ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I Sessione suppletiva

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2005 Sessione suppletiva"

Transcript

1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 005 Sessione suppletiv Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Sono dti un pirmide tringolre regolre e il prism retto inscritto in ess in modo che un bse si l sezione dell pirmide con il pino equidistnte dl suo vertice e dll su bse. A) Ammesso di conoscere il volume dell pirmide, dire se è possibile clcolre il volume del prism e fornire un esuriente spiegzione dell rispost. B) Posto che lo spigolo dell bse ABC dell pirmide si lungo 4 cm: ) clcolre l misur dello spigolo dell bse MNP del prism, complnre d ABC ; ) supposto che gli spigoli AB e MN sino prlleli, riferire il pino dei tringoli ABC e MNP un sistem di ssi crtesini vente l origine in A e l sse delle scisse coincidente con l rett AB e trovre le coordinte dei vertici di tli tringoli; ) determinre quindi l equzione dell prbol vente l sse perpendicolre ll rett AB e pssnte per i punti A, B, M e verificre che pss pure per N ; 4) dopo ver spiegto perché l trsformzione che mut il tringolo ABC nel tringolo MNP è un similitudine, trovrne le equzioni; 5) spiegre esurientemente, col metodo preferito, com è posiziont l circonferenz circoscritt l tringolo MNP rispetto l tringolo ABC. PROBLEMA È ssegnt l funzione f (x), dove è un prmetro rele non nullo. x ) Dopo ver fornito l definizione di funzione limitt, spiegre perché l funzione f (x) è limitt. ) Un volt riferito il pino un sistem monometrico di ssi crtesini ortogonli (Ox) e indicto con A il punto di mssimo del grfico G dell funzione qundo 0, scrivere l equzione dell circonferenz di dimetro OA. ) Determinre qunti e quli punti hnno in comune l circonferenz e l curv G, qundo vri nell insieme dei numeri reli positivi. 4) Clcolre il vlore di per il qule l circonferenz e l curv G hnno in comune i vertici di un tringolo equiltero. 5) Verificre che esiste un vlore di per il qule l funzione f (x) si può considerre l densità di probbilità di un vribile letori continu e determinre l funzione di distribuzione di tle vribile. Znichelli Editore, 006

2 QUESTIONARIO È dto un trpezio rettngolo, in cui le bisettrici degli ngoli dicenti l lto obliquo si intersecno in un punto del lto perpendicolre lle bsi. Dimostrre che il tringolo vente per vertici questo punto e gli estremi del lto obliquo è rettngolo e trovre qule relzione leg il lto obliquo lle bsi del trpezio. Sino AB, AC, AD tre spigoli di un cubo. Spendo che uno spigolo è lungo s, clcolre l distnz del vertice A dl pino dei punti B, C, D. Alberto e Ginn sono chimti risolvere l seguente equzione: sen x cos x. Alberto ottiene come 4 5 soluzione gli ngoli x tli che: x k oppure x k (k intero qulsisi); Ginn trov l seguente soluzione: x () k k (k intero qulsisi). È vero o è flso che Alberto h risolto correttmente e Ginn no? Fornire un rispost esuriente. Si consideri l seguente equzione in x : (k ) x (k )x (k ) 0, dove k è un prmetro rele diverso d. Indicte con x e x le sue rdici, clcolre i limiti di x x qundo k tende, e. Il limite dell funzione ( x) x per x 0: A) è ugule ; B) è ugule ; C) non esiste; D) è ugule e ; E) è ugule e, con e l bse dei logritmi nturli. Un sol rispost è corrett. Individurl e fornirne un spiegzione esuriente. Dimostrre che, se l derivt di un funzione rele di vribile rele f (x) è null per ogni x di un dto intervllo J, llor f (x) è costnte in J. Spiegre in mnier esuriente perché un funzione rele di vribile rele integrbile in un intervllo chiuso e limitto [; b ] non necessrimente mmette primitiv in [; b ]. In un urn ci sono due plline binche, in un second urn ci sono due plline nere e in un terz urn ci sono un pllin binc e un pllin ner. Scegli cso un urn ed estri, sempre cso, un delle due plline in ess contenute: è binc. Sresti disposto scommettere ll pri che l pllin rimst nell urn che hi scelto si ess pure binc? Si consideri il seguente sistem nelle incognite x,, z: x z x z x z dove è un prmetro rele. Il sistem è: Znichelli Editore, 006

3 A) determinto per ogni vlore di ; B) indeterminto per un vlore di e impossibile per un vlore di ; C) indeterminto per nessun vlore di, m impossibile per un vlore di ; D) impossibile per nessun vlore di, m indeterminto per un vlore di. Un sol rispost è corrett: individurl e fornire un esuriente spiegzione dell scelt opert. 0 Si consideri l trsformzione geometric di equzioni: x x m, mx, dove m è un prmetro rele. Trovre l equzione del luogo geometrico dei suoi punti uniti. Durt mssim dell prov: 6 ore. È consentito soltnto l uso di clcoltrici non progrmmbili. Non è consentito lscire l Istituto prim che sino trscorse ore dll detttur del tem. Znichelli Editore, 006

4 SOLUZIONE DELLA PROVA D ESAME CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 005 Sessione suppletiv PROBLEMA A)Nell figur sono disegnti l pirmide tringolre regolre, di bse ABC equilter e ltezz VH, e il prism tringolre inscrit- V to nell pirmide, di bse DEF equilter e ltezz KH VH. L pirmide tringolre di vertice V e bse DEF è simile ll pirmide di bse ABC e vertice V, con rpporto di similitudine F K E k per ipotesi, pertnto i volumi delle due pirmidi hnno D rpporto k 8 : Vol DEFV 8 Vol ABCV. C P H N B Or, l pirmide DEFV h bse e ltezz congruenti l prism inscritto di prtenz: ess è quindi equivlente ll terz prte del prism cioè Vol DEFV Vol prism. Sostituendo nell relzione A M Figur. precedente si trov: Vol prism 8 Vol ABCV Vol prism 8 Vol ABCV. In conclusione, il volume del prism inscritto è del volume dell pirmide ABCV. 8 B) Nel punto A) si è osservto che i tringoli equilteri MNP e ABC sono simili con rpporto di similitudine k. Se il lto di ABC misur 4 cm, il lto di MNP è lungo cm. B) Nell figur sono rppresentti i tringoli ABC e MNP nel sistem di ssi crtesini come richiesto. C P H W M R N OA B Q γ x Figur. 4 Znichelli Editore, 006

