Raccolta Temi d'esame - Corso di Ordinamento

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinaria Il candidato risolva uno dei due problemi e dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Si consideri la seguente relazione tra le variabili reali, :, a dove a è un parametro reale positivo. a) Esprimere in funzione di e studiare la funzione così ottenuta, disegnandone il grafico in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (O). b) Determinare per quali valori di a la curva disegnata risulta tangente o secante alla retta t di equazione. c) Scrivere l equazione della circonferenza k che ha il centro nel punto di coordinate (; ) e intercetta sulla retta t una corda di lunghezza. d) Calcolare le aree delle due regioni finite di piano in cui il cerchio delimitato da k è diviso dalla retta t. e) Determinare per quale valore del parametro a il grafico, di cui al precedente punto a), risulta tangente alla circonferenza k. PROBLEMA Considerato un qualunque triangolo ABC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che: BD DE EC. Siano poi M ed N i punti medi rispettivamente dei segmenti AD ed AE. a) Dimostrare che il quadrilatero DENM è la quarta parte del triangolo ABC. b) Ammesso che l area del quadrilatero DENM sia a, dove a è una lunghezza assegnata, e ammesso che l angolo ABˆC sia acuto e si abbia inoltre: AB a, BC a, verificare che tale quadrilatero risulta essere un trapezio rettangolo. c) Dopo aver riferito il piano della figura, di cui al precedente punto b), ad un conveniente sistema di assi cartesiani, trovare l equazione della parabola, avente l asse perpendicolare alla retta BC e passante per i punti M, N, C. d) Calcolare, infine, le aree delle regioni in cui tale parabola divide il triangolo ADC. Zanichelli Editore, 6 Pag.

2 QUESTIONARIO Indicata con f () una funzione reale di variabile reale, si sa che f () l per a, essendo l ed a numeri reali. Dire se ciò è sufficiente per concludere che f (a) l e fornire un esauriente spiegazione della risposta. Sia f () una funzione reale di variabile reale, continua nel campo reale, tale che f (). Calcolare: f () dt lim, e dove e è la base dei logaritmi naturali. Si consideri il cubo di spigoli AA, BB, CC, DD in cui due facce opposte sono i quadrati ABCD e A B D C. Sia E il punto medio dello spigolo AB. I piani ACC e D DE dividono il cubo in quattro parti. Dimostrare che la parte più estesa è il quintuplo di quella meno estesa. Un tronco di piramide ha basi di aree B e b ed altezza h. Dimostrare, col metodo preferito, che il suo volume V è espresso dalla seguente formula: V h (B b Bd ). In ogni caso esplicitare ciò che si ammette ai fini della dimostrazione Sia f () una funzione reale di variabile reale, derivabile in un intervallo [a, b] e tale che, per ogni di tale intervallo, risulti f (). Dimostrare che f () è costante in quell intervallo. Dimostrare che si ha: n n n k k k dove n, k sono numeri naturali qualsiasi, con n k. Fra i triangoli inscritti in un semicerchio quello isoscele ha: A) area massima e perimetro massimo; B) area massima e perimetro minimo; C) area minima e perimetro massimo; D)area minima e perimetro minimo. Una sola risposta è corretta: individuarla e darne un esauriente spiegazione. Considerata la funzione: f () a a, dove a è un parametro reale non nullo, determinare i valori di a per cui essa ha un massimo e un minimo relativi e quelli per cui non ha punti estremanti. Zanichelli Editore, 6 Pag.

3 9 Il limite della funzione sen cos, quando tende a, A) è uguale a ; B) è uguale ad ; C) è un valore diverso dai due precedenti; D)non è determinato. Una sola risposta è corretta: individuarla e darne un esauriente spiegazione. Si consideri la funzione sen. Stabilire se si può calcolarne il limite per e spiegare se il calcolo può essere effettuato ricorrendo al teorema di De cos L Hospital. Durata massima della prova: 6 ore È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore, 6 Pag.

