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1 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica ) Lo spostaento nel tepo di una certa particella che si uoe lungo l asse x è ostrato in figura. Troare la elocità edia negli interalli di tepo: a) da a s b) da a 4 s c) da a 5 s d) da a 5 s Troare la elocità istantanea della particella ai seguenti istanti: e) t.5 s f) t s g) t 3 s h) t 4.5 s a) la elocità edia nell interallo di tepo da a s è s 4 4 t t x x t x i f i f b) la elocità edia nell interallo di tepo da a 4 s è s 4 t t x x t x i f i f c) la elocità edia nell interallo di tepo da a 5 s è s 5 4 t t x x t x i f i f d) la elocità edia nell interallo di tepo da a 5 s è s 5 t t x x t x i f i f La elocità istantanea ha coe significato geoetrico quello di pendenza della retta tangente alla cura x(t) nel punto considerato. La cura che rappresenta x(t) è fatta di segenti di retta, quindi in ogni punto di questi segenti di retta, la retta tangente coincide con la retta stessa. Quindi per ciascuno di questi segenti la elocità istantanea coincide con la elocità edia: t (s) x ()

2 e) ( t.5) f) ( t ) oppure ( ) x( ) x x 4 4/s t ( t ) g) ( t 3) x t x x t (.5) x( ).5 x ( ) x( ) ( 4) x(.5) - 4 4/s.5 4 4/s x x - + /s t h) ( t 4.5) ( 5) x( 4) x x + t 5 4 /sec

3 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica ) La posizione di una particella in oto lungo l asse x aria nel tepo secondo l espressione x + 8t - t doe x è in e t in s. Troare: a) la sua elocità iniziale; b) la sua accelerazione; c) lo spostaento della particella nei prii 3 sec del oto; d) la posizione in cui la particella si arresta oentaneaente; e) la sua elocità edia nei prii 3 s di oto. Dal seplice confronto dell espressione della posizione della particella x + 8t - t con l espressione generale della posizione x(t) + ricaiao la posizione iniziale della particella: x la elocità iniziale della particella: 8 /s l accelerazione della particella: a -4 /s x + t at () Calcoliao dappria la posizione della particella all istante t 3 s, sostituendo il alore del tepo nella eq. (): x (t3) A questo punto conoscendo già il alore della posizione x all istante t, possiao rispondere alla doanda c) x (t3) x (t) 8 6 Se la particella si arresta oentaneaente in quell istante t la sua elocità è nulla. Dalla espressione generale della elocità possiao ricaare l istante di tepo t in cui la particella si arresta (t) + a t + a t t a sostituendo i alori nuerici si ha 8 t s (-4) allora la posizione al tepo t s è: x (t) Alternatiaente sareo potuti arriare allo stesso risultato utilizzando la seguente espressione: - + a (x-x ) sostituendo i alori nuerici si ha - a (x-x ) x x a 64 x (-4) x x a

4 e) la elocità edia della particella nei suoi prii tre secondi è data da x 3 6 /s t 3 Alternatiaente si potea procedere nel seguente odo 3 [ + ( t 3) ] [ 8 + ( 8 + ( 4) )] /s

5 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica 3) Una particella A passa al tepo t dall origine con elocità costante A > ; un altra particella T, distante d da A, si uoe con elocità costante T < A. A quale istante di tepo e in quale punto x e la particella A sorpassa la particella T? x A A T T x d Le particelle A e T si uoono di oto rettilineo unifore. Scegliendo l origine del sistea di riferiento nel punto in cui si troa la particella A areo x A e x T d. Le leggi orarie saranno quindi x A (t) xa + At x (t) x + t d T A T T + Affinché la particella A possa sorpassare la particella T, ci dorà essere un certo istante di tepo t * per cui x A (t * ) x T (t * ). Areo quindi: t T t * ( A T ) t d * * At d + Tt * d t A T Sostituendo quindi questo alore in x A (t) otterreo il punto in cui la particella A sorpassa la particella T A x A d A T (Paradosso di Zenone; A Achille; T Tartaruga)

