RICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come

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1 RICHIAMI SULLE MATRICI Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn dove m ed n sono le dimensioni di A. La matrice A può anche indicarsi con A = [a ij ], i = 1, 2,..., m j = 1, 2,..., n Se m = n la matrice è quadrata e n è il suo ordine

2 RICHIAMI SULLE MATRICI Per una matrice quadrata gli elementi a ii, i = 1, 2,..., n formano la diagonale principale e gli elementi a i,n+1 i quella secondaria. Si definisce Traccia di A la quantità T r A = n i=1 a ii Se m = 1 (o n = 1) si parla di vettore riga (o colonna) intendendo per vettore un vettore colonna. La matrice nulla di IR n n è quella in cui a ij = 0 i, j = 1, 2,..., n. La matrice unità di IR n n è quella in cui a ij = δ ij con δ ij simbolo di Kronecker (1 se i = j, 0 se i j). Si indica con I n o con I.

3 RICHIAMI SULLE MATRICI Si chiama Trasposta di A la matrice A T = [a T ij ], at ij = a ji, i = 1, 2,..., m j = 1, 2,..., n In campo complesso si introduce la Trasposta coniugata A H = [a H ij ], ah ij = ā ji, i = 1, 2,..., m j = 1, 2,..., n Talvolta si rappresenta la matrice con le sue sottomatrici. In particolare si può usare la forma A = [A 1 A 2... A n ] dove A i sono i vettori colonna, ovvero A i = [a 1i, a 2i,..., a mi ] T

4 OPERAZIONI TRA MATRICI Il prodotto tra matrici NON È COMMUTATIVO ovvero (in generale) BA AB. Inoltre può accadere che AB = 0 anche se A, B 0. Il prodotto interno o scalare tra due vettori X = [x 1, x 2,..., x n ] T Y = [y 1, y 2,..., y n ] T è dato da < X, Y >= X T Y = n k=1 x k y k X e Y sono ortogonali se < X, Y >= 0

5 BASI IN IR n Un sistema di r vettori X 1, X 2,..., X r (in uno spazio reale o complesso) è ortogonale se < X i, Y j >= 0 per i j. È ortonormale se < X i, Y j >= δ ij Si chiama lunghezza Euclidea la quantità < X, X >. Si indica anche con X 2

6 RICHIAMI SULLE MATRICI Si chiama determinante di A la somma degli n! prodotti associati distinti, ovvero deta = π P S(π)a 1,j1 a 2,j2... a n,jn dove π è la generica permutazione j 1, j 2,..., j n dell insieme P delle permutazioni di 1, 2,..., n e S(π) vale ±1 se π è pari o dispari A è singolare se det A = 0, regolare se det A 0

7 RICHIAMI SULLE MATRICI Data A(m n) e due interi h, k con 0 < h m e 0 < k n. Sopprimendo m h righe e n k colonne si ottiene una sottomatrice. Se h = k i corrispondenti determinanti sono detti minori di A Se m = n si dice sottomatrice principale di testa di ordine k quella ottenuta sopprimendo le righe e le colonne di indici maggiori di k. I relativi determinanti sono i minori principali di testa

8 RICHIAMI SULLE MATRICI L inversa di A è la matrice tale che A 1 A = AA 1 = I Esiste se e solo se det A 0. Per il Teorema di Binet det A 1 = 1/det A Si chiama rango di A l intero che indica l ordine massimo dei minori non nulli di A. Si indica con r(a).

9 RICHIAMI SULLE MATRICI: MATRICI PARTICOLARI Hermitiana (Antihermitiana): se A H = A (A H = A) Simmetrica (Antisimmetrica): se A T = A (A T = A) Triangolare superiore: se a ij = 0 per i > j Triangolare inferiore: se a ij = 0 per i < j Hessenberg superiore: se a ij = 0 per i > j + 1 Hessenberg inferiore: se a ij = 0 per i < j 1 a banda di ampiezza 2k + 1: se a ij = 0 per i j > k Tridiagonale: è a banda di ampiezza 3 Diagonale: è a banda di ampiezza 1

