Raccolta Temi d'esame - Corso di Ordinamento

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Raccolta Temi d'esame - Corso di Ordinamento"

Transcript

1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinaria Il candidato risolva uno dei due problemi e dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Si consideri la seguente relazione tra le variabili reali, :, a dove a è un parametro reale positivo. a) Esprimere in funzione di e studiare la funzione così ottenuta, disegnandone il grafico in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (O). b) Determinare per quali valori di a la curva disegnata risulta tangente o secante alla retta t di equazione. c) Scrivere l equazione della circonferenza k che ha il centro nel punto di coordinate (; ) e intercetta sulla retta t una corda di lunghezza. d) Calcolare le aree delle due regioni finite di piano in cui il cerchio delimitato da k è diviso dalla retta t. e) Determinare per quale valore del parametro a il grafico, di cui al precedente punto a), risulta tangente alla circonferenza k. PROBLEMA Considerato un qualunque triangolo ABC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che: BD DE EC. Siano poi M ed N i punti medi rispettivamente dei segmenti AD ed AE. a) Dimostrare che il quadrilatero DENM è la quarta parte del triangolo ABC. b) Ammesso che l area del quadrilatero DENM sia a, dove a è una lunghezza assegnata, e ammesso che l angolo ABˆC sia acuto e si abbia inoltre: AB a, BC a, verificare che tale quadrilatero risulta essere un trapezio rettangolo. c) Dopo aver riferito il piano della figura, di cui al precedente punto b), ad un conveniente sistema di assi cartesiani, trovare l equazione della parabola, avente l asse perpendicolare alla retta BC e passante per i punti M, N, C. d) Calcolare, infine, le aree delle regioni in cui tale parabola divide il triangolo ADC. Zanichelli Editore, 6 Pag.

2 QUESTIONARIO Indicata con f () una funzione reale di variabile reale, si sa che f () l per a, essendo l ed a numeri reali. Dire se ciò è sufficiente per concludere che f (a) l e fornire un esauriente spiegazione della risposta. Sia f () una funzione reale di variabile reale, continua nel campo reale, tale che f (). Calcolare: f () dt lim, e dove e è la base dei logaritmi naturali. Si consideri il cubo di spigoli AA, BB, CC, DD in cui due facce opposte sono i quadrati ABCD e A B D C. Sia E il punto medio dello spigolo AB. I piani ACC e D DE dividono il cubo in quattro parti. Dimostrare che la parte più estesa è il quintuplo di quella meno estesa. Un tronco di piramide ha basi di aree B e b ed altezza h. Dimostrare, col metodo preferito, che il suo volume V è espresso dalla seguente formula: V h (B b Bd ). In ogni caso esplicitare ciò che si ammette ai fini della dimostrazione Sia f () una funzione reale di variabile reale, derivabile in un intervallo [a, b] e tale che, per ogni di tale intervallo, risulti f (). Dimostrare che f () è costante in quell intervallo. Dimostrare che si ha: n n n k k k dove n, k sono numeri naturali qualsiasi, con n k. Fra i triangoli inscritti in un semicerchio quello isoscele ha: A) area massima e perimetro massimo; B) area massima e perimetro minimo; C) area minima e perimetro massimo; D)area minima e perimetro minimo. Una sola risposta è corretta: individuarla e darne un esauriente spiegazione. Considerata la funzione: f () a a, dove a è un parametro reale non nullo, determinare i valori di a per cui essa ha un massimo e un minimo relativi e quelli per cui non ha punti estremanti. Zanichelli Editore, 6 Pag.

3 9 Il limite della funzione sen cos, quando tende a, A) è uguale a ; B) è uguale ad ; C) è un valore diverso dai due precedenti; D)non è determinato. Una sola risposta è corretta: individuarla e darne un esauriente spiegazione. Si consideri la funzione sen. Stabilire se si può calcolarne il limite per e spiegare se il calcolo può essere effettuato ricorrendo al teorema di De cos L Hospital. Durata massima della prova: 6 ore È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore, 6 Pag.

4 SOLUZIONE DELLA PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinaria PROBLEMA a) Posto e, la relazione diventa a a a a da cui. La funzione da studiare è a a a a con dominio a. Si tratta di una funzione C a omografica il cui grafico è un iperbole equilatera con asintoti a a e a, centro di simmetria C (a; a) e vertici A(a; a), O(; ). In quest ultimo punto la funzione non è però definita e a presenta una discontinuità di terza specie con. Si a può tracciare il grafico (figura ) nel quale il valore di a è stato scelto in maniera arbitraria. a b) Si valuta la posizione reciproca tra la funzione e la retta discutendo il sistema a. L equazione risolvente è a ; essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è positivo o nullo. Poiché a, risulta a per a. Pertanto la retta t è secante per a, è tangente per a. c) La circonferenza k ha centro C (; ) noto e raggio incognito. Si tracci la perpendicolare C H alla retta t (figura ). Per un teorema della geometria euclidea, tale perpendicolare divide a metà la corda BD che la circonferenza stacca sulla retta. La distanza del punto C (; ) dalla retta vale: C H, mentre HB B D HB. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo BC H, risulta C B. Esso è il raggio cercato. L equazione della circonferenza k è: ( ) ( ) ovvero. d) Ponendo a sistema l equazione della circonferenza k e la retta t si trovano le coordinate dei punti B e D: B ; D. O a Valutando le coordinate dei punti C, B e D si osserva che i segmenti C B e C D sono rispettivamente paralleli agli assi cartesiani e quindi tra loro perpendicolari. Pertanto il settore circolare delimitato dall angolo BĈ D è la quarta parte del cerchio corrispondente alla circonferenza. Indicata con S l area del minore dei segmenti circolari in cui la retta t divide la circonferenza k, essa si ottiene per differenza t O C D A a = a H Figura. S B + = + = Figura. Zanichelli Editore, 6 Pag.

