I.U.A.V. MECCANICA STRUTTURALE IL PREDIMENSIONAMENTO DELLE STRUTTURE

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1 I.U.A.V. Corso di laurea magistrale in architettura Architettura costruzione e conservazione LABORATORIO INTEGRATO MECCANICA STRUTTURALE prof. Bruno Zan IL PREDIMENSIONAMENTO DELLE STRUTTURE IN ACCIAIO IN LEGNO IN MURATURA IN CALCESTRUZZO ARMATO NORMALE

2 1. PREMESSA Di seguito si riportano le principali notazioni per consentire agli studenti il predimensionamento, per le sollecitazioni elementari, degli elementi strutturali in acciaio, in legno, in muratura e in cemento armato normale. Per una più completa trattazione si rimanda alla bibliografia specifica. La verifica delle strutture, secondo le norme italiane ed europee, è eseguita utilizzando il modello agli Stati Limite definito dalla normativa D.M che verifica la sicurezza e le prestazioni di un opera in relazione agli stati limite che si possono verificare durante la vita nominale della costruzione. Lo stato limite è definito come la condizione superata la quale l opera non soddisfa più le esigenze per la quale è stata progettata. Le strutture, nei riguardi della stabilità, devono possedere i seguenti requisiti: - sicurezza nei confronti di stati limite ultimi (SLU): capacità di evitare crolli, perdite di equilibrio, dissesti gravi, totali o parziali che possano compromettere l incolumità delle persone, ovvero mettere fuori servizio l opera; - sicurezza nei confronti di stati limite di esercizio (SLE): capacità di garantire le prestazioni previste per le condizioni normali di esercizio; - sicurezza nei confronti di azioni eccezionali: capacità di evitare danni spropositati nel caso di incendio, esplosioni, urti. Nel modello agli Stati Limite la sicurezza della struttura viene suddivisa nei i vari aspetti che governano il procedimento di verifica. La sicurezza della costruzione è definita da coefficienti di sicurezza parziali che interpretano le varie condizioni di carico, le diverse tensioni dei materiali, i modelli di calcolo e di verifica utilizzati. Per le costruzioni le verifiche finalizzate al predimensionamento delle strutture possono essere vantaggiosamente condotte, nel campo di comportamento elastico-lineare dei materiali, mediante il modello alle tensioni ammissibili che è definito dalla normativa correlata al D.M Nel modello alle tensioni ammissibili la sicurezza della struttura è interpretata globalmente mediante il valore cautelativo fissato per la tensione ammissibile del materiale. Tale tensione è rappresentata, per ciascun materiale strutturale, dalla tensione massima che il materiale può raggiungere durante la fase dell esercizio. La tensione ammissibile è sempre, per ogni materiale, inferiore al valore di comportamento elastico lineare del materiale stesso. La sua determinazione avviene applicando un coefficiente di sicurezza globale alla tensione di riferimento; tale coefficiente è comprensivo dei coefficienti di sicurezza per i carichi, per il materiale e per il modello di calcolo adottato. Secondo questo modello la struttura è verificata quando per ogni sezione della struttura, soggetta ai carichi in esercizio, la tensione massima, calcolata secondo il modello elastico-lineare, risulta minore della tensione ammissibile. Poiché il modello alle tensioni ammissibili fa riferimento al modello elatico-lineare, esso rappresenta un valido strumento per il predimensionamento e la prima verifica delle strutture, lasciando però la completa verifica strutturale al metodo degli stati limite che è in grado di interpretare gli aspetti comportamentali delle strutture e di indagare in modo più efficace i livelli di sicurezza raggiunti. Con il modello agli stati limite l approccio alla progettazione strutturale diventa di tipo prestazionale e non più prescrittivo e l analisi del comportamento della struttura viene spinto fino alla sua condizione ultima d impiego indagando gli aspetti legati alla duttilità locale e d insieme. Per una completa verifica del predimensionamento delle strutture inflesse è necessario affiancare alla verifica a resistenza del materiale anche la verifica della compatibilità delle deformazioni massime in esercizio, facendo ancora riferimento al comportamento elastico-lineare dei materiali. 2

