Nel caso di un regime di capitalizzazione definiamo, relativamente al periodo [t, t + t] : i t

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1 4. Approcco formale E neressane efnre le caraersche e var regm fnanzar n manera pù asraa e generale, n moo a poer suare qualsas regme fnanzaro. A al fne efnamo percò e paramer n grao escrvere qualsas po regme. Legg capalzzazone Nel caso un regme capalzzazone efnamo, relavamene al peroo [, + ] : Ineresse : I(, + ) = M(, + ) M() [varazone] Tasso effevo neresse : (, + ) = M (, ) M ( ) M ( ) [varazone relava] Inensà neresse : (, + ) = [varazone mea] Forza neresse : s () = lm 0 (, + ) [varazone sananea] Ques ulma granezza è ea anche asso sananeo neresse o nensà sananea neresse. La forza neresse può essere pensaa come l fferenzale relavo ella funzone M(), oppure come l graene relavo. Infa, se la funzone M() è connua e ervable ( classe C ), allora la forza neresse è sempre efna là ove M() 0, e vale: s () = M '( ) M ( ) = ln(m()) D ora n po, se non precseremo versamene, con l smbolo s nenerà sempre la forza neresse, ovvero la granezza sananea (e non l nensà neresse). Inolre faremo rfermeno al faore monane m() efno alla M() = C m(), anzchè al monane effevo M(). La forza neresse enfca senza ambguà l regme capalzzazone. A esempo, se conseramo una legge capalzzazone con = 5%, non è possble re se s raa un buon nvesmeno o meno, perché non conoscamo l unà empo (mensle, semesrale, annuale ecc.). Al conraro, la forza neresse permee confronare regm vers, perché normalzza ass neresse all unà empo ( solo su base annuale). Un alro paramero ulzzao è l bnomo capalzzazone, efno come: u = + per cu u = m() analogamene, per ncare l recproco u s ulzza l smbolo: v = / u = (+ ) - per cu v = v() = / f() 2007 Sefano Aran

2 La forza neresse E facle calcolare la forza neresse () e regm capalzzazone consera: Regme a neresse semplce (R.I.S. o c.s.) () = Regme a neresse composo (R.I.C. o c.c.) () = ln ( + ) Regme a neresse ancpao (R.I.A) () = Cò sgnfca che la forza neresse () nvua unvocamene la legge capalzzazone. Infa, noa la funzone (), è sempre possble esprmere l faore monane come: m() = exp ( ( s) s ) 0 In u cas n cu vale ques ulma espressone s parla capalzzazone connua: aa la semplcà ella nosra raazone, queso vale per u regm consera fnora. Esempo: alla () = a / (+ ) s rcava faclmene m() = ( + ) a. Il asso nomnale converble j k Usano l conceo forza neresse, è possble eurre l RIC come caso lme, per la uraa ella capalzzazone che ene a zero, ella legge capalzzazone RIS. Fssamo un asso annuale, e vamo l anno n k-pero. Supponamo applcare un RIC su cascuno ques pero, e volere che a fne anno le ue capalzzazone sano equvalen: (I) C ( + ) = C ( + k ) k ove k = asso el RIC Per comoà, esprmamo k n funzone el asso nomnale converble k vole l anno, efno come j k = k k, per cu scrvamo k = j k / k (veas capolo ). Se conseramo k, coè una capalzzazone sane per sane, s oene (lme fonamenale): + = lm k ( + j k / k) k = e con = lm k { j k } Cò sgnfca che la forza neresse è nerpreable come un asso nomnale converble nfnesmo. Inolre, possamo cheerc come calcolare j k al asso equvalene (rfero a un RIS). A al fne rcoramo la formula rovaa nel capolo : k = j k / k = k ( ) j k = k ( k ( ) ) Da cu s oene (usano l Hospal): lm k { j k } = ln(+ ). Cò conferma quano vso sopra: la forza neresse può essere conseraa l asso neresse sananeo (n queso caso, el regme capalzzazone composa) Sefano Aran

