π/2 In tal caso risulta I(z) = I A cosβz e h(θ) = λ π ( π ) cos 2 cosθ sinθ i θ (40) 2 In realta le variabili da cui dipende la trasformata sono i coseni direttori delle direzioni sotto cui l antenna vede il punto campo. 12

13 e la sua resistenza di irradiazione vale 3 R irr = ζ π (2λ) 2 2π 0 λ π ( π ) cos 2 cosθ sinθ) 2 sinθdθ 75Ω La direttivitá massima si ottiene dalla (33) e vale 1.64 (2.15 db). Pertanto neanche una antenna a λ/ 2 é in grado di concentrare il campo in una direzione. Tuttavia, avendo una resistenza di ingresso molto piú alta di quella di un dipolo corto, ha normalmente una efficienza molto alta, e, come vedremo, puó essere adattata molto meglio alla rete di alimentazione. Per quanto riguarda, infine, la reattanza di ingresso, questa dipende in maniera essenziale dal campo nella zona reattiva, e dai dettagli costruttivi della antenna stessa. Una buona approssimazione della reattanza di ingresso per antenne sottili è X in = ζ 2π (Ω 3.4) cotβ 0l (41) La precisione della (41) è buona se Ω > 10 e ragionevole per valori poco più piccoli. In particolare, per antenne corte, X in ζ 2π (Ω 3.4) 1 β 0 l che mostra che un dipolo corto non solo ha una resistenza di ingresso molto piccola, ma ha anche una reattanza di ingresso molto più grande, con un fattore di merito che può arrivare anche al migliaio, e quindi con una banda utile molto piccola. L adattamento di dipoli corti, e in generale di anetnne di piccole dimensioni, è pertanto un problema critico. In particolare per tale classe di problemi sono stati sviluppati gli adattamenti non Foster. Per una antenna a λ/ 2, invece, la (41) mostra che la reattanza di ingresso è nulla. In realtà la reattanza si annulla per antenne leggermente più corte, con un accorciamento dipendente dal raggio a della antenna. Tuttavia nel seguito considereremo come caratteristiche della antenna a λ/ 2 una impedenza di ingresso pari a 75+j0Ω e altezza efficace data da (40). 5 SVILUPPO DI FOURIER DELLA ALTEZZA EFFICACE La altezza efficace (38) é una funzione periodica di θ, e puó quindi essere sviluppata in serie di Taylor. In particolare possiamo utilizzare uno sviluppo in soli seni 1 della sola parte scalare di h(θ), ovvero di ponendo cioé h(θ) = λ π cos(βlcosθ) cosβl sinβl sinθ 3 Il valore esatto dell integrale (40) è 73.1Ω, ma la resistenza di irradiazione dipende leggermente anche dal diametro della antenna per cui il valore dato nella espressione seguente è quello normalmente usato. 1 Questo sviluppo equivale a considerare la funzione estesa a ( π,0) come funzione dispari. 13

14 Risulta h(θ) = λ π n=1 b n sinnθ (42) b n = 2 π π 0 cos(βlcosθ) cosβl sinβl sinθ sinnθdθ Per antenne filiformi non troppo lunghe basta in realtá il solo primo termine della (42), dato da b 1 = 2 π π 0 cos(βlcosθ) cosβl sinβl dθ = 2 πsinβl π 0 cos(βlcosθ)dθ 2cotβl L integrale puó essere espresso in termini di funzioni speciali 1, ma é piú semplice integrarlo numericamente, ottenendo, per antenne a λ/2, b 1 = Usando la (42), limitata al primo termine, nella (39) segue 2 R irr ζ π (2λ) 2 2π 0 λ π b 1sinθ 2 sinθdθ = 800 ( ) 2 b1 [Ω] π 6 SISTEMI DI ANTENNE Le antenne filiformi, e in generale tutte le antenne di dimensioni confrontabili (o piccole) alla lunghezza d onda, hanno prestazioni paragonabili, e non particolarmente elevate. Antenne con prestazioni piú elevate devono necessariamente essere grandi rispetto alla lunghezza d onda. Questo di puó ottenere o con strutture grandi (ad esempio, le antenne a riflettore), oppure utilizzando assieme piú antenne piccole, alimentate in modo coerente, ovvero in modo che le correnti di alimentazione abbiano la stessa frequenza e una precisa relazione di fase tra esse. 1 Essendo π ل 2 cos(βlcosθ)dθ = con J 0 (x) funzione di Bessel di prima specie, si ha b 1 = 2 πsinβl πj 0(βl) 2cotβl = 2 sinβl cos(βlcosθ)dθ = πj 0 (βl) [ ] J 0 (βl) cosβl 2 Per una antenna a λ/2 si ottiene 72.3Ω, Confrontandolo col valore esatto dell integrale (39), ovvero 73.1Ω si vede che l errore è del 1%. 14

