Il pendolo di torsione

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1 Unverstà degl Stud d Catana Facoltà d Scenze MM.FF.NN. Corso d aurea n FISICA esna d ABORAORIO DI FISICA I Il pendolo d torsone (sezone costante) Moreno Bonaventura Anno Accademco 005/06

2 Introduzone. I corp sottopost a forze subscono delle deformazon. Se al cessare della forza accade che l corpo rprende la forma orgnara, la sostanza d cu è costtuto vene defnta elastca. Un notevole contrbuto nello studo dell elastctà c è stato fornto da Robert Hook, e dalla sua famosa relazone: x kf dove x è la deformazone, F la forza e K una costante dpendente dal tpo d sollectazone, dalla forma geometrca del corpo e dalla sostanza d cu esso è costtuto. In realtà s nota spermentalmente che la legge d Hook non è sempre valda. Anche per le sostanze perfettamente elastche esste un lmte d valdtà della legge detto lmte d elastctà oltre l quale le deformazon permangono o non rspettano la legge d Hook, ed l corpo presenta propretà plastche. Un ulterore scostamento dalla legge s verfca ne fenomen d steres elastca. Quest comportament s possono spegare tenendo conto della struttura mcroscopca de corp. e propretà elastche o plastche, nonché l fenomeno della rottura, sono totalmente determnate dalle nterazon ( repulsone ed attrazone ) tra le molecole e gl atom che costtuscono corp. Uno de pendol d torsone pù famos della stora è la così detta blanca d Cavendsh, utlzzata per msurare la costante d gravtazone unversale. Descrzone dell espermento. Il pendolo d torsone è costtuto da un flo del materale d cu voglamo studare le propretà elastche, a cu è fssato un dsco o, come nel nostro caso, un clndro sospeso per l suo centro. Ruotando l clndro d un angolo θ ntorno all asse vertcale, l flo s torce sotto l azone d un momento M. Corrspondentemente l flo reagsce con un momento elastco M. Rlascando l corpo, esso nza ad oscllare con rotazon sul pano orzzontale sotto l azone del momento elastco -M. Sono stat sottopost allo studo pendol d torsone con lunghezza del flo varable, ma dello stesso materale e con sezone costante.

3 Presuppost eorc. Per rotazon tal da non superare l lmte d deformazone, l momento torcente M rsulta proporzonale allo spostamento angolare θ, coè: M cθ (1) Questa è la legge d Hook n forma rotazonale, e c vene chamata costante d torsone del flo. Per un flo d sezone r e lunghezza s vede spermentalmente che: θ 1 K M r () Dalla (1) e () abbamo che: c K r Coè la costante c (dpendente dalla forma e dalle propretà del corpo n esame) può essere espressa n funzone d un altra costante K, detta modulo d torsone e dpendente solo dalla sostanza d cu è costtuto l flo. Applcando l teorema del momento della quanttà d moto al clndro sospeso che ruota sotto l azone del momento M abbamo che: J d dt θ M Dove J è l momento d nerza del clndro. Introducendo n questa equazone l valore d M rcavato dalla () abbamo: d θ dt Kr J θ S tratta d una equazone dfferenzale del secondo ordne del tpo && x ω x con ω c J e dove x è funzone del tempo. Questo tpo d equazon sono caratterstche del moto armonco, e ω rappresenta la pulsazone del moto. 3