5 I punti A e B hnno coordinte A(0; 0) e B (4; 0); il punto C h sciss x A x B e ordint pri ll ltezz del tringolo equiltero ABC, ovvero. Pertnto C (; ). Il punto H è ortocentro, incentro e bricentro del tringolo equiltero ABC e del tringolo equiltero MNP: esso divide l medin CQ in due prti, un doppi dell ltr, per cui H ;. Per il rpporto di similitudine tr i due tringoli, risult poi che M è punto medio di AH, come N lo è di BH e P di CH. Attrverso l formul del punto medio di un segmento si trov: M ;, N ; e P ; 4. B) Un prbol con sse di simmetri prllelo ll sse h equzione generic x bx c. Poiché l prbol pss per i punti A(0; 0), B (4; 0) e M ;, si ottiene il sistem in, b, c: c 0 6 4b c 0 b c 9 b 4. 9 c 0 L prbol h equzione x 4 x. Ess pss per il punto N poiché tle punto è 9 9 simmetrico l punto M dell prbol, rispetto ll sse di simmetri. Diversmente si può verificre che le coordinte di N soddisfno l equzione dell prbol: Nell figur è rppresentto il grfico dell prbol. B4) Nel punto A) è stto stbilito che i tringoli equilteri MNP e ABC sono simili con rpporto di similitudine k ; nel punto B) si er osservto che M è punto medio di AH, come N lo è di BH e P di CH (figur ). Si può così dedurre che l trsformzione che mut il tringolo ABC nel tringolo MNP è un prticolre similitudine, ovvero un omoteti di rpporto k e centro H ;. Pertnto l trsformzione geometric h equzioni: x (x ) c 0 4 b 0 b c 0 b 4 x x. B5) L circonferenz circoscritt l tringolo equiltero MNP h centro nel circocentro H del tringolo e rggio r HP, cioè r (figur ). C P H M N A Q B Figur. 5 Znichelli Editore, 006

6 Tle circonferenz coincide con l circonferenz inscritt nel tringolo equiltero ABC. Inftti quest ul- tim h centro in H e h rggio r HQ, cioè r. PROBLEMA ) Un funzione f (x) si definisce limitt nel suo insieme di definizione A se esiste un numero rele positivo M tle che f (x) M x A. L funzione f (x) h come cmpo di esistenz l insieme dei numeri reli. Osservndo che x x, x R, si può scrivere f (x) x, x R. Pertnto l funzione è limitt nel cmpo rele. ) Si studi il grfico G dell funzione f (x), con positivo. Ess h cmpo di esistenz rele; x è simmetric rispetto ll sse delle ed è sempre positiv; h sintoto orizzontle 0, poiché lim x 0; h derivt f x x (x), pertnto h mssimo ssoluto nel punto A (0; ); h derivt second f (x) ( x ( x ) (, ) x ) dunque h flessi nei punti x. L circonferenz di dimetro OA h centro nel punto P 0; e rggio ugule d. L su equzione è: x 4 x 0. Nell figur 4 è rppresentto il grfico G dell funzione f per un generico e il grfico dell circonferenz. = +x ) Per determinre le intersezioni delle curve e G bisogn risolvere il sistem delle loro equzioni: O x Figur 4. x. 0 x L equzione risolvente è: x 0 x ( x ) ( x ) 0 x ( x ) x 0 ( x ) x x (x 4 x ) 0. Per l legge di nnullmento del prodotto: x 0 x. Tenendo conto che è positivo, le soluzioni sono: x 0 x. In prticolre: se, le curve si intersecno in tre punti: (0; ), ( ; ), ( ; ); se, le curve hnno solo il punto (0; ) in comune. L figur 4 mostr dunque il cso in cui, mentre l figur 5 rppresent le due curve per. A P A γ G = O x Figur 5. 6 Znichelli Editore, 006

7 4) Indicti con A, B, C i punti di intersezione delle due curve (figur 6), le loro coordinte sono: A(0; ), B ( ; ), C ( ; ), con. Sfruttndo l simmetri dell figur, ffinché il tringolo ABC si equiltero, è sufficiente imporre AC BC : ( ) ( ) 4 A P. B C Elevndo l qudrto e semplificndo per () si ottiene 4. O x 5) L funzione f (x) è continu e positiv in tutto il x cmpo rele per 0. Affinché ess si un funzione densità di probbilità deve vlere: f (x) dx. Pertnto si clcol il seguente integrle: dx ( lim rctg z lim rctg z) x z z, Figur 6. e si pone ugule, cioè. Il vlore per cui l funzione è un densità di probbilità di un vribile letori continu X, è. L densità h quindi equzione: f (x). ( x ) L funzione di distribuzione (o di riprtizione) F (x) di un vribile letori continu X è definit come F (x) P (X x) x f (t) dt. Ess fornisce l probbilità che l vribile X non superi un determinto vlore x ed è primitiv dell funzione densità di probbilità f (x). Nel cso specifico h espressione: F (x) x dt [rctg x lim rctg z ] ( t ) z rctg x rctg x. QUESTIONARIO Nel trpezio rettngolo ABCD (figur ) il segmento EB è bisettrice dell ngolo ABˆC ed EC è bisettrice dell ngolo BĈD. Tli ngoli sono supplementri perché ngoli coniugti formti dlle prllele AB e DC e dll trsversle BC. Pertnto gli ngoli EBˆC e BĈE, essendo metà di ngoli supplementri, sono tr loro complementri. Il tringolo CEB, vendo due ngoli complementri, è quindi retto in E. Si trcci l perpendicolre EH l lto BC. Risult: DÊC CÊH EBˆC, perché complementri di ngoli congruenti; EĈB BÊH AÊB, poiché complementri di ngoli congruenti. Pertnto i tringoli DEC e CEH sono congruenti per il secondo criterio di congruenz, come pure i tringoli ABE e BEH. In prticolre, CD CH e AB BH. Essendo BC CH BH si deduce che BC CD AB. In conclusione, l somm delle bsi del trpezio rettngolo è ugule l lto obliquo. D E A C H B Figur. Znichelli Editore, 006

