Il lemma di ricoprimento di Vitali

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Il lemma di ricoprimento di Vitali"

Transcript

1 Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per ogni x E e per ogni ε > 0 esiste un intervllo I I tle ce x I e l(i) < ε. Inoltre nessun intervllo I I può degenerre in un punto, ossi l(i) > 0 per ogni I I. 1 (Lemm di ricoprimento di Vitli) Si E R un insieme di misur estern finit e si I un ricoprimento di Vitli di E. Per ogni ε > 0 esistono I 1,..., I m I disgiunti due due e tli ce m E \ m I j < ε, (1) dove m indic l misur estern secondo Lebesgue. Dim. Essendo m E <, esiste un perto Ω con m(ω) < tle ce E Ω. Ovvimente non è restrittivo supporre ce tutti gli intervlli di I sino contenuti in Ω. Costruimo or un successione {I m } I. Supponimo di ver già scelto I 1,..., I m e vedimo come scegliere I m+1. Se fosse ossi E m I j, E \ m I j =, (2) l (1) è certmente soddisftt, dto ce in questo cso si m E \ m I j = 0. Altrimenti, ponimo U m = {I I I I j =, j = 1,..., m}. L clsse U m risult non vuot; inftti, essendo E \ m I j 1

2 scelto un x in questo insieme, esisterà, per l definizione di ricoprimento di Vitli, un I I contenente x e di dimetro così piccolo d non intersecre gli I j per j = 1,..., m (si ricordi ce gli I j sono ciusi!). Ponimo k m = sup{l(i) I U m } ; risult ovvimente Sceglimo I m+1 in modo tle ce 0 < k m m(ω) <. I m+1 U m, l(i m+1 ) > k m 2. (3) Procedendo in questo modo, o trovimo un m per il qule l (2) è ver (e in tl cso bbimo finito) oppure ottenimo un successione di insiemi {I m } di I soddisfcenti le (3). Questo implic ce gli insiemi di {I m } risultno disgiunti due due e quindi l(i j ) = m I j m(ω) <. (4) Per l convergenz dell serie, fissto un ε > 0, possimo determinre un N N tle ce l(i k ) < ε 5. (5) Ponimo k=n+1 R = E \ N dobbimo dimostrre ce m R < ε. Si x R; esiste un I I tle ce k=1 I k ; x I, I I j =, j = 1,..., N. Dico ce esiste un m (ce risulterà ovvimente > N) tle ce I I m. (6) Inftti, se l (6) fosse fls, vorrebbe dire ce I I m = per ogni m N, e quindi ce I U m per ogni m N. M llor, per l (3), l(i) k m < 2 l(i m+1 ); 2

3 s d ltr prte, l (4) implic ce l(i m ) 0 e quindi vremmo l ssurdo l(i) = 0. Ponimo llor p = min{m N I I m }. Si noti ce, per qunto detto, l insieme di numeri nturli del qule considerimo il minimo è certmente non vuoto. Abbimo dunque I I j = j = 1,..., p 1 (7) I I p. (8) L (7) mostr ce I U p 1 e quindi l(i) k p 1 < 2 l(i p ). Questo, unito ll (8), implic I J p, dove J p indic l intervllo concentrico I p, l cui lungezz è cinque volte l lungezz di I p. Ricordndo ce x I bbimo ftto vedere ce x J p p=n+1 e, dovendo questo vlere per ogni x R, R p=n+1 J p. Dunque, ricordndo nce l (5), possimo scrivere m R m J p l(j p ) = 5 e il lemm è dimostrto. p=n+1 p=n+1 p=n+1 l(i p ) < ε Il lemm di ricoprimento di Vitli può enuncirsi nce nel seguente modo: 2 Si E R n un insieme di misur estern finit e si I un ricoprimento di Vitli di E. Esiste un successione di insiemi {I n } I disgiunti due due e tli ce m E \ I j = 0. (9) 3

4 Dim. Questo risultto segue subito dll dimostrzione del teorem 1. Bst, inftti, osservre ce, costruit l successione {I n }, risult E \ I j E \ N I j qulunque si l intero N. Inoltre, nell dimostrzione del teorem 1, bbimo ftto vedere ce, per ogni ε > 0, esiste un N tle ce m E \ N I j < ε e quindi si per ogni ε > 0, ossi l (9). m ( ) E \ I j < ε Alcune proprietà delle funzioni monotone Come ben noto, un funzione di un vribile rele f : I R (essendo I un intervllo dell sse rele) si dice monoton se vle un delle seguente condizioni. In prticolre f si dice rispettivmente monoton non decrescente, crescente, non crescente, decrescente se x, y I, x < y = f(x) f(y); x, y I, x < y = f(x) < f(y); x, y I, x < y = f(x) f(y); x, y I, x < y = f(x) > f(y). Un prim proprietà delle funzioni monotone è dt dl seguente risultto. 3 Si f : I R un funzione monoton. L f risult continu in I \ N, dove N è un insieme l più numerbile. Inoltre le discontinuità di f sono tutte di prim specie. 4

