ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I Sessione suppletiva

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 005 Sessione suppletiv Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Sono dti un pirmide tringolre regolre e il prism retto inscritto in ess in modo che un bse si l sezione dell pirmide con il pino equidistnte dl suo vertice e dll su bse. A) Ammesso di conoscere il volume dell pirmide, dire se è possibile clcolre il volume del prism e fornire un esuriente spiegzione dell rispost. B) Posto che lo spigolo dell bse ABC dell pirmide si lungo 4 cm: ) clcolre l misur dello spigolo dell bse MNP del prism, complnre d ABC ; ) supposto che gli spigoli AB e MN sino prlleli, riferire il pino dei tringoli ABC e MNP un sistem di ssi crtesini vente l origine in A e l sse delle scisse coincidente con l rett AB e trovre le coordinte dei vertici di tli tringoli; ) determinre quindi l equzione dell prbol vente l sse perpendicolre ll rett AB e pssnte per i punti A, B, M e verificre che pss pure per N ; 4) dopo ver spiegto perché l trsformzione che mut il tringolo ABC nel tringolo MNP è un similitudine, trovrne le equzioni; 5) spiegre esurientemente, col metodo preferito, com è posiziont l circonferenz circoscritt l tringolo MNP rispetto l tringolo ABC. PROBLEMA È ssegnt l funzione f (x), dove è un prmetro rele non nullo. x ) Dopo ver fornito l definizione di funzione limitt, spiegre perché l funzione f (x) è limitt. ) Un volt riferito il pino un sistem monometrico di ssi crtesini ortogonli (Ox) e indicto con A il punto di mssimo del grfico G dell funzione qundo 0, scrivere l equzione dell circonferenz di dimetro OA. ) Determinre qunti e quli punti hnno in comune l circonferenz e l curv G, qundo vri nell insieme dei numeri reli positivi. 4) Clcolre il vlore di per il qule l circonferenz e l curv G hnno in comune i vertici di un tringolo equiltero. 5) Verificre che esiste un vlore di per il qule l funzione f (x) si può considerre l densità di probbilità di un vribile letori continu e determinre l funzione di distribuzione di tle vribile. Znichelli Editore, 006

2 QUESTIONARIO È dto un trpezio rettngolo, in cui le bisettrici degli ngoli dicenti l lto obliquo si intersecno in un punto del lto perpendicolre lle bsi. Dimostrre che il tringolo vente per vertici questo punto e gli estremi del lto obliquo è rettngolo e trovre qule relzione leg il lto obliquo lle bsi del trpezio. Sino AB, AC, AD tre spigoli di un cubo. Spendo che uno spigolo è lungo s, clcolre l distnz del vertice A dl pino dei punti B, C, D. Alberto e Ginn sono chimti risolvere l seguente equzione: sen x cos x. Alberto ottiene come 4 5 soluzione gli ngoli x tli che: x k oppure x k (k intero qulsisi); Ginn trov l seguente soluzione: x () k k (k intero qulsisi). È vero o è flso che Alberto h risolto correttmente e Ginn no? Fornire un rispost esuriente. Si consideri l seguente equzione in x : (k ) x (k )x (k ) 0, dove k è un prmetro rele diverso d. Indicte con x e x le sue rdici, clcolre i limiti di x x qundo k tende, e. Il limite dell funzione ( x) x per x 0: A) è ugule ; B) è ugule ; C) non esiste; D) è ugule e ; E) è ugule e, con e l bse dei logritmi nturli. Un sol rispost è corrett. Individurl e fornirne un spiegzione esuriente. Dimostrre che, se l derivt di un funzione rele di vribile rele f (x) è null per ogni x di un dto intervllo J, llor f (x) è costnte in J. Spiegre in mnier esuriente perché un funzione rele di vribile rele integrbile in un intervllo chiuso e limitto [; b ] non necessrimente mmette primitiv in [; b ]. In un urn ci sono due plline binche, in un second urn ci sono due plline nere e in un terz urn ci sono un pllin binc e un pllin ner. Scegli cso un urn ed estri, sempre cso, un delle due plline in ess contenute: è binc. Sresti disposto scommettere ll pri che l pllin rimst nell urn che hi scelto si ess pure binc? Si consideri il seguente sistem nelle incognite x,, z: x z x z x z dove è un prmetro rele. Il sistem è: Znichelli Editore, 006