6 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica 4) Aete frenato la ostra auto dalla elocità di 85 k/h fino alla elocità di 45 k/h su una distanza di 5. a) Supponendo l accelerazione costante durante tutta la frenata, quanto è l accelerazione della acchina? b) In quanto tepo aiene la frenata? c) Se continuate a frenare con la stessa accelerazione, in quanto tepo la acchina si fera? d) Quanta strada percorre? a) Consideriao positia la direzione della elocità e scegliao l origine in odo che all inizio della frenata sia x. Al tepo t la elocità iniziale è 85 k/h 3.6 /s entre al tepo t (incognito) 45 k/h.5 /s e lo spostaento ale 5. Dall equazione: ricaiao l accelerazione ( x ) a x a ( x x ) / s b) Il tepo in cui aiene la frenata si ricaa dall equazione: - a ( t) + at t 5.8 s c) Conoscendo l accelerazione, dobbiao calcolare il tepo t necessario a passare dalla elocità iniziale 85 k/h alla elocità finale in cui la acchina si fera. d) La distanza totale percorsa è uguale a + at t - a x ( t) t + at x 46.3 s

7 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica 5) La elocità di una particella in funzione del tepo è ostrata in figura. A t la particella è in x. a) Tracciare il grafico dell accelerazione in funzione del tepo. b) Deterinare l accelerazione edia della particella nell interallo di tepo da t s a t 4s. c) Deterinare l accelerazione istantanea della particella a t s. (/s) t (s) -3 a) Essendo il grafico della elocità in funzione del tepo costituito da segenti rettilinei, per ciascuno di questi l accelerazione istantanea coincide con quella edia () () 3 t < sec a 3/s t (3) () t < 3sec a t 3 (4) (3) t < 4sec a t 4-3 a (/s ) 3/s /s 3 a t (s) -3

8 b) L accelerazione edia nell interallo di tepo s t 4s è pari, per definizione, a: (4) () a t 4-3 /s c) Per quanto detto al punto a), essendo l istante t s contenuto nel secondo interallo, l accelerazione istantanea a() 3/s

9 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica 6) Una particella si uoe lungo l asse x con una accelerazione che è proporzionale al tepo, secondo l espressione a 3t, doe a è in /s. Inizialente la particella è in quiete nell origine. Troare: a) la elocità istantanea b) la posizione istantanea in funzione del tepo. a) Dai dati del problea sappiao che all istante t, x e. Dalla definizione di accelerazione istantanea: d a 3t d 3tdt dt A questo punto la elocità istantanea si ottiene integrando l ultia espressione: (t) 3tdt + C doe C è una costante di integrazione. Eseguendo l integrale definito si ha: t (t) 3 + C () Iponendo la condizione iniziale () nella () si ede che C e quindi (t) 5t b) Procedendo in odo analogo, ricordiao la definizione cineatica di elocità istantanea: dx dt 5t Integrando quest ultia espressione si ottiene: dx 5t dt x(t) 5t dt + A doe A è una costante di integrazione. Eseguendo l integrale definito: 3 t x(t) 5 + A () 3 Iponendo la condizione iniziale x() nella () si ede che A e quindi x(t) 5t 3

10 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica 7) All istante in cui il seaforo dienta erde un autoobile parte con un accelerazione costante a.8 /s. Nello stesso istante un caion uoendosi con una elocità costante C 9 /s, raggiunge e sorpassa l autoobile: a) a quanti etri dal punto di partenza l autoobile sorpasserà il caion? b) a che elocità starà iaggiando in quell istante? (è utile tracciare un grafico qualitatio di x in funzione di t per ciascun eicolo) L autoobile fera nell origine all istante t fa un oto uniforeente accelerato rappresentato dall equazione: x A ( t) at.8t.9t Il grafico di x in funzione di t è una parabola con il ertice nell origine. Il oto del caion è inece rettilineo unifore, rappresentato dall equazione: x ( t) t t C C 9 ed il suo grafico è una retta passante per l origine degli assi. x() t(s) a) Nell istante in cui l autoobile sorpassa il caion i due alori della x deono coincidere: at C at C t Questa equazione algebrica di secondo grado spuria ha due radici: C 9 t t s a.8 t

11 La pria corrisponde all istante in cui il caion sorpassa l autoobile al seaforo; la seconda è la soluzione cercata. L autoobile sorpasserà il caion nella posizione x A ( t ) at.8 9 Oiaente all istante t la posizione del caion è la stessa dell autoobile ( t ) t 9 xc C 9 b) la elocità dell autoobile è espressa dalla forula: all istante t essa ha il alore doppio del alore della elocità del caion. ( t) at. t A 8 ( t ) at.8 8 s A /