5 Dim. Il ftto ce un funzione monoton poss mmettere l più discontinuità di prim specie segue dl teorem di regolrità (ossi di esistenz del limite) delle funzioni monotone. Inftti, questo risultto implic l esistenz e l finitezz dei due limiti lim f(x), x x + 0 lim x x 0 f(x) per ogni x+ 0 interno d I. Quindi o questi due limiti sono uguli (e l funzione è continu in x 0 ) oppure sono diversi (e finiti) e x 0 è un discontinuità di prim specie. Mostrimo or ce N è l più numerbile. Supponimo, per fissre le idee, ce si f monoton non decrescente. Si J : N Q l ppliczione definit nel modo seguente. Essendo x 0 N bbimo lim x x 0 f(x) < lim f(x) x x + 0 e possimo scegliere un numero rzionle J(x 0 ) tle ce lim x x 0 f(x) < J(x 0 ) < lim f(x). x x + 0 L ppliczione J così definit è iniettiv. Inftti se x 0 < x 1, vremo J(x 0 ) < lim f(x) lim x x + 0 x x 1 f(x) < J(x 1 ) e dunque J(x 0 ) J(x 1 ). Essendo J : N Q iniettiv, l crdinlità di N deve essere minore o ugule quell di Q. Un risultto più profondo è il seguente, ce si bs sul lemm di ricoprimento di Vitli. 4 Si f : [, b] R un funzione monoton non decrescente. Esiste f (x) per qusi ogni x (, b), f risult sommbile e inoltre b f (x) f(b) f(). (10) 5

6 Dim. Fissto un punto x (, b), considerimo i numeri (o derivte) del Dini. Essi sono definiti di seguenti quttro limiti D + f(x) = lim sup 0 + D f(x) = lim sup 0, D + f(x) = lim inf 0 +, D f(x) = lim inf 0,. Ovvimente questi quttro limiti sono non negtivi, visto ce l f è monoton non decrescente, m potrebbero essere uguli +. In ogni cso si : D f(x) D f(x), D + f(x) D + f(x) Se fccimo vedere ce risult qusi ovunque, vremo ce D f(x) D + f(x), D + f(x) D f(x) (11) D f(x) = D f(x) = D + f(x) = D + f(x), q.o. in (, b), (12) ossi ce esiste qusi ovunque il limite lim 0 (non necessrimente finito). Dimostreremo solo l prim delle disuguglinze in (11), essendo l dimostrzione dell ltr nlog. Si E = {x (, b) D + f(x) < D f(x)}. Dire ce D f(x) D + f(x) q.o. signific dire ce E misur null. Per dimostrre ciò, considerimo due numeri rzionli positivi u e v e introducimo gli insiemi E uv = {x (, b) D + f(x) < u < v < D f(x)}. Essendo E = u,v Q + u<v 6 E uv

7 per vere ce me = 0 bsterà fr vedere ce m E uv = 0. Fissimo u, v Q +, u < v, e ponimo s = m E uv. Come noto dll teori dell misur di Lebesgue, possimo trovre un perto O contenente E uv e tle ce m(o) < s + ε. (13) Si x E uv. Essendo D + f(x) < u, ossi (1) sup δ>0 inf 0<<δ < u, vremo, per ogni δ > 0, inf 0<<δ < u. Risult dunque δ > 0, 0 < < δ : < u. (14) Si I = {I} l fmigli degli intervlli ce soddisfno le seguenti condizioni: I = [x, x + ], con x E uv ; < u; I O. E ciro ce, in virtù dei (14), esistono intervlli di questo tipo e costituiscono un ricoprimento di Vitli di E uv. Per il Lemm di ricoprimento di Vitli 1, dto un ε > 0, esistono I 1,..., I N I tli ce m (E uv \ N I j ) < ε, I I k = ( k). (15) Inoltre, posto I j = [x j, x j + j ], risult N [f(x j + j ) f(x j )] < u (1) In quest formul e in ltre simili ce seguirnno, sottointendimo ce δ è sufficientemente piccolo in modo tle ce il punto x + (con 0 < < δ) pprtiene ncor ll intervllo (, b). Non lo scrivimo esplicitmente per non ppesntire l notzione. N j 7