4 Indcando con l perodo, s ha che: J c π J r π K (3) Nella presa dat è stato msurato l tempo d 10 oscllazon coè: t 10 Introducendo l valore d nella (3) e sosttuendo r d/ abbamo: K 600 π J d t (3 ) che utlzzeremo per l calcolo d K. Rcordamo noltre che, per l clndro da no utlzzato, l momento d nerza è dato da: J l m 1 + D 16 dove l è la lunghezza del clndro, D l suo dametro e m la massa. Obettv dell espermento. esperenza ha lo scopo d calcolare l valore del modulo d torsone K de fl utlzzat (che dovrebbe essere lo stessa per tutt e quattro) e d verfcare la relazone lneare tra l quadrato del perodo d oscllazone t e la lunghezza del flo. Apparato spermentale. Il nostro apparato spermentale è costtuto da un supporto d metallo su cu sono fssat con de morsett pendol d torsone. Sul lato destro della struttura d sostegno, è stato aggunto uno spessore d nastro solante per rprstnare l orentamento orzzontale dell asse a cu sono appes pendol. A causa del cattvo poszonamento del sostegno orzzontale, fl subscono una torsone per prm cm crca dal morsetto. Questo elemento non è scuramente trascurable, anz ntroduce un errore sstematco d cu dovremo tener conto durante l anals de rsultat.

5 Caratterstche degl strument utlzzat. Per msurare la lunghezza del flo è stato utlzzato un metro estensble con sensbltà d msura d 1 mm, per cu le msure d lunghezza saranno affette da un errore massmo a pror d tale enttà. Per temp s è fatto uso d un cronometro automatco dgtale, collegato ad un contatore d oscllazon, con sensbltà d lettura e d msura d 0,01 s. Il dametro de fl è stato msurato con l palmer ( sensbltà d msura 0,01 mm ), mentre quello de clndr con l calbro ( sensbltà d msura 0,005 cm). E stato anche necessaro l uso d una lvella. Organzzazone dell espermento. Dopo aver rprstnato l sostegno destro ed aver controllato con la lvella la corretta poszone dell asse orzzontale, è stata eseguta la msurazone della lunghezza del prmo flo. ale dstanza è stata presa dalle estremtà de morsett, poché è solo n questa zona che avvene la torsone. Successvamente s è passato alla msurazone del dametro del flo, de clndr, e de temp d 10 oscllazon. S è rpetuto l procedmento anche per gl altr fl. S è scelto d ruotare clndr d angol d crca 90 per essere scur d non oltrepassare l lmte d deformazone elastca de fl stess, e per evtare error del contatore d oscllazone dovut ad ulteror passagg del clndro davant alla fotocellula. Inoltre, sebbene l perodo sa ndpendente dall ampezza delle oscllazon, è stato usato sempre lo stesso angolo per cercare d rendere equvalente l fenomeno osservato. Durante l esecuzone dell espermento s è prestata attenzone al fatto che l nastro solante non scvolasse gù lungo la sbarra d sostegno. Dat raccolt. unghezza clndr 19,9 cm + 0,1 cm Dametro clndr,00 cm + 0,005 cm Massa clndr 0,55 kg Valore ndcato sul clndro Dametro fl 0,69 mm + 0,01 mm 5

6 emp d 10 oscllazon (rgorosamente n ordne temporale): Flo 1 31, cm Flo 38,0 cm Flo 3 5,5 cm Flo 67,8 cm perodo (s) perodo (s) perodo (s) perodo (s) 37,66 1,68 8,98 55,0 37,69 1,71 8,99 55,5 37,76 1,71 8,97 55,6 37,78 1,67 9,00 55,58 37,8 1,71 9,01 55,63 37,81 1,75 8,83 55,58 37,88 1,69 9,01 55,8 37,83 1,70 9,05 55,51 37,88 1,75 9,0 55,5 37,88 1,7 9,05 55,8 37,88 1,73 9,0 55,1 37,90 1,75 9,0 55,59 37,9 1,7 9,05 55,8 37,9 1,7 9,05 55,51 37,98 1,73 9,03 55,3 37,98 1,78 9,07 55,6 37,97 1,76 9,03 55,7 37,98 1,77 9,06 55,6 37,96 1,75 9,0 55,37 38,00 1,77 9,05 55,56 temp 38,1 38,0 37,9 37,8 37,7 37,6 37,5 37, Flo #1 numero d msura y 0,0159x + 37,709 Guardando l grafco temporale del prmo flo (così come per gl altr tre) è evdente un aumento del perodo d oscllazone con l sussegurs delle msurazon. Inoltre dal grafco 3 (ved allegato) s può potzzare una rduzone d tale fenomeno con l'aumentare della lunghezza del flo. 6

