Il lemma di ricoprimento di Vitali

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Il lemma di ricoprimento di Vitali"

Transcript

1 Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per ogni x E e per ogni ε > 0 esiste un intervllo I I tle ce x I e l(i) < ε. Inoltre nessun intervllo I I può degenerre in un punto, ossi l(i) > 0 per ogni I I. 1 (Lemm di ricoprimento di Vitli) Si E R un insieme di misur estern finit e si I un ricoprimento di Vitli di E. Per ogni ε > 0 esistono I 1,..., I m I disgiunti due due e tli ce m E \ m I j < ε, (1) dove m indic l misur estern secondo Lebesgue. Dim. Essendo m E <, esiste un perto Ω con m(ω) < tle ce E Ω. Ovvimente non è restrittivo supporre ce tutti gli intervlli di I sino contenuti in Ω. Costruimo or un successione {I m } I. Supponimo di ver già scelto I 1,..., I m e vedimo come scegliere I m+1. Se fosse ossi E m I j, E \ m I j =, (2) l (1) è certmente soddisftt, dto ce in questo cso si m E \ m I j = 0. Altrimenti, ponimo U m = {I I I I j =, j = 1,..., m}. L clsse U m risult non vuot; inftti, essendo E \ m I j 1

2 scelto un x in questo insieme, esisterà, per l definizione di ricoprimento di Vitli, un I I contenente x e di dimetro così piccolo d non intersecre gli I j per j = 1,..., m (si ricordi ce gli I j sono ciusi!). Ponimo k m = sup{l(i) I U m } ; risult ovvimente Sceglimo I m+1 in modo tle ce 0 < k m m(ω) <. I m+1 U m, l(i m+1 ) > k m 2. (3) Procedendo in questo modo, o trovimo un m per il qule l (2) è ver (e in tl cso bbimo finito) oppure ottenimo un successione di insiemi {I m } di I soddisfcenti le (3). Questo implic ce gli insiemi di {I m } risultno disgiunti due due e quindi l(i j ) = m I j m(ω) <. (4) Per l convergenz dell serie, fissto un ε > 0, possimo determinre un N N tle ce l(i k ) < ε 5. (5) Ponimo k=n+1 R = E \ N dobbimo dimostrre ce m R < ε. Si x R; esiste un I I tle ce k=1 I k ; x I, I I j =, j = 1,..., N. Dico ce esiste un m (ce risulterà ovvimente > N) tle ce I I m. (6) Inftti, se l (6) fosse fls, vorrebbe dire ce I I m = per ogni m N, e quindi ce I U m per ogni m N. M llor, per l (3), l(i) k m < 2 l(i m+1 ); 2

3 s d ltr prte, l (4) implic ce l(i m ) 0 e quindi vremmo l ssurdo l(i) = 0. Ponimo llor p = min{m N I I m }. Si noti ce, per qunto detto, l insieme di numeri nturli del qule considerimo il minimo è certmente non vuoto. Abbimo dunque I I j = j = 1,..., p 1 (7) I I p. (8) L (7) mostr ce I U p 1 e quindi l(i) k p 1 < 2 l(i p ). Questo, unito ll (8), implic I J p, dove J p indic l intervllo concentrico I p, l cui lungezz è cinque volte l lungezz di I p. Ricordndo ce x I bbimo ftto vedere ce x J p p=n+1 e, dovendo questo vlere per ogni x R, R p=n+1 J p. Dunque, ricordndo nce l (5), possimo scrivere m R m J p l(j p ) = 5 e il lemm è dimostrto. p=n+1 p=n+1 p=n+1 l(i p ) < ε Il lemm di ricoprimento di Vitli può enuncirsi nce nel seguente modo: 2 Si E R n un insieme di misur estern finit e si I un ricoprimento di Vitli di E. Esiste un successione di insiemi {I n } I disgiunti due due e tli ce m E \ I j = 0. (9) 3

4 Dim. Questo risultto segue subito dll dimostrzione del teorem 1. Bst, inftti, osservre ce, costruit l successione {I n }, risult E \ I j E \ N I j qulunque si l intero N. Inoltre, nell dimostrzione del teorem 1, bbimo ftto vedere ce, per ogni ε > 0, esiste un N tle ce m E \ N I j < ε e quindi si per ogni ε > 0, ossi l (9). m ( ) E \ I j < ε Alcune proprietà delle funzioni monotone Come ben noto, un funzione di un vribile rele f : I R (essendo I un intervllo dell sse rele) si dice monoton se vle un delle seguente condizioni. In prticolre f si dice rispettivmente monoton non decrescente, crescente, non crescente, decrescente se x, y I, x < y = f(x) f(y); x, y I, x < y = f(x) < f(y); x, y I, x < y = f(x) f(y); x, y I, x < y = f(x) > f(y). Un prim proprietà delle funzioni monotone è dt dl seguente risultto. 3 Si f : I R un funzione monoton. L f risult continu in I \ N, dove N è un insieme l più numerbile. Inoltre le discontinuità di f sono tutte di prim specie. 4