8 Essendo gli I disgiunti due due, bbimo nce (ricordndo l (13)) N N N j = m(i j ) = m I j m(o) < s + ε e dunque (si ricordi ce u > 0!) Ponimo N [f(x j + j ) f(x j )] < u(s + ε). (16) A = E uv \ N Ij, B = E uv N Ij. Tenendo presente ce gli insieme A e E uv \ N I j differiscono l più per un insieme finito di punti (ce quindi misur estern null), per l (15) possimo scrivere ma < ε. (17) Prendimo or un punto y B. Essendo B E uv, si v < D f(y), ossi f(y + ) f(y) v < inf sup, δ>0 ce possimo riscrivere come δ<<0 Questo implic ce, per ogni δ > 0, Risult dunque v < inf sup f(y) f(y k) δ>0 0<k<δ k f(y) f(y k) v < sup 0<k<δ k δ > 0, 0 < k < δ : f(y) f(y k) > kv. (18) Si J = {J} l fmigli degli intervlli ce soddisfno le seguenti condizioni: 8..

9 J = [y k, y], con y B; f(y) f(y k) > kv; esiste un j tle ce J I j (1 j N). Essendo gli intervlli I j perti e sussistendo l (18), esistono intervlli di questo tipo e costituiscono un ricoprimento di Vitli di B. Per il Lemm di ricoprimento di Vitli 1, dto un ε > 0, esistono J 1,..., J M J tli ce m (B \ M Inoltre, posto J = [y k, y ], risult M [f(y ) f(y k )] > v J ) < ε, J J k = ( k). (19) M k = v M D ltr prte, essendo E uv = A B, si m (E uv ) m (A) + m (B) m (A) + m ( B \ M d cui, ricordndo l (17) e l (19), si tre ( M ) s 2ε + m J. Dll (20) segue ( M ) m(j ) = v m J. (20) ) ( M ) J + m J M [f(y ) f(y k )] > v (s 2ε). (21) Essendo l f non decrescente, se considerimo tutti e soli gli tli ce i corrispondenti intervlli J sono contenuti in un fissto intervllo I j, bbimo [f(y ) f(y k )] f(x j + j ) f(x j ) e quindi M [f(y ) f(y k )] 9 N [f(x j + j ) f(x j )].

10 In virtù delle (16) e (21), si tre v (s 2ε) u (s + ε). Dovendo vlere quest disuguglinz per ogni ε > 0, ottenimo v s u s. Se s > 0 deducimo v u, ce è ssurdo. Deve quindi essere s = 0 e questo, come già osservto, implic ce l prim disugulinz in (11) vle qusi ovunque. Dto ce l second si dimostr in modo nlogo, bbimo ftto vedere ce l (12) sussiste qusi ovunque. Si bdi ce questo ncor non prov ce esiste f (x) per q.o. x, dto ce i quttro numeri del Dini potrebbero essere uguli +. Ponimo f(x) = f(b), x > b. (22) Osservimo ce, indicto con g(x) l funzione definit qusi ovunque dll (12), possimo scrivere g(x) = lim n n (f(x + 1/n) f(x)) per q.o. x (, b). Essendo i rpporti incrementli ppen scritti non negtivi, il Lemm di Ftou port b g(x) dx lim inf n b n (f(x + 1/n) f(x)) dx. Inoltre, tenendo presente l (22) e ce f() f(x), si ( b b+1/n ) b n (f(x + 1/n) f(x)) dx = n f(x) dx f(x) dx = ( b+1/n n f(x) dx b +1/n +1/n ) ( f(b) f(x) dx n n f( n ) = f(b) f(). Segue b g(x) dx f(b) f(). 10

11 Questo mostr ce g è sommbile in (, b) e quindi finit qusi ovunque. Ciò implic ce il limite del rpporto incrementle non solo esiste q.o., m esiste finito q.o., ossi ce f è derivbile q.o.. Inoltre sussiste l (10) e il teorem è dimostrto. 11

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008 ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli

Dettagli

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) =

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) = Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione - 28-29. Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml

Dettagli

1 Integrale delle funzioni a scala

1 Integrale delle funzioni a scala INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b]

Dettagli

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in

Dettagli

TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY

TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY DANIELE ANDREUCCI DIP. METODI E MODELLI, UNIVERSITÀ LA SAPIENZA VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY ndreucci@dmmm.unirom1.it 1. Notzione fondmentle e prime definizioni

Dettagli

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non

Dettagli

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale.