12 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica 8) Una pietra è lasciata cadere in acqua da un ponte alto 44 sull acqua. Un altra pietra è gettata erticalente dopo un secondo dalla partenza della pria. Le pietre colpiscono l acqua allo stesso istante. a) Qual è la elocità iniziale della seconda pietra? b) Portare in un grafico lo spazio in funzione del tepo per le due pietre, ponendo t nell istante in cui la pria pietra è abbandonata. Scegliao coe sistea di riferiento l asse y riolto erso l alto, con l origine posto al confine acqua/ponte. I dati del problea sono:, y() y t R s L equazione del oto per la caduta libera è y ( t) y + t gt acqua per quanto riguarda la pria pietra l equazione del oto dienta: y ( t) y gt per la seconda pietra, che parte in ritardo di s rispetto la pria, la legge oraria è: y ( t) y + ( t t ) g( t ), R t R La pria pietra colpisce l acqua all istante t A, per il quale dee erificarsi che y (t A ). Possiao ricaare quindi t A : y y gta ta g a) Per calcolare la elocità iniziale della seconda pietra, possiao sfruttare la condizione data dal problea: le pietre colpiscono l acqua allo stesso istante. Quindi dee alere y (t A ). Da questa condizione possiao ricaare, : ( t t ) g( t t ) y ( t t ) g( t ) +, A R A t R g( t A tr ) y 9.8 (.997 ) 44 A R A R y,. 3, ( t A tr ) (.997 ) 3s

13 b) Notiao che all istante t R s, in cui parte la seconda pietra, la pria pietra ha elocità y() 44 -gt -9.8/s Inoltre all istante t A 3s, areo che: (t A ) -9.4 /s (t A ) (3-)-3.9/s 3 t(s)

14 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica 9) Un treno partito da fero, si uoe con accelerazione costante. A un certo istante iaggia a 9 /s e dopo 48 etri iaggia a 5 /s. Calcolare: a) l accelerazione; b) il tepo che ipiega a percorrere i 48 etri; c) il tepo richiesto per raggiungere la elocità di 9 /s; d) la distanza tra il punto di partenza e quello il cui il treno ha raggiunto una elocità di 9 /s. Il treno si uoe di oto uniforeente accelerato. a) dall equazione x x, ( x ) a x ricaiao l accelerazione x x, 5 9 a.5 / s ( x x ) 48 b) dall equazione x x, + at ricaiao il tepo ipiegato a percorrere i 48 t x a x, 5 9 4s.5 c) dall equazione x, x + ricaiao il tepo richiesto per raggiungere la elocità di 9 /s at t t 6s d) posto l origine del nostro sistea di riferiento nel punto di partenza del treno, la distanza cercata si ottiene dalla seguente equazione x x ( t) at at.5 6 ( t) 7

15 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica ) Il acchinista di un treno che sta iaggiando con elocità ede a una distanza d sul suo stesso binario un altro treno che si sta uoendo nella sua stessa direzione con una elocità più bassa. Egli frena iediataente e dà al suo treno una decelerazione costante -a. Diostrare che ( ) se d > non ci sarà scontro a ( ) se d < aerrà uno scontro a d Le leggi orarie dei due treni sono x( t) x, + t at x t x + ( ) t, Scelgo un sistea di riferiento con l origine nella posizione del prio treno cosicché: x, x, d Le leggi orarie dientano quindi x( t) t at x t d + ( ) t Se si ha scontro dee esistere un istante di tepo t S tale che x (t S )x (t S ): ts ats d + ts ats ( )ts + d t ( ) ± ( ) Si hanno soluzioni reali (cioè c è scontro) solo se l argoento della radice quadrata è aggiore di zero, cioè: a ( ) ad > ( ) > ad ad d < ( ) a

16 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica Gettys pag. 5 n 3-35 ) Il oto di un elocista durante una corsa può essere approssiato con un accelerazione costante di odulo 3.7 /s. Posto t in corrispondenza dell inizio della corsa, si deterini il tepo ipiegato dal corridore a percorrere: a) 5 ; b). a 3.7 /s l x 5 x x a) t? x b) t? La legge oraria che descrie il oto del corridore è quella del oto uniforeente accelerato e cioè: x x + t + at che, essendo in questo caso la posizione iniziale x e la elocità iniziale nulla ( ), si riduce alla: x at da cui: x t a e quindi x t a Applicandola nei due casi, si ottiene: x a) t 5. 64s a 3.7 x b) t. 3s a 3.7