8 Il pino pssnte per i punti B, C, D delimit l pirmide ABCD (figur 8). Lo scopo è quello di determinre l ltezz h dell pirmide rispetto ll bse tringolre BCD. Si clcol dpprim il volume V dell pirmide: V S BCD h, dove S BCD è l re dell bse tringolre BCD. Il tringolo BCD, vendo per lti le digonli di tre fcce del cubo, è equiltero e il lto vle s. Pertnto l su re risult: B s S BCD s s Figur 8. s e il volume dell pirmide divent V s h. 6 Esso può essere clcolto in ltro modo, considerndo come bse il tringolo ABC. In tl cso V S ABCAD ovvero V 6 s. Uguglindo le due espressioni del volume si ottiene: s h 6 6 s, d cui h s. D A h H C 4 Utilizzndo l formul di dupliczione, l equzione sen x cos x 4 è equivlente ll equzione senx che h soluzioni: x 6 k x 5 6 k x 5 k x k (k Z). L rispost di Alberto è quindi estt. Le soluzioni fornite d Ginn, x () k k, possono essere scritte diversmente, distinguendo se k è pri o dispri, nel seguente modo: per k pri, cioè k k (k Z), x k ovvero x k ; per k dispri, cioè k k (k Z), x (k ) ovvero x 5 k. Pertnto l soluzione dt d Ginn è estt ed è equivlente quell fornit d Alberto. Affinché l equzione di secondo grdo (k ) x (k ) x (k ) 0 mmett soluzioni reli è necessrio che il discriminnte si mggiore o ugule zero: (k ) 4(k )(k ) 0 4k 4k 4k 4k Tle condizione è quindi verifict per qulsisi k R. b Poiché in un equzione di secondo grdo, x bx c 0, l somm delle rdici vle x x, risult: x x k, k. k I limiti richiesti vlgono: lim k, e quindi lim k non esiste, lim k. k k k k k k 8 Znichelli Editore, 006

9 5 Considerto il limite lim ( x) x, si trtt di un form indetermint. Si pone, per cui x 0 x x e per x 0 risult. Sostituendo nel limite precedente si ottiene: lim ( x 0 x) x lim lim. Applicndo il limite notevole lim x x x e, ne consegue che lim ( x) x x 0 e. L rispost estt è pertnto l E). 6 Si prendno due punti x e x con x, x J e x x. Essendo J un intervllo, risult [x ; x ] J. Poiché l funzione è derivbile in J per ipotesi, ess è continu e derivbile nell intervllo [x ; x ]. È quindi pplicbile su tle intervllo il teorem di Lgrnge, cioè esiste lmeno un punto c ] x ; x [ tle che: f (x ) f ( x ) f (c). x x Per ipotesi, l derivt dell funzione è null nell intervllo J, per cui f (c) 0. Risult llor: f (x ) f (x ) 0, ovvero f (x ) f (x ). Dunque l funzione ssume lo stesso vlore in x e x. Tenendo conto dell rbitrrietà dei punti x e x nell intervllo J, l funzione è quindi costnte su tutto l intervllo di definizione. Dt un funzione f (x) continu in un intervllo chiuso e limitto [; b], si chim primitiv di f (x) in [; b] ogni funzione F (x), continu e derivbile nell intervllo, tle che F (x) f (x). Si definisce funzione integrle di f (x) l funzione x f (t) dt, con x [; b], ottenut secondo l definizione di integrle definito e l funzione f (x) si dice integrbile in [; b]. Si dimostr che ogni funzione continu in un intervllo è in esso integrbile e il teorem fondmentle del clcolo integrle fferm che l funzione x f (t) dt è un funzione primitiv di f (x), ovvero, posto F (x) x f (t) dt, risult F (x) f (x). Or, l integrbilità di un funzione può essere estes l cso di un funzione con un numero finito di punti di discontinuità. Ad esempio se f (x), definit in [; b], h un punto di discontinuità in x c interno ll intervllo, ed esistono finiti lim f (x) dx e lim f (x) dx, llor l funzione è integrbile in senso improprio su [; b ] e vle: b f (x) dx lim t c t t c t f (x) dx lim t c b t t c b t f (x) dx. 0sex 0 Considerimo l funzione f (x). In bse ll definizione di integrle definito ess è integrbile nell intervllo [0; ] e se0 x risult: 0 f (x) dx. 0 f(x) dx O x Figur 9. 9 Znichelli Editore, 006

10 L funzione però non mmette primitiv in tle intervllo. Inftti un su eventule primitiv nell intervllo perto sinistr ]0; ] dovrebbe essere del tipo: F (x) x c, x ]0; ], c R (costnte rele indetermint). Definimo F (0) rispettndo l necessri continuità di F: F (0) lim (x c) c. x 0 Dunque: F (x) x c x [0; ], c R quindi F (x) x [0; ]. D ltr prte dovendo essere F (0) f (0) si vrebbe 0: f non mmette dunque primitiv. 8 Scelt cso un urn tr le tre disposizione, è stt estrtt un pllin binc. L obiettivo è quello di clcolre l probbilità che l pllin rimst nell urn scelt si pure ess binc, ossi l probbilità di vere scelto l urn A spendo che l pllin estrtt è binc. Indicte ordintmente con A, B e C le tre urne, si considerino i seguenti eventi: E «l prim pllin estrtt è binc», A «è stt scelt l urn A», B «è stt scelt l urn B», C «è stt scelt l urn C». L probbilità che, uscit un pllin binc, si stt scelt l urn A, è secondo il teorem di Bes: P (A) P (E A) P (A E ). P (A) P (E A) P (B) P (E B) P (C ) P (E C ) Or, P (A) P (B) P (C ), P (E A), P (E B) 0, P (E C ), e quindi risult: P (A E ). 0 Essendo l probbilità P (A E ) mggiore di, llor scommettere ll pri che l pllin rimst nell urn si nch ess binc è vntggioso. 9 Il sistem linere nelle incognite x,, z: x z x z x z h mtrice incomplet:. Il suo determinnte vle D e può essere scritto come: D ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ). 0 Znichelli Editore, 006