15 In questo corso ci occupiamo di questo secondo caso, considerando sia insiemi di antenne connesse a un unico generatore mediante una rete (detta rete di beam forming, in genere abbreviata con BFN), sia antenne con generatori singoli (ovviamente sincronizzati tra loro). Consideremo dapprima il calcolo del campo di un sistema di antenne, per occuparci successivamente del calcolo delle correnti di alimentazione delle varie antenne. Consideriamo allora due antenne (ma il discorso si generalizza in modo ovvio al caso di tre o piú antenne), poste in r A ed r B rispettivamente. Qui e nel seguito considereremo come posizione di una antenna il punto in cui si trova il suo centro di fase, punto da cui si misura la distanza tra antenna e punto campo, ovvero il centro delle sfere equifase del campo lontano. Le antenne hanno correnti di alimentazione I A e I B e altezze efficaci 1 h A (θ A,φ A ) e h B (θ B,φ B ). P P r θ A r O r A r B O θ θ B Fig. 1: Geometria per il calcolo del campo di due antenne (per semplicitá sono state considerate due antenne filiformi coplanari) Scelto un sistema di riferimento (con il centro O nella zona delle antenne, e spesso coincidente col baricentro dei due centri di fase, o con il centro di fase di una delle due antenne), sia r = (r,θ,φ) la posizione del punto campo P. Il campo complessivo delle due antenne, se r é in campo lontano di ciascuna delle due antenne, vale, grazie alla linearitá del problema, E(r) = j ζi A 2λR A e jβr A h A (θ A,φ A )+j ζi B 2λR B e jβr B h B (θ B,φ B ) (43) essendo R A = r r A e R B = r r B. La (43) puó essere ulteriormente semplificata se r = r é in zona di Fraunhofer sel sistema complessivo delle due antenne. Indichiamo con D S il diametro del sistema di correnti indotte sulle due antenne. Se r > 5D S allora, in modo analogo a (10), si possono considerare coincidenti tutti i termini geometrici, e in particolare R A = R B = r, anche se solo al denominatore dei campi. Ovviamente, nell esponenziale, tale apporssimazione non puó essere fatta. Tuttavia possiamo sommare e sottrarre r in ciascun esponenziale e scrivere la (43) come E(r) = j ζ [ ] 2λr e jβr I A h A (θ,φ)e jβ(ra r) +I B h B (θ,φ)e jβ(r B r) (44) 1 Il valore delle due altezze efficaci nel punto campo puó essere diverso sia perché le due antenne sono differenti, oppure orientate differentemente, ma anche perché gli angoli, relativi ai sistemi di riferimento solidali con le due antenne possono essere diversi. 15