3 Legg aualzzazone In moo analogo a quano vso per regm capalzzazone, efnamo: Scono : D(, + ) = M(, + ) M() Tasso effevo scono : (, + ) = M (, ) M ( ) M ( ) Inensà scono : (, + ) = Inensà sananea scono : s () = lm 0 (, + ) Anche n queso caso, se la funzone M() è connua e ervable ( classe C ), allora la forza neresse è sempre efna là ove M() 0, e vale: s () = M '( ) M ( ) = ln(m()) con M() = C v() Inolre è facle verfcare che vale s () = - s (), se ue regm sono conuga ( cu parleremo nel prossmo paragrafo). Regm conuga Abbamo gà eo che ogn regme aualzzazone può essere pensao come l conugao, ovvero v() = / m(), un opporuno regme capalzzazone. Ulzzamo aesso le granezze efne sopra per llusrare l procemeno conraro: l passaggo a un regme aualzzazone a uno capalzzazone. Per fssare le ee, conseremo l caso el RAS (regme aualzzazone a scono commercale) e eurremo a esso l RIA (regme nvesmeno a neresse ancpao). Il faore monane conugao al RAS è: m() = / v() = che è una funzone po omografco Tale funzone è un faore monane nell nervallo [0, /), e pere sgnfcao per > /. E facle verfcare che la ervaa prma vale m () = m 2 (), per cu: s () = M '( ) M ( ) = m() = Esaamene par alla forza neresse el regme nvesmeno a neresse ancpao Sefano Aran

4 Formalzzazone e regm no Analzamo aesso, all nerno ella eora generale appena llusraa, regm fnanzar classc capalzzazone e aualzzazone. REGIME m() v() () () nensà (0, ) nensà (0, ) s () s () R.I.S. + R.I.C. ( + ) ( + ) - ( ) ln ( + ) R.I.A. R.S.S. - R.S.Comp. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - ln ( + ) R.S.Comm. - Osservamo che l passaggo all espressone nensà () a quella s () non s può oenere operano l lme 0 sulla prma espressone, perchè essa è rcavaa alla: nensà () = = 0 (assumamo 0 = 0) per cu s è gà vso per l nervallo non nfnesmo, semplfcanolo, per cu s è persa la penenza nensà ( ) alla lunghezza Sefano Aran

5 Scnblà Una legge fnanzara s ce scnble se nerrompeno l operazone n un cero sane, e renveseno mmeaamene, l rsulao fnale non camba. Maemacamene cò sgnfca: f( 2 ) = f( ) f( 2 ) con 0 < < 2 Veamo, ne cas e re regm capalzzazone consera, se ale conzone è verfcaa. Esempo: conseramo l RIA, efno al faore monane: m() = Per suarne la scnblà, conseramo un nvesmeno all sane = 0 all sane 2, e confronamolo con lo sesso nvesmeno nerroo all sane, con 0 < < 2. S raa verfcare la sequazone: ( ( 2 ))( ) > 2 (opo alcune semplfcazon) Che corrspone alla 2 ( 2 2 ) > 0, che è sempre verfcaa (perché 2 > ). Dal puno vsa praco, possamo re che l monane mnusce perché gl neress sono gà sa percep all nzo ell operazone (soo forma scono). Per queso movo non è convenene nerrompere la capalzzazone prma aver recuperao l monane nero (n caso nerruzone vene percepa una cfra mnore quella promessa). Analzzano re regm vs fnora s oene: Regme capalzzazone Scnble Effe el rempego Semplce NO S oene un monane maggore Composa SI Non camba nulla Ineresse ancpao NO S oene un monane mnore E propro per queso movo che nasce l esgenza el regme a capalzzazone composa, pochè sosfa al requso essere nfferene alla capalzzazone nermea. Legg raslabl S ce raslable una legge fnanzara ale che: m(, 2 ) = m( + q, 2 + q) q [0,+ ], 0 2 coè la legge pene solo alla uraa ell operazone fnanzara, ovvero è unforme rspeo al empo. Tu regm che abbamo conserao fnora sono raslabl. Nel prossmo capolo veremo qual sono le conzon affnché una legge fnanzara sa raslable. Noamo che, se s ulzza la convenzone lneare, anche l regme composo non è scnble Sefano Aran

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