5 Dim. Il ftto ce un funzione monoton poss mmettere l più discontinuità di prim specie segue dl teorem di regolrità (ossi di esistenz del limite) delle funzioni monotone. Inftti, questo risultto implic l esistenz e l finitezz dei due limiti lim f(x), x x + 0 lim x x 0 f(x) per ogni x+ 0 interno d I. Quindi o questi due limiti sono uguli (e l funzione è continu in x 0 ) oppure sono diversi (e finiti) e x 0 è un discontinuità di prim specie. Mostrimo or ce N è l più numerbile. Supponimo, per fissre le idee, ce si f monoton non decrescente. Si J : N Q l ppliczione definit nel modo seguente. Essendo x 0 N bbimo lim x x 0 f(x) < lim f(x) x x + 0 e possimo scegliere un numero rzionle J(x 0 ) tle ce lim x x 0 f(x) < J(x 0 ) < lim f(x). x x + 0 L ppliczione J così definit è iniettiv. Inftti se x 0 < x 1, vremo J(x 0 ) < lim f(x) lim x x + 0 x x 1 f(x) < J(x 1 ) e dunque J(x 0 ) J(x 1 ). Essendo J : N Q iniettiv, l crdinlità di N deve essere minore o ugule quell di Q. Un risultto più profondo è il seguente, ce si bs sul lemm di ricoprimento di Vitli. 4 Si f : [, b] R un funzione monoton non decrescente. Esiste f (x) per qusi ogni x (, b), f risult sommbile e inoltre b f (x) f(b) f(). (10) 5

6 Dim. Fissto un punto x (, b), considerimo i numeri (o derivte) del Dini. Essi sono definiti di seguenti quttro limiti D + f(x) = lim sup 0 + D f(x) = lim sup 0, D + f(x) = lim inf 0 +, D f(x) = lim inf 0,. Ovvimente questi quttro limiti sono non negtivi, visto ce l f è monoton non decrescente, m potrebbero essere uguli +. In ogni cso si : D f(x) D f(x), D + f(x) D + f(x) Se fccimo vedere ce risult qusi ovunque, vremo ce D f(x) D + f(x), D + f(x) D f(x) (11) D f(x) = D f(x) = D + f(x) = D + f(x), q.o. in (, b), (12) ossi ce esiste qusi ovunque il limite lim 0 (non necessrimente finito). Dimostreremo solo l prim delle disuguglinze in (11), essendo l dimostrzione dell ltr nlog. Si E = {x (, b) D + f(x) < D f(x)}. Dire ce D f(x) D + f(x) q.o. signific dire ce E misur null. Per dimostrre ciò, considerimo due numeri rzionli positivi u e v e introducimo gli insiemi E uv = {x (, b) D + f(x) < u < v < D f(x)}. Essendo E = u,v Q + u<v 6 E uv

7 per vere ce me = 0 bsterà fr vedere ce m E uv = 0. Fissimo u, v Q +, u < v, e ponimo s = m E uv. Come noto dll teori dell misur di Lebesgue, possimo trovre un perto O contenente E uv e tle ce m(o) < s + ε. (13) Si x E uv. Essendo D + f(x) < u, ossi (1) sup δ>0 inf 0<<δ < u, vremo, per ogni δ > 0, inf 0<<δ < u. Risult dunque δ > 0, 0 < < δ : < u. (14) Si I = {I} l fmigli degli intervlli ce soddisfno le seguenti condizioni: I = [x, x + ], con x E uv ; < u; I O. E ciro ce, in virtù dei (14), esistono intervlli di questo tipo e costituiscono un ricoprimento di Vitli di E uv. Per il Lemm di ricoprimento di Vitli 1, dto un ε > 0, esistono I 1,..., I N I tli ce m (E uv \ N I j ) < ε, I I k = ( k). (15) Inoltre, posto I j = [x j, x j + j ], risult N [f(x j + j ) f(x j )] < u (1) In quest formul e in ltre simili ce seguirnno, sottointendimo ce δ è sufficientemente piccolo in modo tle ce il punto x + (con 0 < < δ) pprtiene ncor ll intervllo (, b). Non lo scrivimo esplicitmente per non ppesntire l notzione. N j 7