3 2. LA STRUTTURA La struttura è l organismo costruttivo che ha il compito di sostenere i carichi e di trasferirli a terra attraverso i vari meccanismi di resistenza del materiale di cui è composta. Una struttura per poter essere valutata e risolta viene rappresentata dallo schema statico che definisce la geometria generale, la geometria delle sezioni, le caratteristiche del materiale, le condizioni di vincolo di alcuni nodi e le condizioni di carico che la struttura stessa deve sopportare. Risolvere una struttura significa trovare per lo schema statico che la rappresenta il sistema di forze reattive (le reazioni vincolari), l andamento delle sollecitazioni in ciascuna sezione (diagrammi di Momento, Taglio e Sforzo Normale) e le deformazioni in punti significativi (spostamenti orizzontale e verticali, rotazioni). La struttura nello svolgere il suo compito di sostegno dei carichi non deve deformasi eccessivamente e deve mantenere un certo grado di sicurezza nei riguardi del crollo. Per rispondere alle funzioni di cui sopra la struttura deve soddisfare tre condizioni base: EQUILIBRIO RESISTENZA DEFORMABILITA L EQUILIBRIO definisce la forma della struttura, il modo in cui è vincolata a terra e i carichi che essa deve sostenere, in pratica l EQUILIBRIO è definito e definisce ciò che comunemente viene chiamato SCHEMA STATICO. La RESISTENZA rappresenta la capacità della struttura, configurata secondo l equilibrio, cioè secondo lo schema statico definito, di sostenere i carichi con i diversi comportamenti virtuosi dei materiali scelti per realizzarla. La RESISTENZA è definita dai modi di resistere dei materiali alle sollecitazioni indotte nello schema statico dai carichi da sostenere. La DEFORMABILITA è la capacità di sostenere i carichi senza eccessive deformazioni che potrebbero rendere la struttura non utilizzabile per gli scopi e gli usi per cui è stata realizzata. 2.1 L EQUILIBRIO L EQUILIBRIO definisce la forma della struttura, il modo in cui è vincolata a terra e i carichi che deve sostenere, in pratica l EQUILIBRIO è definito e definisce ciò che viene dettto SCHEMA STATICO. La soluzione della struttura è in primo luogo la soluzione dello Schema Statico, cioè la determinazione del sistema di forze passive, rappresentato dalle reazioni vincolari, che equilibria il sistema di forze attive, rappresentato dai carichi e dalle azioni esterne agenti sulla struttura. Nei riguardi dell equilibrio le strutture possono essere ISOSTATICHE o IPERSTATICHE, in entrambi i casi il sistema di forze attivo è equilibrato dal sistema di forze passivo. Se la struttura è ISOSTATICA il sistema di forze passivo viene definito dalle sole condizioni di equilibrio con il sistema di forze attivo, se invece, la struttura è IPERSTATICA la determinazione del sistema di forze passivo avviene anche con le condizioni di congruenza della struttura, cioè con compatibilità delle deformazioni con lo schema statico. 3

4 Nell ambito delle costruzioni le strutture a telaio o a trave continua rappresentano le più diffuse strutture IPERSTATICHE. Per esse la soluzione può avvenire utilizzando il metodo degli spostamenti e, in particolare, il più semplice metodo delle rotazioni, che si può utilizzare quando i nodi della struttura (sezioni d incontro tra asta e asta) si possono considerare fissi e le sezioni dei nodi possono solo ruotare. L ipotesi di nodi fissi nelle strutture a telaio e a trave è nella pratica molto utilizzata poiché, soprattutto per le strutture in acciaio, per convenienza costruttiva ed economica, si cerca sempre di utilizzare sistemi di controventamento per bloccare gli spostamenti dei nodi. In questo caso, cioè quando sono presenti i sistemi di controventamento, le strutture si possono risolvere utilizzando il metodo delle rotazioni. Il metodo delle rotazioni individua per una struttura un sistema di equazioni di equilibrio pari al numero dei nodi che possono ruotare (ad esclusione dei nodi di estremità), quindi, la soluzione è ricercata con gli strumenti matematici necessari a risolvere tale sistema di equazioni lineari. I programmi di calcolo automatico per risolvere le strutture funzionano proprio in questo modo: scrivono il sistema di equazioni lineari e attraverso un solutore matematico (ad esempio il sistema di Cholescki) individuano la soluzione del sistema. Una applicazione molto semplice del metodo delle rotazioni è rappresentata dal metodo di CROSS per il quale si individua una procedura iterativa che conduce alla soluzione esatta. Per una più completa trattazione si rimanda alla bibliografia specifica. 2.2 LA RESISTENZA La RESISTENZA rappresenta la capacità della struttura, configurata secondo l equilibrio, cioè secondo lo schema statico, di sostenere i carichi con i diversi comportamenti virtuosi dei materiali scelti per realizzarla. La resistenza è definita dai modi di resistere dei materiali alle sollecitazioni indotte nello schema statico dai carichi da sostenere. La verifica della resistenza delle strutture, come detto in premessa, è eseguita utilizzando il modello agli Stati Limite che verifica la sicurezza e le prestazioni di un opera in relazione agli stati limite ultimi e di esercizio che si possono verificare durante la vita nominale dell opera. Lo stato limite è la condizione superata la quale l opera non soddisfa più i requisiti per cui è stata progettata. La verifica finalizzate al predimensionamento delle strutture può essere condotte nelle condizioni di esercizio utilizzando il modello alle tensioni ammissibili per il materiale con comportamento elastico lineare Il modello alle tensioni ammissibili rappresenta un valido strumento per il predimensionamento e la prima verifica delle strutture, lasciando però la completa verifica strutturale al metodo degli stati limite che è in grado di interpretare gli aspetti comportamentali delle strutture e di indagare in modo più efficace i livelli di sicurezza raggiunti. Con il modello agli stati limite l approccio alla progettazione strutturale diventa di tipo prestazionale e non più prescrittivo e l analisi del comportamento della struttura viene spinto fino alla sua condizione ultima d impiego indagando gli aspetti legati alla duttilità locale e d insieme. Secondo il modello alle tensioni ammissibili le verifiche sono condotte in campo elastico. In particolare le azioni sulla struttura sono rappresentate dai carichi in esercizio, il calcolo delle sollecitazioni viene eseguito in campo elastico, le tensioni e le deformazioni sono definite dalla 4