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale. 1 Integrli dipendenti d un prmetro e derivzione sotto il segno di integrle. Considerimo l funzione f(x, t) : A [, b] R definit nel rettngolo A [, b], essendo A un sottoinsieme perto di R e [, b] un intervllo

Dettagli

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x). OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll

Dettagli

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione

Dettagli

I Teoremi di Green, della divergenza (o di Gauss) e di Stokes

I Teoremi di Green, della divergenza (o di Gauss) e di Stokes I Teoremi di Green, dell divergenz o di Guss e di Stokes In R Si un sottoinsieme limitto di R semplice rispetto d entrmbi gli ssi crtesini con costituit dll unione di un numero finito di sostegni di curve

Dettagli

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale Pietro Bldi Successioni e serie di funzioni Testi di riferimento: W. Rudin, Principi di Anlisi Mtemtic, McGrw-Hill Libri Itli; N. Fusco, P. Mrcellini, C. Sbordone, Anlisi Mtemtic Due, Liguori Editore;

Dettagli

Esercizio 1. Dimostrare che se (X, d) è uno spazio metrico anche (X, d ) lo è, dove d =

Esercizio 1. Dimostrare che se (X, d) è uno spazio metrico anche (X, d ) lo è, dove d = I seguenti esercizi sono stti proposti, e qusi tutti risolti, ttrverso l miling list del corso di Geometri IV durnte l nno ccdemico 2004/2005. Esercizio 1. Dimostrre che se (X, d) è uno spzio metrico nche

Dettagli

Funzioni a variazione limitata

Funzioni a variazione limitata Cpitolo 1 Funzioni vrizione limitt 1.1 Il problem delle primitive di funzioni L 1 Il problem dell ricerc delle primitive di un ssegnt funzione f : I R con I = [, b] intervllo limitto, cioè le soluzioni

Dettagli

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco.

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco. Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Esercizi svolti Limiti Prof. Chirizzi rco www.elettrone.ltervist.org 1) Verificre che risult: = Dobbimo provre che per ogni ε positivo, rbitrrimente piccolo,

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica 1

Appunti di Analisi Matematica 1 Appunti di Anlisi Mtemtic 1 MASTER IN ECONOMIA DIGITALE & e-business Centro per lo studio dei sistemi complessi Università di Sien Mrzo 2005 Prof. Polo Nistri Un funzione (o ppliczione) tr due insiemi

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE

APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE Dt un ppliczione f: V W con V e W spzi vettorili si dice che f è un ppliczione linere o omomorfismo f(v + v 2 ) = f(v ) + f(v 2 ) v, v 2 V f(αv) = α f(v) v V e

Dettagli

Appunti di Analisi matematica 1. Paolo Acquistapace

Appunti di Analisi matematica 1. Paolo Acquistapace Appunti di Anlisi mtemtic Polo Acquistpce 23 febbrio 205 Indice Numeri 4. Alfbeto greco................................. 4.2 Insiemi..................................... 4.3 Funzioni....................................

Dettagli

Matematica I, Funzione integrale

Matematica I, Funzione integrale Mtemtic I, 24.0.2. Funzione integrle Definizione Sino f : A R, funzione continu su A intervllo, e c in A. L funzione che ssoci d ogni in A l integrle di f sull intervllo [c, ], viene dett funzione integrle

Dettagli

Micol Amr ANALISI MATEMATICA I - 999/2000 Dim. Considerimo il cso in cui l successione si crescente; l dimostrzione procede in modo del tutto nlogo, q

Micol Amr ANALISI MATEMATICA I - 999/2000 Dim. Considerimo il cso in cui l successione si crescente; l dimostrzione procede in modo del tutto nlogo, q TEOREMI DIMOSTRATI NEL CORSO. Successioni e serie numeriche. Teorem. (Unicit del ite) Si ( n ) n2in un successione di numeri reli convergente. Allor il suo ite e unico. Dim. Assumimo per ssurdo che n =

Dettagli

Equivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali

Equivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali Equivlenz tr equzioni di Lgrnge e problemi AM Cherubini 20 Aprile 2007 1 / 21 Problemi Mostrimo or come si possono ricvre sistemi di equzioni con struttur lgrngin in un mbito diverso: prim si er crtterizzt

Dettagli

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI Considerimo un funzione f : I R, dove I è un intervllo di R. Si c un punto interno I in cui f è discontinu. Diremo che c è un punto di discontinuità di prim

Dettagli

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata Cpitolo 5 Integrli 5.1 Integrli di funzioni grdint Un concetto molto semplice m di fondmentle importnz per l trttzione dell integrle di Riemnn è quello di divisione di un intervllo [, b]. In sostnz si

Dettagli

Successioni di Funzioni e Serie di Potenze

Successioni di Funzioni e Serie di Potenze Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni Nel corso di nlisi di bse si sono studite le successioni numeriche. Qui considerimo un

Dettagli

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1 Serie di Potenze Introducimo il concetto di convergenz puntule ed uniforme per successioni di funzioni. Definizione 1 Si I un intervllo di R. Si dt l vrire di n N l funzione f n : I R. Dicimo che l successione

Dettagli

Campi. Una funzione F di n variabili reali e a valori in R n è detta campo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A aperto di R n.