4 SOLUZIONE DELLA PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinaria PROBLEMA a) Posto e, la relazione diventa a a a a da cui. La funzione da studiare è a a a a con dominio a. Si tratta di una funzione C a omografica il cui grafico è un iperbole equilatera con asintoti a a e a, centro di simmetria C (a; a) e vertici A(a; a), O(; ). In quest ultimo punto la funzione non è però definita e a presenta una discontinuità di terza specie con. Si a può tracciare il grafico (figura ) nel quale il valore di a è stato scelto in maniera arbitraria. a b) Si valuta la posizione reciproca tra la funzione e la retta discutendo il sistema a. L equazione risolvente è a ; essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è positivo o nullo. Poiché a, risulta a per a. Pertanto la retta t è secante per a, è tangente per a. c) La circonferenza k ha centro C (; ) noto e raggio incognito. Si tracci la perpendicolare C H alla retta t (figura ). Per un teorema della geometria euclidea, tale perpendicolare divide a metà la corda BD che la circonferenza stacca sulla retta. La distanza del punto C (; ) dalla retta vale: C H, mentre HB B D HB. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo BC H, risulta C B. Esso è il raggio cercato. L equazione della circonferenza k è: ( ) ( ) ovvero. d) Ponendo a sistema l equazione della circonferenza k e la retta t si trovano le coordinate dei punti B e D: B ; D. O a Valutando le coordinate dei punti C, B e D si osserva che i segmenti C B e C D sono rispettivamente paralleli agli assi cartesiani e quindi tra loro perpendicolari. Pertanto il settore circolare delimitato dall angolo BĈ D è la quarta parte del cerchio corrispondente alla circonferenza. Indicata con S l area del minore dei segmenti circolari in cui la retta t divide la circonferenza k, essa si ottiene per differenza t O C D A a = a H Figura. S B + = + = Figura. Zanichelli Editore, 6 Pag.

5 tra l area del settore e l area del triangolo C BD. S ( ). L area S del restante segmento circolare si ricava per differenza tra l area del cerchio e S : S () (). e) La risoluzione è compiuta per via geometrica poiché la discussione algebrica della tangenza tra circonferenza e iperbole porterebbe a un sistema di quarto grado difficilmente risolvibile per via elementare. Nella figura sono rappresentate le possibili posizioni dell iperbole parametrica rispetto alla circonferenza. a. b. c. Figura. Si osserva che entrambe le curve sono simmetriche rispetto alla bisettrice del I e III quadrante: nella circonferenza il centro si trova sulla bisettrice che è pertanto diametro e quindi asse di simmetria della circonferenza; nell iperbole la retta costituisce l asse trasverso dell iperbole stessa e pertanto è asse di simmetria. Ne consegue che i punti di intersezione tra le due curve sono a due a due simmetrici rispetto all asse di simmetria. Nel caso della tangenza due di questi punti devono coincidere e quindi trovarsi sulla bisettrice. Si trova il punto di tangenza T (figura b) risolvendo il sistema: (non accettabile). a Si impone all iperbole il passaggio per il punto T (, ): a a ( ) ( )( a) a ( ) a. a L iperbole è tangente alla circonferenza k per a. PROBLEMA a) Compiuta la costruzione (figura ), si applica una proprietà conseguenza del teorema di Talete al triangolo ADE: una retta, che determina su due lati di un triangolo segmenti proporzionali, è parallela al terzo lato. Pertanto, essendo AM MD AN NE, MN è parallelo a BC e il quadrilatero DENM è un trapezio. I triangoli AMN e ADE sono simili per il primo criterio e il rapporto di similitudine vale. Ne consegue che il rapporto tra le aree risulta, quindi: S AMN S ADE e quindi S DENM S ADE. Osservando i tre triangoli ABD, ADE e AEC, in cui è diviso il triangolo ABC, essi hanno base e altezza rispettivamente congruenti. Sono quindi A N M B H D E C Figura. Zanichelli Editore, 6 Pag.