5 teoria elastica. Per una completa verifica del predimensionamento delle strutture inflesse è necessario affiancare alla verifica a RESISTENZA del materiale anche la verifica della compatibilità delle deformazioni massime in esercizio (DEFORMABILITA ). La tensione ammissibile è la tensione limite in campo elastico e la verifica alle tensioni ammissibili rappresenta la verifica allo stato limite delle tensioni in esercizio. La determinazione della tensione ammissibile avviene applicando un coefficiente di sicurezza globale alla tensione di riferimento del materiale. Tale coefficiente di sicurezza è comprensivo dei coefficienti di sicurezza dei carichi, del materiale e del modello di calcolo adottato. La verifica alla RESISTENZA (secondo il metodo alle tensioni ammissibili) è positiva quando, per la condizione di carico in esercizio, per ogni sezione, la tensione massima max risulta minore della tensione ammissibile adm : max < adm Le tensioni massime sono calcolate secondo la teoria per il comportamento elastico lineare del materiale nelle ipotesi di mantenimento delle sezioni piane (andamento lineare del diagramma delle deformazioni) e di linearità del diagramma delle tensioni. 2.3 LA DEFORMABILITA La DEFORMABILITA è la capacità della struttura di sostenere i carichi senza eccessive deformazioni che potrebbero rendere la struttura non utilizzabile per gli scopi e gli usi per cui è stata realizzata. La deformazione di una struttura viene valutata in campo elastico con i carichi di esercizio, cioè nelle condizioni in cui il materiale si deforma con legge elastico-lineare. La deformazione è quindi governata dall equazione della linea elastica: 2 d η M = ± 2 dx E J dove: η è la deformazione della struttura lungo x M è il momento flettente sulla struttura lungo x E è il modulo elastico del materiale di cui è composta la struttura J è il momento d inerzia della sezione della struttura M/EJ è la curvatura Per determinare le deformazioni si può : - risolvere la doppia integrazione dell equazione differenziale della linea elastica utilizzando i tradizionali metodi di integrazione della matematica; - utilizzare il Principio dei lavori Virtuali che fa riferimento ad un sistema di forze e tensioni virtuali equilibrato e un sistema di spostamenti e deformazioni congruente; - utilizzare il teorema di Mohr che consente di risolvere la doppia integrazione con l aiuto di una trave ausiliaria caricata con il diagramma di curvatura per la quale il momento equivale alla freccia della trave principale e il taglio equivale alla rotazione. 5

6 Per la verifica della DEFORMABLITA viene fissata l ampiezza delle deformazioni compatibili per la struttura. Tali limiti sono indicati dalla normativa tecnica di riferimento ma spesso sono definiti dagli appaltatori delle opere. Il valore delle deformazioni verticali compatibili δ viene fissato per i carichi totali (permanenti + variabili) e per i soli carichi variabili. Tali valori limite sono riportati nella tabella seguente in funzione della luce L della struttura inflessa e della tipologia di utilizzo dell elemento strutturale: Limiti massimi di deformazione δ delle strutture inflesse di luce L tipologia strutturale Per i carichi totali Per i carichi variabili Copertura in generale L/200 L/250 Coperture praticabili L/250 L/300 Travi e solai in generale L/250 L/300 Solai che reggono tramezze o pavimentazioni e materiali di finitura fragili L/250 L/350 Travi che reggono pilastri L/400 L/500 La luce L in tabella rappresenta la distanza tra gli appoggi delle strutture a trave, mentre per gli sbalzi la luce L in tabella è pari a 2 L s, dove L s è la luce dello sbalzo. La verifica della DEFORABILITA per le strutture a trave soggette a flessione risulta positiva quando, per la condizione di carico in esercizio, la deformazione verticale massima, valutata in campo elastico, δ max risulta minore della deformazione limite compatibile δ : δ max < δ 6