8 Essendo gli I disgiunti due due, bbimo nce (ricordndo l (13)) N N N j = m(i j ) = m I j m(o) < s + ε e dunque (si ricordi ce u > 0!) Ponimo N [f(x j + j ) f(x j )] < u(s + ε). (16) A = E uv \ N Ij, B = E uv N Ij. Tenendo presente ce gli insieme A e E uv \ N I j differiscono l più per un insieme finito di punti (ce quindi misur estern null), per l (15) possimo scrivere ma < ε. (17) Prendimo or un punto y B. Essendo B E uv, si v < D f(y), ossi f(y + ) f(y) v < inf sup, δ>0 ce possimo riscrivere come δ<<0 Questo implic ce, per ogni δ > 0, Risult dunque v < inf sup f(y) f(y k) δ>0 0<k<δ k f(y) f(y k) v < sup 0<k<δ k δ > 0, 0 < k < δ : f(y) f(y k) > kv. (18) Si J = {J} l fmigli degli intervlli ce soddisfno le seguenti condizioni: 8..

9 J = [y k, y], con y B; f(y) f(y k) > kv; esiste un j tle ce J I j (1 j N). Essendo gli intervlli I j perti e sussistendo l (18), esistono intervlli di questo tipo e costituiscono un ricoprimento di Vitli di B. Per il Lemm di ricoprimento di Vitli 1, dto un ε > 0, esistono J 1,..., J M J tli ce m (B \ M Inoltre, posto J = [y k, y ], risult M [f(y ) f(y k )] > v J ) < ε, J J k = ( k). (19) M k = v M D ltr prte, essendo E uv = A B, si m (E uv ) m (A) + m (B) m (A) + m ( B \ M d cui, ricordndo l (17) e l (19), si tre ( M ) s 2ε + m J. Dll (20) segue ( M ) m(j ) = v m J. (20) ) ( M ) J + m J M [f(y ) f(y k )] > v (s 2ε). (21) Essendo l f non decrescente, se considerimo tutti e soli gli tli ce i corrispondenti intervlli J sono contenuti in un fissto intervllo I j, bbimo [f(y ) f(y k )] f(x j + j ) f(x j ) e quindi M [f(y ) f(y k )] 9 N [f(x j + j ) f(x j )].

10 In virtù delle (16) e (21), si tre v (s 2ε) u (s + ε). Dovendo vlere quest disuguglinz per ogni ε > 0, ottenimo v s u s. Se s > 0 deducimo v u, ce è ssurdo. Deve quindi essere s = 0 e questo, come già osservto, implic ce l prim disugulinz in (11) vle qusi ovunque. Dto ce l second si dimostr in modo nlogo, bbimo ftto vedere ce l (12) sussiste qusi ovunque. Si bdi ce questo ncor non prov ce esiste f (x) per q.o. x, dto ce i quttro numeri del Dini potrebbero essere uguli +. Ponimo f(x) = f(b), x > b. (22) Osservimo ce, indicto con g(x) l funzione definit qusi ovunque dll (12), possimo scrivere g(x) = lim n n (f(x + 1/n) f(x)) per q.o. x (, b). Essendo i rpporti incrementli ppen scritti non negtivi, il Lemm di Ftou port b g(x) dx lim inf n b n (f(x + 1/n) f(x)) dx. Inoltre, tenendo presente l (22) e ce f() f(x), si ( b b+1/n ) b n (f(x + 1/n) f(x)) dx = n f(x) dx f(x) dx = ( b+1/n n f(x) dx b +1/n +1/n ) ( f(b) f(x) dx n n f( n ) = f(b) f(). Segue b g(x) dx f(b) f(). 10

11 Questo mostr ce g è sommbile in (, b) e quindi finit qusi ovunque. Ciò implic ce il limite del rpporto incrementle non solo esiste q.o., m esiste finito q.o., ossi ce f è derivbile q.o.. Inoltre sussiste l (10) e il teorem è dimostrto. 11

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008 ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert

Dettagli

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) =

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) = Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione - 28-29. Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml

Dettagli

TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY

TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY DANIELE ANDREUCCI DIP. METODI E MODELLI, UNIVERSITÀ LA SAPIENZA VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY ndreucci@dmmm.unirom1.it 1. Notzione fondmentle e prime definizioni

Dettagli

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in

Dettagli

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non

Dettagli

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x). OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll

Dettagli

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale.