11 Per l regol di Crmer il sistem è determinto per. Per le mtrici incomplet e complet diventno:,. Le loro crtteristiche vlgono entrmbe e per il teorem di Rouché-Cpelli il sistem è indeterminto e mmette soluzioni. Per le mtrici incomplet e complet risultno:,. L crtteristic dell mtrice incomplet è mentre per l mtrice complet vle. Per il teorem ppen indicto il sistem è quindi impossibile. Si conclude che il sistem di prtenz è indeterminto per, mentre è impossibile per. L rispost estt è dunque B. 0 Il sistem dell trsformzione geometric è: x x m. mx I punti uniti di un trsformzione sono quei punti che vengono trsformti in sé. Assunto x x e, il sistem divent: x x m x m 0. mx mx 0 Per ottenere l equzione crtesin del luogo geometrico dei punti uniti, si procede ll eliminzione del prmetro m: m x, 0. x x 0 x x 0 L equzione ottenut, x x 0, con 0, è un conic con ssi prlleli gli ssi crtesini. Operndo il completmento del qudrto, risult: x x x 4 e 9. L equzione divent: x x. 6 Si trtt di un ellisse con centro nel punto ; e con semissi di lunghezz e 6. Znichelli Editore, 006

12 È necessrio discutere l condizione 0 per vedere se l ellisse è privt di qulche punto: 0 x 0 x. x x 0 Il punto (0; 0) non pprtiene l luogo x m 0 poiché, sostituendo, si trov il sistem impossibile: mx Mentre per (; 0) si h 0 m, che è un vlore ccettbile per il prmetro m. m 0 In conclusione il luogo dei punti uniti dell trsformzione geometric è l ellisse di equzione x, 6 privt del punto O (0; 0). 0 0 Znichelli Editore, 006

13 Per esercitrti ncor sugli rgomenti trttti nel Svolgi il Problem Quesito 6 pg. 96 Esercizio 4 pg. L 9 Problem 0 pg. L 9 (punto ) Esercizio 0 pg. L 5 Esercizio 40 pg. J 96 Problem Esercizio pg. V 45 Esercizio 8 pg. L 8 Problem pg. W 64 (punto ) Problem pg. W (punti c, d) Quesito Problem pg. W 64 (punto ) Quesito Quesito 0 pg. 96 Problem pg. 9 (punto b) Quesito Test 4 pg. Q 49 Esercizio 9 pg. Q 55 Test pg. Q 85 Quesito 4 Esercizio 56 pg. U 6 Esercizio 8 pg. U 8 Quesito 5 Esercizio 66 pg. U 4 Esercizio 68 pg. U 4 Quesito 6 Quesito 0 pg. V 6 Quesito 0 pg. W Quesito Quesito 4 pg. W 0 Quesito 6 pg. W 0 Quesito 8 Esercizio 96 pg. 8 Quesito pg. 94 Quesito 9 Quesito 5 pg. T 44 Quesito pg. T 9 Quesito 0 Esercizio 4 pg. J 49 Problem pg. L 4 (punto b) Problem 4 pg. L 4 (punto ) Znichelli Editore, 006

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 www.mtefili.it PNI 2005 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO È dto un trpezio rettngolo, in cui le bisettrici degli ngoli dicenti l lto obliquo si intersecno in un punto del lto perpendicolre lle bsi. Dimostrre

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio di dimetro OA,

Dettagli

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione

Dettagli

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI nno - PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ di dimetro OA =, l rett t tngente γ

Dettagli

30 quesiti. 1 Febbraio 2011. Scuola... Classe... Alunno... Copyright 2011 Zanichelli Editore SpA, Bologna

30 quesiti. 1 Febbraio 2011. Scuola... Classe... Alunno... Copyright 2011 Zanichelli Editore SpA, Bologna verso LA RILEVAZIONE INVALSI SCUOLA SECONDARIA DI secondo GRADO PROVA DI Mtemtic 30 quesiti Febbrio 0 Scuol... Clsse... Alunno... e b sono numeri reli che verificno quest uguglinz: Qunto vle il loro prodotto?

Dettagli

Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 PROBLEMA ) L prbol di equzione V ' (0,0). y h sse di simmetri prllelo ll sse delle ordinte e vertice in L prbol di equzione

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA In un pino, riferito d un sistem

Dettagli

LAVORO PER IL RECUPERO DEL DEBITO MATEMATICA CLASSI 3 S.M. DA CONSEGNARE IL PRIMO GIORNO DI ATTIVITA DI SPORTELLO

LAVORO PER IL RECUPERO DEL DEBITO MATEMATICA CLASSI 3 S.M. DA CONSEGNARE IL PRIMO GIORNO DI ATTIVITA DI SPORTELLO LAVORO PER IL RECUPERO DEL DEBITO MATEMATICA CLAI.M. DA CONEGNARE IL PRIMO GIORNO DI ATTIVITA DI PORTELLO DEVI RIOLVERE PRIMA DI TUTTO I PROBLEMI E GLI EERCIZI QUI ELENCATI. TERMINATI QUETI, RIOLVI ALCUNI

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert

Dettagli

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri 000-001 PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: 1 1 1 +

Dettagli

Risoluzione verifica di matematica 3C del 17/12/2013

Risoluzione verifica di matematica 3C del 17/12/2013 Problem 1 Risoluzione verific di mtemtic C del 17/1/01 Si clcolno le intersezioni tr le rette generiche del fscio proprio y x y 1, risolvendo il sistem: x y 1 y mx Si ottengono i punti di coordinte espresse

Dettagli

MATEMATICA Classe Prima

MATEMATICA Classe Prima Liceo Clssico di Treiscce Esercizi per le vcnze estive 0 MATEMATICA Clsse Prim Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Per gli llievi promossi