6 equivalenti. Si può scrivere allora S ADE S ABC, che, sostituita all ultima relazione trovata, porta all espressione: S DENM S ADE S ABC S ABC. b) Poiché l area del quadrilatero DENM è un quarto dell area del triangolo ABC, quest ultimo ha superficie 9a. Si può ricavare l altezza AH: AH S B ABC C AH 9a a. a Si applichi il teorema di Pitagora al triangolo ABH: BH AB AH BH 6 9a a a. M A N Risulta BH BC e quindi H D. Il trapezio DENM è dunque rettangolo (figura ). c) Si ponga un sistema di assi cartesiani come nella figura 6, con O C. Dai dati geometrici precedenti le coordinate dei punti sono: A(a; a), M (a; 6a), N a; 6a, B (a; ), D (a; ) e E (a; ). Vista la scelta del sistema cartesiano l equazione della parabola con asse di simmetria perpendicolare al lato BC è della forma: r s. Imponendo alla funzione il passaggio per i punti N e M si ottiene il sistema a due incognite: 6a r a a r s s a a r s 6. 6a r (a) s (a) r Risolvendo si ricava la soluzione a. s 7 L equazione della parabola è pertanto: 7 a. Figura 6. Nella figura 6 è tracciata la parabola. d) Osservando la figura 6, si nota che la curva interseca il segmento AC oltre che nel punto O (; ) anche in un ulteriore punto P, di cui è necessario calcolare le coordinate. La retta passante per A e C ha equazione 6. 6 Il sistema ha soluzioni (; ) e P a; a. 7 a Si calcolano le aree delle figure mistilinee in cui la parabola divide il triangolo ADC attraverso l integrazione definita. a S AMP a 6 a 7 d B DH E C M A B D E C a O a a a a a Figura. 7 a a a a a. a 8 N P a 6a a Zanichelli Editore, 6 6 Pag. 6

7 L area rimanente S MPCD, che si trova sotto alla parabola, si calcola per differenza tra l area del triangolo ADC e l area S AMP : S MPCD a a a a. 8 8 QUESTIONARIO Se esiste finito il limite lim f () l, ciò è insufficiente per affermare che l immagine della funzione nel punto a vale f (a) l. Infatti, nelle ipotesi, non è noto che il punto a appartenga al dominio della funzione. a Tale punto potrebbe essere soltanto un punto di accumulazione del dominio. È il caso, per esempio, della funzione f (). Essa non è definita nel punto ma esiste il limite lim lim ( ). Il punto in questione è di discontinuità di terza specie. Diversamente, qualora il valore appartenga al dominio della funzione f, può essere che f (a) l. se Per esempio, la funzione f () ammette limite lim f () ma ciò è diverso dall imma- se gine f (). Si tratta ancora di un punto di discontinuità di terza specie. Partendo dal numeratore della frazione di cui è richiesto il calcolo del limite, poiché la funzione è continua in R, si può applicare il teorema della media integrale alla funzione f nell intervallo [; ]: f (t) dt f (z) ( ) f (z), con z [; ]. f (t) dt Pertanto lim f (z) lim f (z). e e e Ora, essendo z [; ], se tende a anche z tenderà a e lim f (z) lim f (z) per l ipotesi di continuità. Risulta quindi lim f (t) dt lim f ( z). e e e La costruzione richiesta dalle ipotesi è la seguente. Osservando la figura si nota che le quattro parti in cui viene suddiviso il cubo sono prismi retti che hanno la stessa altezza, pari allo spigolo del cubo (figura 7). Il confronto dei volumi richiesto si riduce così a un problema di geometria piana dove si confrontano le aree in cui viene a essere scomposta la superficie di base ABCD (figura 8). Si indica con a il lato del cubo. I triangoli AEF e DFC sono simili per il primo criterio di similitudine tra triangoli. Il rapporto di similitudine risul- AE ta:. D C a a. Tale rapporto vale anche per le altezze HF e FK e D' C' A' B' D C A E B Figura 7. Zanichelli Editore, 6 7 Pag. 7