17 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica Gettys pag. 5 n 3-37 ) Un autoobile si troa 8 oltre l ingresso di un ristorante e iaggia alla elocità di 6 /s quando il guidatore schiaccia il freno. La elocità del eicolo diinuisce con un accelerazione costante di odulo.3 /s. Quanto tepo dopo l inizio della frenata l autoobile sarà 65 oltre l ingresso? x 8 6 /s a a -.3 /s x x x 65 Il oto dell autoobile è uniforeente decelerato e quindi la legge oraria è: t? x x + t + at doe x è lo spazio iniziale percorso dall autoobile, x è lo spazio percorso nel tepo cercato, è la elocità dell autoobile pria di iniziare la frenata ed a è la decelerazione (quindi di segno opposto alla elocità), quindi: da cui: t.3 t.5 t 6 t +47 b 4ac (- 6) 4 (.5)(47) 39.8 e si ottengono: t, 6 ± t 4. s t 9.7 s la seconda soluzione è ateaticaente possibile, a fisicaente non significatia. Corrisponderebbe infatti al passaggio dell autoobile per il punto x 65 con elocità uguale in odulo, a diretta in erso opposto.

18 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica Gettys pag. 5 n 3-3) Un elocista corre i piani in s. Si approssii il oto ipotizzando un accelerazione costante per gli altri 85. Si deterinino: a) la sua elocità; b) il tepo ipiegato per percorrere i prii 5 ; c) il tepo necessario per percorrere gli altri 85 ; d) il odulo dell accelerazione per i prii 5. AB A C B AC 5 CB 85 t AB s C B a) C? b) t AC? c) t CB? A t AC t CB t d) a? Il oto del elocista è uniforeente accelerato nel tratto AC e unifore nel tratto CB. Indichiao con C la elocità raggiunta nel punto C, elocità che si antiene costante lungo tutto il tratto CB. Poiché il elocista parte da fero, tale elocità è sepliceente: C a t AC Il tepo ipiegato a percorrere il tratto CB è sepliceente t CB s - t AC. Le equazioni per il oto uniforeente accelerato nel tratto AC e il oto rettilineo unifore nel tratto CB sono quindi: 5 a t AC at AC t AC C t AC 85 C ( t AC )

19 Sostituendo i alori nuerici dati nella traccia si ottiene il seguente sistea di due equazioni in due incognite: ( t ) 85 C AC 3 t C AC 85 C 3 t C AC C t AC 85 3 C 3 t C AC 5 C 3 t C AC C.5 / s 3 t AC. 6s.5 L interallo di tepo t CB è sepliceente tcb t AC 7. 4s Il odulo dell accelerazione si ricaa dalla C a AC cioè: C a 4.4 / s AC

20 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica 4) Un autoobile che si uoe con accelerazione costante percorre una distanza di 5 (tra i punti A e B) in 6 s. La sua elocità quando arria in B è B 5 /s: a) qual è la sua accelerazione? b) quale era la sua elocità in A? c) a che distanza da A era partita? C A B x C x A x B x Il oto è uniforeente accelerato. Valgono quindi le relazioni: ( t) + at x( t) x + t + at a( x x) o Scegliao coe istante iniziale t quello in cui l autoobile parte da x A con elocità A incognita. La elocità iniziale A è legata alla elocità finale B (nota e pari a 5 /s), all accelerazione a (incognita) e al tepo t (noto e pari a 6s) dall equazione B A + at A B at 5 6a L equazione che lega x B, x A, A, a e t è quindi: x x t at B A + A + In questa equazione non conosciao né a né A, entre sono noti x B - x A 5 e il tepo t 6s. Se sostituiao l espressione ricaata sopra per A, otteniao un equazione nella sola incognita a: xb xa At + at ( B at) t + at 5 (5 - a 6) 6 + a a + 8a 8 a 4 a / s. / s 9 b) Ricaiao adesso A : A B at 5 6a / s 9 c) La distanza percorsa partendo da fera (dal punto C indicato in figura) pria di arriare in A può essere ottenuto alla relazione: a( x x ) A C A ( xa xc ). 63 a A C

21 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica Moto del proiettile 5) Diostrare che per angoli di tiro superiori o inferiori a 45 della stessa quantità θ le gittate sono uguali. y θ θ 45 + θ 45 - θ La funzione che indiidua la gittata G (θ) in funzione dell angolo di tiro iniziale è: G( θ ) sin θ g 45 x Applicando questa al caso in cui l angolo di tiro sia 45 + θ e anche 45 - θ si ricaa: G (45 + θ ) sin g G (45 θ ) sin g g θ [ (45 + θ )] sin(9 + ) g θ [ (45 θ )] sin(9 ) Per le proprietà della funzione sin, si ha che: sin (9 + θ) sin (9 - θ) cos θ B θ θ A HÔA 9 - θ O H HÔB 9 + θ Allora le due espressioni precedenti sono uguali, cioè G (45 + θ) G (45 - θ).