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di

Dettagli

lim lim lim + Nome.Cognome Classe 4D 7 Aprile 2011 Verifica di matematica Problema (punti 3) Sono date le funzioni: f ( x)

lim lim lim + Nome.Cognome Classe 4D 7 Aprile 2011 Verifica di matematica Problema (punti 3) Sono date le funzioni: f ( x) Nome.Cognome Clsse D 7 Aprile 0 Verific di mtemtic Problem (punti ) Sono dte le funzioni: f ( ) =, g ( ) = ( ) ) determinre il dominio di f() e di g() b) determinre, senz l uso dell clcoltrice f ( ) c)

Dettagli

" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6

 Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6 CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO

LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO RECUPERO ESTIVO PER LE CLASSI ^D- E SCIENTIFICO Argomenti d rivedere: I QUADRIMESTRE: ) Equzioni di secondo grdo e relzioni tr coefficienti e rdici

Dettagli

( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S

( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le prbole di equzione:, dove è un numero rele positivo.

Dettagli

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) =

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) = Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione - 28-29. Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml

Dettagli

Ellisse riferita al centro degli assi

Ellisse riferita al centro degli assi Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole Ellisse riferit l centro degli ssi Dti due punti F ed F detti fuochi, l ellisse è il luogo geometrico dei punti P del pino per cui è costnte l somm

Dettagli

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in Cpitolo 5 Le omotetie 5. Richimi di teori Definizione Sino fissti un punto C del pino ed un numero rele. Si chim omoteti di centro C e rpporto ( che si indic con il simolo O, ) l corrispondenz dl pino

Dettagli

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1 APITOLO 3 LE SIMMETRIE 3. Richimi di teori Definizione. Si dto un punto del pino; si chim simmetri centrle di centro (che si indic con il simbolo s ) l corrispondenz dl pino in sé che d ogni punto P del

Dettagli

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in

Dettagli

Definizioni fondamentali

Definizioni fondamentali Definizioni fondmentli Sistem scisse su un rett 1 Un rett si ce orientt qundo su ess è fissto un verso percorrenz Dti due punti qulsisi A e B un rett orientt r, il segmento AB che può essere percorso d

Dettagli

Teoremi di geometria piana

Teoremi di geometria piana l congruenz teoremi sugli ngoli γ teorem sugli ngoli complementri Se due ngoli sono complementri di uno stesso ngolo α β In generle: Se due ngoli sono complementri di due ngoli congruenti α γ β teorem

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x). OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll

Dettagli

Il lemma di ricoprimento di Vitali

Il lemma di ricoprimento di Vitali Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per

Dettagli

Problemi di massimo e minimo in Geometria Solida Problemi su poliedri. Indice dei problemi risolti

Problemi di massimo e minimo in Geometria Solida Problemi su poliedri. Indice dei problemi risolti Problemi di mssimo e minimo in Geometri olid Problemi su poliedri Indice dei problemi risolti In generle, un problem si riferisce un figur con crtteristice specifice (p.es., il numero dei lti dell bse)

Dettagli

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1.

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1. TEST DI MATEMATICA Funzioni in un, Funzioni in due vriili Integrli Equzioni differenzili ) Il vlore del limite seguente e e e lim è ) Il vlore del limite seguente 5 lim 5 è : ) L derivt prim dell funzione

Dettagli

Il problema delle aree. Metodo di esaustione.

Il problema delle aree. Metodo di esaustione. INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON.

Dettagli

La parabola. Fuoco. Direttrice y

La parabola. Fuoco. Direttrice y L prol Definizione: si definise prol il luogo geometrio dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto fuoo e d un rett fiss dett direttrie. Un rppresentzione grfi inditiv dell prol nel pino rtesino

Dettagli

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento Questionrio Risolvi quttro degli otto quesiti: L Città dello sport è un struttur sportiv progettt dll rchitetto Sntigo Cltrv e mi complett, situt sud di Rom Rispetto l sistem di riferimento indicto in

Dettagli

9 Simulazione di prova d Esame di Stato

9 Simulazione di prova d Esame di Stato 9 Simulzione di prov d Esme di Stto Problem 1 Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si rticol il questionrio Si f l funzione rele di equzione y =( )e.. Studire e trccire il grfico di f.

Dettagli

Equazioni parametriche di primo grado

Equazioni parametriche di primo grado Polo Sivigli Equzioni prmetriche di primo grdo Premess Come si s dll lgebr elementre, si chim equzione un uguglinz fr due espressioni letterli che si verific soltnto ttribuendo prticolri vlori lle lettere,

Dettagli

VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Soluzioni di quesiti e prolemi trtti dl Corso Bse Blu di Mtemti volume 5 [] (Es. n. 8 pg. 9 V) Dell prol f ( ) si hnno le seguenti informzioni, tutte

Dettagli

1 COORDINATE CARTESIANE

1 COORDINATE CARTESIANE 1 COORDINATE CARTESIANE In un sistem di ssi crtesini (,) un punto P è identificto dll su sciss e dll su ordint : Asciss : distnz di P dll sse delle ordinte Ordint :distnz di P dll sse delle scisse P(-4,4)

Dettagli

TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE

TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE uthor: Ing, Giulio De Meo GEOMETRIA TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE L somm degli ngoli interni di un poligono di n lti è (n - ) 180. L somm degli ngoli esterni di un qulsisi poligono vle 360.