8 quindi HF FK. Poiché HF FK a ne consegue che: D K C HF a e FK a. Si calcolano così le superfici: S AEF a a a ; S CFD a a a ; F S AFD S ACD S CDF a a a ; 6 S FEBC S ABC S AEF a a a ; A H E B Figura 8. La superficie più estesa S FEBC è il quintuplo della superficie meno estesa S AEF. Tale relazione è mantenuta per i corrispondenti volumi. Si prolunghino gli spigoli laterali del tronco di piramide di base, per esempio, triangolare (figura 9) e si tracci l altezza OH della piramide ottenuta. Si assuma OH h. Nota l espressione del volume di una piramide, il volume del tronco di piramide si calcola come la differenza dei volumi delle piramidi di vertice O e basi coincidenti con quelle del tronco. Pertanto: V B h b (h h) [h (B b) bh]. h' O K Ricordando il teorema relativo alle sezioni parallele di una piramide, in cui le aree delle sezioni sono direttamente proporzionali ai quadrati delle loro distanze dal vertice della piramide, si può scrivere: B b h (h h) e, estraendo la radice quadrata, B b h (h h). Da quest ultima relazione si ricava h : h H Figura 9. h hb B Bb h h. B b B b b B Infine, si sostituisce tale risultato nell espressione del volume: V [h (B b) bh ] [h (B Bb) bh ] h (B b Bb ). Si prenda un punto [a; b ]. Nell intervallo [a; ] la funzione soddisfa il Teorema di Lagrange cioè esiste almeno un punto c ]a; [ tale che: f ( ) f (a) f (c). a Per ipotesi f (c), pertanto f () f (a), cioè f () f (a) per ogni [a; b ]. La funzione è quindi costante nell intervallo di definizione. Zanichelli Editore, 6 8 Pag. 8

9 6 7 8 Si tratta della formula di Stifel dei coefficienti binomiali. Tale espressione, assunta come vera, può essere verificata membro a membro utilizzando la legge dei tre fattoriali n n!. Diversamente, essa si k k!(n k)! dimostra facendo riferimento al significato di n come il numero delle combinazioni di classe k i cui elementi sono scelti da un insieme A di n elementi distinti. Indicato con a un elemento di A, le combinazioni k di classe k che contengono l elemento a sono quelle combinazioni di n elementi di classe k, a cui si aggiunge l elemento a stesso. Il numero di questi sottoinsiemi è n. k Le combinazioni di classe k che non contengono l elemento a sono invece n. Pertanto, sommando k le combinazioni che contengono a con quelle che non lo contengono, si ottiene il numero complessivo delle combinazioni di n elementi di classe k cioè: n n n k k k. Osservando la figura si nota che un triangolo inscritto nella semicirconferenza ha area massima quando è massima l altezza CH. Ciò si realizza quando quest ultima coincide con il raggio r della semicirconferenza e il triangolo è isoscele (ABC ). Posto BÂC, con, si trova il perimetro f () del triangolo ABC: f () r r cos r sen. Si valutano i massimi e i minimi della funzione discutendo il segno della derivata prima f (): f () r ( sen cos ). Risolvendo la disequazione risulta che f è crescente per, decrescente per e ha massimo nel punto. Se BÂC ; il triangolo ABC è isoscele. Pertanto il triangolo isoscele inscritto ha area e perimetro massi- mo e la risposta esatta è A). La funzione polinomiale f () a a è continua e derivabile nel campo reale. Essa ha degli estremanti solo se la sua derivata prima, f () a a, non ha segno costante. Ciò avviene se il discriminante di f () risulta strettamente maggiore di zero, cioè: A r C' C O H B Figura. a 9a a 9 a. Si può concludere che per a 9 a la funzione f ha estremanti, mentre per 9 a non ne ha. Zanichelli Editore, 6 9 Pag. 9

10 Si noti che nel caso limite a 9 la derivata prima diventa: f () 7 9 Essa si annulla nel punto ed è negativa per ogni altro valore di. In tal caso la funzione non ha estremanti e ha in un punto di flesso orizzontale. 9 Si tratta di calcolare il limite lim sen cos. La funzione al numeratore, sen cos, non ammette limite per ma è comunque limitata se si tiene conto che sen e cos. Si può scrivere: sen cos sen cos e pertanto. Poiché lim e lim, per il teorema del confronto risulta lim sen cos e la risposta esatta è A). Dato il limite lim sen, si raccoglie al numeratore e al denominatore della frazione: cos se n lim se n sen lim lim. cos co s co s sen Poiché sen e quindi, per il teorema del confronto vale lim se n. Allo stesso modo si dimostra che lim co s. Pertanto esiste il limite: se n lim sen lim. cos co s f( ) Alla luce del teorema di De L Hospital, volendo trattare il limite lim, una delle condizioni dell ipotesi g ( ) è che deve esistere un valore M tale che, M, le funzioni f () e g () siano derivabili e g (). Nel caso in questione g () cos e g () sen. Si osserva che la derivata prima si annulla per k con k intero e quindi non esiste un intorno di in cui valga sempre g (). Pertanto il teorema non può essere applicato. Zanichelli Editore, 6 Pag.