5 tra l area del settore e l area del triangolo C BD. S ( ). L area S del restante segmento circolare si ricava per differenza tra l area del cerchio e S : S () (). e) La risoluzione è compiuta per via geometrica poiché la discussione algebrica della tangenza tra circonferenza e iperbole porterebbe a un sistema di quarto grado difficilmente risolvibile per via elementare. Nella figura sono rappresentate le possibili posizioni dell iperbole parametrica rispetto alla circonferenza. a. b. c. Figura. Si osserva che entrambe le curve sono simmetriche rispetto alla bisettrice del I e III quadrante: nella circonferenza il centro si trova sulla bisettrice che è pertanto diametro e quindi asse di simmetria della circonferenza; nell iperbole la retta costituisce l asse trasverso dell iperbole stessa e pertanto è asse di simmetria. Ne consegue che i punti di intersezione tra le due curve sono a due a due simmetrici rispetto all asse di simmetria. Nel caso della tangenza due di questi punti devono coincidere e quindi trovarsi sulla bisettrice. Si trova il punto di tangenza T (figura b) risolvendo il sistema: (non accettabile). a Si impone all iperbole il passaggio per il punto T (, ): a a ( ) ( )( a) a ( ) a. a L iperbole è tangente alla circonferenza k per a. PROBLEMA a) Compiuta la costruzione (figura ), si applica una proprietà conseguenza del teorema di Talete al triangolo ADE: una retta, che determina su due lati di un triangolo segmenti proporzionali, è parallela al terzo lato. Pertanto, essendo AM MD AN NE, MN è parallelo a BC e il quadrilatero DENM è un trapezio. I triangoli AMN e ADE sono simili per il primo criterio e il rapporto di similitudine vale. Ne consegue che il rapporto tra le aree risulta, quindi: S AMN S ADE e quindi S DENM S ADE. Osservando i tre triangoli ABD, ADE e AEC, in cui è diviso il triangolo ABC, essi hanno base e altezza rispettivamente congruenti. Sono quindi A N M B H D E C Figura. Zanichelli Editore, 6 Pag.

6 equivalenti. Si può scrivere allora S ADE S ABC, che, sostituita all ultima relazione trovata, porta all espressione: S DENM S ADE S ABC S ABC. b) Poiché l area del quadrilatero DENM è un quarto dell area del triangolo ABC, quest ultimo ha superficie 9a. Si può ricavare l altezza AH: AH S B ABC C AH 9a a. a Si applichi il teorema di Pitagora al triangolo ABH: BH AB AH BH 6 9a a a. M A N Risulta BH BC e quindi H D. Il trapezio DENM è dunque rettangolo (figura ). c) Si ponga un sistema di assi cartesiani come nella figura 6, con O C. Dai dati geometrici precedenti le coordinate dei punti sono: A(a; a), M (a; 6a), N a; 6a, B (a; ), D (a; ) e E (a; ). Vista la scelta del sistema cartesiano l equazione della parabola con asse di simmetria perpendicolare al lato BC è della forma: r s. Imponendo alla funzione il passaggio per i punti N e M si ottiene il sistema a due incognite: 6a r a a r s s a a r s 6. 6a r (a) s (a) r Risolvendo si ricava la soluzione a. s 7 L equazione della parabola è pertanto: 7 a. Figura 6. Nella figura 6 è tracciata la parabola. d) Osservando la figura 6, si nota che la curva interseca il segmento AC oltre che nel punto O (; ) anche in un ulteriore punto P, di cui è necessario calcolare le coordinate. La retta passante per A e C ha equazione 6. 6 Il sistema ha soluzioni (; ) e P a; a. 7 a Si calcolano le aree delle figure mistilinee in cui la parabola divide il triangolo ADC attraverso l integrazione definita. a S AMP a 6 a 7 d B DH E C M A B D E C a O a a a a a Figura. 7 a a a a a. a 8 N P a 6a a Zanichelli Editore, 6 6 Pag. 6

