Il lemma di ricoprimento di Vitali

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1 Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per ogni x E e per ogni ε > 0 esiste un intervllo I I tle ce x I e l(i) < ε. Inoltre nessun intervllo I I può degenerre in un punto, ossi l(i) > 0 per ogni I I. 1 (Lemm di ricoprimento di Vitli) Si E R un insieme di misur estern finit e si I un ricoprimento di Vitli di E. Per ogni ε > 0 esistono I 1,..., I m I disgiunti due due e tli ce m E \ m I j < ε, (1) dove m indic l misur estern secondo Lebesgue. Dim. Essendo m E <, esiste un perto Ω con m(ω) < tle ce E Ω. Ovvimente non è restrittivo supporre ce tutti gli intervlli di I sino contenuti in Ω. Costruimo or un successione {I m } I. Supponimo di ver già scelto I 1,..., I m e vedimo come scegliere I m+1. Se fosse ossi E m I j, E \ m I j =, (2) l (1) è certmente soddisftt, dto ce in questo cso si m E \ m I j = 0. Altrimenti, ponimo U m = {I I I I j =, j = 1,..., m}. L clsse U m risult non vuot; inftti, essendo E \ m I j 1

2 scelto un x in questo insieme, esisterà, per l definizione di ricoprimento di Vitli, un I I contenente x e di dimetro così piccolo d non intersecre gli I j per j = 1,..., m (si ricordi ce gli I j sono ciusi!). Ponimo k m = sup{l(i) I U m } ; risult ovvimente Sceglimo I m+1 in modo tle ce 0 < k m m(ω) <. I m+1 U m, l(i m+1 ) > k m 2. (3) Procedendo in questo modo, o trovimo un m per il qule l (2) è ver (e in tl cso bbimo finito) oppure ottenimo un successione di insiemi {I m } di I soddisfcenti le (3). Questo implic ce gli insiemi di {I m } risultno disgiunti due due e quindi l(i j ) = m I j m(ω) <. (4) Per l convergenz dell serie, fissto un ε > 0, possimo determinre un N N tle ce l(i k ) < ε 5. (5) Ponimo k=n+1 R = E \ N dobbimo dimostrre ce m R < ε. Si x R; esiste un I I tle ce k=1 I k ; x I, I I j =, j = 1,..., N. Dico ce esiste un m (ce risulterà ovvimente > N) tle ce I I m. (6) Inftti, se l (6) fosse fls, vorrebbe dire ce I I m = per ogni m N, e quindi ce I U m per ogni m N. M llor, per l (3), l(i) k m < 2 l(i m+1 ); 2

3 s d ltr prte, l (4) implic ce l(i m ) 0 e quindi vremmo l ssurdo l(i) = 0. Ponimo llor p = min{m N I I m }. Si noti ce, per qunto detto, l insieme di numeri nturli del qule considerimo il minimo è certmente non vuoto. Abbimo dunque I I j = j = 1,..., p 1 (7) I I p. (8) L (7) mostr ce I U p 1 e quindi l(i) k p 1 < 2 l(i p ). Questo, unito ll (8), implic I J p, dove J p indic l intervllo concentrico I p, l cui lungezz è cinque volte l lungezz di I p. Ricordndo ce x I bbimo ftto vedere ce x J p p=n+1 e, dovendo questo vlere per ogni x R, R p=n+1 J p. Dunque, ricordndo nce l (5), possimo scrivere m R m J p l(j p ) = 5 e il lemm è dimostrto. p=n+1 p=n+1 p=n+1 l(i p ) < ε Il lemm di ricoprimento di Vitli può enuncirsi nce nel seguente modo: 2 Si E R n un insieme di misur estern finit e si I un ricoprimento di Vitli di E. Esiste un successione di insiemi {I n } I disgiunti due due e tli ce m E \ I j = 0. (9) 3