22 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica Moto del proiettile 6) Calcolare l angolo di tiro a cui l altezza assia raggiunta dal proiettile è uguale alla gittata. L altezza assia raggiunta è data dalla: y ax sin θ g entre la gittata è data da: G( θ ) quindi la condizione che dee essere soddisfatta sarà: sin θ g sin θ sin θ g g da cui, seplificando, si ottiene: sin θ sinθ cosθ sin θ 4 sinθ cosθ sinθ 4 cosθ tgθ 4 θ arctg 4 76

23 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica 7) Un fucile con elocità di bocca 5 /s spara un proiettile in un piccolo bersaglio distante 5. A quale altezza al di sopra del bersaglio dee essere puntato il fucile per poter colpire il bersaglio? l 5 l 5 /s θ y y? Il fucile si dee solleare di un altezza y uguale alla distanza erticale di cui cade il proiettile nel tepo che ipiega a percorrere i 5, cioè: sostituendo i alori y xtgθ g x θ cos 9.8 y 5 tg (5). 49 (5) cos La distanza di cui si dee solleare la canna del fucile è quindi di circa 4.9 c sopra il centro del bersaglio.

24 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica 8) Un pallone di football lanciato su un capo piano percorre una distanza orizzontale di 7 pria di toccare terra. Il punto di lancio è a.5 di altezza e l angolo di proiezione è di 6. Qual è il odulo della elocità iniziale della palla? Gettys pag.7 n 4.5 y OA 7 y.5 θ 6 θ? y O A x L equazione che rappresenta la traiettoria seguita dal pallone nella sua caduta è: y y + xtgθ g x cos θ doe y è la quota iniziale a cui si troa il pallone, θ è l angolo di inclinazione iniziale e è il odulo della elocità iniziale. Il punto A di arrio ha coordinate x A 7 e y A per cui dienta: da cui si può ricaare : e, sostituendo i rispettii alori y A y + x Atgθ gx A g cos x θ cos θ ( y + x tgθ ) A A 9.8 (7) 83. cos (6 )( tg6 ).84 (6.374) 4.46 / s si ottiene: 4.46 / s 5.5 / s

25 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica 9) La elocità iniziale di una palla di cannone è /s. Se è sparata erso un bersaglio che ha una distanza orizzontale di k dal cannone, troare: a) i due angoli di tiro per cui il bersaglio errà colpito; b) il tepo totale di olo per ciascuna delle due traiettorie troate in a). (Si assua g /s ). Serway l k /s θ θ θ? l θ? a) Essendo la gittata G pari a: G sin θ g iponendo in questo caso che essa sia pari proprio alla distanza in orizzontale l dal bersaglio, si ottiene che: gl sin θ ().5 e quindi: da cui: θ arcsin (.5) θ 3 θ 8 3 5

26 (questo perchè il sin assue lo stesso alore sia per θ che per il suo suppleentare cioè per 8 - θ) e quindi: θ 5 θ 75 b) Il tepo totale di olo per ognuna delle due traiettorie, indiiduate dai due diersi angoli iniziali θ e θ, si ricaa dalla: x t cosθ per cui, sostituendo i rispettii alori, si ha: x t. 35s cosθ cos5 x t s cosθ cos75

27 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica ) Un fucile è puntato orizzontalente al centro di un largo bersaglio distante 5. La elocità iniziale della pallottola è 45 /s. a) Doe la pallottola colpisce il bersaglio? b) Per colpire il centro del bersaglio, la canna dee essere ad un certo angolo al di sopra della linea di punta. Troare l angolo di eleazione della canna. SERWAY a) La situazione in questo caso è quella rappresentata in figura: è la elocità iniziale della pallottola ed il fucile è diretto orizzontalente quindi l angolo iniziale è θ. l 5 l 45 /s y θ y? Per sapere in quale punto la pallottola colpisce il bersaglio (cioè la distanza y dal centro del bersaglio) si utilizza la forula che indiidua la traiettoria parabolica del proiettile. Infatti: y xtgθ g x cos θ sostituendo i alori relatii a questa situazione (x l 5; 45; θ ) si ottiene: 9.8 y 5 tg (5). 54 (45) cos Quindi il proiettile colpisce il bersaglio circa 54 c sotto il centro.