7 L area rimanente S MPCD, che si trova sotto alla parabola, si calcola per differenza tra l area del triangolo ADC e l area S AMP : S MPCD a a a a. 8 8 QUESTIONARIO Se esiste finito il limite lim f () l, ciò è insufficiente per affermare che l immagine della funzione nel punto a vale f (a) l. Infatti, nelle ipotesi, non è noto che il punto a appartenga al dominio della funzione. a Tale punto potrebbe essere soltanto un punto di accumulazione del dominio. È il caso, per esempio, della funzione f (). Essa non è definita nel punto ma esiste il limite lim lim ( ). Il punto in questione è di discontinuità di terza specie. Diversamente, qualora il valore appartenga al dominio della funzione f, può essere che f (a) l. se Per esempio, la funzione f () ammette limite lim f () ma ciò è diverso dall imma- se gine f (). Si tratta ancora di un punto di discontinuità di terza specie. Partendo dal numeratore della frazione di cui è richiesto il calcolo del limite, poiché la funzione è continua in R, si può applicare il teorema della media integrale alla funzione f nell intervallo [; ]: f (t) dt f (z) ( ) f (z), con z [; ]. f (t) dt Pertanto lim f (z) lim f (z). e e e Ora, essendo z [; ], se tende a anche z tenderà a e lim f (z) lim f (z) per l ipotesi di continuità. Risulta quindi lim f (t) dt lim f ( z). e e e La costruzione richiesta dalle ipotesi è la seguente. Osservando la figura si nota che le quattro parti in cui viene suddiviso il cubo sono prismi retti che hanno la stessa altezza, pari allo spigolo del cubo (figura 7). Il confronto dei volumi richiesto si riduce così a un problema di geometria piana dove si confrontano le aree in cui viene a essere scomposta la superficie di base ABCD (figura 8). Si indica con a il lato del cubo. I triangoli AEF e DFC sono simili per il primo criterio di similitudine tra triangoli. Il rapporto di similitudine risul- AE ta:. D C a a. Tale rapporto vale anche per le altezze HF e FK e D' C' A' B' D C A E B Figura 7. Zanichelli Editore, 6 7 Pag. 7

8 quindi HF FK. Poiché HF FK a ne consegue che: D K C HF a e FK a. Si calcolano così le superfici: S AEF a a a ; S CFD a a a ; F S AFD S ACD S CDF a a a ; 6 S FEBC S ABC S AEF a a a ; A H E B Figura 8. La superficie più estesa S FEBC è il quintuplo della superficie meno estesa S AEF. Tale relazione è mantenuta per i corrispondenti volumi. Si prolunghino gli spigoli laterali del tronco di piramide di base, per esempio, triangolare (figura 9) e si tracci l altezza OH della piramide ottenuta. Si assuma OH h. Nota l espressione del volume di una piramide, il volume del tronco di piramide si calcola come la differenza dei volumi delle piramidi di vertice O e basi coincidenti con quelle del tronco. Pertanto: V B h b (h h) [h (B b) bh]. h' O K Ricordando il teorema relativo alle sezioni parallele di una piramide, in cui le aree delle sezioni sono direttamente proporzionali ai quadrati delle loro distanze dal vertice della piramide, si può scrivere: B b h (h h) e, estraendo la radice quadrata, B b h (h h). Da quest ultima relazione si ricava h : h H Figura 9. h hb B Bb h h. B b B b b B Infine, si sostituisce tale risultato nell espressione del volume: V [h (B b) bh ] [h (B Bb) bh ] h (B b Bb ). Si prenda un punto [a; b ]. Nell intervallo [a; ] la funzione soddisfa il Teorema di Lagrange cioè esiste almeno un punto c ]a; [ tale che: f ( ) f (a) f (c). a Per ipotesi f (c), pertanto f () f (a), cioè f () f (a) per ogni [a; b ]. La funzione è quindi costante nell intervallo di definizione. Zanichelli Editore, 6 8 Pag. 8

9 6 7 8 Si tratta della formula di Stifel dei coefficienti binomiali. Tale espressione, assunta come vera, può essere verificata membro a membro utilizzando la legge dei tre fattoriali n n!. Diversamente, essa si k k!(n k)! dimostra facendo riferimento al significato di n come il numero delle combinazioni di classe k i cui elementi sono scelti da un insieme A di n elementi distinti. Indicato con a un elemento di A, le combinazioni k di classe k che contengono l elemento a sono quelle combinazioni di n elementi di classe k, a cui si aggiunge l elemento a stesso. Il numero di questi sottoinsiemi è n. k Le combinazioni di classe k che non contengono l elemento a sono invece n. Pertanto, sommando k le combinazioni che contengono a con quelle che non lo contengono, si ottiene il numero complessivo delle combinazioni di n elementi di classe k cioè: n n n k k k. Osservando la figura si nota che un triangolo inscritto nella semicirconferenza ha area massima quando è massima l altezza CH. Ciò si realizza quando quest ultima coincide con il raggio r della semicirconferenza e il triangolo è isoscele (ABC ). Posto BÂC, con, si trova il perimetro f () del triangolo ABC: f () r r cos r sen. Si valutano i massimi e i minimi della funzione discutendo il segno della derivata prima f (): f () r ( sen cos ). Risolvendo la disequazione risulta che f è crescente per, decrescente per e ha massimo nel punto. Se BÂC ; il triangolo ABC è isoscele. Pertanto il triangolo isoscele inscritto ha area e perimetro massi- mo e la risposta esatta è A). La funzione polinomiale f () a a è continua e derivabile nel campo reale. Essa ha degli estremanti solo se la sua derivata prima, f () a a, non ha segno costante. Ciò avviene se il discriminante di f () risulta strettamente maggiore di zero, cioè: A r C' C O H B Figura. a 9a a 9 a. Si può concludere che per a 9 a la funzione f ha estremanti, mentre per 9 a non ne ha. Zanichelli Editore, 6 9 Pag. 9