11 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Si consideri la funzione reale f m di variabile reale tale che: f m, m m dove m è un parametro reale non nullo. a) Trovare gli insiemi di definizione, di continuità e di derivabilità della funzione. b) Indicata con C la curva rappresentativa della funzione f () corrispondente ad m, studiarla e disegnarla in un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali, dopo aver determinato, in particolare, le equazioni dei suoi asintoti e il comportamento nel punto A di ascissa. c) Calcolare l area della regione finita di piano delimitata dalla curva C e dalla retta parallela all asse delle ascisse condotta per il punto A. PROBLEMA Una piramide retta, di vertice V, ha per base il triangolo ABC, rettangolo in A, la cui area è a, dove a è una lunghezza assegnata. Si sa inoltre che A B e che il piano della faccia VAB della piramide forma BC con il piano della base ABC un angolo tale che sen. a) Calcolare l altezza della piramide. b) Controllato che essa è a, calcolare la distanza del vertice C dal piano della faccia VAB. c) Condotto, parallelamente alla base ABC, un piano che sechi la piramide e considerato il prisma retto avente una base coincidente con il triangolo sezione e per altezza la distanza di dalla base ABC, calcolare per quale valore di tale distanza il prisma ha volume massimo. d) Il prisma di volume massimo ha anche la massima area totale? Zanichelli Editore, 7 Pag.

12 QUESTIONARIO Considerata una funzione reale di variabile reale f (), si prendano in esame le due seguenti proposizioni: A: condizione necessaria e sufficiente affinché f () sia definita in un punto a è che sia continua in a. B: condizione necessaria e sufficiente affinché f () sia continua in un punto a è che sia derivabile in a. Una sola delle seguenti combinazioni è corretta: individuarla e fornire un esauriente giustificazione della risposta. A A vera - B vera B A vera - B falsa C A falsa - B vera D A falsa - B falsa Si consideri il cubo di spigoli AA, BB, CC, DD, in cui due facce opposte sono i quadrati ABCD e A B C D. Indicato con E il punto medio dello spigolo AB, sia CF la retta perpendicolare a DE condotta per C. I piani D DE e C CF dividono il cubo in quattro parti. Calcolare a quale frazione del cubo equivale ciascuna di esse. Calcolare se esiste un numero naturale n per il quale risulti: n k n k Sia f () una funzione reale di variabile reale, derivabile con derivata continua in tutto il campo reale, tale che: f () ed f (). Calcolare: f (t) dt lim cos Dimostrare che la derivata, rispetto a, della funzione a, dove a è un numero reale positivo diverso da, è a ln a. Fra i rettangoli di dato perimetro determinare quello di area massima. Una primitiva della funzione f () è. Se è possibile calcolare f d, determinare il valore dell integrale. In caso contrario spiegare perché il calcolo non è possibile. In un piano, riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali (O), sia T un trapezoide di base [a; b] relativo alla funzione f (), continua in tale intervallo. Dimostrare la formula che esprime il volume del solido generato dal trapezoide quando ruota di un giro completo attorno all asse. Calcolare la derivata della funzione sen rispetto alla variabile, ricorrendo alla definizione di derivata di una funzione. Considerata una funzione reale di variabile reale f (), derivabile almeno due volte in un dato punto a, affinché la funzione f () abbia in a un punto di flesso la condizione f (a) è: A necessaria e sufficiente. B necessaria ma non sufficiente. C sufficiente ma non necessaria. Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un esauriente spiegazione della risposta. Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore, 7 Pag.