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale. 1 Integrli dipendenti d un prmetro e derivzione sotto il segno di integrle. Considerimo l funzione f(x, t) : A [, b] R definit nel rettngolo A [, b], essendo A un sottoinsieme perto di R e [, b] un intervllo

Dettagli

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale Pietro Bldi Successioni e serie di funzioni Testi di riferimento: W. Rudin, Principi di Anlisi Mtemtic, McGrw-Hill Libri Itli; N. Fusco, P. Mrcellini, C. Sbordone, Anlisi Mtemtic Due, Liguori Editore;

Dettagli

I Teoremi di Green, della divergenza (o di Gauss) e di Stokes

I Teoremi di Green, della divergenza (o di Gauss) e di Stokes I Teoremi di Green, dell divergenz o di Guss e di Stokes In R Si un sottoinsieme limitto di R semplice rispetto d entrmbi gli ssi crtesini con costituit dll unione di un numero finito di sostegni di curve

Dettagli

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica 1

Appunti di Analisi Matematica 1 Appunti di Anlisi Mtemtic 1 MASTER IN ECONOMIA DIGITALE & e-business Centro per lo studio dei sistemi complessi Università di Sien Mrzo 2005 Prof. Polo Nistri Un funzione (o ppliczione) tr due insiemi

Dettagli

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco.

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco. Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Esercizi svolti Limiti Prof. Chirizzi rco www.elettrone.ltervist.org 1) Verificre che risult: = Dobbimo provre che per ogni ε positivo, rbitrrimente piccolo,

Dettagli

Funzioni a variazione limitata

Funzioni a variazione limitata Cpitolo 1 Funzioni vrizione limitt 1.1 Il problem delle primitive di funzioni L 1 Il problem dell ricerc delle primitive di un ssegnt funzione f : I R con I = [, b] intervllo limitto, cioè le soluzioni

Dettagli

Appunti di Analisi matematica 1. Paolo Acquistapace

Appunti di Analisi matematica 1. Paolo Acquistapace Appunti di Anlisi mtemtic Polo Acquistpce 23 febbrio 205 Indice Numeri 4. Alfbeto greco................................. 4.2 Insiemi..................................... 4.3 Funzioni....................................

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE

APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE Dt un ppliczione f: V W con V e W spzi vettorili si dice che f è un ppliczione linere o omomorfismo f(v + v 2 ) = f(v ) + f(v 2 ) v, v 2 V f(αv) = α f(v) v V e

Dettagli

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI Considerimo un funzione f : I R, dove I è un intervllo di R. Si c un punto interno I in cui f è discontinu. Diremo che c è un punto di discontinuità di prim

Dettagli

Equivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali

Equivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali Equivlenz tr equzioni di Lgrnge e problemi AM Cherubini 20 Aprile 2007 1 / 21 Problemi Mostrimo or come si possono ricvre sistemi di equzioni con struttur lgrngin in un mbito diverso: prim si er crtterizzt

Dettagli

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1 Serie di Potenze Introducimo il concetto di convergenz puntule ed uniforme per successioni di funzioni. Definizione 1 Si I un intervllo di R. Si dt l vrire di n N l funzione f n : I R. Dicimo che l successione

Dettagli

" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6

 Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6 CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione

Dettagli

Scuola di Dottorato in Scienze e Tecnologie dell Informazione e della Comunicazione.

Scuola di Dottorato in Scienze e Tecnologie dell Informazione e della Comunicazione. T. ZOLZZI. Appunti del corso di Introduzione ll Anlisi Funzionle Scuol di Dottorto in Scienze e Tecnologie dell Informzione e dell Comuniczione. NOTA. L utore desider ringrzire le studentesse di dottorto,

Dettagli

Formule di Gauss Green

Formule di Gauss Green Formule di Guss Green In queste lezioni voglimo studire il legme esistente tr integrli in domini bidimensionli ed integrli urvilinei sull frontier di questi. In seguito i ouperemo del problem nlogo nello

Dettagli

Successioni di funzioni

Successioni di funzioni Successioni di funzioni 3.1 Introduzione Considerimo l successione (x n ) n0,icuiterminisono 1, x,x 2,x 3,..., x n,... Si trtt dell progressione geometric di termine inizile 1 e rgione x, che bbimo già

Dettagli

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A. 88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3

Dettagli

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA ANNAMARIA MONTANARI Indice. Integrle di Riemnn.. Proprietà elementri dell integrle di Riemnn 5.2. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Primitive 6.3. Integrle generlizzto

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale .. 2011/12 Lure triennle in Informtic Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle Avvertenz Questi sono ppunti informli delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Prte del mterile