16 Il termine in parentesi quadre prende il nome di fattore di interferenza, e coinvolge tutte e sole le grandezze che, nelle ipotesi fatte, possono essere diverse tra le due antenne. I termini R A r e R B r vengono detti differenze di cammino, ed esprimono il ritardo di fase dovuto alla propagazione su tratti di lunghezza differente. Il loro valore dipende solo dalle posizioni relative dei vari centri di fase delle singole antenne rispetto al punto O scelto come origine. Una ulteriore semplificazione puó essere ottenuta se r é in campo lontano del sistema complessivo delle antenne r >2D 2 S/λ. In tal caso, analogamente a (8,9), segue e il campo diventa R A r i r r A R B r i r r B (45) ζ [ E(r) = j 2λr e jβr I A h A (θ,φ)e jβ(i r r A ) +I B h B (θ,φ)e jβ(i r r ] B ) (46) Se le due antenne sono connesse da una rete di Beam forming, allora il rapporto tra il termine della (46) in parentesi quadra e la corrente di alimentazione complessiva I in,s é la altezza efficace h S del sistema di antenne (considerato come una unica antenna) h S = 1 [ I A h A (θ,φ)e jβ( i r r A ) +I B h B (θ,φ)e jβ( i r r ] B ) I in,s (47) L utilizzo delle(45) per il calcolo delle differenze di cammino si presta spesso ad una semplice valutazione grafica. r Consideriamo riferimento la Fig. 2, in cui é indicato il centro di fase di una antenna (posta in A) e O l origine O del riferimento. Il punto cacmpo é a grande distanza, per cui nella scala del disegno le varie congiungenti risultano parallele. Si ha per la differenza di cammino R A r = i r r A = d cosα d α O essendo d = r A, e ricordando che il vettore r A punta verso il punto A. Consideriamo il triangolo rettangolo OAO. La differenza di cammino d cosα risulta uguale A Fig 2: Calcolo della differenza di cammino a AO, ed é positiva, essendo A piú lontano. Segue cioé che le differenze di cammino (se vale la (45) ) possono essere calcolate assumendo le congiungenti parallele. Proiettando l origine sulle varie congiungenti si ottengono le corrispondenti differenze di cammino. 7 MUTUA IMPEDENZA Per calcolare il campo dei sistemi di due (o più) antenne, è necessario conoscere la corrente di alimentazione delle antenne stesse. Normalmente l alimentazione di un sistema di antenne è ottenuto tramite un solo generatore, connesso a un circuito (detto beam forming network, e normalmente indicato con la sigla BFN) che consente di dividere la potenza tra le varie antenne. Poichè le antenne interagiscono tra loro mediante i campi che queste antenne irradiano, è necessario considerare il sistema di N antenne (e tutto lo spazio) come una rete a N porte, lineare e passiva. 16

17 I N A N V g Z g BFN.... I 3 A 3 I 2 A 2 I 1 A 1 Fig. 1: Schema equivalente della alimentazione di un sistema di N antenne A 1,A 2,...,A N. Lo schema che si utilizza è quello di Fig. 1, in cui il blocco a destra comprende tutte le antenne, e tutto lo spazio in cui queste irradiano. Questo blocco va descritto mediante una delle matrici di rete, e in particolare si utilizzano le matrici di impedenza Z e di ammettenza Y, in dipendenza dal tipo di antenna utilizzata. Nel caso di antenne filiformi, si preferisce usare la matrice Z, definita da V = Z I = V 1 = Z 11 I 1 +Z 12 I Z 1N I N V 2 = Z 21 I 1 +Z 22 I Z 2N I N... V N = Z N1 I 1 +Z N2 I Z NN I N (48) La matrice Z è simmetrica (se lo spazio in cui le antenne producono campo è isotropo, o almeno reciproco), e i suoi elementi sono definiti da Z 11 = [ V1 I 1 ] I 2 =...=I N =0 Z 21 = [ V2 I 1 ] I 2 =...=I N =0 e similiari. In altri termini Z 11 è l impedenza di ingresso della antenna 1 quando tutte le altre antenne sono a circuito aperto. Invece, Z21 = Z 12, detta mutua impedenza tre le antenne 1 e 2, è il rapporto tra la tensione a vuoto misurata ai capi della antenna 2 e prodotta alimentando la sola antenna 1 (con tutte le altre a vuoto), e la corrente di alimentazione della antenna 1. Caratteristica delle antenne filiformi, soprattutto di quelle non troppo lunghe, è che la corrente che si inducequandoimorsetti sono aperti è sostenzialmente nulla. QuindiZ 11 coincide sostanzialmente con l impedenza d ingresso della antenna 1 isolata. È per questo motivo che si preferisce usare Z per le antenne filiformi. Una volta nota la matrice Z della rete di antenne, è possibile risolvere il circuito di Fig. 1. In particolare, se tutte le antenne sono alimentate, l impedenza che si vede alla porta p-esima vale Zp A = V [ ] p I 1 I 2 I N = Z pp + Z p1 +Z p Z pn I p I p I p I p (49) (50) 17