13 SOLUZIONE DELLA PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO Sessione suppletiva PROBLEMA a) Per determinare il campo di esistenza della funzione poniamo il denominatore diverso da : m m m m. Tale condizione è sempre vera se m >. Se m (m per ipotesi) risulta: m m m m. Pertanto il campo di esistenza D si può così scrivere: D R se m R {m, m} se m Valutiamo la continuità della funzione. Per m essa è continua nel campo reale. Per m la funzione è continua in R {m, m}, mentre ammette discontinuità di seconda specie nei punti m e m. Stabiliamo l insieme di derivabilità della funzione riscrivendola nel seguente modo: m m m f m Osserviamo che per ogni m appartenente al campo di esistenza, la funzione è derivabile poiché funzione a tratti di funzioni derivabili. Determiniamo il comportamento per m utilizzando la definizione di derivata e calcolando il limite destro e sinistro del rapporto incrementale: lim h lim h m m m f m (m h) f m (m) h f m (m h) f m (m) h lim h h lim h h ( m h) m m h m lim h, h m h (m h) m m h m lim h 8m 8. h m h Essendo tali limiti diversi, si conclude che la funzione non è derivabile per m. Pertanto l insieme di derivabilità D è: D R {m} se m R {m, m, m} se m b) Per m si ha: se f () se se Zanichelli Editore, 7 Pag.

14 Il campo di esistenza della funzione è R. La corrispondente curva C interseca gli assi solamente nell origine. Inoltre f (). Calcoliamo ora i limiti per che tende a. lim lim, Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui: lim f ( ) lim, lim [ f () ] lim lim, quindi la retta è asintoto per ; lim f ( ) lim, lim [ f () ] lim lim, lim lim. quindi la retta è asintoto per. Per quanto riguarda la derivata prima, sappiamo dal punto a) che f non è derivabile in, poiché la derivata destra vale mentre quella sinistra vale 8. In particolare è un punto angoloso e la curva C in tale punto A(; ) ha come tangente da sinistra la retta di coefficiente angolare 8, ovvero la retta 8, e come tangente da destra la retta di coefficiente angolare, cioè la retta. Inoltre, per risulta: f () ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) che è positiva per ogni >, mentre per <: ( ) 6 f () (6 ), ( ) ( ) ( ) che è positiva per. Riassumiamo nello schema della figura il segno complessivo della derivata. La funzione presenta un minimo per, con f (). Studiamo ora la derivata seconda. Per vale: ( )( ) ( )( ) f (), ( ) ( ) che è sempre positiva per, mentre per risulta: (6 )( ) ( )(6 ) f () ( ) f (), ( 8) Figura. f' () f () C = min + + A =+ che è sempre positiva per. Dunque la funzione ha sempre la concavità rivolta verso l alto. Nella figura è rappresentata la curva C. Figura. = O =8 Zanichelli Editore, 7 Pag.

15 c) Poiché la funzione è crescente per, cerchiamo i punti di intersezione tra la retta e la curva C per, risolvendo il seguente sistema:, 6 La curva interseca la retta nei punti A(; ) e B(6; ). L area cercata (figura ) vale: A 6 d. Operando la divisione tra polinomi, si ha che 9. Quindi risulta: A 6 7 d 9 7 9ln 6 C 6 B 8 ln. Figura. O A = PROBLEMA a) Rappresentiamo la piramide retta e tracciamo la circonferenza inscritta nel triangolo di base, con raggio OH (figura ). Calcoliamo la lunghezza dei lati del triangolo ABC. Posto BC, dall ipotesi segue che AB e, per il teorema di Pitagora, AC. Quindi l area del triangolo ABC vale A ABC 6. Deve dunque risultare: 6 a B a. Figura. Ne segue BC a, AB 6a e AC 8a. Per determinare la misura dell altezza VO utilizziamo la relazione trigonometrica VO OH tg. Ricaviamo OH ricordando la relazione che intercorre tra area, semiperimetro e raggio della circonferenza inscritta nel triangolo ABC: A ABC p ABC OH. Pertanto risulta: OH A ABC a a. p A BC a 6a 8a Troviamo ora tg, con angolo acuto sen cos 6 9 tg. Sostituiamo alla relazione VO OH tg : OH a. A H ϕ V α O C Zanichelli Editore, 7 Pag.