Dettagli

Esercizi sulle serie di Fourier

Esercizi sulle serie di Fourier Esercizi sulle serie di Fourier Corso di Fisic Mtemtic,.. 3- Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno Novembre 3 Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) In questi esercizi, si richiede di sviluppre

Dettagli

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13)

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) DISPENSA N. 9 Sommrio. Crtterizzimo l equivlenz elementre in termini di sistemi di isomorfismi przili e di giochi di Ehrenfeucht-Frïssé. 1. Giochi di Ehrenfeucht-Frïssé

Dettagli

FUNZIONI IPERBOLICHE

FUNZIONI IPERBOLICHE FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,

Dettagli

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14)

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14) . Funzioni iniettive, suriettive e iiettive (Ref p.4) Dll definizione di funzione si ricv che, not un funzione y f( ), comunque preso un vlore di pprtenente l dominio di f( ) esiste un solo vlore di y

Dettagli

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione LEZIONE 20 20.1. Prodotti sclri. Definizione 20.1.1. Si V uno spzio vettorile su R. Un prodotto sclre su V è un ppliczione tle che:, : V V R (v 1, v 2 ) v 1, v 2 (PS1) per ogni v 1, v 2 V si h v 1, v 2

Dettagli

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata Anlisi Mtemtic 2 1 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 1 INTEGRALI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE 1 Il problem del clcolo dell re di un regione pin limitt Se si consider un

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro

Dettagli

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei.

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei. 8. Prodotto sclre, Spzi Euclidei. Ricordimo l definizione di prodotto sclre di due vettori del pino VO 2 (vle in modo del tutto nlogo nche in VO 3 ). Definizione: Sino v, w VO 2 e si θ l ngolo convesso

Dettagli

1 Funzioni continue: definizioni e prime proprietà. 2 Continuità delle funzioni elementari 2

1 Funzioni continue: definizioni e prime proprietà. 2 Continuità delle funzioni elementari 2 FUNZIONI CONTINUE FUNZIONI CONTINUE: DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ Funzioni continue Indice Funzioni continue: definizioni e prime proprietà 2 Continuità delle funzioni elementri 2 3 Funzioni continue

Dettagli

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI nno - PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ di dimetro OA =, l rett t tngente γ

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2005 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2005 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 005 Sessione suppletiv Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Sono dti un pirmide

Dettagli

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi SUGLI INSIEMI 1.Insiemi e operzioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di clsse, totlità. Si A un insieme di elementi qulunque. Per indicre che è un elemento di A scriveremo A.

Dettagli

Lezione 7: Rette e piani nello spazio

Lezione 7: Rette e piani nello spazio Lezione 7: Rette e pini nello spzio In quest lezione i metteremo in un riferimento rtesino ortonormle dello spzio. I primi oggetti geometrii he individuimo sono le rette e i pini. Per qunto rigurd le rette

Dettagli

La dimostrazione per assurdo

La dimostrazione per assurdo L dimostrzione per ssurdo L dimostrzione per ssurdo in mtemtic è uno strumento utile per dimostrre certi teoremi. Ess procede secondo i seguenti pssi: 1. Si suppone che il teorem si flso. Si f vedere,

Dettagli

Erasmo Modica. : K K K

Erasmo Modica.  : K K K L insieme dei numeri reli L INSIEME DEI NUMERI REALI Ersmo Modic helthinsurnce@tin.it www.glois.it Per introdurre l insieme dei numeri reli si hnno disposizione diversi modi. Generlmente l iennio si preferisce

Dettagli

1 Integrali impropri di funzioni continue

1 Integrali impropri di funzioni continue ntegrli impropri di funzioni continue. ntegrli impropri su intervlli semiperti Definizione Dt un funzione continu f : [, b) R, con b +, si dice che f è integrbile se esiste finito il t b f(x) dx ed in

Dettagli

Problemi di massimo e minimo in Geometria Solida Problemi su poliedri. Indice dei problemi risolti

Problemi di massimo e minimo in Geometria Solida Problemi su poliedri. Indice dei problemi risolti Problemi di mssimo e minimo in Geometri olid Problemi su poliedri Indice dei problemi risolti In generle, un problem si riferisce un figur con crtteristice specifice (p.es., il numero dei lti dell bse)

Dettagli

F (r(t)), d dt r(t) dt

F (r(t)), d dt r(t) dt Cmpi vettorili Un cmpo vettorile è un funzione vlori vettorili F : A R, con A R n, ove in questo cso l imensione el ominio e el coominio è l stess. F ( 1, 2,..., n ) (f 1 ( 1, 2,..., n ), f 2 ( 1, 2,...,