18 e 1 prende il nome di impedenza attiva. Poichè l impdedenza attiva dipennde dalle correnti, è molto utile quando le correnti (o, almeno, i rapporti tra esse) sono note. Risulta invece spesso poco agevole utilizzarle per determinare le correnti. La conoscenza della impdedenza attiva consente di calcolare la potenza che entra nelle varie antenne. Risulta infatti P in,p = 1 2 Re [Z A p ] I p 2 = P in,totale = 1 2 N p=1 [ ] Re Zp A I p 2 (51) Ovviamente P in,totale > 0. Invece, è possibile che una o più delle P in,p siano negative. FIsicamente, questo significa che quelle antenne stanno ricevendo potenza dalle altre. Quindi il flusso di potenza attiva tra la BFN e le antenne è positivo verso queste ultime solo su alcune connessioni. Caso limite è quello delle antenne parassite, ovvero antenne che non sono collegate alla BF N, ma sono alimentate mediante la mutua impedenza dalle antenne alimentate. Consideriamo, ad esempio, il caso di due antenne, di cui una alimentata e una parassita (chiusa su di un carico Z Q ), come in fig. 2a. Z Q I 2 A 2 Z Q I 2 A 2 Z g BFN Z g BFN V g I 1 A 1 V g I 1 A 1 Fig. 2a: Schema equivalente della alimentazione di una antenna parassita (A 2 ). Fig. 2b: Come Fig. 2a, ma con una BFN a 1+2 porte. In tal caso è evidente che la potenza che si dissipa su Z Q viene del generatore, entra nella rete a destra mediante la antenna 1 e viene poi trasmessa alla antenna 2, che la consegna al carico. Tuttavia la configurazione di Fig. 2a può essere anche descritta da una rete come quella di Fig. 1. Basta inserire Z Q nella BFN, come in Fig. 2b. In tal caso la potenza attiva che entra alla porta 2 è negativa (ovvero, il flusso fisico di potenza va da destra verso sinistra). 8 GUADAGNO ED EFFICIENZA NEI SISTEMI DI ANTENNE Se le antenne di un sistema di antenne presentano dissipazione, l efficienza complessiva del sistema dipende non solo da questa dissipazione, ma anche dalla mutua impedenza tra le antenne e dalla rete di alimentazione. In particolare, come vederemo, anche se le singole antenne 1 Ovviamente, nella somma in parentesi quadra di (50), manca il termine p esimo 18