7 3. IL MODELLO IDEALE ELASTICO-LINEARE Il comportamento delle strutture secondo il modello elastico lineare si basa sull ipotesi che il materiale ideale sia omogeneo, isotropo, elastico e lineare. La teoria elastico-lineare che interpreta le tensioni e le deformazioni per le strutture ha origine dalla relazione di Hooke = E ε che stabilisce che un materiale ha comportamento elastico-lineare quando il rapporto, tra la tensione (la forza ortogonale su un area unitaria) e la deformazione unitaria (dilatazione) ε, è costante e vale E, detto modulo di elasticità o modulo di Young del materiale. L altra ipotesi (detta ipotesi di Navier) che sta alla base del modello elastico-lineare stabilisce che le sezioni di un elemento strutturale, dopo la deformazione prodotta da flessione e sforzo normale, rimangono piane ovvero la distribuzione delle dilatazioni ε sulla sezione è lineare. Queste due ipotesi consentono di definire la distribuzione delle tensioni che sono prodotte dalle sollecitazioni di flessione, sforzo normale e taglio sulla generica sezione di una struttura. SFORZO NORMALE Per un elemento strutturale continuo, di sezione retta costante, soggetto a due forze esterne N uguali e contrarie, normali alle sezioni e passanti per i baricentri delle sezioni, lo sforzo N assiale risulta costante in tutte le sezioni trasversali S e vale N. Se si indica con x l asse dell elemento soggetto a Sforzo normale N, in ogni sezione retta S di area A si hanno le tensioni normali x la cui risultante deve fare equilibrio alla forza esterna N, quindi: S x x da = e utilizzando le ipotesi sopra dette di linearità delle tensioni e delle deformazioni si ricava: N N x = A Lo sforzo normale N, applicato ad un elemento strutturale di lunghezza L, fa variare la lunghezza di una quantità L e l allungamento o l accorciamento unitario ε, detto anche dilatazione, risulta: L ε x = L e utilizzando la legge di Hooke che stabilisce la linearità tra tensioni e dilatazioni si ricava: x = E ε x L = E L N L L = E A x = N N A 7

8 CARICO DI PUNTA Per un asta realizzata con un materiale elastico lineare, soggetta ad uno sforzo normale centrato P, la sollecitazione, nell ipotesi di asta indeformata, vale semplicemente =P/A. In condizioni particolari, quando l asta è snella, cioè lunga e con sezione trasversale ridotta, si può innescare un fenomeno di instabilità per carico di punta che deforma l asta non solo a compressione ma anche a flessione. P Supponendo che l asta subisca uno sbandamento in modo che la sua linea d asse (deformata) sia descritta dalla curva di equazione η(x), la forza P produce nella sezione generica il momento M= P η(x) x a questo momento esterno si oppone il momento interno dovuto alla deformata M= EJ η (x) L Per la condizione di equilibrio si scrive: EJ η (x) + P η(x) = 0 la cui soluzione o integrale generale risulta : η (x) = C1 cos(α x) + C2 sen(α x) dove si è posto α = P / EJ, mentre C1 e C2 sono le costanti di integrazione, che dipendono dalle condizioni al contorno, cioè dalle condizioni di vincolo dell asta. Nel caso di figura, la condizioni di vincolo η(0)=0 permette di trovare C1=0, mentre, per la condizione di vincolo η(l)=0 risulta: η (L) = C2 sen(α L)=0 che ha due soluzioni possibili: se sen(α L) 0 deve risultare C2=0 e in questo caso la soluzione dell equilibrio è la configurazione dell asta indeformata senza instabilità per carico di punta. se sen(α L)=0 allora la condizione al contorno è soddisfatta per qualunque valore di C2. La condizione sen(α L)=0 è soddisfatta per α L=n π, dove n è un qualsiasi numero intero positivo. Ricordando la definizione di α possiamo scrivere: P EJ e questa si verifica per quei valori di P tali che : L = n π 2 2 EJ P = n π 2 L 8