16 b) Indicata con h la distanza del vertice C dal piano della faccia VAB, essa è l altezza della piramide se consideriamo come base il triangolo VAB. Calcoliamo l area di tale triangolo: V O VH 6 a A VAB AB VH 7 8 a. se n Il volume della piramide è V A ABC VO 9 a. Ma anche V A VAB h 6 a h. Quindi deve risultare: 6 a h 9 a h 9 6 a. c) In figura è rappresentato il piano secante la piramide retta di partenza. C' V Sia la distanza OO del piano dalla base ABC, ossia l altezza del prisma. Allora A' a. O' I triangoli ABC e A B C si corrispondono nell omotetia di centro V e rapporto k V B' A O O. V O Poiché VO VO O O a a, si ha: k a a. a a B C α Figura. Poiché A A B C k ne segue che A A B C k A ABC (a ). AABC Il volume del prisma risulta quindi: V prisma A A B C OO (a ) ( a 76 a ). Il valore di che rende massimo tale volume coincide con il massimo della funzione: () a 76a, con ; a. Calcoliamo la derivata di tale funzione: () 7 8a 76a e studiamone il segno: () 6a 9a 8 a a. Figura 6. Riassumiamo la situazione nello schema di figura 6. + Si conclude che il volume del prisma è massimo per 8 a. d) Il perimetro della base del prisma è: p A B C k p ABC a () a a. ma a L area totale del prisma è dunque: (a ) (a)(7a) A prisma A A B C p A B C (a) a8a. '() 8 a a Zanichelli Editore, 7 6 Pag. 6

17 Osserviamo che tale area è espressa da una funzione il cui grafico è un arco di parabola con la concavità rivolta verso il basso. Tale funzione assume il suo valore massimo in corrispondenza dell ascissa del a vertice, cioè per a. In conclusione il prisma di volume massimo non ha anche la massima area totale. QUESTIONARIO L affermazione A è falsa in quanto una funzione può essere definita in un punto senza essere necessariamente ivi continua. Ad esempio: f () se se è definita in ma non è continua nello stesso punto. Anche l affermazione B è falsa in quanto una funzione può essere continua in un punto senza essere necessariamente derivabile. Ad esempio, la funzione è continua su tutto l asse reale ma non è derivabile in. La combinazione corretta è dunque D. Si consideri la figura 7. Indicata con a la lunghezza dello spigolo del cubo, il suo volume è V a. I due piani D DE e C CF dividono il cubo in quattro prismi retti di altezza a e basi i poligoni DFG, CDF, AEFG e CBEF. Indichiamo con V, V, V e V rispettivamente i volumi di tali prismi. Osserviamo che i triangoli CDG e AED sono congruenti, in quanto sono entrambi rettangoli con DC AD e CĜD AÊD (poiché entrambi complementari ad ADˆE). Dunque, sottraendo alle aree di tali triangoli quella del triangolo DFG, ne segue che AEFG e CDF hanno uguale area. Ora, poiché DG AE a, si ha, per il teorema di Pitagora, CG DE a a a. Inoltre, per il primo teorema di Euclide, DG FG CG, cioè a FG a. Perciò FG a e DF DG FG a a a a. Quindi risulta: C' C A DFG FG DF a a a, D' D A CDF A AEFG A AED A DFG a a a. Ne segue V A DFG a a e V V A CDF a a. In conclusione vale: V, V V V V V, V V. A' B' a F G B E A Figura 7. Applicando la formula di Newton, (a b) n n n k k ank b k, con a b, si ottiene n n n k k. L equazione di partenza è dunque equivalente a n 8 76 ovvero n log Questa è verificata per n. Zanichelli Editore, 7 7 Pag. 7

18 f (t) dt Il limite lim si presenta nella forma indeterminata. Per calcolarlo utilizziamo il teorema di cos De L Hospital tenendo conto che per il teorema fondamentale del calcolo integrale risulta D lim f (t) dt f( ) lim cos sen applicando di nuovo il teorema di De L Hospital: f ( ) lim cos. Utilizzando la definizione di derivata alla funzione f () a, otteniamo: f () lim f ( h ) f () lim a hh a lim a h h h h (ah h ) lim a lim a h. h h h Applichiamo il limite notevole lim a h ln a: h h f () a ln a. f (t)dt f(): 6 7 Sia p il semiperimetro del rettangolo e una delle dimensioni. Ne segue che l area del rettangolo è data dal prodotto (p ) p. Determiniamo il massimo della funzione p nell intervallo ]; [. Il grafico di tale funzione è un arco di parabola con la concavità rivolta verso il basso e quindi la funzione assume il valore massimo in corrispondenza del vertice che, in questo caso, ha ascissa p. Ne segue che tra tutti i rettangoli di assegnato perimetro, quello di area massima è il quadrato. Consideriamo l integrale f d f d. Operando la sostituzione t, si ottiene: f (t) dt [ ]. 8 Sia T è il trapezoide ABCD delimitato dalla curva di equazione f(), dall asse e dalle rette a e b (figura 8). Il volume V del solido generato dal trapezoide T in una rotazione completa attorno all asse è: f() D C V b f () d. a Per dimostrarlo, dividiamo l intervallo [a; b] in n parti uguali. Ognuna di queste parti ha lunghezza h b a. Disegniamo il n O A B plurirettangolo inscritto e quello circoscritto al trapezoide, che approssimano la sua area per difetto e per eccesso, e indichiamo con m i e M i le altezze dei rettangoli corrispondenti al sottointervallo i. Nella rotazione completa intorno all asse essi descrivono dei cilindri circolari di altezza h (figura 9). D' C' Figura 8. Zanichelli Editore, 7 8 Pag. 8