10 Si noti che nel caso limite a 9 la derivata prima diventa: f () 7 9 Essa si annulla nel punto ed è negativa per ogni altro valore di. In tal caso la funzione non ha estremanti e ha in un punto di flesso orizzontale. 9 Si tratta di calcolare il limite lim sen cos. La funzione al numeratore, sen cos, non ammette limite per ma è comunque limitata se si tiene conto che sen e cos. Si può scrivere: sen cos sen cos e pertanto. Poiché lim e lim, per il teorema del confronto risulta lim sen cos e la risposta esatta è A). Dato il limite lim sen, si raccoglie al numeratore e al denominatore della frazione: cos se n lim se n sen lim lim. cos co s co s sen Poiché sen e quindi, per il teorema del confronto vale lim se n. Allo stesso modo si dimostra che lim co s. Pertanto esiste il limite: se n lim sen lim. cos co s f( ) Alla luce del teorema di De L Hospital, volendo trattare il limite lim, una delle condizioni dell ipotesi g ( ) è che deve esistere un valore M tale che, M, le funzioni f () e g () siano derivabili e g (). Nel caso in questione g () cos e g () sen. Si osserva che la derivata prima si annulla per k con k intero e quindi non esiste un intorno di in cui valga sempre g (). Pertanto il teorema non può essere applicato. Zanichelli Editore, 6 Pag.

11 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Si consideri la funzione reale f m di variabile reale tale che: f m, m m dove m è un parametro reale non nullo. a) Trovare gli insiemi di definizione, di continuità e di derivabilità della funzione. b) Indicata con C la curva rappresentativa della funzione f () corrispondente ad m, studiarla e disegnarla in un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali, dopo aver determinato, in particolare, le equazioni dei suoi asintoti e il comportamento nel punto A di ascissa. c) Calcolare l area della regione finita di piano delimitata dalla curva C e dalla retta parallela all asse delle ascisse condotta per il punto A. PROBLEMA Una piramide retta, di vertice V, ha per base il triangolo ABC, rettangolo in A, la cui area è a, dove a è una lunghezza assegnata. Si sa inoltre che A B e che il piano della faccia VAB della piramide forma BC con il piano della base ABC un angolo tale che sen. a) Calcolare l altezza della piramide. b) Controllato che essa è a, calcolare la distanza del vertice C dal piano della faccia VAB. c) Condotto, parallelamente alla base ABC, un piano che sechi la piramide e considerato il prisma retto avente una base coincidente con il triangolo sezione e per altezza la distanza di dalla base ABC, calcolare per quale valore di tale distanza il prisma ha volume massimo. d) Il prisma di volume massimo ha anche la massima area totale? Zanichelli Editore, 7 Pag.

12 QUESTIONARIO Considerata una funzione reale di variabile reale f (), si prendano in esame le due seguenti proposizioni: A: condizione necessaria e sufficiente affinché f () sia definita in un punto a è che sia continua in a. B: condizione necessaria e sufficiente affinché f () sia continua in un punto a è che sia derivabile in a. Una sola delle seguenti combinazioni è corretta: individuarla e fornire un esauriente giustificazione della risposta. A A vera - B vera B A vera - B falsa C A falsa - B vera D A falsa - B falsa Si consideri il cubo di spigoli AA, BB, CC, DD, in cui due facce opposte sono i quadrati ABCD e A B C D. Indicato con E il punto medio dello spigolo AB, sia CF la retta perpendicolare a DE condotta per C. I piani D DE e C CF dividono il cubo in quattro parti. Calcolare a quale frazione del cubo equivale ciascuna di esse. Calcolare se esiste un numero naturale n per il quale risulti: n k n k Sia f () una funzione reale di variabile reale, derivabile con derivata continua in tutto il campo reale, tale che: f () ed f (). Calcolare: f (t) dt lim cos Dimostrare che la derivata, rispetto a, della funzione a, dove a è un numero reale positivo diverso da, è a ln a. Fra i rettangoli di dato perimetro determinare quello di area massima. Una primitiva della funzione f () è. Se è possibile calcolare f d, determinare il valore dell integrale. In caso contrario spiegare perché il calcolo non è possibile. In un piano, riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali (O), sia T un trapezoide di base [a; b] relativo alla funzione f (), continua in tale intervallo. Dimostrare la formula che esprime il volume del solido generato dal trapezoide quando ruota di un giro completo attorno all asse. Calcolare la derivata della funzione sen rispetto alla variabile, ricorrendo alla definizione di derivata di una funzione. Considerata una funzione reale di variabile reale f (), derivabile almeno due volte in un dato punto a, affinché la funzione f () abbia in a un punto di flesso la condizione f (a) è: A necessaria e sufficiente. B necessaria ma non sufficiente. C sufficiente ma non necessaria. Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un esauriente spiegazione della risposta. Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore, 7 Pag.