10 RICHIAMI SULLE MATRICI: MATRICI PARTICOLARI Sparsa: molti elementi non nulli Diagonale dominante per righe (per colonne): se a ii > n j=i j i a ij a ii > n j=i j i a ji Definita positiva (negativa): se è Hermitiana e X H AX > 0 (< 0), X 0 Semidefinita positiva (negativa): la disegualianza vale in senso debole

11 RICHIAMI SULLE MATRICI: MATRICI PARTICOLARI Criterio di Sylvester Affinché una matrice quadrata e hermitiana (simmetrica) sia definita positiva, è necessario e sufficiente che risulti det A k > 0 k = 1, 2,..., n A k essendo le sottomatrici principali di testa di A

12 RICHIAMI SULLE MATRICI Valgono le seguenti proprietà: Gli elementi della diagonale principale di una matrice reale definita positiva sono positivi Se la matrice (reale) A è definita positica si ha a 2 ij < a iia jj e l elemento di massimo modulo di A è sulla diagonale Una matrice diagonalmente dominante è regolare Una matrice definita positiva è regolare, e la sua inversa è definita positiva

13 RICHIAMI SULLE MATRICI: MATRICI TRASFORMANTI ELEMENTARI Si chiamano in questo modo le matrici che, applicate ad una data matrice A producono: Scambio di righe (o colonne) Somma sulla i esima riga della j esima moltiplicata per una costante c (e analoga operazione sulle colonne) moltiplicazione della i esima riga (o colonna) per una costante c 0

14 RICHIAMI SULLE MATRICI: MATRICI TRASFORMANTI ELEMENTARI Matrice di Permutazione: P ij = La P ij è simmetrica, ortogonale e det P ij = 1 La moltiplicazione a sinistra (destra) di A (m n) per una matrice P ij (m m) ( P ij (n n) ) produce uno scambio delle righe (colonne) i e j di A

15 RICHIAMI SULLE MATRICI: MATRICI TRASFORMANTI ELEMENTARI Matrici E ij (c): si ottengono dalla matrice identità ponendo la costante c nell elemento ij (i j). Moltiplicare a sinistra (destra) una matrice A(m n) per una matrice E ij (c)(m m) ( E ij (c)(m m) ) equivale a sommare sulla riga (colonna) j la riga (colonna) i moltiplicata per c Le matrici E ij (c) sono regolari e si ha det E ij (c) = 1, Eij 1 (c) = E ij( c), e Eij T (c) = E ji(c)

16 RICHIAMI SULLE MATRICI: MATRICI TRASFORMANTI ELEMENTARI Matrici M i (c): sono ottenute da I ponendo la costante c (non nulla) sulla i esimo elemento della diagonale Moltiplicare a sinistra (destra) la matrice A(m n) per una matrice M i (c)(m m) (M i (c)(n n)) equivale a moltiplicare per c la riga i esima (la colonna i esima di A) La M i (c) è regolare e det M i (c) = c, da cui M 1 i (c) = M i (1/c)

17 RICHIAMI SULLE MATRICI: AUTOVALORI E AUTOVETTORI Dati uno scalare λ ed un vettore X 0, questi sono Autovalore e Autovettore di A se AX = λx ovvero (A λi) = 0 λ è soluzione dell equazione caratteristica det A λi = 0. Dallo sviluppo del determinante si ottiene il polinomio caratteristico di grado n Anche se A è reale, autovalori e autovettori possono essere complessi. Ad autovalori reali (complessi) saranno associati autovettori reali (complessi)

18 RICHIAMI SULLE MATRICI: AUTOVALORI E AUTOVETTORI Per proprietà note risulta n i=1 λ i = T r A, n i=1 λ i = det A L insieme {λ i } degli autovalori è detto spettro di A e si chiama raggio spettrale il massimo modulo degli autovalori: ρ(a) = max 1 i n λ i