19 m i M i h O a b O a h b a. Ogni cilindro per difetto ha per base un cerchio di raggio m i e per altezza h. b. Ogni cilindro per eccesso ha per base un cerchio di raggio M i e per altezza h. Figura 9. Poiché la formula del volume del cilindro circolare di raggio r e altezza h è r h, il volume v n dei cilindri approssimanti il solido per difetto e il volume V n dei cilindri approssimanti per eccesso sono: v n m h m h m n h (m h m h m n h ), V n M h M h M n h (M h M h M n h ). Si può dimostrare che quando n le due successioni v n e V n tendono allo stesso limite e tale limite è uguale al prodotto tra per l integrale definito da a a b del quadrato di f () ossia: V lim v n lim V n n n b a f () d. 9 sen [( h)] sen Sia f () sen, allora f () lim. h h Applicando al numeratore la formula di prostaferesi sen p sen q cos p q sen p q, si ottiene: cos ( h) sen h f () lim lim cos ( h) se n h cos, h h h h essendo lim se n h. h h Un teorema di calcolo differenziale afferma che la condizione f (a) è necessaria ma non sufficiente affinché nel punto a vi sia un flesso. Infatti, ad esempio, la funzione è tale che. Dunque essa ha la derivata seconda che si annulla per, ma, essendo altrove sempre positiva, ha la concavità rivolta verso l alto e quindi non ammette flessi. Zanichelli Editore, 7 9 Pag. 9

20 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinaria Il candidato risolva uno dei due problemi e dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (O), è assegnata la curva k di equazione f (), dove è: f (). a) Determinare per quali valori di essa è situata nel semipiano e per quali nel semipiano. b) Trovare l equazione della parabola passante per l origine O degli assi e avente l asse di simmetria parallelo all asse, sapendo che essa incide ortogonalmente la curva k nel punto di ascissa (N.B.: si dice che una curva incide ortogonalmente un altra in un punto se le rette tangenti alle due curve in quel punto sono perpendicolari). c) Stabilire se la retta tangente alla curva k nel punto di ascissa ha in comune con k altri punti oltre a quello di tangenza. d) Determinare in quanti punti la curva k ha per tangente una retta parallela all asse. e) Enunciare il teorema di Lagrange e dire se sono soddisfatte le condizioni perché esso si possa applicare alla funzione f () assegnata, relativamente all intervallo. PROBLEMA Si considerino le lunghezze seguenti: [] a, a, a, dove a è una lunghezza nota non nulla ed è una lunghezza incognita. a) Determinare per quali valori di le lunghezze [] si possono considerare quelle dei lati di un triangolo non degenere. b) Stabilire se, fra i triangoli non degeneri i cui lati hanno le lunghezze [], ne esiste uno di area massima o minima. c) Verificato che per a le [] rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo, descriverne la costruzione geometrica con riga e compasso e stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo, acutangolo o ot- tusangolo. d) Indicato con ABC il triangolo di cui al precedente punto c, in modo che BC sia il lato maggiore, si conduca per A la retta perpendicolare al piano del triangolo e si prenda su di essa un punto D tale che AD sia lungo a: calcolare un valore approssimato a meno di un grado (sessagesimale) dell ampiezza dell angolo formato dai due piani DBC e ABC. Zanichelli Editore, 6 Pag.

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