3 A) determinto per ogni vlore di ; B) indeterminto per un vlore di e impossibile per un vlore di ; C) indeterminto per nessun vlore di, m impossibile per un vlore di ; D) impossibile per nessun vlore di, m indeterminto per un vlore di. Un sol rispost è corrett: individurl e fornire un esuriente spiegzione dell scelt opert. 0 Si consideri l trsformzione geometric di equzioni: x x m, mx, dove m è un prmetro rele. Trovre l equzione del luogo geometrico dei suoi punti uniti. Durt mssim dell prov: 6 ore. È consentito soltnto l uso di clcoltrici non progrmmbili. Non è consentito lscire l Istituto prim che sino trscorse ore dll detttur del tem. Znichelli Editore, 006

4 SOLUZIONE DELLA PROVA D ESAME CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 005 Sessione suppletiv PROBLEMA A)Nell figur sono disegnti l pirmide tringolre regolre, di bse ABC equilter e ltezz VH, e il prism tringolre inscrit- V to nell pirmide, di bse DEF equilter e ltezz KH VH. L pirmide tringolre di vertice V e bse DEF è simile ll pirmide di bse ABC e vertice V, con rpporto di similitudine F K E k per ipotesi, pertnto i volumi delle due pirmidi hnno D rpporto k 8 : Vol DEFV 8 Vol ABCV. C P H N B Or, l pirmide DEFV h bse e ltezz congruenti l prism inscritto di prtenz: ess è quindi equivlente ll terz prte del prism cioè Vol DEFV Vol prism. Sostituendo nell relzione A M Figur. precedente si trov: Vol prism 8 Vol ABCV Vol prism 8 Vol ABCV. In conclusione, il volume del prism inscritto è del volume dell pirmide ABCV. 8 B) Nel punto A) si è osservto che i tringoli equilteri MNP e ABC sono simili con rpporto di similitudine k. Se il lto di ABC misur 4 cm, il lto di MNP è lungo cm. B) Nell figur sono rppresentti i tringoli ABC e MNP nel sistem di ssi crtesini come richiesto. C P H W M R N OA B Q γ x Figur. 4 Znichelli Editore, 006

5 I punti A e B hnno coordinte A(0; 0) e B (4; 0); il punto C h sciss x A x B e ordint pri ll ltezz del tringolo equiltero ABC, ovvero. Pertnto C (; ). Il punto H è ortocentro, incentro e bricentro del tringolo equiltero ABC e del tringolo equiltero MNP: esso divide l medin CQ in due prti, un doppi dell ltr, per cui H ;. Per il rpporto di similitudine tr i due tringoli, risult poi che M è punto medio di AH, come N lo è di BH e P di CH. Attrverso l formul del punto medio di un segmento si trov: M ;, N ; e P ; 4. B) Un prbol con sse di simmetri prllelo ll sse h equzione generic x bx c. Poiché l prbol pss per i punti A(0; 0), B (4; 0) e M ;, si ottiene il sistem in, b, c: c 0 6 4b c 0 b c 9 b 4. 9 c 0 L prbol h equzione x 4 x. Ess pss per il punto N poiché tle punto è 9 9 simmetrico l punto M dell prbol, rispetto ll sse di simmetri. Diversmente si può verificre che le coordinte di N soddisfno l equzione dell prbol: Nell figur è rppresentto il grfico dell prbol. B4) Nel punto A) è stto stbilito che i tringoli equilteri MNP e ABC sono simili con rpporto di similitudine k ; nel punto B) si er osservto che M è punto medio di AH, come N lo è di BH e P di CH (figur ). Si può così dedurre che l trsformzione che mut il tringolo ABC nel tringolo MNP è un prticolre similitudine, ovvero un omoteti di rpporto k e centro H ;. Pertnto l trsformzione geometric h equzioni: x (x ) c 0 4 b 0 b c 0 b 4 x x. B5) L circonferenz circoscritt l tringolo equiltero MNP h centro nel circocentro H del tringolo e rggio r HP, cioè r (figur ). C P H M N A Q B Figur. 5 Znichelli Editore, 006