13 SOLUZIONE DELLA PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO Sessione suppletiva PROBLEMA a) Per determinare il campo di esistenza della funzione poniamo il denominatore diverso da : m m m m. Tale condizione è sempre vera se m >. Se m (m per ipotesi) risulta: m m m m. Pertanto il campo di esistenza D si può così scrivere: D R se m R {m, m} se m Valutiamo la continuità della funzione. Per m essa è continua nel campo reale. Per m la funzione è continua in R {m, m}, mentre ammette discontinuità di seconda specie nei punti m e m. Stabiliamo l insieme di derivabilità della funzione riscrivendola nel seguente modo: m m m f m Osserviamo che per ogni m appartenente al campo di esistenza, la funzione è derivabile poiché funzione a tratti di funzioni derivabili. Determiniamo il comportamento per m utilizzando la definizione di derivata e calcolando il limite destro e sinistro del rapporto incrementale: lim h lim h m m m f m (m h) f m (m) h f m (m h) f m (m) h lim h h lim h h ( m h) m m h m lim h, h m h (m h) m m h m lim h 8m 8. h m h Essendo tali limiti diversi, si conclude che la funzione non è derivabile per m. Pertanto l insieme di derivabilità D è: D R {m} se m R {m, m, m} se m b) Per m si ha: se f () se se Zanichelli Editore, 7 Pag.

14 Il campo di esistenza della funzione è R. La corrispondente curva C interseca gli assi solamente nell origine. Inoltre f (). Calcoliamo ora i limiti per che tende a. lim lim, Cerchiamo gli eventuali asintoti obliqui: lim f ( ) lim, lim [ f () ] lim lim, quindi la retta è asintoto per ; lim f ( ) lim, lim [ f () ] lim lim, lim lim. quindi la retta è asintoto per. Per quanto riguarda la derivata prima, sappiamo dal punto a) che f non è derivabile in, poiché la derivata destra vale mentre quella sinistra vale 8. In particolare è un punto angoloso e la curva C in tale punto A(; ) ha come tangente da sinistra la retta di coefficiente angolare 8, ovvero la retta 8, e come tangente da destra la retta di coefficiente angolare, cioè la retta. Inoltre, per risulta: f () ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) che è positiva per ogni >, mentre per <: ( ) 6 f () (6 ), ( ) ( ) ( ) che è positiva per. Riassumiamo nello schema della figura il segno complessivo della derivata. La funzione presenta un minimo per, con f (). Studiamo ora la derivata seconda. Per vale: ( )( ) ( )( ) f (), ( ) ( ) che è sempre positiva per, mentre per risulta: (6 )( ) ( )(6 ) f () ( ) f (), ( 8) Figura. f' () f () C = min + + A =+ che è sempre positiva per. Dunque la funzione ha sempre la concavità rivolta verso l alto. Nella figura è rappresentata la curva C. Figura. = O =8 Zanichelli Editore, 7 Pag.

15 c) Poiché la funzione è crescente per, cerchiamo i punti di intersezione tra la retta e la curva C per, risolvendo il seguente sistema:, 6 La curva interseca la retta nei punti A(; ) e B(6; ). L area cercata (figura ) vale: A 6 d. Operando la divisione tra polinomi, si ha che 9. Quindi risulta: A 6 7 d 9 7 9ln 6 C 6 B 8 ln. Figura. O A = PROBLEMA a) Rappresentiamo la piramide retta e tracciamo la circonferenza inscritta nel triangolo di base, con raggio OH (figura ). Calcoliamo la lunghezza dei lati del triangolo ABC. Posto BC, dall ipotesi segue che AB e, per il teorema di Pitagora, AC. Quindi l area del triangolo ABC vale A ABC 6. Deve dunque risultare: 6 a B a. Figura. Ne segue BC a, AB 6a e AC 8a. Per determinare la misura dell altezza VO utilizziamo la relazione trigonometrica VO OH tg. Ricaviamo OH ricordando la relazione che intercorre tra area, semiperimetro e raggio della circonferenza inscritta nel triangolo ABC: A ABC p ABC OH. Pertanto risulta: OH A ABC a a. p A BC a 6a 8a Troviamo ora tg, con angolo acuto sen cos 6 9 tg. Sostituiamo alla relazione VO OH tg : OH a. A H ϕ V α O C Zanichelli Editore, 7 Pag.

16 b) Indicata con h la distanza del vertice C dal piano della faccia VAB, essa è l altezza della piramide se consideriamo come base il triangolo VAB. Calcoliamo l area di tale triangolo: V O VH 6 a A VAB AB VH 7 8 a. se n Il volume della piramide è V A ABC VO 9 a. Ma anche V A VAB h 6 a h. Quindi deve risultare: 6 a h 9 a h 9 6 a. c) In figura è rappresentato il piano secante la piramide retta di partenza. C' V Sia la distanza OO del piano dalla base ABC, ossia l altezza del prisma. Allora A' a. O' I triangoli ABC e A B C si corrispondono nell omotetia di centro V e rapporto k V B' A O O. V O Poiché VO VO O O a a, si ha: k a a. a a B C α Figura. Poiché A A B C k ne segue che A A B C k A ABC (a ). AABC Il volume del prisma risulta quindi: V prisma A A B C OO (a ) ( a 76 a ). Il valore di che rende massimo tale volume coincide con il massimo della funzione: () a 76a, con ; a. Calcoliamo la derivata di tale funzione: () 7 8a 76a e studiamone il segno: () 6a 9a 8 a a. Figura 6. Riassumiamo la situazione nello schema di figura 6. + Si conclude che il volume del prisma è massimo per 8 a. d) Il perimetro della base del prisma è: p A B C k p ABC a () a a. ma a L area totale del prisma è dunque: (a ) (a)(7a) A prisma A A B C p A B C (a) a8a. '() 8 a a Zanichelli Editore, 7 6 Pag. 6