19 RICHIAMI SUGLI SPAZI VETTORIALI NORMATI Dato un insieme S ed un campo di scalari K, S è uno spazio vettoriale (o lineare) su K se sono definite: Addizione da S S in S, che associa ad ogni coppia in S un altro elemento appartenente ad S, detto somma: X, Y S X + Y S Moltiplicazione da K S in S, che associa ad ogni coppia formata da un elemento appartenente a K e un elemento appartenente ad S un elemento appartenente ad S, detto prodotto: X S, α K αx S

20 RICHIAMI SUGLI SPAZI VETTORIALI NORMATI E se queste operazioni verificano le seguenti proprietà: X + Y = Y + X α(βx) = (αβ)x, α, β K (X + Y ) + Z = X + (Y + Z) α(x + Y ) = αx + αy, α K (α + β)x = αx + βx α, β K 0 S X + 0 = X, 1X = X X, X S X + ( X) = 0 L elemento 0 è detto elemento neutro dell addizione e X è detto opposto di X.

21 RICHIAMI SUGLI SPAZI VETTORIALI NORMATI Dati r n vettori X 1, X 2,... X r dello spazio reale o complesso di dimensione n, essi sono linearmente indipendenti se la α 1 X 1 + α 2 X α r X r = 0 sussiste solo se α k = 0 k = 1, 2,..., r Uno spazio vettoriale S ha una dimensione finita n se esiste in S un sistema B di n vettori linearmente indipendenti in grado di generare tutti gli elementi di S attraverso opportune combinazioni lineari.

22 RICHIAMI SUGLI SPAZI VETTORIALI NORMATI L applicazione da S a IR + {0} è una norma se X = 0 X = 0 αx = α X, α K, X S X + Y X + Y, X, Y S In uno spazio normato di dimensione finita ogni norma è una funzione continua In uno spazio normato di dimensione finita, tutte le norme sono equivalenti ovvero per ogni coppia (1), (2) esistono due costanti m, M tali che per ogni X S vale la m X (1) X (2) M X (1)

23 RICHIAMI SUGLI SPAZI VETTORIALI NORMATI Si chiama distanza la X Y Si definisce intorno di raggio r di X 0 di S l insieme I r (X 0 ) = {X : X S, d(x, X 0 ) = X X 0 r} Se la disegualianza vale in senso stretto l intorno è aperto Data una successione {X n }, X n S, di dice convergente a X e si scrive lim n X n = X se lim n X n X = 0

24 NORME DI VETTORI Nello spazio reale a n dimensioni, si definisce norma p per un vettore X la quantità X p = n i=1 x i p 1/p Le più usate sono X 1 = n i=1 x i X 2 = [ n i=1 x i 2] 1/2 X = max 1 i n x i norma uno norma due o euclidea norma infinito o uniforme

25 NORME DI VETTORI Disegualianza di Cauchy-Schwartz: X T Y X 2 Y 2 Graficamente, le tre norme forniscono i seguenti intorni x 2 x 2 x 2 X r X r X r x 1 x 1 x 1

26 NORME DI MATRICI Anche per le matrici è introdotto il concetto di norma. Una applicazione : R n n R n U{0} è norma di una matrice se verifica le seguenti condizioni A = 0 A = 0 αa = α A α R, A R n n A + B A + B A B A B A, B R n n A, B R n n Le norme che soddisfano quest ultima condizione sono dette di Schwartz

27 NORME DI MATRICI Le più usate sono A 1 = max 1 j n n i=1 a ij A = max 1 j n n j=1 a ij A F = A 2 = ( n i=1 n j=1 a 2 ij) 1/2 ϱ(a T A) norma uno infinito o uniforme di Frobenius o euclidea due o spettrale Generalmente si usano le norme 1, e di Frobenius (dette anche canoniche). Esiste una classe di norme, dette indotte che applicate a matrici quadrate soddisfano la relazione di compatibilità AX A X A R n n X R n

28 NORME DI MATRICI Teorema : Se è una norma verificante la condizione di compatibilità e A è una matrice quadrata, risulta ρ(a) A Una matrice A R n n è convergente se la successione delle sue potenze {A k } converge alla matrice nulla, ovvero se lim k A k = 0 per una qualsiasi norma. Teorema : Sia A R n n, allora lim k Ak = 0 ρ(a) < 1