9 Il più piccolo dei valori di P, per n = 1, corrisponde al carico di compressione che provoca il passaggio da una condizione di equilibrio stabile ad una instabile ed è detto il carico critico euleriano dell asta compressa: P E 2 EJ = π L dove J min è il minore dei momenti d inerzia della sezione trasversale, E è il modulo di elasticità del materiale L 0 =β L è la lunghezza libera d inflessione da porre in relazione con il coefficiente β alla lunghezza effettiva L dell asta a seconda dei vincoli di questa. Per l espressione del carico critico euleriano la lunghezza libera di inflessione L 0 assume i seguenti valori teorici in relazione alle condizioni di vincolo per l asta di lunghezza L : min 2 0 L 0 = β L= 2 L L 0 = β L= L L 0 = β L= 0.7 L L 0 = β L= 0.5 L per l asta incastrata ad un estremo e libera all altro; per l asta incernierata alle due estremità; per l asta incastrata ad un estremo e incernierata all altro; per l asta incastrata ad entrambi gli estremi. β=2 β=1 β=0,7 β=0.5 Il carico critico eureliano P E provoca nella sezione trasversale dell asta la tensione critica cr P E A π E J π E i min min cr = = = = 2 2 L0 A L0 2 π E 2 λ dove: i min è il raggio d inerzia minimo della sezione e vale i J / A λ=l o /i min è la snellezza dell asta compressa. min = La snellezza dell asta è una grandezza che dipende solo dalle caratteristiche geometriche dell asta e assume una particolare importanza nella valutazione delle condizioni di criticità per il carico di punta per aste realizzate con vari materiali. min 9

10 FLESSIONE Una trave soggetta al momento flettente M si deforma in modo evidente assumendo una configurazione curva caratterizzata in ogni punto dalla curvatura 1/r, cioè dall inverso del raggio del cerchio tangente alla curva nel punto. max max M y y y Le sezioni trasversali (perpendicolari all asse di deformazione) rimangono piane (ipotesi di Navier) e la distribuzione delle dilatazioni ε è lineare: ε = y ε max La tensione normale in corrispondenza alla dilatazione ε risulta, per la legge di Hooke: =E ε sostituendo nella relazione delle dilatazioni, dopo aver semplificato E si ottiene: max = ; = max y y y y La distribuzione delle tensioni normali deve rispettare le condizioni di equilibrio con il momento flettente M. L equilibrio delle forze orizzontali, esteso all area A della sezione, risulta: A max da = y da = 0 y L equilibrio si annulla quando l integrale di y da vale zero. Tale integrale rappresenta il momento statico della sezione trasversale A rispetto l asse con le tensioni uguali a zero (detto asse neutro) e stabilisce che tale asse è baricentrico per la sezione trasversale. L equilibrio dei momenti delle, rispetto l asse neutro e baricentrico, risulta: 2 y da = y da = M y A max dove l integrale di y² da rappresenta il Momento d inerzia J della sezione trasversale A rispetto l asse baricentrico. Possiamo perciò scrivere: max J = M ; J = M y y otteniamo così l importante equazione di Navier, che individua la legge di variabilità delle tensioni nella sezione soggetta a momento flettente M. = y A A M y J 10

11 SFORZO NORMALE E FLESSIONE Per il materiale ideale, omogeneo, isotropo, elastico, lineare è possibile ricavare le tensioni prodotte, sulla generica sezione trasversale di una struttura sollecitata a sforzo normale N e flessione M, utilizzando il principio della sovrapposizione degli effetti. = N M y ± A J Lo sforzo normale di compressione con la flessione rappresentano una sollecitazione di pressoflessione, mentre lo sforzo normale di trazione con la flessione rappresentano una sollecitazione di tenso-flessione. Per i materiali da costruzione che non rispettano le ipotesi di comportamento del materiale ideale non è possibile utilizzare il principio di sovrapposizione degli effetti. Per le aste soggette a presso-flessione il fenomeno del carico di punta diventa particolarmente pericoloso per la presenza del momento flettente esterno M che favorisce l instabilità. TAGLIO Gli sforzi di taglio agenti su una sezione sono equilibrati dalle tensioni tangenziali τ distribuite sulla sezione stessa. Consideriamo una trave di sezione rettangolare e M M n n 1 T r s S S 1 y dx r s x 1 n r s b h determiniamo, nella sezione S, la tensione tangenziale verticale media τ y che agisce lungo la linea r-r. Nella sezione S agisce il momento flettente M e il taglio T; in una sezione S 1, che dista dx da S, il momento flettente è M 1 =M+dM, dove l incremento dm è uguale a Tdx. Per le tensioni tangenziali vale il principio di reciprocità che stabilisce che le tensioni tangenziali, agenti su due piani ortogonali e dirette verso lo spigolo comune, sono uguali, quindi possiamo scrivere τ y = τ x dove τ y è la tensione tangenziale che agisce sul piano S verticale, mentre, τ x è la tensione tangenziale che agisce sul piano orizzontale r-r. Scriviamo l equazione di equilibrio delle forze orizzontali che agiscono sul solido di larghezza dx individuato dai piani r-r e s-s: Ar ( 1 ) da τ bdx = 0 dove Ar è la porzione di area della sezione S individuata dalle rette r-r e s-s. x Poiché: M 1y My dm y Tdx y ( 1 ) = = = J J J J 11