7 Questo fenomeno è naspettato e merta la nostra attenzone. Innanztutto ndvduamo le possbl cause: - Malfunzonamento del cronometro. - a rotazone del clndro non è sempre la stessa. - Alterazone dell ambente esterno. - Alterazone dell apparato spermentale. Il motvo che personalmente consdero pù probable è propro quest ultmo. aumento del perodo d rotazone potrebbe essere dovuta ad un cedmento de morsett, o pù probablmente ad un cedmento del flo stesso, provocato dalla sua non perfetta elastctà. e rpetute torson, col passare del tempo, possono aver ammorbdto l materale rducendo l suo modulo d torsone. Inoltre, trattandos d un metodo d msurazone dnamco, l flo è anche soggetto ad un aumento d temperatura, non stmato, ma che rtenamo comunque trascurable. Vedamo gl effett d questo fenomeno sull anals de dat raccolt. Anals de dat. Calcolamo la meda e la devazone standard del perodo d oscllazone per ogn gruppo d msure. Meda Flo 1 37,8 s Flo 1,73 s Flo 3 9,0 s Flo 55, s Devazone standard 0,1 s 0,03 s 0,05 s 0,1 s Applcando l crtero d Chovenet possamo elmnare l 8,83 preso sul terzo flo, nonché l 55,0 e l 55,6 pres sul quarto flo. 7

8 Rcalcolamo qund la meda e la devazone standard, ed effettuamo un ulterore controllo con l crtero d Chovenet. In defntva otterremo seguent valor: Meda Flo 1 37,8 s Flo 1,73 s Flo 3 9,03 s Flo 55,50 s Devazone standard 0,1 s 0,03 s 0,03 s 0,08 s Gl stogramm allegat, relatv a set d msure, mostrano che la dstrbuzone non può essere sempre rcondotta a quella gaussana. Una somglanza con la dstrbuzone normale è rscontrable nell ultmo set d msure. Dal quarto al prmo campone la dstrbuzone tende nvece a dventare pù unforme e cò può dpendere dall aumento del perodo d rotazone, che appunto tende a rdurs dal prmo al quarto campone. Dlatazone de temp d rotazone e conseguente dstrbuzone non gaussana, sono due fattor che non c permettono d svolgere una corretta anals statstca de dat e che lmtano la valdtà de rsultat. Contnuamo comunque lo studo de dat verfcando la relazone lneare tra e e passando po al calcolo del modulo d torsone. Nelle concluson terremo presente due mportant fattor sopra ctat, ed eventualmente valuteremo come ess abbano nfluenzato l espermento. Rappresentazone grafca delle grandezze e coeffcente d Bravas-Pearson Rappresentazone de dat ,5 (empo) (s) ,8 171,39 03, unghezze (cm) 8

9 Il grafco mostra un approssmatvo allneamento de punt e possamo qund potzzare una relazone lneare tra le lunghezze de fl ed quadrat de temp d oscllazone. Verfchamo la lneartà calcolando l coeffcente d Bravas-Pearson. ( m ) ( m ) 1 r m 0,999. ( m ) ( m ) 1 1 Dove m e m sono rspettvamente valor med delle lunghezze e de quadrat de perod. Il valore d r, nonostante l esguo numero d punt, è ndce d una buona correlazone tra le grandezze prese n esame. Stma del modulo d torsone. Abbamo precedentemente osservato che: K 600π J d t (3 ) coè una relazone lneare del tpo: uttava l calcolo d a, e qund del relatvo modulo d torsone k, non può essere eseguto con l metodo del best-ft. potes d tale metodo è nfatt che gl error relatv delle grandezze n ascssa sano molto mnor Δ degl stess rfert alla corrspondente grandezza n ordnata, ovvero: a seguente tabella mostra che tale potes non è soddsfatta. a flo Δ << Δ 100 Δ 100 Flo 1 Flo Flo 3 Flo 0,3 0,6 0,19 0,1 0,5 0,1 0,1 0,8 Δ < Δ Δ > Δ Δ > Δ Δ < Δ 9