28 b) In questo caso, pur essendo la elocità iniziale sepre pari a, l angolo di inclinazione θ del fucile rispetto all orizzontale è dierso da zero. l 5 θ 45 /s l θ? L angolo di inclinazione θ dee essere calcolato in odo tale che il proiettile colpisca il centro del bersaglio. Questo significa che la gittata G dee essere pari proprio ad l, per cui: da cui sin θ G l g gl sin θ.7 (45) θ arcsin (.7).4 θ. (in linea di principio c è anche la soluzione θ 8 - arcsin (.7) e cioè: θ 89.8 ).

29 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica ) Un bobardiere, in picchiata ad un angolo di 53 con la erticale, lascia cadere una boba da un altezza di 7. La boba colpisce il suolo 5 s dopo il lancio. a) Qual è la elocità del bobardiere? b) Qual è lo spostaento orizzontale della boba durante il olo? c) Quali sono le coponenti orizzontali e erticali della elocità della boba un istante pria di toccare il suolo? y θ θ 53 h 7 h t 5 s? x In questo caso si ha che le coponenti orizzontale e erticale della elocità iniziale sono rispettiaente: a) La traiettoria descritta dalla boba è inece:,x sin θ,y - cos θ e quindi, in questo caso: y y +, y t gt y y cosθ t gt

30 (y rappresenta la quota da cui ha inizio il oto di caduta del grae, entre il segno - è douto al fatto che la coponente erticale della elocità è diretta erso il basso, cioè è concorde con l accelerazione di graità) da cui: y gt (5) 9.5 / s. cosθ t cos53 5 b) Lo spostaento orizzontale della boba è dato da: x,x t sin θ t 9.5 sin c) La coponente orizzontale della elocità è (in tutto il tragitto): x sin θ 9.5 sin (53 ) 53.7 /s La coponente erticale, nel punto di contatto della boba al suolo, è: y -,y - gt - cos θ - gt cos /s.

31 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica GETTYS Pag.73 N4.5 ) Una sciatrice salta dal trapolino con una elocità di 34 /s lungo l orizzontale (edi figura). Il terreno è a una distanza erticale di 4. al di sotto del punto di lancio ed il pendio fora un angolo di 5 con l orizzontale. Trascurando la resistenza dell aria, si deterini la distanza tra il punto di lancio ed il punto in cui la saltatrice tocca terra. y 34 /s OK 4. O x KÂH 5 K OA? 5 H A - 5 Il punto A è il punto di intersezione fra la retta che indiidua il pendio (retta AK) e la parabola che rappresenta la traiettoria di caduta della sciatrice. L equazione di una retta generica è: y x + q doe è il coefficiente angolare e q l intercetta con l asse y. La retta AK ha coefficiente angolare dato da: tg (- 5 ) L intercetta q con l asse delle y (cioè l ordinata con segno del punto K) è: q - 4. Quindi l equazione della retta che indiidua il pendio è: y pendio x - 4.

32 L equazione della parabola che rappresenta la traiettoria di caduta è: g y xtgα cos x α Nel caso specifico, essendo l angolo iniziale α e 34 /s, l equazione della traiettoria dienta: 9.8 y xtg x. 44x (34) cos Le ascisse dei punti di intersezione fra la retta (che rappresenta il pendio) e la parabola (che rappresenta la traiettoria di caduta) si ricaano risolendo il seguente sistea: y y pendio parabola.466x 4..44x da cui x x.44 x x - 4. b 4ac (-.466) 4 (.44)(- 4.).88 x,.466 ± Essendo due i punti di intersezione fra retta e parabola, si hanno le due soluzioni: x rappresenta un punto alle spalle della sciatrice (quindi non rappresenta la soluzione cercata); x 8 che è l ascissa del punto A. La distanza AH ale: inoltre quindi AH 8 HK AH tg (5 ) OH OK + KH Conoscendo le isure di OH e AH si può ricaare (teorea di Pitagora) la isura di OA: OA OH + AH