12 si trova: Tdx J Ar y da = τ bdx x Perciò il valore medio delle tensioni tangenziali nei punti della retta r-r risulta: h n r G b n r y y max T S τ r x = τ y = τ = J b dove: T è lo sforzo di taglio che agisce sulla sezione S S r è il momento statico rispetto l asse neutro n-n dell area A r definita dalle rette r-r e s-s J b è il momento d inerzia dell intera sezione è la larghezza della sezione l equazione che determina il taglio è nota come espressione di Jourawski. Per una sezione rettangolare l espressione del taglio fornisce un andamento delle tensioni τ che varia con legge di tipo parabolico con il valore massimo in corrispondenza all asse baricentrico n-n e valore nullo sui bordi. Il valore del momento statico dell area individuata dalla retta r-r, da inserire nella formula di Jourawski, risulta: h h / 2 + y S r = b ( y) 2 2 il valore massimo di S r in corrispondenza all asse baricentrico risulta: h h / S max = b ( 0) = 2 2 e, considerando J=bh 3 /12, il valore della tensione tangenziale massima in corrispondenza all asse baricentrico della sezione risulta: τ T ( b h² / 8) 3 ( b h /12) b max = = 3 T 2 A b h

13 4. IL MODELLO DI VERIFICA ALLE TENSIONI AMMISSIBILI Il modello alle tensioni ammissibili per le verifiche di predimensionamento delle strutture si basa sul comportamento elastico-lineare dei materiali quando le sollecitazioni sulla struttura sono dovute ai carichi in esercizio. Il calcolo delle sollecitazioni, delle tensioni e delle deformazioni viene eseguito secondo la teoria dell elasticità-lineare. Per verificare in fase di predimensionamento una struttura è necessario eseguire la Verifica delle Tensioni e la Verifica delle Deformazioni LA VERIFICA DELLE TENSIONI La prima verifica per le strutture è la verifica delle tensioni, per la quale la tensione massima in ogni sezione della struttura deve essere minore della tensione ammissibile del materiale. La verifica alle tensioni è positiva quando, per la condizione di carico in esercizio, per ogni sezione, la tensione massima max risulta minore della tensione ammissibile adm : max < adm Le tensioni massime sono calcolate, secondo la teoria per il comportamento elastico lineare del materiale, nelle ipotesi di mantenimento delle sezioni piane (andamento lineare del diagramma delle deformazioni) e di linearità del diagramma delle tensioni. La tensione ammissibile (o tensione di sicurezza) è, secondo il metodo alle tensioni ammissibili utilizzato per il predimensionamento delle costruzioni, la tensione limite a cui un materiale può essere sottoposto con sicurezza nelle condizioni di esercizio. Essa si ottiene con prove di laboratorio di tipo monoassiale, a trazione o a compressione, ed è definita dalla tensione di rottura (nei materiali fragili) oppure da quella di snervamento (per i materiali duttili) dividendo per un opportuno coefficiente di sicurezza diverso a seconda del materiale. LA VERIFICA DELLE DEFORMAZIONI La verifica delle deformazioni, per le strutture a trave soggette a flessione, risulta positiva quando, per la condizione di carico in esercizio, la deformazione verticale massima, valutata in campo elastico, δ max risulta minore della deformazione limite compatibile δ : δ max < δ Il valore delle deformazioni verticali compatibili δ viene fissato per i carichi totali (carichi permanenti + carichi variabili) e per i soli carichi variabili. Tali valori limite sono riportati nella tabella seguente in funzione della luce L della struttura inflessa e della tipologia di utilizzo dell elemento strutturale: 13

14 Limiti massimi di deformazione delle strutture inflesse di luce L elemento strutturale Per i carichi totali Per i carichi variabili Copertura in generale L/200 L/250 Coperture praticabili L/250 L/300 Travi e solai in generale L/250 L/300 Solai che reggono tramezze o pavimentazioni e materiali di finitura fragili δ δ L/250 L/350 Travi che reggono pilastri L/400 L/500 La luce L in tabella rappresenta la distanza tra gli appoggi delle strutture a trave, mentre per gli sbalzi la luce L in tabella è pari a 2xL s dove L s è la luce dello sbalzo. 14