Campi. Una funzione F di n variabili reali e a valori in R n è detta campo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A aperto di R n. Cmpi Ultimo ggiornmento: 18 febbrio 217 Un funzione F di n vribili reli e vlori in R n è dett cmpo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A perto di R n. 1. Integrli curvilinei di second specie

Dettagli

Scuola di Dottorato in Scienze e Tecnologie dell Informazione e della Comunicazione.

Scuola di Dottorato in Scienze e Tecnologie dell Informazione e della Comunicazione. T. ZOLZZI. Appunti del corso di Introduzione ll Anlisi Funzionle Scuol di Dottorto in Scienze e Tecnologie dell Informzione e dell Comuniczione. NOTA. L utore desider ringrzire le studentesse di dottorto,

Dettagli

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali SPAZI VETTORIALI 1. Spzi e sottospzi vettorili Definizione: Dto un insieme V non vuoto e un corpo K di sostegno si dice che V è un K-spzio vettorile o uno spzio vettorile su K se sono definite un operzione

Dettagli

Esercizi sulle serie di Fourier

Esercizi sulle serie di Fourier Esercizi sulle serie di Fourier Corso di Fisic Mtemtic,.. 3- Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno Novembre 3 Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) In questi esercizi, si richiede di sviluppre

Dettagli

FUNZIONI IPERBOLICHE

FUNZIONI IPERBOLICHE FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,

Dettagli

" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6

 Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6 CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione

Dettagli

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo Lure triennle in Scienze dell Ntur.. 2009/200 Regole di Clcolo In queste note esminimo lcune conseguenze degli ssiomi reltivi lle operzioni e ll ordinmento nell insieme R dei numeri reli. L obiettivo principle

Dettagli

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A. 88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3

Dettagli

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14)

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14) . Funzioni iniettive, suriettive e iiettive (Ref p.4) Dll definizione di funzione si ricv che, not un funzione y f( ), comunque preso un vlore di pprtenente l dominio di f( ) esiste un solo vlore di y

Dettagli

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA ANNAMARIA MONTANARI Indice. Integrle di Riemnn.. Proprietà elementri dell integrle di Riemnn 5.2. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Primitive 6.3. Integrle generlizzto

Dettagli

Successioni di funzioni

Successioni di funzioni Successioni di funzioni 3.1 Introduzione Considerimo l successione (x n ) n0,icuiterminisono 1, x,x 2,x 3,..., x n,... Si trtt dell progressione geometric di termine inizile 1 e rgione x, che bbimo già

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale .. 2011/12 Lure triennle in Informtic Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle Avvertenz Questi sono ppunti informli delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Prte del mterile

Dettagli

Formule di Gauss Green

Formule di Gauss Green Formule di Guss Green In queste lezioni voglimo studire il legme esistente tr integrli in domini bidimensionli ed integrli urvilinei sull frontier di questi. In seguito i ouperemo del problem nlogo nello

Dettagli

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13)

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) DISPENSA N. 9 Sommrio. Crtterizzimo l equivlenz elementre in termini di sistemi di isomorfismi przili e di giochi di Ehrenfeucht-Frïssé. 1. Giochi di Ehrenfeucht-Frïssé

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - Fcoltà di Frmci e Medicin - Corso di Lure in CTF 1 Equzioni e disequzioni di secondo grdo Sino 0, b e c tre numeri reli noti, risolvere un equzione di secondo

Dettagli

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione LEZIONE 20 20.1. Prodotti sclri. Definizione 20.1.1. Si V uno spzio vettorile su R. Un prodotto sclre su V è un ppliczione tle che:, : V V R (v 1, v 2 ) v 1, v 2 (PS1) per ogni v 1, v 2 V si h v 1, v 2

Dettagli

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito Appunti di nlisi mtemtic: Integrle Deinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle Deinito Clcolo delle ree di ig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

7. Derivate Definizione 1

7. Derivate Definizione 1 7. Derivte Il concetto di derivt è importntissimo e molto nturle. Per vere un esempio concreto, penste l moto di un mcchin: se f(t) è l funzione che esprime qunt strd vete percorso fino d un certo istnte

Dettagli

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata Anlisi Mtemtic 2 1 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 1 INTEGRALI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE 1 Il problem del clcolo dell re di un regione pin limitt Se si consider un

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

Prodotto libero di gruppi

Prodotto libero di gruppi Cpitolo 1 Prodotto libero di gruppi Queste dispense sono bste su degli ppunti orniti d lcuni studenti, che ringrzio. Osservzione 1. Abbimo già incontrto Z k e l bbimo presentto come gruppo belino libero

Dettagli

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

1 Espressioni polinomiali

1 Espressioni polinomiali 1 Espressioni polinomili Un monomio è un espressione letterle in un vribile x che contiene un potenz inter (non negtiv, cioè mggiori o uguli zero) di x moltiplict per un numero rele: x n AD ESEMPIO: sono

Dettagli

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei.