Dettagli

Salvatore Loris Pelella. Corso di. Matematica RCS LIBRI EDUCATION SPA

Salvatore Loris Pelella. Corso di. Matematica RCS LIBRI EDUCATION SPA Slvtore Loris Pelell Corso di Mtemtic RCS LIBRI EDUCATION SPA ISBN 88-45-084-3 004 RCS Libri S.p.A.- Milno Prim edizione: gennio 004 Ristmpe 004 005 006 3 4 5 Stmp: V. Bon, Torino Coordinmento editorile

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico

Dettagli

Esempio Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3 differenti:

Esempio Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3 differenti: Minori di un mtrice Si A K m,n, si definisce minore di ordine p con p N, p

Dettagli

POTENZA CON ESPONENTE REALE

POTENZA CON ESPONENTE REALE PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,

Dettagli

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche 1 Le ffinità omologiche 2 Tringoli omologici: Due tringoli si dicono omologici se le rette congiungenti i punti omologhi dei due tringoli si incontrno in un medesimo punto. Principio dei tringoli omologici

Dettagli

Capitolo 7. Integrali doppi. 7.1 Motivazioni

Capitolo 7. Integrali doppi. 7.1 Motivazioni Cpitolo 7 Integrli doppi In questo cpitolo studieremo gli integrli per funzioni di più vribili: più precismente ci occuperemo degli integrli di funzioni di due vribili (dunque integrli doppi), m piccole

Dettagli

Lezione 16 Derivate ed Integrali

Lezione 16 Derivate ed Integrali Lezione 16 Derivte ed Integrli Frnk Sullivn 1 Dicembre 11 1 Prim Or Compiti di letture ed esercizi per 3 Dicembre Durnte l lezione di oggi pplicheremo le regole per differenzire funzioni l clcolo di integrli.

Dettagli

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: ppunti di nlisi mtemtic: Integrle efinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle efinito lcolo delle ree di fig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:

Dettagli

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito Appunti di nlisi mtemtic: Integrle Deinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle Deinito Clcolo delle ree di ig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez.

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez. Fcoltà di Economi - Università di Sssri Anno Accdemico 2004-2005 Dispense Corso di Econometri Docente: Lucino Gutierrez Algebr Linere Progrmm: 1.1 Definizione di mtrice e vettore 1.2 Addizione e sottrzione

Dettagli

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio. Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()

Dettagli

ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI

ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI 1. Richimi di teori Con Z indichimo l insieme dei numeri reltivi. Comincimo con il ricordre l definizione di quoziente e resto dell divisione di due numeri in Z. Definizione

Dettagli

1 Definizione di integrale di Riemann 1. 2 Condizioni di esistenza dell integrale di Riemann 3. 3 Proprietà dell integrale di Riemann 4

1 Definizione di integrale di Riemann 1. 2 Condizioni di esistenza dell integrale di Riemann 3. 3 Proprietà dell integrale di Riemann 4 DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN Integrle di Riemnn Indice Definizione di integrle di Riemnn Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn 3 3 Proprietà dell integrle di Riemnn 4 4 Clcolo dell integrle

Dettagli

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI E LOGARITMI 1 se 0, per ogni R ; Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >0: Sono definite: se >0: Non sono definite: Csi prticolri: Le proprietà delle

Dettagli

Dispense di MATEMATICA PER L INGEGNERIA 4

Dispense di MATEMATICA PER L INGEGNERIA 4 ispense di MATEMATICA PER L INGEGNERIA 4 Qurto trimestre del o nno del Corso di Lure in Ingegneri Elettronic ocente: Murizio Romeo Mggio 25 ii Indice Integrzione delle funzioni di più vribili. Insiemi

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite:

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Dispense di Mtemtic clsse quint -Gli integrli Quest oper è distriuit con: Licenz Cretive Commons Attriuzione - Non commercile - Non opere derivte. Itli Ing. Alessndro Pochì Appunti di lezione svolti ll

Dettagli

Topologia Algebrica e Analisi Complessa

Topologia Algebrica e Analisi Complessa Ginluc Occhett Note di Topologi Algeric e Anlisi Compless Diprtimento di Mtemtic Università di Trento Vi Sommrive 14 38050 - ovo (TN) Not per l lettur Queste note rccolgono gli rgomenti (lcuni vriili

Dettagli

I. COS E UNA SUCCESSIONE

I. COS E UNA SUCCESSIONE 5 - LE SUCCESSIONI I. COS E UNA SUCCESSIONE L sequez 0 = = 0 3 = 3 = 4 =... 3 5 = +... costituisce u esempio di SUCCESSIONE. 90 Ecco u ltro esempio di successioe: 3 4 = 3 = 3 3 = 3 4 = 3... = 3... U successioe

Dettagli

1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati

1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati Lezioni per il corso di Anlisi 2, AA 07-08. Dott.ss Sndr Lucente Argomento: Integrli generlizzti 1 1 Integrli generlizzti su intervlli ilitti Definizione 1.1. Si f : [,[ R un funzione continu. Se esiste

Dettagli

, dove s n è la somma parziale n-esima definita da. lim s n = lim s n = + (= ). a n = a 1 + a 2 +...