15 5. LE STRUTTURE IN ACCIAIO LAMINATO Gli acciai utilizzati per la realizzazione dei profilati metallici sono definiti dalle loro caratteristiche meccaniche. Una prova a trazione di tipo monoassiale, eseguita su un acciaio laminato, si sviluppa secondo le progressioni riportate nel grafico (deformazioni-tensioni) seguente: Nel grafico si individua la tensione di snervamento s (indicata nelle norme con f yk ) e la tensione di rottura R (indicato nelle norme con f tk ). In funzione di questi valori della tensione la normativa tecnica italiana definisce i tipi di acciaio per i laminati: UNI EN Acciai per profili laminati Tensione di Rottura Tensione di Snervamento Limite elastico ammissibile adm tipo f yk f tk S [dan/cm²] S [dan/cm²] S [dan/cm²] Le resistenze caratteristiche f k sono trasformate in resistenze di calcolo f d attraverso la relazione: f d = f k /γ m dove il coefficiente di sicurezza γ m dipende dal materiale in relazione al modello di calcolo utilizzato per le verifiche. Per le strutture in acciaio con il modello di calcolo alle tensioni ammissibili si può utilizzare il coefficiente γ m =1.05 Dalla tensione di calcolo f d è possibile ricavare la tensione normale ammissibile adm adm = f yd / γ dove il coefficiente di sicurezza γ è il coefficiente di sicurezza globale e vale circa 1.5. Dalla tensione ammissibile normale adm si ricava la tensione tangenziale ammissibile τ adm 1 τ adm = adm 3 Per il calcolo delle deformazioni in campo elastico viene fissato il valore del modulo elastico normale dell acciaio: E = [dan/cm²] 15

16 5.1 FLESSIONE La flessione è la sollecitazione che si ritrova principalmente nelle strutture orizzontali a trave. In una sezione sollecitata a flessione le tensioni sono definite dalla nota espressione di Navier: = M y J dove: M è il momento flettente sulla sezione y è la distanza della generica fibra dall'asse neutro baricentrico J è il momento d'inerzia della sezione L'espressione fornisce il valore della tensione normale per la generica fibra individuata dall'ordinata y (distanza dall asse baricentrico detto asse neutro) come riportato in figura : max asse neutro M sup inf Per la verifica della sezione si fa riferimento alle tensioni massime e minime che sono fornite dalle seguenti relazioni: M y sup M max = + = + J W min M y = J inf min sup M = W dove: W sup =J/y sup e W inf =J/y inf sono i moduli resistenti della sezione; J è il momento d inerzia baricentrico; y sup e y inf sono le distanze dei bordi dall asse baricentrico. Ovviamente, per sezioni simmetriche i moduli resistenti, superiore ed inferiore, sono uguali. VERIFICA RESISTENZA A FLESSINE La verifica a flessione di una trave viene fatta quando si conosce il valore del momento massimo M max lungo la trave e le dimensioni della sezione della trave con il suo modulo resistente W. La verifica è positiva quando la tensione massima max è minore della tensione ammissibile adm dell'acciaio: VERIFICA DELLE DEFORMAZIONI Mmax max = W Per le strutture inflesse è necessario eseguire la verifica della deformazione massima secondo la relazione: δ max < δ adm inf 16

17 dove: δ max δ è lo spostamento verticale massimo della trave inflessa in campo elastico nelle condizioni di carico in esercizio. è la deformazione limite ammissibile fornita dalla tabella precedente in funzione della luce L dell elemento inflesso. PROGETTO A FLESSIONE Il progetto a flessione di una trave viene fatto quando si conosce il momento massimo ma non si conosce la sezione della trave. Per trovare la sezione della trave è necessario utilizzare la formula di progetto nel seguente modo: W MIN M Sulla scorta del valore del modulo resistente W MIN minimo necessario si sceglie il profilo utilizzando i prontuari dei profili metallici laminati. MAX adm 5.2 TAGLIO Per l acciaio le tensioni tangenziale τ prodotte da un sforzo di taglio sono definite dall espressione di Jourawski: τ = T S J b dove: T è il taglio sulla sezione S è il momento statico rispetto l asse baricentrico della parte di sezione individuata J è il momento d'inerzia della sezione b è la larghezza individuata L'espressione fornisce il valore della tensione tangenziale τ per la generica fibra individuata dall'ordinata y (distanza dall asse baricentrico detto asse neutro) come riportato nel disegno : a asse neutro T max Per la verifica della sezione si individua la tensione massima in corrispondenza all asse baricentrico che è fornita dalla seguente relazione: T S max τ max = J b dove : S max è il momento statico di mezza sezione b è la larghezza dell anima J è l inerzia dell intera sezione T è lo sforzo di Taglio 17