17 Osserviamo che tale area è espressa da una funzione il cui grafico è un arco di parabola con la concavità rivolta verso il basso. Tale funzione assume il suo valore massimo in corrispondenza dell ascissa del a vertice, cioè per a. In conclusione il prisma di volume massimo non ha anche la massima area totale. QUESTIONARIO L affermazione A è falsa in quanto una funzione può essere definita in un punto senza essere necessariamente ivi continua. Ad esempio: f () se se è definita in ma non è continua nello stesso punto. Anche l affermazione B è falsa in quanto una funzione può essere continua in un punto senza essere necessariamente derivabile. Ad esempio, la funzione è continua su tutto l asse reale ma non è derivabile in. La combinazione corretta è dunque D. Si consideri la figura 7. Indicata con a la lunghezza dello spigolo del cubo, il suo volume è V a. I due piani D DE e C CF dividono il cubo in quattro prismi retti di altezza a e basi i poligoni DFG, CDF, AEFG e CBEF. Indichiamo con V, V, V e V rispettivamente i volumi di tali prismi. Osserviamo che i triangoli CDG e AED sono congruenti, in quanto sono entrambi rettangoli con DC AD e CĜD AÊD (poiché entrambi complementari ad ADˆE). Dunque, sottraendo alle aree di tali triangoli quella del triangolo DFG, ne segue che AEFG e CDF hanno uguale area. Ora, poiché DG AE a, si ha, per il teorema di Pitagora, CG DE a a a. Inoltre, per il primo teorema di Euclide, DG FG CG, cioè a FG a. Perciò FG a e DF DG FG a a a a. Quindi risulta: C' C A DFG FG DF a a a, D' D A CDF A AEFG A AED A DFG a a a. Ne segue V A DFG a a e V V A CDF a a. In conclusione vale: V, V V V V V, V V. A' B' a F G B E A Figura 7. Applicando la formula di Newton, (a b) n n n k k ank b k, con a b, si ottiene n n n k k. L equazione di partenza è dunque equivalente a n 8 76 ovvero n log Questa è verificata per n. Zanichelli Editore, 7 7 Pag. 7

18 f (t) dt Il limite lim si presenta nella forma indeterminata. Per calcolarlo utilizziamo il teorema di cos De L Hospital tenendo conto che per il teorema fondamentale del calcolo integrale risulta D lim f (t) dt f( ) lim cos sen applicando di nuovo il teorema di De L Hospital: f ( ) lim cos. Utilizzando la definizione di derivata alla funzione f () a, otteniamo: f () lim f ( h ) f () lim a hh a lim a h h h h (ah h ) lim a lim a h. h h h Applichiamo il limite notevole lim a h ln a: h h f () a ln a. f (t)dt f(): 6 7 Sia p il semiperimetro del rettangolo e una delle dimensioni. Ne segue che l area del rettangolo è data dal prodotto (p ) p. Determiniamo il massimo della funzione p nell intervallo ]; [. Il grafico di tale funzione è un arco di parabola con la concavità rivolta verso il basso e quindi la funzione assume il valore massimo in corrispondenza del vertice che, in questo caso, ha ascissa p. Ne segue che tra tutti i rettangoli di assegnato perimetro, quello di area massima è il quadrato. Consideriamo l integrale f d f d. Operando la sostituzione t, si ottiene: f (t) dt [ ]. 8 Sia T è il trapezoide ABCD delimitato dalla curva di equazione f(), dall asse e dalle rette a e b (figura 8). Il volume V del solido generato dal trapezoide T in una rotazione completa attorno all asse è: f() D C V b f () d. a Per dimostrarlo, dividiamo l intervallo [a; b] in n parti uguali. Ognuna di queste parti ha lunghezza h b a. Disegniamo il n O A B plurirettangolo inscritto e quello circoscritto al trapezoide, che approssimano la sua area per difetto e per eccesso, e indichiamo con m i e M i le altezze dei rettangoli corrispondenti al sottointervallo i. Nella rotazione completa intorno all asse essi descrivono dei cilindri circolari di altezza h (figura 9). D' C' Figura 8. Zanichelli Editore, 7 8 Pag. 8

19 m i M i h O a b O a h b a. Ogni cilindro per difetto ha per base un cerchio di raggio m i e per altezza h. b. Ogni cilindro per eccesso ha per base un cerchio di raggio M i e per altezza h. Figura 9. Poiché la formula del volume del cilindro circolare di raggio r e altezza h è r h, il volume v n dei cilindri approssimanti il solido per difetto e il volume V n dei cilindri approssimanti per eccesso sono: v n m h m h m n h (m h m h m n h ), V n M h M h M n h (M h M h M n h ). Si può dimostrare che quando n le due successioni v n e V n tendono allo stesso limite e tale limite è uguale al prodotto tra per l integrale definito da a a b del quadrato di f () ossia: V lim v n lim V n n n b a f () d. 9 sen [( h)] sen Sia f () sen, allora f () lim. h h Applicando al numeratore la formula di prostaferesi sen p sen q cos p q sen p q, si ottiene: cos ( h) sen h f () lim lim cos ( h) se n h cos, h h h h essendo lim se n h. h h Un teorema di calcolo differenziale afferma che la condizione f (a) è necessaria ma non sufficiente affinché nel punto a vi sia un flesso. Infatti, ad esempio, la funzione è tale che. Dunque essa ha la derivata seconda che si annulla per, ma, essendo altrove sempre positiva, ha la concavità rivolta verso l alto e quindi non ammette flessi. Zanichelli Editore, 7 9 Pag. 9