, dove s n è la somma parziale n-esima definita da. lim s n = lim s n = + (= ). a n = a 1 + a 2 +... . serie umeriche Def. (serie). Dt u successioe ( ) (co R per ogi ), si chim serie di termie geerle l successioe (s ), dove s è l somm przile -esim defiit d () s = + 2 +... + = k. L serie coverge (semplicemete)

Dettagli

Integrale di Riemann su R n

Integrale di Riemann su R n CAPITOLO 5 Integrle di iemnn su n 1. Funzioni integrbili secondo iemnn In questo cpitolo dremo l definizione di funzione integrbile secondo iemnn su n. Come già ftto nel cso delle funzioni integrbili su,

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1 INTEGRALI IMPROPRI c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf Abbimo visto che l integrle di Riemnn è definito per funzioni limitte e su intervlli limitti. Si or I R un intervllo

Dettagli

a con base a maggiore di 1 Dominio Codominio Crescenza/decrescenza Funz Crescente in Concavità/convessità Strettamente convessa in

a con base a maggiore di 1 Dominio Codominio Crescenza/decrescenza Funz Crescente in Concavità/convessità Strettamente convessa in Funzione esponenzile Dto un numero rele >0, l funzione si chim funzione esponenzile di bse e f prte dell fmigli delle funzioni elementri. Il suo ndmento (crescenz o decrescenz) è strettmente legto l vlore

Dettagli

Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione

Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione Stbilità dei sistemi di controllo in retrozione Criterio di Nyquist Il criterio di Nyquist Estensione G (s) con gudgno vribile Appliczione sistemi con retrozione positiv 2 Criterio di Nyquist Stbilità

Dettagli

Calcolo Integrale. F (x) = f(x)?

Calcolo Integrale. F (x) = f(x)? 3 Clcolo Integrle Nello studio del clcolo differenzile si è visto come si può ssocire d un funzione l su derivt. Il clcolo integrle si occup del problem inverso: dt un funzione f è possibile determinre

Dettagli

INTEGRAZIONE NUMERICA

INTEGRAZIONE NUMERICA INTEGRAZIONE NUMERICA Frncesc Pelosi Diprtimento di Mtemtic, Università di Rom Tor Vergt CALCOLO NUMERICO.. 008 009 http://www.mt.unirom.it/ pelosi/ INTEGRAZIONE NUMERICA p.1/0 INTEGRAZIONE NUMERICA Dt

Dettagli

INTERVALLI NELL INSIEME R

INTERVALLI NELL INSIEME R INTEVALLI NELL INSIEME Lo studio dell topologi (1) (dl greco "nlysis situs" ossi "studio del luogo") dell'insieme è di fondmentle importnz per gli rgomenti e i prolemi di nlisi infinitesimle. Il "luogo"

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio di dimetro OA,

Dettagli

COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA. 1. La funzione matematica e la sua utilità in economia

COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA. 1. La funzione matematica e la sua utilità in economia COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA di Giuli Cnzin e Dominique Cppelletti Come potrete notre inoltrndovi nel corso di Introduzione ll economi, l interpretzione dell teori economic non presuppone conoscenze

Dettagli

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica Università ditorino QUADERNI DIDATTICI del Diprtimento di Mtemtic G. Zmpieri Anlisi Vettorile.. 21/22 Quderno # 1 - Novembre 21........... Getno Zmpieri - Anlisi Vettorile 1 PREFAZIONE Questo quderno

Dettagli

( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S

( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le prbole di equzione:, dove è un numero rele positivo.