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei. 8. Prodotto sclre, Spzi Euclidei. Ricordimo l definizione di prodotto sclre di due vettori del pino VO 2 (vle in modo del tutto nlogo nche in VO 3 ). Definizione: Sino v, w VO 2 e si θ l ngolo convesso

Dettagli

1 Funzioni continue: definizioni e prime proprietà. 2 Continuità delle funzioni elementari 2

1 Funzioni continue: definizioni e prime proprietà. 2 Continuità delle funzioni elementari 2 FUNZIONI CONTINUE FUNZIONI CONTINUE: DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ Funzioni continue Indice Funzioni continue: definizioni e prime proprietà 2 Continuità delle funzioni elementri 2 3 Funzioni continue

Dettagli

II-5 Funzioni continue

II-5 Funzioni continue II-5 FUNZIONI CONTINUE FUNZIONI CONTINUE: DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ II-5 Funzioni continue Indice Funzioni continue: definizioni e prime proprietà 2 Continuità delle funzioni elementri 3 3 Funzioni

Dettagli

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in Cpitolo 5 Le omotetie 5. Richimi di teori Definizione Sino fissti un punto C del pino ed un numero rele. Si chim omoteti di centro C e rpporto ( che si indic con il simolo O, ) l corrispondenz dl pino

Dettagli

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi SUGLI INSIEMI 1.Insiemi e operzioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di clsse, totlità. Si A un insieme di elementi qulunque. Per indicre che è un elemento di A scriveremo A.

Dettagli

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI nno - PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ di dimetro OA =, l rett t tngente γ

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2005 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2005 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 005 Sessione suppletiv Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Sono dti un pirmide

Dettagli

Lezione 7: Rette e piani nello spazio

Lezione 7: Rette e piani nello spazio Lezione 7: Rette e pini nello spzio In quest lezione i metteremo in un riferimento rtesino ortonormle dello spzio. I primi oggetti geometrii he individuimo sono le rette e i pini. Per qunto rigurd le rette

Dettagli

F (r(t)), d dt r(t) dt

F (r(t)), d dt r(t) dt Cmpi vettorili Un cmpo vettorile è un funzione vlori vettorili F : A R, con A R n, ove in questo cso l imensione el ominio e el coominio è l stess. F ( 1, 2,..., n ) (f 1 ( 1, 2,..., n ), f 2 ( 1, 2,...,

Dettagli

La dimostrazione per assurdo

La dimostrazione per assurdo L dimostrzione per ssurdo L dimostrzione per ssurdo in mtemtic è uno strumento utile per dimostrre certi teoremi. Ess procede secondo i seguenti pssi: 1. Si suppone che il teorem si flso. Si f vedere,

Dettagli

Erasmo Modica. : K K K

Erasmo Modica.  : K K K L insieme dei numeri reli L INSIEME DEI NUMERI REALI Ersmo Modic helthinsurnce@tin.it www.glois.it Per introdurre l insieme dei numeri reli si hnno disposizione diversi modi. Generlmente l iennio si preferisce

Dettagli

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: ppunti di nlisi mtemtic: Integrle efinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle efinito lcolo delle ree di fig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

Diario del Corso di Analisi Matematica I - Mod. 1

Diario del Corso di Analisi Matematica I - Mod. 1 Dirio del Corso di Anlisi Mtemtic I - Mod. 1 Corso di Lure: Mtemtic Applict Docente: Sisto Bldo ATTENZIONE: Il presente Dirio del Corso vuole essere un rissunto bbstnz dettglito di quello che è stto detto

Dettagli

Omotopia, forme chiuse e esatte

Omotopia, forme chiuse e esatte Omotopi, forme chiuse e estte Per curv intenimo un curv orientt regolre trtti. Dt un curv enoteremo con l curv ottenut cmbino orientzione, si h ω = ω per ogni form ω (1) Due curve, tli che il punto finle

