LA RETTA. Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali

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1 Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali LA RETTA Abbiamo visto che l'equazione generica di una retta è del tipo Y = mx + q, dove m ne rappresenta la pendenza e q il punto in cui la retta incrocia l'asse Y. Alcune rette hanno caratteristiche particolari che, come altre informazioni, è possibile riscontrare sull'equazione stessa della retta. Retta per l'origine Una retta si dice passante per l'origine se il suo tracciato grafico passa per il punto di coordinate (0;0). E' abbastanza evidente che, in tal caso, l'origine risulta essere anche il punto in cui la retta incrocia l'asse Y. Ciò ci porta a dedurre che l'equazione di una retta che passa per l'origine deve avere il valore di q=0. La sua equazione generica diventa perciò Y = mx + 0 ossia Y = mx Possiamo quindi concludere che ogni equazione che manca del termine noto (q) è associata ad una retta il cui tracciato grafico passa certamente per l'origine indipendentemente dal valore di m. Retta orizzontale Una retta è orizzontale se il suo tracciato grafico è parallelo all'asse X. Se prendiamo in considerazione rette ascendenti con valori di m sempre più piccoli (ma sempre positivi) possiamo verificare che la pendenza di queste rette tende a diminuire fino ad arrivare alla retta orizzontale che, avendo pendenza nulla, dovrà avere un coefficiente angolare nullo. Ciò ci porta a dedurre che l'equazione di una retta orizzontale deve avere il valore di m=0. La sua equazione generica diventa perciò Y = 0X + q ossia Y = q Possiamo quindi concludere che ogni equazione che manca del termine in X è associata ad una retta il cui tracciato grafico è certamente orizzontale indipendentemente dal valore di q che, in ogni caso, rappresenta sempre il punto in cui la retta incrocia l'asse Y.

2 Osservazione 1 Per rappresentare una retta orizzontale non è necessario ricercare punti del piano cartesiano. E', infatti, sufficiente individuare il punto dell'asse Y (definibile in base al valore di q) per cui la retta passa. Osservazione 2 L'asse X è una particolare retta orizzontale che incrocia l'asse Y nell'origine, per cui la sua equazione sarà Y = 0. Osservazione 3 L'equazione di una retta orizzontale descrive in modo evidente quella che è una caratteristica dei punti che la formano. L'equazione Y = 3, ad esempio, evidenzia che tutti i punti della retta hanno ordinata pari a 3. In effetti è sufficiente disegnare la retta per rendersi conto di tale caratteristica. Retta verticale Una retta è verticale se il suo tracciato grafico è parallelo all'asse Y. Se prendiamo in considerazione rette ascendenti con valori di m sempre più grandi e positivi possiamo verificare che la pendenza di queste rette tende ad aumentare fino ad arrivare alla retta verticale. In tal caso, però, non è possibile definire per mezzo di un valore del coefficiente m la pendenza della retta verticale e quindi, per definirne l'equazione è necessario percorrere una strada diversa. In base all'osservazione 3 e disegnando una retta verticale possiamo osservare che tutti i punti della retta hanno stessa ascissa. Per analogia, quindi, possiamo dire che l'equazione di una retta orizzontale sarà del tipo X = k, dove k è il valore dell'ascissa di tutti i punti appartenenti alla retta. Osservazione 1 Per rappresentare una retta verticale non è necessario ricercare punti del piano cartesiano. E', infatti, sufficiente individuare il punto dell'asse X (definibile in base al valore di k) per cui la retta passa. Osservazione 2 L'asse Y è una particolare retta verticale che incrocia l'asse X nell'origine, per cui la sua equazione sarà X = 0.

3 Riepilogando Y = mx + q Y = mx Y = q Y = 0 X = k X = 0 Equazione generica di una retta Equazione generica di una retta passante per l'origine Equazione generica di una retta orizzontale Equazione dell'asse X Equazione generica di una retta verticale Equazione dell'asse Y Posizione di due rette nel piano cartesiano Se rappresentiamo due rette sul piano cartesiano si possono verificare tre situazioni differenti. Le rette sono INCIDENTI ed hanno un unico punto in comune. Le rette sono PARALLELE e non hanno punti in comune. Le rette sono COINCIDENTI ed hanno infiniti punti in comune Ancora una volta è possibile stabilire in quale dei tre casi ci troviamo semplicemente osservando le equazioni delle rette. Abbiamo infatti visto che sia il coefficiente angolare m che l'ordinata all'origine q hanno un ben preciso significato geometrico. Affinchè due rette siano incidenti è sufficiente che abbiano pendenze diverse, affinchè siano parallele è necessario che abbino la stessa pendenza e che incrocino l'asse Y in punti diversi, mentre affinchè siano coincidenti è necessario che abbiano stessa pendenza e che incrocino nello stesso punto l'asse Y.

4 Possiamo quindi affermare che date due rette generiche di equazione Y = m 1 X + q 1 e Y = m 2 X + q 2 avremo che la loro posizione sul piano cartesiano sarà: INCIDENTI se m 1 m 2 PARALLELE se m 1 = m 2 e q 1 q 2 COINCIDENTI se m 1 = m 2 e q 1 = q 2 Esempio: Come possiamo osservare le rette a e c sono parallele e hanno stesso coefficiente angolare (m = 1) ed intersecano l'asse Y in punti diversi. La retta b ha coefficiente angolare diverso e quindi è incidente sia alla retta a che alla retta c. Determinare le coordinate del punto in comune tra rette incidenti Per rette che sono incidenti è possibile determinare le coordinate del loro unico in comune detto punto di intersezione. Ciò ovviamente non ha senso per rette parallele (visto che non hanno punti di intersezione) e per rette coincidenti (visto che hanno infiniti punti di intersezione). Il metodo richiede di impostare e risolvere il sistema tra le equazioni delle rette. Esempio Date le rette di equazione Y = 3X 1 e Y = -2X + 4, determinare le coordinate del loro punto di intersezione. Possiamo osservare che in base al diverso valore dei coefficienti angolari le rette risultano essere incidenti, per cui avranno un unico punto di intersezione.

5 Impostiamo il sistema tra le equazioni delle rette { Y =3X 1 Y = 2X 4 tale sistema può essere immediatamente risolto utilizzando il metodo del confronto ottenendo 3X 1 = -2X + 4 da cui 5X = 5 e quindi X = 1 Tale valore rappresenta l'ascissa del punto di intersezione tra le due rette. Per trovare la corrispondente ordinata è sufficiente sostituire tale valore in una qualsiasi delle due equazioni. Y = 3*1 1 Y = 2 Il punto A di coordinate (1;2) è quindi l'unico punto di intersezione tra le due rette date. Intersezione di una retta con l'asse X Abbiamo visto che il termine noto di un'equazione (q) rappresenta il punto in cui il tracciato grafico della retta incrocia l'asse delle Y. Se invece vogliamo determinare l'intersezione della retta con l'asse X è necessario procedere come nella ricerca dell'intersezione tra due rette. In effetti l'asse X è una retta che ha una sua equazione ben precisa (Y = 0), e quindi non ci resta che impostare e risolvere il sistema tra le equazioni delle due rette. Esempio Data la retta di equazione Y = 3X + 1, determinare il suo punto di intersezione con l'asse X. Impostiamo e risolviamo il sistema formato dall'equazione della retta data e l'equazione dell'asse X { Y =3X 1 Y =0 3X + 1 = 0 da cui X = 1 3

6 Il punto di coordinate 1 3 ;0 sarà quindi il punto di intersezione tra la retta data e l'asse X.