Dettagli

24 y. 6. ( 5 A. 1 B. 5 4 C D. 50 Applicando le proprietà delle potenze

24 y. 6. ( 5 A. 1 B. 5 4 C D. 50 Applicando le proprietà delle potenze Alunno/.. Alunno/ Pgin Esercitzione in preprzione ll PROVA d ESAME Buon Lvoro Prof.ss Elen Sper. Il piccolo fermcrte dell figur è relizzto nel seguente modo. Si prende un cubo di lto cm e su un fcci si

Dettagli

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio. Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()

Dettagli

COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE DALLA SECONDA ALLA TERZA

COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE DALLA SECONDA ALLA TERZA COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE DALLA SECONDA ALLA TERZA PROBLEMI DI APPLICAZIONE DELL'ALGEBRA ALLA GEOMETRIA ) Inscrivere in un semicirconferenz di dimetro r un rettngolo ABCD vente il lto AB sul dimetro

Dettagli

MODALITA DIVALUTAZIONE DEGLI STUDENTI CON CARENZE NEL SECONDO QUADRIMESTRE ESITO SOSPESO MATEMATICA BIENNIO. Coordinatrice: Prof. ANTONINA CASTANIOTTO

MODALITA DIVALUTAZIONE DEGLI STUDENTI CON CARENZE NEL SECONDO QUADRIMESTRE ESITO SOSPESO MATEMATICA BIENNIO. Coordinatrice: Prof. ANTONINA CASTANIOTTO LICEO SCIENTICO STATALE LEONARDO DA VINCI GENOVA.s.04-5 MODALITA DIVALUTAZIONE DEGLI STUDENTI CON CARENZE NEL SECONDO QUADRIMESTRE ESITO SOSPESO MATEMATICA BIENNIO Coordintrice: Prof. ANTONINA CASTANIOTTO

Dettagli

Analisi e Geometria 1

Analisi e Geometria 1 Anlisi e Geometri Esercizi sugli integrli Integrli propri. Clcolre i seguenti integrli immediti: I = I = I 5 = ln e e d I = e + e + 6e + e d I = rtg ln ( + ln ) d I 6 = e e + d d rtg + ( + ) ( + ( + )

Dettagli

Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi

Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi Geometri Anlitic Domnde, Risposte & Esercizi. Dre l definizione di iperole come luogo di punti. L iperole è un luogo di punti, è cioè un insieme di punti del pino le cui distnze d due punti fissi F e F

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica 1

Appunti di Analisi Matematica 1 Appunti di Anlisi Mtemtic 1 MASTER IN ECONOMIA DIGITALE & e-business Centro per lo studio dei sistemi complessi Università di Sien Mrzo 2005 Prof. Polo Nistri Un funzione (o ppliczione) tr due insiemi

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE

APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE Dt un ppliczione f: V W con V e W spzi vettorili si dice che f è un ppliczione linere o omomorfismo f(v + v 2 ) = f(v ) + f(v 2 ) v, v 2 V f(αv) = α f(v) v V e

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI E LOGARITMI 1 se 0, per ogni R ; Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >0: Sono definite: se >0: Non sono definite: Csi prticolri: Le proprietà delle

Dettagli

Nicola De Rosa, Liceo scientifico PNI sessione straordinaria 2010, matematicamente.it. e se ne tracci il grafico nell intervallo 0 x 2

Nicola De Rosa, Liceo scientifico PNI sessione straordinaria 2010, matematicamente.it. e se ne tracci il grafico nell intervallo 0 x 2 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it PROBLEMA Sono dti: un circonferenz di centro O e dimetro AB e tngente t prllel l dimetro. Si prolungno i rggi OA ed OB di due segmenti

Dettagli

Calcolo letterale. 1) Operazioni con i monomi. a) La moltiplicazione. b) La divisione. c) Risolvi le seguenti espressioni con i monomi.

Calcolo letterale. 1) Operazioni con i monomi. a) La moltiplicazione. b) La divisione. c) Risolvi le seguenti espressioni con i monomi. Clcolo letterle. ) Operzioni con i monomi. ) L moltipliczione. ) L divisione. c) Risolvi le seguenti espressioni con i monomi. ) I polinomi. ) Clcol le seguenti somme di polinomi. ) Applic l proprietà

Dettagli

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler Determinnti e crtteristic di un mtrice (M.S. Bernbei & H. Thler Determinnte Il determinnte può essere definito solmente nel cso di mtrici qudrte Per un mtrice qudrt 11 (del primo ordine) il determinnte

Dettagli

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU) Corso di Lure in Scienze e Tecnologie Agrrie Corso Integrto: Mtemtic e Sttistic Modulo: Mtemtic (6 CFU) ( CFU Lezioni CFU Esercitzioni) Corso di Lure in Tutel e Gestione del territorio e del Pesggio Agro-Forestle

Dettagli

Classi IV C IV E ALUNNO CLASSE LEGGI UNO DEI SEGUENTI TESTI. Istituto Professionale di Stato per l Industria e l Artigianato Giancarlo Vallauri

Classi IV C IV E ALUNNO CLASSE LEGGI UNO DEI SEGUENTI TESTI. Istituto Professionale di Stato per l Industria e l Artigianato Giancarlo Vallauri Per informzioni, consigli, problemi robbypit@tin.it Istituto Professionle di Stto per l Industri e l Artiginto Gincrlo Vlluri Clssi IV C IV E.s. 0/0 ALUNNO CLASSE ESEGUI TUTTI GLI ESERCIZI SU UN FOGLIO

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez.

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez. Fcoltà di Economi - Università di Sssri Anno Accdemico 2004-2005 Dispense Corso di Econometri Docente: Lucino Gutierrez Algebr Linere Progrmm: 1.1 Definizione di mtrice e vettore 1.2 Addizione e sottrzione

Dettagli

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14)

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14) . Funzioni iniettive, suriettive e iiettive (Ref p.4) Dll definizione di funzione si ricv che, not un funzione y f( ), comunque preso un vlore di pprtenente l dominio di f( ) esiste un solo vlore di y

Dettagli

Problemi e rappresentazione di problemi di geometria dello spazio - Claudio Cereda febbraio 2001 pag. 1

Problemi e rappresentazione di problemi di geometria dello spazio - Claudio Cereda febbraio 2001 pag. 1 Prolemi e rppresentzione di prolemi di geometri dello spzio - ludio ered ferio 00 pg. onvenzioni di disegno e di rppresentzione Nel corso dell trttzione si dotternno le seguenti convenzioni simoliche:

Dettagli

I Teoremi di Green, della divergenza (o di Gauss) e di Stokes

I Teoremi di Green, della divergenza (o di Gauss) e di Stokes I Teoremi di Green, dell divergenz o di Guss e di Stokes In R Si un sottoinsieme limitto di R semplice rispetto d entrmbi gli ssi crtesini con costituit dll unione di un numero finito di sostegni di curve