6 Tle circonferenz coincide con l circonferenz inscritt nel tringolo equiltero ABC. Inftti quest ul- tim h centro in H e h rggio r HQ, cioè r. PROBLEMA ) Un funzione f (x) si definisce limitt nel suo insieme di definizione A se esiste un numero rele positivo M tle che f (x) M x A. L funzione f (x) h come cmpo di esistenz l insieme dei numeri reli. Osservndo che x x, x R, si può scrivere f (x) x, x R. Pertnto l funzione è limitt nel cmpo rele. ) Si studi il grfico G dell funzione f (x), con positivo. Ess h cmpo di esistenz rele; x è simmetric rispetto ll sse delle ed è sempre positiv; h sintoto orizzontle 0, poiché lim x 0; h derivt f x x (x), pertnto h mssimo ssoluto nel punto A (0; ); h derivt second f (x) ( x ( x ) (, ) x ) dunque h flessi nei punti x. L circonferenz di dimetro OA h centro nel punto P 0; e rggio ugule d. L su equzione è: x 4 x 0. Nell figur 4 è rppresentto il grfico G dell funzione f per un generico e il grfico dell circonferenz. = +x ) Per determinre le intersezioni delle curve e G bisogn risolvere il sistem delle loro equzioni: O x Figur 4. x. 0 x L equzione risolvente è: x 0 x ( x ) ( x ) 0 x ( x ) x 0 ( x ) x x (x 4 x ) 0. Per l legge di nnullmento del prodotto: x 0 x. Tenendo conto che è positivo, le soluzioni sono: x 0 x. In prticolre: se, le curve si intersecno in tre punti: (0; ), ( ; ), ( ; ); se, le curve hnno solo il punto (0; ) in comune. L figur 4 mostr dunque il cso in cui, mentre l figur 5 rppresent le due curve per. A P A γ G = O x Figur 5. 6 Znichelli Editore, 006

7 4) Indicti con A, B, C i punti di intersezione delle due curve (figur 6), le loro coordinte sono: A(0; ), B ( ; ), C ( ; ), con. Sfruttndo l simmetri dell figur, ffinché il tringolo ABC si equiltero, è sufficiente imporre AC BC : ( ) ( ) 4 A P. B C Elevndo l qudrto e semplificndo per () si ottiene 4. O x 5) L funzione f (x) è continu e positiv in tutto il x cmpo rele per 0. Affinché ess si un funzione densità di probbilità deve vlere: f (x) dx. Pertnto si clcol il seguente integrle: dx ( lim rctg z lim rctg z) x z z, Figur 6. e si pone ugule, cioè. Il vlore per cui l funzione è un densità di probbilità di un vribile letori continu X, è. L densità h quindi equzione: f (x). ( x ) L funzione di distribuzione (o di riprtizione) F (x) di un vribile letori continu X è definit come F (x) P (X x) x f (t) dt. Ess fornisce l probbilità che l vribile X non superi un determinto vlore x ed è primitiv dell funzione densità di probbilità f (x). Nel cso specifico h espressione: F (x) x dt [rctg x lim rctg z ] ( t ) z rctg x rctg x. QUESTIONARIO Nel trpezio rettngolo ABCD (figur ) il segmento EB è bisettrice dell ngolo ABˆC ed EC è bisettrice dell ngolo BĈD. Tli ngoli sono supplementri perché ngoli coniugti formti dlle prllele AB e DC e dll trsversle BC. Pertnto gli ngoli EBˆC e BĈE, essendo metà di ngoli supplementri, sono tr loro complementri. Il tringolo CEB, vendo due ngoli complementri, è quindi retto in E. Si trcci l perpendicolre EH l lto BC. Risult: DÊC CÊH EBˆC, perché complementri di ngoli congruenti; EĈB BÊH AÊB, poiché complementri di ngoli congruenti. Pertnto i tringoli DEC e CEH sono congruenti per il secondo criterio di congruenz, come pure i tringoli ABE e BEH. In prticolre, CD CH e AB BH. Essendo BC CH BH si deduce che BC CD AB. In conclusione, l somm delle bsi del trpezio rettngolo è ugule l lto obliquo. D E A C H B Figur. Znichelli Editore, 006