19 hanno la stessa efficenza, e la rete di alimentazione é priva di perdite, l efficenza totale puó essere anche molto diversa da quella delle singole antenne. Consideriamo ad esempio due antenne filiformi uguali, di impedenza di ingresso Z A ed efficienza η A. La resistenza di irradiazione vale quindi R i = R A η A con R A = Re[Z A ]. Tra le due antenna esiste una mutua impedenza Z m. Supponiamo di alimentare la prima antenna, e di chiudere la seconda su di una reattanza jx. Le equazioni della matrice Z, e il vincolo di alimentazione sono Risolvendo si trova V 1 = Z A I 1 +Z m I 2 V 2 = Z m I 1 +Z A I 2 e V 2 = jx I 2 I 2 = Z m Z A +jx I 1 La potenza di ingresso si ottiene dalla impedenza attiva dell antenna 1 (in quanto l ingresso della antenna 1 è anche l ingresso della antenna complessiva): come Z1 A I 2 Zm 2 = Z A +Z m = Z A I 1 Z A +jx P IN = 1 2 Re[ZA 1 ] I 1 2 = 1 2 { } R A Re[Z2 m(z A jx)] Z A +jx 2 I 1 2 Invece la potenza dissipata si ottiene dalla resistenza di dissipazione R D = R A R i (uguale per entrambe le antenne), come P D = 1 2 R D I R D I 2 2 = 1 2 R D I 1 [1+ 2 Z m Z A +jx e da questa si ottiene l efficienza del sistema di antenne 2 ] η = 1 P D P IN = 1 R D R A Z A +jx 2 Z m 2 Z A +jx 2 Re[Z2 m (Z A jx)] R A Per Z m = 0 l ultimo fattore é unitario e si trova η = η A. Ma se Z m 0 allora l efficenza η é diversa da η A. A titolo di esempio, si riporta in Fig. 1 l andamento della efficienza per un sistema di due antenne a λ/2 al variare della reattanza di carico della seconda antenna e per vari valori della distanza d tra le antenne. L efficienza della singola antenna è pari al 96%. 19

20 Efficienza di un sistema di antenne d=λ/4 d=λ/2 d=λ 98 η [%] X [Ω] Fig. 1: Efficienza totale di un sistema di due antenne a λ/2. 9 DIAGRAMMA DI RADIAZIONE E MASSIMI DI IRRADIAZIONE Il diagramma di radiazione di una antenna F(θ,φ) è stato definito come la distribuzione spazialenormalizzata delguadagnog(θ,φ), odigrandezzeadessoproporzionali, come h(θ,φ) 2. A partire dal diagramma di radiazione, vengono definite alcune direzioni caratteristiche del campo irradiato da una antenna, e precisamente: Massimo di irradiazione: direzione in cui il diagramma di radiazione ha un massimo; Nullo: direzione in cui il diagramma di radiazione è nullo. Si introduce anche, talvolta, il minimo di irradiazione, come la direzione in cui il diagramma di radiazione ha un minimo. Nel seguito indicheremo spesso una direzione (θ, φ) con Ω, per semplicità di scrittura. Tuttavia, molti esempi saranno di diagrammi funzione solo di θ, e quindi costanti rispetto a φ. In tal caso, la direzione sarà considerata solo rispetto a θ (ovvero la direzione di massimo sarà in realtà un cerchio a θ costante). Vediamo alcuni esempi. 1 Un diagramma F(θ) = sin 2 θ ha un massimo in θ =π/2, e nulli in θ = 0, π. 2 Per undiagrammaf(θ) = (sinθ+cosθ) 2, ledirezioni dimassimosi ottengono derivando la funzione rispetto a θ, e imponendo che la derivata si annulli. Segue allora 2(sinθ +cosθ)(cosθ sinθ) = 0 e solo i nulli del secondo termine possono essere massimi. Segue allora come possibile massimo θ =π/4, in cui la funzione vale 2. Poichè agli estremi, ovvero per θ = 0, π, la funzione vale 1, θ =π/4 è effettivamente il massimo. Invece θ = π/4 è un nullo. 3 Un diagramma F(θ) = 2 cos 2 θ ha un massimo in θ =π/2, e minimi in θ = 0, π, che si ottengono calcolando gli zeri della derivata, ma non ha nulli. 4 Per un diagramma F(θ,φ) = sin(2θ)cosφ, i punti estremali sono gli zeri delle derivate, ovvero le soluzioni del sistema { 2cos(2θ)cosφ = 0 sin(2θ)sinφ = 0 20

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