4 Dim. Questo risultto segue subito dll dimostrzione del teorem 1. Bst, inftti, osservre ce, costruit l successione {I n }, risult E \ I j E \ N I j qulunque si l intero N. Inoltre, nell dimostrzione del teorem 1, bbimo ftto vedere ce, per ogni ε > 0, esiste un N tle ce m E \ N I j < ε e quindi si per ogni ε > 0, ossi l (9). m ( ) E \ I j < ε Alcune proprietà delle funzioni monotone Come ben noto, un funzione di un vribile rele f : I R (essendo I un intervllo dell sse rele) si dice monoton se vle un delle seguente condizioni. In prticolre f si dice rispettivmente monoton non decrescente, crescente, non crescente, decrescente se x, y I, x < y = f(x) f(y); x, y I, x < y = f(x) < f(y); x, y I, x < y = f(x) f(y); x, y I, x < y = f(x) > f(y). Un prim proprietà delle funzioni monotone è dt dl seguente risultto. 3 Si f : I R un funzione monoton. L f risult continu in I \ N, dove N è un insieme l più numerbile. Inoltre le discontinuità di f sono tutte di prim specie. 4

5 Dim. Il ftto ce un funzione monoton poss mmettere l più discontinuità di prim specie segue dl teorem di regolrità (ossi di esistenz del limite) delle funzioni monotone. Inftti, questo risultto implic l esistenz e l finitezz dei due limiti lim f(x), x x + 0 lim x x 0 f(x) per ogni x+ 0 interno d I. Quindi o questi due limiti sono uguli (e l funzione è continu in x 0 ) oppure sono diversi (e finiti) e x 0 è un discontinuità di prim specie. Mostrimo or ce N è l più numerbile. Supponimo, per fissre le idee, ce si f monoton non decrescente. Si J : N Q l ppliczione definit nel modo seguente. Essendo x 0 N bbimo lim x x 0 f(x) < lim f(x) x x + 0 e possimo scegliere un numero rzionle J(x 0 ) tle ce lim x x 0 f(x) < J(x 0 ) < lim f(x). x x + 0 L ppliczione J così definit è iniettiv. Inftti se x 0 < x 1, vremo J(x 0 ) < lim f(x) lim x x + 0 x x 1 f(x) < J(x 1 ) e dunque J(x 0 ) J(x 1 ). Essendo J : N Q iniettiv, l crdinlità di N deve essere minore o ugule quell di Q. Un risultto più profondo è il seguente, ce si bs sul lemm di ricoprimento di Vitli. 4 Si f : [, b] R un funzione monoton non decrescente. Esiste f (x) per qusi ogni x (, b), f risult sommbile e inoltre b f (x) f(b) f(). (10) 5

6 Dim. Fissto un punto x (, b), considerimo i numeri (o derivte) del Dini. Essi sono definiti di seguenti quttro limiti D + f(x) = lim sup 0 + D f(x) = lim sup 0, D + f(x) = lim inf 0 +, D f(x) = lim inf 0,. Ovvimente questi quttro limiti sono non negtivi, visto ce l f è monoton non decrescente, m potrebbero essere uguli +. In ogni cso si : D f(x) D f(x), D + f(x) D + f(x) Se fccimo vedere ce risult qusi ovunque, vremo ce D f(x) D + f(x), D + f(x) D f(x) (11) D f(x) = D f(x) = D + f(x) = D + f(x), q.o. in (, b), (12) ossi ce esiste qusi ovunque il limite lim 0 (non necessrimente finito). Dimostreremo solo l prim delle disuguglinze in (11), essendo l dimostrzione dell ltr nlog. Si E = {x (, b) D + f(x) < D f(x)}. Dire ce D f(x) D + f(x) q.o. signific dire ce E misur null. Per dimostrre ciò, considerimo due numeri rzionli positivi u e v e introducimo gli insiemi E uv = {x (, b) D + f(x) < u < v < D f(x)}. Essendo E = u,v Q + u<v 6 E uv

7 per vere ce me = 0 bsterà fr vedere ce m E uv = 0. Fissimo u, v Q +, u < v, e ponimo s = m E uv. Come noto dll teori dell misur di Lebesgue, possimo trovre un perto O contenente E uv e tle ce m(o) < s + ε. (13) Si x E uv. Essendo D + f(x) < u, ossi (1) sup δ>0 inf 0<<δ < u, vremo, per ogni δ > 0, inf 0<<δ < u. Risult dunque δ > 0, 0 < < δ : < u. (14) Si I = {I} l fmigli degli intervlli ce soddisfno le seguenti condizioni: I = [x, x + ], con x E uv ; < u; I O. E ciro ce, in virtù dei (14), esistono intervlli di questo tipo e costituiscono un ricoprimento di Vitli di E uv. Per il Lemm di ricoprimento di Vitli 1, dto un ε > 0, esistono I 1,..., I N I tli ce m (E uv \ N I j ) < ε, I I k = ( k). (15) Inoltre, posto I j = [x j, x j + j ], risult N [f(x j + j ) f(x j )] < u (1) In quest formul e in ltre simili ce seguirnno, sottointendimo ce δ è sufficientemente piccolo in modo tle ce il punto x + (con 0 < < δ) pprtiene ncor ll intervllo (, b). Non lo scrivimo esplicitmente per non ppesntire l notzione. N j 7