8 Il pino pssnte per i punti B, C, D delimit l pirmide ABCD (figur 8). Lo scopo è quello di determinre l ltezz h dell pirmide rispetto ll bse tringolre BCD. Si clcol dpprim il volume V dell pirmide: V S BCD h, dove S BCD è l re dell bse tringolre BCD. Il tringolo BCD, vendo per lti le digonli di tre fcce del cubo, è equiltero e il lto vle s. Pertnto l su re risult: B s S BCD s s Figur 8. s e il volume dell pirmide divent V s h. 6 Esso può essere clcolto in ltro modo, considerndo come bse il tringolo ABC. In tl cso V S ABCAD ovvero V 6 s. Uguglindo le due espressioni del volume si ottiene: s h 6 6 s, d cui h s. D A h H C 4 Utilizzndo l formul di dupliczione, l equzione sen x cos x 4 è equivlente ll equzione senx che h soluzioni: x 6 k x 5 6 k x 5 k x k (k Z). L rispost di Alberto è quindi estt. Le soluzioni fornite d Ginn, x () k k, possono essere scritte diversmente, distinguendo se k è pri o dispri, nel seguente modo: per k pri, cioè k k (k Z), x k ovvero x k ; per k dispri, cioè k k (k Z), x (k ) ovvero x 5 k. Pertnto l soluzione dt d Ginn è estt ed è equivlente quell fornit d Alberto. Affinché l equzione di secondo grdo (k ) x (k ) x (k ) 0 mmett soluzioni reli è necessrio che il discriminnte si mggiore o ugule zero: (k ) 4(k )(k ) 0 4k 4k 4k 4k Tle condizione è quindi verifict per qulsisi k R. b Poiché in un equzione di secondo grdo, x bx c 0, l somm delle rdici vle x x, risult: x x k, k. k I limiti richiesti vlgono: lim k, e quindi lim k non esiste, lim k. k k k k k k 8 Znichelli Editore, 006

9 5 Considerto il limite lim ( x) x, si trtt di un form indetermint. Si pone, per cui x 0 x x e per x 0 risult. Sostituendo nel limite precedente si ottiene: lim ( x 0 x) x lim lim. Applicndo il limite notevole lim x x x e, ne consegue che lim ( x) x x 0 e. L rispost estt è pertnto l E). 6 Si prendno due punti x e x con x, x J e x x. Essendo J un intervllo, risult [x ; x ] J. Poiché l funzione è derivbile in J per ipotesi, ess è continu e derivbile nell intervllo [x ; x ]. È quindi pplicbile su tle intervllo il teorem di Lgrnge, cioè esiste lmeno un punto c ] x ; x [ tle che: f (x ) f ( x ) f (c). x x Per ipotesi, l derivt dell funzione è null nell intervllo J, per cui f (c) 0. Risult llor: f (x ) f (x ) 0, ovvero f (x ) f (x ). Dunque l funzione ssume lo stesso vlore in x e x. Tenendo conto dell rbitrrietà dei punti x e x nell intervllo J, l funzione è quindi costnte su tutto l intervllo di definizione. Dt un funzione f (x) continu in un intervllo chiuso e limitto [; b], si chim primitiv di f (x) in [; b] ogni funzione F (x), continu e derivbile nell intervllo, tle che F (x) f (x). Si definisce funzione integrle di f (x) l funzione x f (t) dt, con x [; b], ottenut secondo l definizione di integrle definito e l funzione f (x) si dice integrbile in [; b]. Si dimostr che ogni funzione continu in un intervllo è in esso integrbile e il teorem fondmentle del clcolo integrle fferm che l funzione x f (t) dt è un funzione primitiv di f (x), ovvero, posto F (x) x f (t) dt, risult F (x) f (x). Or, l integrbilità di un funzione può essere estes l cso di un funzione con un numero finito di punti di discontinuità. Ad esempio se f (x), definit in [; b], h un punto di discontinuità in x c interno ll intervllo, ed esistono finiti lim f (x) dx e lim f (x) dx, llor l funzione è integrbile in senso improprio su [; b ] e vle: b f (x) dx lim t c t t c t f (x) dx lim t c b t t c b t f (x) dx. 0sex 0 Considerimo l funzione f (x). In bse ll definizione di integrle definito ess è integrbile nell intervllo [0; ] e se0 x risult: 0 f (x) dx. 0 f(x) dx O x Figur 9. 9 Znichelli Editore, 006