Dettagli

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così: Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo

Dettagli

FUNZIONI IPERBOLICHE

FUNZIONI IPERBOLICHE FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,

Dettagli

1 Integrale delle funzioni a scala

1 Integrale delle funzioni a scala INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b]

Dettagli

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008 ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Dispense di Mtemtic clsse quint -Gli integrli Quest oper è distriuit con: Licenz Cretive Commons Attriuzione - Non commercile - Non opere derivte. Itli Ing. Alessndro Pochì Appunti di lezione svolti ll

Dettagli

Soluzione. Si consideri la figura sottostante che raffigura la geometria del problema: = =

Soluzione. Si consideri la figura sottostante che raffigura la geometria del problema: = = Sessione suppletiv LS_ORD 00 di De Ros Nicol PROBLEMA Del tringolo ABC si nno le seguenti informzioni: ABcm; ACcm; CAB 60. Si trcci l isettrice di CAB e se ne indici con D lintersezione con il lto BC.

Dettagli

Elementi grafici per Matematica

Elementi grafici per Matematica Elementi grfici per Mtemtic Sommrio: Sistemi di coordinte crtesine... Grfici di funzioni... 4. Definizione... 4. Esempi... 5.3 Verificre iniettività e suriettività dl grfico... 8.4 L rett... 9.5 Esempi

Dettagli

B8. Equazioni di secondo grado

B8. Equazioni di secondo grado B8. Equzioni di secondo grdo B8.1 Legge di nnullmento del prodotto Spendo che b0 si può dedurre che 0 oppure b0. Quest è l legge di nnullmento del prodotto. Pertnto spendo che (-1) (+)0 llor dovrà vlere

Dettagli

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata Cpitolo 5 Integrli 5.1 Integrli di funzioni grdint Un concetto molto semplice m di fondmentle importnz per l trttzione dell integrle di Riemnn è quello di divisione di un intervllo [, b]. In sostnz si

Dettagli

COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA. 1. La funzione matematica e la sua utilità in economia

COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA. 1. La funzione matematica e la sua utilità in economia COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA di Giuli Cnzin e Dominique Cppelletti Come potrete notre inoltrndovi nel corso di Introduzione ll economi, l interpretzione dell teori economic non presuppone conoscenze

Dettagli

INTERVALLI NELL INSIEME R

INTERVALLI NELL INSIEME R INTEVALLI NELL INSIEME Lo studio dell topologi (1) (dl greco "nlysis situs" ossi "studio del luogo") dell'insieme è di fondmentle importnz per gli rgomenti e i prolemi di nlisi infinitesimle. Il "luogo"

Dettagli

Integrali curvilinei e integrali doppi

Integrali curvilinei e integrali doppi Integrli curvilinei e integrli doppi Integrli curvilinei di prim specie Prim di inizire l trttzione di questo rgomento dimo l definizione di curv. Per curv nello 3 3 spzio R intendimo un sottoinsieme di

Dettagli

Antonella Greco, Rosangela Mapelli. E-Matematica. E-Book di Matematica per il triennio. Volume 1

Antonella Greco, Rosangela Mapelli. E-Matematica. E-Book di Matematica per il triennio. Volume 1 Antonell Greco, Rosngel Mpelli E-Mtemtic E-Book di Mtemtic per il triennio Volume COPIA SAGGIO Cmpione grtuito fuori commercio d esclusivo uso dei docenti Grmond 009 Tutti i diritti riservti Vi Tevere,

Dettagli

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali SPAZI VETTORIALI 1. Spzi e sottospzi vettorili Definizione: Dto un insieme V non vuoto e un corpo K di sostegno si dice che V è un K-spzio vettorile o uno spzio vettorile su K se sono definite un operzione

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO CORSO DI LAUREA IN TUTELA E BENESSERE ANIMALE Corso di : FISICA MEDICA A.A. 015 /016 Docente: Dott. Chiucchi Riccrdo il:rchiucchi@unite.it Medicin Veterinri: CFU 5 (corso

Dettagli

Successioni di funzioni

Successioni di funzioni Successioni di funzioni 3.1 Introduzione Considerimo l successione (x n ) n0,icuiterminisono 1, x,x 2,x 3,..., x n,... Si trtt dell progressione geometric di termine inizile 1 e rgione x, che bbimo già

Dettagli

Introduciamo il concetto di trasformazione geometrica prendendo come esempio una rotazione.

Introduciamo il concetto di trasformazione geometrica prendendo come esempio una rotazione. Le trsformzioni geometriche ITL 7 TERI Letture llo specchio! Ingegni, ossesso, nilin: tre esempi di plindromi, ovvero di prole che si possono leggere si d sinistr verso destr, si d destr verso sinistr.

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite:

Dettagli

Problemi di collegamento delle strutture in acciaio

Problemi di collegamento delle strutture in acciaio 1 Problemi di collegmento delle strutture in cciio Unioni con bulloni soggette tglio Le unioni tglio vengono generlmente utilizzte negli elementi compressi, quli esempio le unioni colonn-colonn soggette

Dettagli

Esercizi della 8 lezione sulla Geomeria Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ERCIZI SULL' IPERBOLE

Esercizi della 8 lezione sulla Geomeria Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ERCIZI SULL' IPERBOLE Eserizi dell lezione sull Geomeri Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ES ERCIZI SULL' IPERBOLE ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA. Determinre l equzione dell ironferenz

Dettagli

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: ppunti di nlisi mtemtic: Integrle efinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle efinito lcolo delle ree di fig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

Salvatore Loris Pelella. Corso di. Matematica RCS LIBRI EDUCATION SPA

Salvatore Loris Pelella. Corso di. Matematica RCS LIBRI EDUCATION SPA Slvtore Loris Pelell Corso di Mtemtic RCS LIBRI EDUCATION SPA ISBN 88-45-084-3 004 RCS Libri S.p.A.- Milno Prim edizione: gennio 004 Ristmpe 004 005 006 3 4 5 Stmp: V. Bon, Torino Coordinmento editorile