8 Essendo gli I disgiunti due due, bbimo nce (ricordndo l (13)) N N N j = m(i j ) = m I j m(o) < s + ε e dunque (si ricordi ce u > 0!) Ponimo N [f(x j + j ) f(x j )] < u(s + ε). (16) A = E uv \ N Ij, B = E uv N Ij. Tenendo presente ce gli insieme A e E uv \ N I j differiscono l più per un insieme finito di punti (ce quindi misur estern null), per l (15) possimo scrivere ma < ε. (17) Prendimo or un punto y B. Essendo B E uv, si v < D f(y), ossi f(y + ) f(y) v < inf sup, δ>0 ce possimo riscrivere come δ<<0 Questo implic ce, per ogni δ > 0, Risult dunque v < inf sup f(y) f(y k) δ>0 0<k<δ k f(y) f(y k) v < sup 0<k<δ k δ > 0, 0 < k < δ : f(y) f(y k) > kv. (18) Si J = {J} l fmigli degli intervlli ce soddisfno le seguenti condizioni: 8..

9 J = [y k, y], con y B; f(y) f(y k) > kv; esiste un j tle ce J I j (1 j N). Essendo gli intervlli I j perti e sussistendo l (18), esistono intervlli di questo tipo e costituiscono un ricoprimento di Vitli di B. Per il Lemm di ricoprimento di Vitli 1, dto un ε > 0, esistono J 1,..., J M J tli ce m (B \ M Inoltre, posto J = [y k, y ], risult M [f(y ) f(y k )] > v J ) < ε, J J k = ( k). (19) M k = v M D ltr prte, essendo E uv = A B, si m (E uv ) m (A) + m (B) m (A) + m ( B \ M d cui, ricordndo l (17) e l (19), si tre ( M ) s 2ε + m J. Dll (20) segue ( M ) m(j ) = v m J. (20) ) ( M ) J + m J M [f(y ) f(y k )] > v (s 2ε). (21) Essendo l f non decrescente, se considerimo tutti e soli gli tli ce i corrispondenti intervlli J sono contenuti in un fissto intervllo I j, bbimo [f(y ) f(y k )] f(x j + j ) f(x j ) e quindi M [f(y ) f(y k )] 9 N [f(x j + j ) f(x j )].

10 In virtù delle (16) e (21), si tre v (s 2ε) u (s + ε). Dovendo vlere quest disuguglinz per ogni ε > 0, ottenimo v s u s. Se s > 0 deducimo v u, ce è ssurdo. Deve quindi essere s = 0 e questo, come già osservto, implic ce l prim disugulinz in (11) vle qusi ovunque. Dto ce l second si dimostr in modo nlogo, bbimo ftto vedere ce l (12) sussiste qusi ovunque. Si bdi ce questo ncor non prov ce esiste f (x) per q.o. x, dto ce i quttro numeri del Dini potrebbero essere uguli +. Ponimo f(x) = f(b), x > b. (22) Osservimo ce, indicto con g(x) l funzione definit qusi ovunque dll (12), possimo scrivere g(x) = lim n n (f(x + 1/n) f(x)) per q.o. x (, b). Essendo i rpporti incrementli ppen scritti non negtivi, il Lemm di Ftou port b g(x) dx lim inf n b n (f(x + 1/n) f(x)) dx. Inoltre, tenendo presente l (22) e ce f() f(x), si ( b b+1/n ) b n (f(x + 1/n) f(x)) dx = n f(x) dx f(x) dx = ( b+1/n n f(x) dx b +1/n +1/n ) ( f(b) f(x) dx n n f( n ) = f(b) f(). Segue b g(x) dx f(b) f(). 10

11 Questo mostr ce g è sommbile in (, b) e quindi finit qusi ovunque. Ciò implic ce il limite del rpporto incrementle non solo esiste q.o., m esiste finito q.o., ossi ce f è derivbile q.o.. Inoltre sussiste l (10) e il teorem è dimostrto. 11

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