10 L funzione però non mmette primitiv in tle intervllo. Inftti un su eventule primitiv nell intervllo perto sinistr ]0; ] dovrebbe essere del tipo: F (x) x c, x ]0; ], c R (costnte rele indetermint). Definimo F (0) rispettndo l necessri continuità di F: F (0) lim (x c) c. x 0 Dunque: F (x) x c x [0; ], c R quindi F (x) x [0; ]. D ltr prte dovendo essere F (0) f (0) si vrebbe 0: f non mmette dunque primitiv. 8 Scelt cso un urn tr le tre disposizione, è stt estrtt un pllin binc. L obiettivo è quello di clcolre l probbilità che l pllin rimst nell urn scelt si pure ess binc, ossi l probbilità di vere scelto l urn A spendo che l pllin estrtt è binc. Indicte ordintmente con A, B e C le tre urne, si considerino i seguenti eventi: E «l prim pllin estrtt è binc», A «è stt scelt l urn A», B «è stt scelt l urn B», C «è stt scelt l urn C». L probbilità che, uscit un pllin binc, si stt scelt l urn A, è secondo il teorem di Bes: P (A) P (E A) P (A E ). P (A) P (E A) P (B) P (E B) P (C ) P (E C ) Or, P (A) P (B) P (C ), P (E A), P (E B) 0, P (E C ), e quindi risult: P (A E ). 0 Essendo l probbilità P (A E ) mggiore di, llor scommettere ll pri che l pllin rimst nell urn si nch ess binc è vntggioso. 9 Il sistem linere nelle incognite x,, z: x z x z x z h mtrice incomplet:. Il suo determinnte vle D e può essere scritto come: D ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ). 0 Znichelli Editore, 006

11 Per l regol di Crmer il sistem è determinto per. Per le mtrici incomplet e complet diventno:,. Le loro crtteristiche vlgono entrmbe e per il teorem di Rouché-Cpelli il sistem è indeterminto e mmette soluzioni. Per le mtrici incomplet e complet risultno:,. L crtteristic dell mtrice incomplet è mentre per l mtrice complet vle. Per il teorem ppen indicto il sistem è quindi impossibile. Si conclude che il sistem di prtenz è indeterminto per, mentre è impossibile per. L rispost estt è dunque B. 0 Il sistem dell trsformzione geometric è: x x m. mx I punti uniti di un trsformzione sono quei punti che vengono trsformti in sé. Assunto x x e, il sistem divent: x x m x m 0. mx mx 0 Per ottenere l equzione crtesin del luogo geometrico dei punti uniti, si procede ll eliminzione del prmetro m: m x, 0. x x 0 x x 0 L equzione ottenut, x x 0, con 0, è un conic con ssi prlleli gli ssi crtesini. Operndo il completmento del qudrto, risult: x x x 4 e 9. L equzione divent: x x. 6 Si trtt di un ellisse con centro nel punto ; e con semissi di lunghezz e 6. Znichelli Editore, 006

12 È necessrio discutere l condizione 0 per vedere se l ellisse è privt di qulche punto: 0 x 0 x. x x 0 Il punto (0; 0) non pprtiene l luogo x m 0 poiché, sostituendo, si trov il sistem impossibile: mx Mentre per (; 0) si h 0 m, che è un vlore ccettbile per il prmetro m. m 0 In conclusione il luogo dei punti uniti dell trsformzione geometric è l ellisse di equzione x, 6 privt del punto O (0; 0). 0 0 Znichelli Editore, 006

13 Per esercitrti ncor sugli rgomenti trttti nel Svolgi il Problem Quesito 6 pg. 96 Esercizio 4 pg. L 9 Problem 0 pg. L 9 (punto ) Esercizio 0 pg. L 5 Esercizio 40 pg. J 96 Problem Esercizio pg. V 45 Esercizio 8 pg. L 8 Problem pg. W 64 (punto ) Problem pg. W (punti c, d) Quesito Problem pg. W 64 (punto ) Quesito Quesito 0 pg. 96 Problem pg. 9 (punto b) Quesito Test 4 pg. Q 49 Esercizio 9 pg. Q 55 Test pg. Q 85 Quesito 4 Esercizio 56 pg. U 6 Esercizio 8 pg. U 8 Quesito 5 Esercizio 66 pg. U 4 Esercizio 68 pg. U 4 Quesito 6 Quesito 0 pg. V 6 Quesito 0 pg. W Quesito Quesito 4 pg. W 0 Quesito 6 pg. W 0 Quesito 8 Esercizio 96 pg. 8 Quesito pg. 94 Quesito 9 Quesito 5 pg. T 44 Quesito pg. T 9 Quesito 0 Esercizio 4 pg. J 49 Problem pg. L 4 (punto b) Problem 4 pg. L 4 (punto ) Znichelli Editore, 006

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