20 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinaria Il candidato risolva uno dei due problemi e dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (O), è assegnata la curva k di equazione f (), dove è: f (). a) Determinare per quali valori di essa è situata nel semipiano e per quali nel semipiano. b) Trovare l equazione della parabola passante per l origine O degli assi e avente l asse di simmetria parallelo all asse, sapendo che essa incide ortogonalmente la curva k nel punto di ascissa (N.B.: si dice che una curva incide ortogonalmente un altra in un punto se le rette tangenti alle due curve in quel punto sono perpendicolari). c) Stabilire se la retta tangente alla curva k nel punto di ascissa ha in comune con k altri punti oltre a quello di tangenza. d) Determinare in quanti punti la curva k ha per tangente una retta parallela all asse. e) Enunciare il teorema di Lagrange e dire se sono soddisfatte le condizioni perché esso si possa applicare alla funzione f () assegnata, relativamente all intervallo. PROBLEMA Si considerino le lunghezze seguenti: [] a, a, a, dove a è una lunghezza nota non nulla ed è una lunghezza incognita. a) Determinare per quali valori di le lunghezze [] si possono considerare quelle dei lati di un triangolo non degenere. b) Stabilire se, fra i triangoli non degeneri i cui lati hanno le lunghezze [], ne esiste uno di area massima o minima. c) Verificato che per a le [] rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo, descriverne la costruzione geometrica con riga e compasso e stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo, acutangolo o ot- tusangolo. d) Indicato con ABC il triangolo di cui al precedente punto c, in modo che BC sia il lato maggiore, si conduca per A la retta perpendicolare al piano del triangolo e si prenda su di essa un punto D tale che AD sia lungo a: calcolare un valore approssimato a meno di un grado (sessagesimale) dell ampiezza dell angolo formato dai due piani DBC e ABC. Zanichelli Editore, 6 Pag.

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 00 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Se il polinomio

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva ESME DI STT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINMENT 1 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei 1 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEM 1 Si consideri la funzione reale

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Nel piano riferito

Dettagli

Corso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA

Corso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Sessione straordinaria - a.s. 9- ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Tema di: MATEMATICA a.s. 9- Svolgimento a cura di Nicola De Rosa Il candidato risolva uno

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2011

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2011 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A

LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 6/7 SIMULAZIONE DI II PROVA - A Tempo a disposizione: cinque ore E consentito l uso della calcolatrice non programmabile. Non è consentito uscire dall aula

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 2011. Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario 1.

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 2011. Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario 1. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 11 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 1 quesiti scelti nel questionario 1. PROBLEMA 1 Si considerino le funzioni f e g definite, per

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2008

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2008 PRVA SPERIMENTALE P.N.I. 8 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 8 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Nel piano riferito

Dettagli

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it PROBLEMA Data una semicirconferenza di diametro AB =, si prenda su di essa un punto P e sia M la proiezione di P

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 Sessione straordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 3 Sessione straordinaria Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA È assegnata

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei 1 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 In un piano, riferito

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004 Sessione straordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 004 Sessione straordinaria Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un piano

Dettagli

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x). Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento RTICL rchimede 4 esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PRBLEM Siano f e g le funzioni

Dettagli

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π PROBLEMA Il triangolo rettangolo ABC ha l ipotenusa AB = a e l angolo CAB =. a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio, l arco di circonferenza di estremi P e Q rispettivamente

Dettagli

MODULO DI MATEMATICA. di accesso al triennio. Potenze. Proporzioni. Figure piane. Calcolo di aree

MODULO DI MATEMATICA. di accesso al triennio. Potenze. Proporzioni. Figure piane. Calcolo di aree MODULO DI MATEMATICA di accesso al triennio Abilità interessate Utilizzare terminologia specifica. Essere consapevoli della necessità di un linguaggio condiviso. Utilizzare il disegno geometrico, per assimilare

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e

Dettagli

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Archimede esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA La funzione f

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento ARTICOLO Archimede 4 4 esame di stato 4 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Nella figura

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

Parte Seconda. Geometria

Parte Seconda. Geometria Parte Seconda Geometria Geometria piana 99 CAPITOLO I GEOMETRIA PIANA Geometria: scienza che studia le proprietà delle figure geometriche piane e solide, cioè la forma, l estensione e la posizione dei

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli gennaio 9 Indice Introduzione iii Nozioni preliminari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................