10 Non potendo utlzzare l metodo del best-ft, calcoleremo k drettamente dalla formula (3 ): 600π J K (3 ) d t e otterremo la sensbltà d msura del modulo d torsone dfferenzando logartmcamente la (3 ). Avremo qund che: ΔK K Δ ΔJ + J Δr + r Δt ΔJ + dove t J Δm m Δl + l ΔD + D Con gl opportun calcol rsulta: K flo 1 1,10*10 11 [ N m - ] K flo 1,10*10 11 [ N m - ] K flo 3 1,10*10 11 [ N m - ] K flo 1,11*10 11 [ N m - ] errore % su K 1 8,7 % errore % su K 8,30 % errore % su K 3 8,0 % errore % su K 8,33 % Osservamo, con l auto del seguente grafco, che le quattro costant rsultano ugual entro gl error spermental. modulo d torsone 1,5E+11 1,0E+11 1,15E+11 K 1,10E+11 1,05E+11 1,00E+11 9,50E Flo 10

11 Confronto con la teora e consderazon fnal. Il valore noto d K per l accao ( crca 1,*10 11 ) non è n accordo con quell calcolat con la (3 ). Questo può dpendere da molteplc fattor. Innanztutto, pur trattandos sempre d accao, esstono dverse leghe o metod d lavorazone che modfcano le propretà del materale. accao da no studato potrebbe essere dverso da quello utlzzato per l calcolo del 1,* usura, le vstose deformazon del flo e la torsone causata dal cattvo poszonamento dell asse orzzontale, sono ulteror fattor che ntervengono nell espermento ma che non sono valutat nello studo teorco del fenomeno. Nota postva è l accordo mostrato tra le costant de var fl. A lmtare la valdtà d tale rsultato v è però la mancata dstrbuzone gaussana de temp d oscllazone. In tal condzon, nfatt, la meda e la devazone standard perdono l loro sgnfcato statstcofsco e restano semplcemente una sere d calcol matematc. Per l futuro è qund essenzale concentrare l attenzone verso lo studo della dlatazone de temp d rotazone. A questo proposto potrebbe rsultare utle raccoglere un numero maggore d temp sul sngolo flo, o varare l angolo d torsone. Un semplce, nonché economco, mgloramento da apportare all apparato spermentale potrebbe essere l rprstno del corretto poszonamento dell asse orzzontale. Bonaventura Moreno matrcola: 665/ Emal: moreno.bonaventura@katamal.com Bblografa. A.Fot, C.Ganno Element d anals de dat spermental. R. Rcamo Guda alle espermentazon d Fsca I. 11

12 7 Istogramma Frequenza ,66 37,7 37,78 37,8 Classe 37,90 37,96 38,0 Istogramma 6 5 Frequenza ,67 1,69 1,71 1,73 1,75 1,77 1,79 Classe 1

13 Istogramma 3 Frequenza ,97 8,99 9,00 9,0 Classe 9,03 9,05 9,06 Frequenza Istogramma 55,3 55,38 55,3 55,7 55,51 55,56 55,60 55,6 Classe temp 1,80 1,78 1,76 1,7 1,7 1,70 1,68 1,66 1,6 1,6 1,60 Flo andamento temporale y 0,001x + 1,686 numero d msura 13

14 9,10 Flo 3 andamento temporale 9,05 temp 9,00 8,95 y 0,0038x + 8,989 8,90 8,85 numero d msura 55,75 Flo andamento temporale 55,65 55,55 temp 55,5 55,35 55,5 y 0,00x + 55,3 55,15 numero d msura m 0,018 0,016 0,01 0,01 0,010 0,008 0,006 0,00 0,00 0,000 Grafco 3: Effetto dlatazone de temp 1 3 numero del flo dove m è coeffcente angolare della lnea d tendenza de grafc temporal. 1