Dettagli

Diario del Corso di Analisi Matematica I - Mod. 1

Diario del Corso di Analisi Matematica I - Mod. 1 Dirio del Corso di Anlisi Mtemtic I - Mod. 1 Corso di Lure: Mtemtic Applict Docente: Sisto Bldo ATTENZIONE: Il presente Dirio del Corso vuole essere un rissunto bbstnz dettglito di quello che è stto detto

Dettagli

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito Appunti di nlisi mtemtic: Integrle Deinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle Deinito Clcolo delle ree di ig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

Lezione 16 Derivate ed Integrali

Lezione 16 Derivate ed Integrali Lezione 16 Derivte ed Integrli Frnk Sullivn 1 Dicembre 11 1 Prim Or Compiti di letture ed esercizi per 3 Dicembre Durnte l lezione di oggi pplicheremo le regole per differenzire funzioni l clcolo di integrli.

Dettagli

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 www.mtefili.it PNI 2005 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO È dto un trpezio rettngolo, in cui le bisettrici degli ngoli dicenti l lto obliquo si intersecno in un punto del lto perpendicolre lle bsi. Dimostrre

Dettagli

Capitolo 7. Integrali doppi. 7.1 Motivazioni

Capitolo 7. Integrali doppi. 7.1 Motivazioni Cpitolo 7 Integrli doppi In questo cpitolo studieremo gli integrli per funzioni di più vribili: più precismente ci occuperemo degli integrli di funzioni di due vribili (dunque integrli doppi), m piccole

Dettagli

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1 APITOLO 3 LE SIMMETRIE 3. Richimi di teori Definizione. Si dto un punto del pino; si chim simmetri centrle di centro (che si indic con il simbolo s ) l corrispondenz dl pino in sé che d ogni punto P del

Dettagli

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:

Dettagli

Analisi matematica. Materiale didattico

Analisi matematica. Materiale didattico Anlisi mtemtic. Mterile didttico Lure triennle F.A.I. Rimini 7 ottobre 23 Indice Linguggio, funzioni elementri 2. Il linguggio degli insiemi.................................... 2.2 Numeri reli, vlore ssoluto,

Dettagli

Esempio Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3 differenti:

Esempio Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3 differenti: Minori di un mtrice Si A K m,n, si definisce minore di ordine p con p N, p

Dettagli

Salvatore Loris Pelella. Corso di. Matematica RCS LIBRI EDUCATION SPA

Salvatore Loris Pelella. Corso di. Matematica RCS LIBRI EDUCATION SPA Slvtore Loris Pelell Corso di Mtemtic RCS LIBRI EDUCATION SPA ISBN 88-45-084-3 004 RCS Libri S.p.A.- Milno Prim edizione: gennio 004 Ristmpe 004 005 006 3 4 5 Stmp: V. Bon, Torino Coordinmento editorile

Dettagli

1 Integrali doppi di funzioni a scala su rettangoli

1 Integrali doppi di funzioni a scala su rettangoli INEGRALI DOPPI L prim motivzione per lo studio degli integrli di funzioni di due vribili è il lolo di volumi, in nlogi on l pplizione degli integrli di funzioni di un vribile l lolo di ree. L proedur di

Dettagli

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche 1 Le ffinità omologiche 2 Tringoli omologici: Due tringoli si dicono omologici se le rette congiungenti i punti omologhi dei due tringoli si incontrno in un medesimo punto. Principio dei tringoli omologici

Dettagli

POTENZA CON ESPONENTE REALE

POTENZA CON ESPONENTE REALE PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,

Dettagli

1 Integrali impropri di funzioni continue

1 Integrali impropri di funzioni continue ntegrli impropri di funzioni continue. ntegrli impropri su intervlli semiperti Definizione Dt un funzione continu f : [, b) R, con b +, si dice che f è integrbile se esiste finito il t b f(x) dx ed in

Dettagli

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez.

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez. Fcoltà di Economi - Università di Sssri Anno Accdemico 2004-2005 Dispense Corso di Econometri Docente: Lucino Gutierrez Algebr Linere Progrmm: 1.1 Definizione di mtrice e vettore 1.2 Addizione e sottrzione

Dettagli

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio. Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI E LOGARITMI 1 se 0, per ogni R ; Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >0: Sono definite: se >0: Non sono definite: Csi prticolri: Le proprietà delle

Dettagli

Problemi di massimo e minimo in Geometria Solida Problemi su poliedri. Indice dei problemi risolti

Problemi di massimo e minimo in Geometria Solida Problemi su poliedri. Indice dei problemi risolti Problemi di mssimo e minimo in Geometri olid Problemi su poliedri Indice dei problemi risolti In generle, un problem si riferisce un figur con crtteristice specifice (p.es., il numero dei lti dell bse)

Dettagli

In questo capitolo svilupperemo la teoria dell integrazione secondo Riemann per funzioni di una variabile reale.