33 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica 3) Un uoo parte da fero dalla soità di un tetto lungo 8, inclinato di 37 rispetto all orizzontale, e scende con un accelerazione di 5 /s. Il bordo del tetto è a 6 di altezza dal suolo. Troare: a) le coponenti della elocità quando raggiunge il suolo; b) il tepo totale in cui riane in olo; c) la distanza d fra la casa ed il punto in cui atterra. Serway pag 84n 35 l θ i l 8 h 6 y h θ 37 a 5 /s x d f a) La elocità i dell uoo alla fine del tetto si ricaa dalla: a l doe è la elocità iniziale (nulla) ed l è lo spazio percorso. Sostituendo i alori nuerici si ricaa: da cui: a l /s / s Le coponenti della elocità i nelle due direzioni x e y, prese con segno, sono quindi: i,x cos θ 8.94 cos /s i,y - sin θ sin /s

34 La elocità alla fine del olo f arà coponente lungo l orizzontale f,x pari a quella iniziale i,x ( f,x i,x 7.4 /s) e coponente lungo le erticale f,y data dalla: f,y - i,y a y L accelerazione cui è soggetto l uoo è quella di graità a-g, cioè: e quindi da cui f,y - i,y a (y f - y i ) - g ( - h) f,y i,y + g h f, y i, y + gh / s (il segno negatio indica che il ettore elocità è diretto lungo l asse negatio delle y). b) Il tepo in cui l uoo riane in olo si ricaa dalla: che in questo caso dienta: da cui f,y i,y + at f,y - i,y - gt t f, y g i, y ( 5.38) s c) La distanza d fra la casa e il punto in cui l uoo tocca il suolo è data dal prodotto fra la coponente orizzontale iniziale della elocità e il tepo di olo, cioè: d i,x t

35 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica 4) Un capo agnetico esercita su una particella carica in oto una forza perpendicolare alla direzione del oto. Un elettrone in tale capo è soggetto ad una accelerazione di 3. x 4 /s. Qual è la sua elocità se il raggio della sua traiettoria è R.5? a 3. x 4 /s R.5 r a L elettrone è soggetto alla forza di Lorentz F L pari a: il cui odulo è: F L q B - e B F L e B Poiché il oto è su una circonferenza di raggio R, l accelerazione a cui è soggetto l elettrone è data da: La elocità dell elettrone sarà quindi: a R a R / s

36 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica 5) Nel odello di Bohr dell atoo di idrogeno un elettrone ruota intorno a un protone su un orbita circolare di raggio 5.8 x - con una elocità di.8 x 6 /s. Qual è l accelerazione dell elettrone dell atoo di idrogeno? + R 5.8 x -.8 x 6 /s R a c L accelerazione centripeta a c cui è soggetto l elettrone nella sua orbita intorno al protone del nucleo è: 6 (.8 ) a c 9 R 5.8 / s

37 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica 6) Di quale fattore dorebbe crescere la elocità di rotazione della terra perché per trattenere un corpo sulla terra all equatore fosse necessaria una accelerazione centripeta uguale a g? In effetti l accelerazione centripeta necessaria è soltanto 3 c/s. rot R a c 3 c/s 3 - /s L accelerazione centripeta della Terra è: allora a c sarà: (doe k è il fattore cercato). a' c ' R a c R rot ( k R rot rot ) 3 / s k R rot k a c Doendo essere allora k a c g a c g k g a c g 9.8 / s k a 3 / s c 8

38 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica 7) Un pilota ola da A a B erso est e torna indietro ad A. Egli tiene una elocità costante rispetto all aria, entre la elocità dell aria rispetto al suolo è u e la distanza tra A e B è l. Diostrare che: a) Se u (aria tranquilla), il tepo per fare questo giro è: b) Se l aria si uoe erso est (oppure oest), il tepo per il olo dienta: c) Se l aria si uoe erso nord (o sud) il tepo per il olo è: l t ' t N t u ' t E t u ' andata A l B ritorno elocità dell aereo u elocità aria u a) In questo caso u quindi AB BA l t AB e ' t BA l ' Il tepo totale di olo (andata e ritorno) è quindi: t l l t AB + tba + ' ' l ' b) In questo caso si dee tener conto anche della elocità dell aria u, che (supponendo sia diretta da A B) dà un contributo positio nella direzione A B e un contributo negatio nella direzione B A, quindi si ha:

39 A B (andata) + u u l t AB + ' B A (ritorno) - u u l t BA ' Quindi: ' ' ) ' )( ' ( ' ' ' ' u l u u u u l u l u l t t t BA AB E ' ' ' u t u l (lo stesso sarebbe se u fosse diretta da B A). c) Supponendo che u sia diretta da Sud a Nord, ed essendo la elocità dell aereo rispetto all aria, allora la elocità risultante sarà la soa delle due coponenti: + u Applicando il teorea di Pitagora (considerando quindi solo i oduli), si ha: + u e anche: - u quindi ' ' ' u u da cui: t N t AB + t BA t AB ' ' ' u t u l u A B

40 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica 8) Un uoo desidera attraersare un fiue largo 5. Egli rea con elocità (relatia all acqua) di 3 k/h, entre la elocità della corrente è. k/h. Se l uoo può cainare sulla ria a 5 k/h: a) troare il percorso che dee copiere (in barca e a piedi) per raggiungere il punto opposto a quello di partenza nel inore tepo possibile; b) Quanto tepo ci ipiega? A A AA 5 B 3 k/h y x θ B R c c. k/h p 5 k/h A Il ettore R della elocità risultante della barca è dato dalla soa ettoriale della elocità della barca B più la elocità della corrente c, cioè: R B + c Scoponendo nelle due direzioni (orizzontale x e erticale y) otteniao: R,x B sen θ + c () R,y B cos θ () Il tepo necessario per raggiungere il punto A a partire dal punto A è la soa di due terini, il tepo necessario per attraersare il fiue in barca (tratto AA ) ed il tepo per andare da A ad A a piedi, cioè: t AA t AA + t A A

41 Mentre la barca si uoe da A ad A lungo la retta AA con elocità R, essa si sposta erticalente di un tratto daa con elocità pari a R,y. Nello stesso tepo t AA si sposta orizzontalente di un tratto uguale ad A A. Quindi si ha: AA R,y t AA A A R,x t AA Essendo AA d e R,y B cos θ, dalla pria delle equazioni di sopra, si ha che: AA' t AA'' R, y B d cosθ Sostituendo questa nella seconda delle precedenti e tenendo conto della (), si ottiene la lunghezza del tratto A A : d A' A' ' R, x t AA' ' ( Bsenθ + c ) tgθ d + cosθ Il tepo ipiegato per copiere a piedi il tratto A A sarà quindi: B B c d cosθ t A" A' A' A' ' p tgθ d p + B c cosθ d p e quindi il tepo totale per raggiungere il punto A sarà: t AA' t AA'' + t A" A' B d d c + tgθ + cosθ cosθ p B d p tg θ d p + d B + c B d p cosθ tg θ + +. tgθ cosθ cosθ Ne è risultato che il tepo è una funzione dell angolo θ e precisaente: t AA ' f ( θ ).6 +. tgθ cosθ Il alore inio del tepo per percorrere il tratto A A A si ricaa annullando la deriata pria della funzione f(θ) e cioè: d dθ f da cui, annullando il nueratore, si ha: sinθ.6 sinθ +. θ ).6 +. cos θ cos θ cos θ (

42 sinθ e quindi θ arcsin(-.485) - 9 Sostituendo questo alore di θ nella funzione f(θ) che da il tepo ipiegato a raggiungere il punto opposto in funzione dell angolo θ, si ottiene: t AA ' f ( 9 ).6 +. tg( 9 ) h in cos( 9 )

43 Fisica (A.A. 4/5) Esercizi Meccanica Gettys pag 97 n ) Un uccello di assa 6 g si posa nel ezzo di una corda tesa. Si diostri che la tensione della corda è data da T g/( sinθ). Si deterini la tensione quando: b) θ 5 c) θ.5. Si aetta che le due età della corda siano rettilinee. θ Le forze che agiscono sul corpo sono le tensioni dei due fili T, e il peso P del corpo T T T T T T Scoponendo le tensioni dei fili lungo le due direzioni orizzontale x e erticale y si ottiene: T T sin θ T T cos θ Le coponenti orizzontali delle tensioni si annullano. Le coponenti erticali bilanciano la forza peso. T + T P P T P da cui T sin θ P T g sinθ che per i diersi angoli θ assue i seguenti alori: b) T ( θ 5 ). 46N sin 5 c) T ( θ.5 ) 4. 6N sin.5

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