Dettagli

Integrali curvilinei e integrali doppi

Integrali curvilinei e integrali doppi Integrli curvilinei e integrli doppi Integrli curvilinei di prim specie Prim di inizire l trttzione di questo rgomento dimo l definizione di curv. Per curv nello 3 3 spzio R intendimo un sottoinsieme di

Dettagli

Teorema della Divergenza (di Gauss)

Teorema della Divergenza (di Gauss) eorem dell ivergenz (di Guss) i un dominio tridimensionle regolre, l cui frontier è un superficie chius orientt con cmpo normle unitrionˆ uscente d. e F(,,z) F (,,z) i F (,,z) j F (,,z) k è un cmpo vettorile

Dettagli

Problemi di Sturm-Liouville

Problemi di Sturm-Liouville Problemi di Sturm-Liouville Alberto Tibldi 11 dicembre 2012 1 Introduzione e definizioni generli Nell mbito di problemi fisici/ingegneristici, spesso si h che fre con equzioni lle derivte przili (PDE:

Dettagli

ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI

ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI cur di Michele Scgli RICHIAMI TEORICI INTEGRALI IMPROPRI NOTEVOLI L integrle CONVERGE dx, < DIVERGE per

Dettagli

VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Soluzioni di quesiti e prolemi trtti dl Corso Bse Blu di Mtemti volume 5 [] (Es. n. 8 pg. 9 V) Dell prol f ( ) si hnno le seguenti informzioni, tutte

Dettagli

Teoria in sintesi ESPONENZIALI. Potenze con esponente reale. La potenza. Sono definite: Non sono definite: Casi particolari :

Teoria in sintesi ESPONENZIALI. Potenze con esponente reale. La potenza. Sono definite: Non sono definite: Casi particolari : Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >, per ogni R se, per tutti e soli gli R se

Dettagli

Esercizi su spazi ed operatori lineari

Esercizi su spazi ed operatori lineari Esercizi su spzi ed opertori lineri Corso di Fisic Mtemtic 2,.. 2013-2014 Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno 23 Ottobre 2013 1 Spzio L 2 Esercizio 1. Per = 0, b = 1, dire quli delle seguenti funzioni

Dettagli

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle

Dettagli

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così: Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo

Dettagli

8 Equazioni parametriche di II grado

8 Equazioni parametriche di II grado Equzioni prmetrihe di II grdo Un equzione he oltre ll inognit (o lle inognite) ontiene ltre lettere (un o più) si die letterri o prmetri e le lettere sono himte, nhe, prmetri; si suppong he l equzione

Dettagli

La parabola. Fuoco. Direttrice y

La parabola. Fuoco. Direttrice y L prol Definizione: si definise prol il luogo geometrio dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto fuoo e d un rett fiss dett direttrie. Un rppresentzione grfi inditiv dell prol nel pino rtesino

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. DEFINIZIONE DI APPLICAZIONE LINEARE. Sio V e W due spzi vettorili su u medesimo cmpo K. Si :V W u ppliczioe di V i W. Si dice che l è u ppliczioe liere di V i W se soo veriicte

Dettagli

ESERCIZI ESERCIZI. Test di autoverifica... 206 Prova strutturata conclusiva... 208 ESERCIZI

ESERCIZI ESERCIZI. Test di autoverifica... 206 Prova strutturata conclusiva... 208 ESERCIZI Indice cpitolo Insiemi ed elementi di logic... 7 8 Insiemi... Operzioni con gli insiemi... 8 Introduzione ll logic... 9 Connettivi e tvole di verità... Espressioni proposizionli... 0 Predicti e quntifictori...

Dettagli

Introduzione all algebra

Introduzione all algebra Introduzione ll lgebr E. Modic ersmo@glois.it Liceo Scientifico Sttle S. Cnnizzro Corso P.O.N. Modelli mtemtici e reltà A.S. 2010/2011 Premess Codificre e Decodificre Nell vit quotidin ci cpit spesso di

Dettagli

Il calcolo integrale: intro

Il calcolo integrale: intro Il clcolo integrle: intro Le ppliczioni del clcolo integrle sono svrite: esistono, inftti, molti cmpi, dll fisic ll ingegneri, dll iologi ll economi, in cui si f lrgo uso degli integrli. Per fornire l

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI Esponenzili e logritmi ESPONENZIALI E LOGARITMI Potenze Fino d or si sono definite le potenze d esponenete intero e rzionle (si positivi che negtivi). Ripssimo le definizioni e i concetti che li rigurdno:

Dettagli

MATEMATICA Classe Prima

MATEMATICA Classe Prima Liceo Clssico di Treiscce Esercizi per le vcnze estive 0 MATEMATICA Clsse Prim Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Per gli llievi promossi

Dettagli

13. Metodi Hilbertiani per la soluzione di problemi ai limiti

13. Metodi Hilbertiani per la soluzione di problemi ai limiti 13. Metodi Hilbertini per l soluzione di problemi i limiti Nell Sezione precedente bbimo sviluppto, nche se in form estremmente concis, lcuni spetti dell teori degli opertori lineri fr spzi normti, soffermndoci

Dettagli