18 VERIFICA RESISTENZA A TAGLIO La verifica a taglio di una sezione viene eseguita quando si conosce lo sforzo di taglio massimo lungo la trave T max e le caratteristiche della sezione. La verifica è condotta secondo il criterio di Von Mises esposto nel paragrafo 5.6. La tensione biassiale τ max viene trasformata in tensione ideale id per poter essere confrontata nella verifica con la tensione monoassiale adm : sostituendo i valori si ricava : La tensione di verifica < id adm = 3 τ = τ id id 2 max 3 3 τ < = max 1 τ max < 3 adm adm 1 è definita tensione tangenziale ammissibile τ adm adm : 3 1 τ adm = 3 Quindi, la verifica a taglio risulta positiva quando: T S max = < J a adm max 1 τ max τ adm = 3 Per eseguire la verifica si deve calcolare il valore del momento statico di mezza sezione rispetto l asse baricentrico (asse neutro): S max = ½ b (h/2)² - ½ (b-a) (h/2-e)² b adm h/2 e a asse neutro T max VERIFICA DELLE DEFORMAZIONI Le deformazioni a Taglio sono trascurabili 18

19 5.3 TRAZIONE La trazione è la sollecitazione che si ritrova per esempio nelle aste tese delle strutture reticolari. In una sezione della struttura in trazione la tensione è definita dall'espressione: N = A dove: N è lo sforzo di trazione A è l'area della sezione del tirante L'espressione fornisce il valore della tensione normale costante su tutta la sezione. VERIFICA A TRAZIONE La verifica a trazione per un tirante viene fatta quando si conosce lo sforzo normale di trazione e la sezione A del tirante stesso. La verifica è positiva quando: max = N A adm la tensione massima max è minore della tensione ammissibile a trazione dell'acciaio adm. PROGETTO A TRAZIONE Il progetto a trazione per un tirante viene fatto quando si conosce lo sforzo normale di trazione ma non si conosce la sezione del tirante. Per trovare la sezione del tirante è necessario utilizzare la formula di progetto nel seguente modo: A MIN N Trovata l'area A MIN minima necessaria si sceglie il profilo utilizzando i prontuari dei profili. max adm 19

20 5.4 COMPRESSIONE La compressione è la sollecitazione che si ritrova nei pilastri e nei puntoni (aste compresse) delle strutture reticolari. La verifica a compressione potrebbe essere condotta come quella a trazione ma per la compressione c'è il pericolo che l'asta ceda per instabilità elastica (fenomeno chiamato anche carico di punta). Il fenomeno è tipico delle strutture in acciaio perché, a causa dell'elevata resistenza del materiale, il dimensionamento per sola compressione porterebbe a sezioni molto piccole e, quindi, instabili quando caricate di punta. Sotto il carico di compressione l'asta sbanda e la rottura avviene a causa della flessione innescata dalla deformazione di instabilità (rottura per presso-flessione). Nel disegno seguente si evidenziano le deformate di strutture soggette a carico di punta in diverse ipotesi di vincolo degli estremi: Nell ambito delle costruzioni la normativa utilizza, per i coefficienti β, valori maggiori di quelli teorici per tener conto del fatto che nella realtà i vincoli non sono perfetti, Per verificare un'asta compressa è necessario far riferimento alla teoria di Eulero che permette di individuare il valore della tensione (detta tensione critica di Eulero) per la quale l'asta entra nel campo dell instabilità dove la rottura avviene per presso-flessione (compressione più flessione indotta dalla deformazione innescata dall instabilità): dove : π è il numero 3.14 E è il modulo elastico dell'acciaio λ è la snellezza dell'asta cr = π 2 E 2 λ La tensione critica cr non dipende dal carico di compressione, ma dipende dal materiale (E=modulo elastico) e dalla snellezza dell'asta (λ=snellezza dell asta). La snellezza è una proprietà dell'asta definita dalle caratteristiche geometriche dell'asta stessa secondo la seguente espressione: λ = β L i dove: β è un coefficiente che dipende da come è vincolata l asta agli estremi e, per le aste reali vale β = 1 se i vincoli agli estremi sono assimilabili a cerniere β = 0.7 se i vincoli agli estremi sono assimilabili ad incastri β = 0.8 se un vincolo è assimilabile all incastro e uno alla cerniera β = 2 se l'asta è vincolata solo da un lato con un incastro L è la lunghezza dell'asta Lo= β L è la lunghezza libera di inflessione dell'asta e dipende dai vincoli agli estremi i è il raggio d'inerzia minimo della sezione dell'asta e vale i = J / A = L i o 20

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