In questo capitolo svilupperemo la teoria dell integrazione secondo Riemann per funzioni di una variabile reale. Cpitolo 1 Integrle di Riemnn In questo cpitolo svilupperemo l teori dell integrzione secondo Riemnn per funzioni di un vribile rele. 1.1 Motivzioni Considerimo i seguenti problemi. 1. Clcolo di un re.

Dettagli

Minimi quadrati e problemi di distanza minima

Minimi quadrati e problemi di distanza minima Minimi qudrti e problemi di distnz minim Considerimo un mtrice rettngolre B, con elementi b ij, i 1,..., n, j 1,..., m, con m < n (quindi, più righe che colonne. Voglimo risolvere il sistem linere (1 Bx

Dettagli

Sistemi principali di normali ad una varietà giacenti nel suo o 2. Nota di

Sistemi principali di normali ad una varietà giacenti nel suo o 2. Nota di Sistemi principli di normli d un vrietà gicenti nel suo o 2. Not di Giuseppe Vitli Pdov. In un mio recente lvoro *) ho considerto, per ogni superficie il cui j si di 2 k dimensioni (k 2, 3), un sistem

Dettagli

La scomposizione in fattori dei polinomi

La scomposizione in fattori dei polinomi Progetto Mtemtic in Rete L scomposizione in fttori dei polinomi Scomporre in fttori un polinomio signific scriverlo come prodotto di polinomi di grdo inferiore. Esempio: ( )( ) Osservimo che l uguglinz,

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico

Dettagli

Prima parte (Argomenti di Analisi Matematica 1)

Prima parte (Argomenti di Analisi Matematica 1) Registro delle lezioni del corso di Anlisi Mtemtic 2 Università di Firenze - Fcoltà di Ingegneri Corso di Lure in Ingegneri Meccnic M Z.. 20/202 - Prof. M.Ptrizi Per Prim prte (Argomenti di Anlisi Mtemtic

Dettagli

ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI

ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI 1. Richimi di teori Con Z indichimo l insieme dei numeri reltivi. Comincimo con il ricordre l definizione di quoziente e resto dell divisione di due numeri in Z. Definizione

Dettagli

Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione

Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione Stbilità dei sistemi di controllo in retrozione Criterio di Nyquist Il criterio di Nyquist Estensione G (s) con gudgno vribile Appliczione sistemi con retrozione positiv 2 Criterio di Nyquist Stbilità

Dettagli

1 Definizione di integrale di Riemann 1. 2 Condizioni di esistenza dell integrale di Riemann 3. 3 Proprietà dell integrale di Riemann 4

1 Definizione di integrale di Riemann 1. 2 Condizioni di esistenza dell integrale di Riemann 3. 3 Proprietà dell integrale di Riemann 4 DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN Integrle di Riemnn Indice Definizione di integrle di Riemnn Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn 3 3 Proprietà dell integrle di Riemnn 4 4 Clcolo dell integrle

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Dispense di Mtemtic clsse quint -Gli integrli Quest oper è distriuit con: Licenz Cretive Commons Attriuzione - Non commercile - Non opere derivte. Itli Ing. Alessndro Pochì Appunti di lezione svolti ll

Dettagli

Integrali curvilinei (integrali di densità) Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Integrali curvilinei (integrali di densità) Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milno orso di Anlisi e Geometri 1 Federico Lstri federico.lstri@polimi.it Integrli curvilinei di prim specie (integrli di densità) 15 Dicembre 215 Indice 1 Integrli di line di prim specie

Dettagli

Diario del Corso di Analisi Matematica I - Mod. 1

Diario del Corso di Analisi Matematica I - Mod. 1 Dirio del Corso di Anlisi Mtemtic I - Mod. 1 Corso di Lure: Mtemtic Applict Docente: Sisto Bldo ATTENZIONE: Il presente Dirio del Corso vuole essere un rissunto bbstnz dettglito di quello che è stto detto

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1 INTEGRALI IMPROPRI c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf Abbimo visto che l integrle di Riemnn è definito per funzioni limitte e su intervlli limitti. Si or I R un intervllo

Dettagli

ESERCIZIO DI ASD DEL 27 APRILE 2009

ESERCIZIO DI ASD DEL 27 APRILE 2009 ESERCIZIO DI ASD DEL 27 APRILE 2009 Dimetro Algoritmi. Ricordimo che un grfo non orientto, ciclico e connesso è un lero. Un lero può essere pensto come lero rdicto un volt che si si fissto un nodo come

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite:

Dettagli