Dettagli

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:

Dettagli

COGNOME..NOME CLASSE.DATA

COGNOME..NOME CLASSE.DATA COGNOME..NOME CLASSE.DATA FUNZIONE ESPONENZIALE - VERIFICA OBIETTIVI Sper definire un funzione esponenzile. Sper rppresentre un funzione esponenzile. Sper individure le crtteristiche del grfico di un funzione

Dettagli

Equivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali

Equivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali Equivlenz tr equzioni di Lgrnge e problemi AM Cherubini 20 Aprile 2007 1 / 21 Problemi Mostrimo or come si possono ricvre sistemi di equzioni con struttur lgrngin in un mbito diverso: prim si er crtterizzt

Dettagli

POTENZA CON ESPONENTE REALE

POTENZA CON ESPONENTE REALE PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,

Dettagli

Ellisse ed iperbole. Osservazione. Considereremo sempre ellissi della forma + = 1 le quali hanno tutte centro nell origine degli

Ellisse ed iperbole. Osservazione. Considereremo sempre ellissi della forma + = 1 le quali hanno tutte centro nell origine degli Ellisse ed iperole Ellisse Definizione: si definise ellisse il luogo geometrio dei punti del pino per i quli è ostnte l somm delle distnze d due punti fissi F e F detti fuohi. L equzione noni dell ellisse

Dettagli

Contenuti di matematica classe prima liceo scientifico di ordinamento e delle scienze applicate.

Contenuti di matematica classe prima liceo scientifico di ordinamento e delle scienze applicate. Contenuti di mtemtic clsse prim liceo scientifico di ordinmento e delle scienze pplicte. SAPERE Sper definire, rppresentre e operre con gli insiemi. Conoscere gli insiemi numerici N, Z, Q e sperci operre

Dettagli

y = Funzioni Lineari : Funzione quadrato: Modulo Funzione omografica (iperbole): Funzioni Potenza: Funzione Esponenziale Funzione Logaritmica

y = Funzioni Lineari : Funzione quadrato: Modulo Funzione omografica (iperbole): Funzioni Potenza: Funzione Esponenziale Funzione Logaritmica Funzioni Lineri : Funzione qudrto: Modulo Funzione omogrfic (iperbole: Funzioni Elementri 1/ y m + q y + b + y y c + + b d c Funzioni Potenz: y Funzione Esponenzile Funzione Logritmic y y log ( Funzioni

Dettagli

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale.

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale. 1 Integrli dipendenti d un prmetro e derivzione sotto il segno di integrle. Considerimo l funzione f(x, t) : A [, b] R definit nel rettngolo A [, b], essendo A un sottoinsieme perto di R e [, b] un intervllo

Dettagli

METTITI ALLA PROVA. b. Posto che a, b e c siano i valori trovati al punto precedente, calcola: lim fx ( ); lim fx ( ).

METTITI ALLA PROVA. b. Posto che a, b e c siano i valori trovati al punto precedente, calcola: lim fx ( ); lim fx ( ). Mettiti ll prov METTITI ALLA PROVA Limiti e continuità b - + c e, c Si dt l funzione f ( ) se $ 0! = * sin, con b,! R, c! R + se 0 Ricv i vlori di, b e c in modo tle che: f() si continu in = 0 ; lim f

Dettagli

Teoria in sintesi ESPONENZIALI. Potenze con esponente reale. La potenza. Sono definite: Non sono definite: Casi particolari :

Teoria in sintesi ESPONENZIALI. Potenze con esponente reale. La potenza. Sono definite: Non sono definite: Casi particolari : Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >, per ogni R se, per tutti e soli gli R se

Dettagli

Introduzione all algebra

Introduzione all algebra Introduzione ll lgebr E. Modic ersmo@glois.it Liceo Scientifico Sttle S. Cnnizzro Corso P.O.N. Modelli mtemtici e reltà A.S. 2010/2011 Premess Codificre e Decodificre Nell vit quotidin ci cpit spesso di

Dettagli

Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione

Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione Stbilità dei sistemi di controllo in retrozione Criterio di Nyquist Il criterio di Nyquist Estensione G (s) con gudgno vribile Appliczione sistemi con retrozione positiv 2 Criterio di Nyquist Stbilità

Dettagli

{ } 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Esercizi per il precorso ( )( ) Prof. Margherita Fochi. 1.- Esercizi sui polinomi. + x. x R. ( )( ) + R. ( )( )( ) a.

{ } 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Esercizi per il precorso ( )( ) Prof. Margherita Fochi. 1.- Esercizi sui polinomi. + x. x R. ( )( ) + R. ( )( )( ) a. Prof. Mrgherit Fochi Esercizi per il precorso.- Esercizi sui polinomi Semplificre le seguenti espressioni utilizzndo i prodotti notevoli:. ) ) ) ) ) 8 [ ] 8. ) ) ) ) ] [. ) ) ) [ ] { } y y y y y [ ] 8

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero

Dettagli

Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x)

Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x) Are del Trpezoide y o A f() trpezoide h B f() f() L're del trpezoide S puo' essere pprossimt dll're del trpezio AB. Per vere un migliore pprossimzione possimo suddividere il trpezio in trpezi piu' piccoli.

Dettagli

FUNZIONI MATEMATICHE. Una funzione lineare è del tipo:

FUNZIONI MATEMATICHE. Una funzione lineare è del tipo: FUNZIONI MATEMATICHE Le relzioni mtemtihe utilizzte per desrivere fenomeni nturli, in iologi ome in ltre sienze, possono ovvimente essere le più svrite. Per lo più si trtt di equzioni lineri, qudrtihe,

Dettagli

APPUNTI DI GEOMETRIA ANALITICA

APPUNTI DI GEOMETRIA ANALITICA Prof. Luigi Ci 1 nno solstio 13-14 PPUNTI DI GEOMETRI NLITIC Rett orientt Un rett r si die orientt qundo: 1. È fissto un punto di riferimento, detto origine;. Dei due possiili versi in ui un punto si può

Dettagli