Dettagli

PROGRAMMA CONSUNTIVO

PROGRAMMA CONSUNTIVO PAGINA: 1 PROGRAMMA CONSUNTIVO A.S.2014-15 SCUOLA: Liceo Linguistico Teatro alla Scala DOCENTE: BASSO RICCI MARIA MATERIA: MATEMATICA- INFORMATICA Classe 2 Sezione A CONTENUTI Sistemi lineari numerici

Dettagli

Esame di Stato - Matematica (1998-2008)

Esame di Stato - Matematica (1998-2008) Esame di Stato - Matematica (1998-2008) 17 settembre 2008 2 1. (Sessione Ordinaria, 1998) - Corso di Ordinamento (a) In un piano, riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, sono assegnate

Dettagli

Piano Lauree Scientifiche 2011-2012

Piano Lauree Scientifiche 2011-2012 Piano Lauree Scientifiche 2011-2012 «non si può intendere se prima non s impara a intender lingua, e conoscer i caratteri, nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri sono triangoli,

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 LIBRO DI TESTO:L. Sasso Nuova Matematica a colori Algebra e Geometria 1 edizione Azzurra ed. Petrini TEMA A I numeri e linguaggio della Matemati Unità 1

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

Liceo G.B. Vico Corsico

Liceo G.B. Vico Corsico Liceo G.B. Vico Corsico Classe: 3A Materia: MATEMATICA Insegnante: Nicola Moriello Testo utilizzato: Bergamini Trifone Barozzi: Manuale blu.0 di Matematica Moduli S, L, O, Q, Beta ed. Zanichelli 1) Programma

Dettagli

I quesiti dal 2008 al 2012 a cura di Daniela Valenti

I quesiti dal 2008 al 2012 a cura di Daniela Valenti I quesiti dal 2008 al 2012 a cura di Daniela Valenti Geometria del piano e dello spazio, trigonometria [2008, ORD] Si consideri la seguente proposizione: Se due solidi hanno uguale volume, allora, tagliati

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE. Corsi di Laurea in Ingegneria. Luciano BATTAIA, Pier Carlo CRAIGHERO MATEMATICA DI BASE

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE. Corsi di Laurea in Ingegneria. Luciano BATTAIA, Pier Carlo CRAIGHERO MATEMATICA DI BASE UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE Corsi di Laurea in Ingegneria Luciano BATTAIA, Pier Carlo CRAIGHERO MATEMATICA DI BASE Testi dei temi d esame ed esercizi proposti con soluzione breve Versione del 1 settembre

Dettagli

CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica

CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica Programma svolto di MATEMATICA Anno scolastico 2013/14 ELEMENTI DI RACCORDO CON LA SCUOLA MEDIA GLI INSIEMI CALCOLO LETTERALE GEOMETRIA - Ordinamento, proprietà,

Dettagli

MATEMATICA. PRIMO ANNO (Liceo Classico e Liceo delle Scienze Umane)

MATEMATICA. PRIMO ANNO (Liceo Classico e Liceo delle Scienze Umane) 1/7 PRIMO ANNO Testo consigliato: BERGAMINI TRIFONE BAROZZI, Matematica.azzurro, vol. 1, Zanichelli Obiettivi minimi. Acquisire il linguaggio specifico della disciplina; sviluppare espressioni algebriche

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA GEOMETRIA \ GEOMETRIA EUCLIDEA \ GEOMETRIA DEL PIANO (1)

APPUNTI DI MATEMATICA GEOMETRIA \ GEOMETRIA EUCLIDEA \ GEOMETRIA DEL PIANO (1) GEOMETRIA \ GEOMETRIA EUCLIDEA \ GEOMETRIA DEL PIANO (1) Un ente (geometrico) è un oggetto studiato dalla geometria. Per descrivere gli enti vengono utilizzate delle definizioni. Una definizione è una

Dettagli

B. Vogliamo determinare l equazione della retta

B. Vogliamo determinare l equazione della retta Risoluzione quesiti ordinamento Quesito N.1 Indicata con α la misura dell angolo CAB, si ha che: 1 Area ( ABC ) = AC AB sinα = 3 sinα π 3 sinα = 3 sinα = 1 α = Il triangolo è quindi retto in A. La misura

Dettagli

TAVOLE E FORMULARI DI MATEMATICA PER LE SCUOLE MEDIE E SUPERIORI DI OGNI ORDINE E GRADO

TAVOLE E FORMULARI DI MATEMATICA PER LE SCUOLE MEDIE E SUPERIORI DI OGNI ORDINE E GRADO TAVOLE E FORMULARI DI MATEMATICA PER LE SCUOLE MEDIE E SUPERIORI DI OGNI ORDINE E GRADO Carlo Sintini www.matematicamente.it INDICE TAVOLE NUMERICHE Potenze e radici quadre e cube dei numeri fino a 200

Dettagli

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Docente: DI LISCIA F. Materia: MATEMATICA CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Insiemi numerici: numeri naturali, proprietà delle operazioni aritmetiche; Potenze e loro proprietà; Criteri di divisibilità;

Dettagli

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA Simulazione 01/15 ANNO SCOLASTICO 01/15 PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO PER IL LICEO SCIENTIFICO Il candidato risolva uno dei due problemi Problema 1 Nella

Dettagli

Competenze. -Saper semplificare le frazioni algebriche -Saper eseguire le operazioni con le frazioni algebriche

Competenze. -Saper semplificare le frazioni algebriche -Saper eseguire le operazioni con le frazioni algebriche Disciplina MATEMATICA Secondo biennio e anno conclusivo Liceo Economico sociale Classe terza Finalità Conoscenze Obiettivi minimi Finalità della matematica nel corso del secondo biennio è di proseguire

Dettagli

6. Con uno dei metodi di quadratura studiati, si calcoli un approssimazione dell integrale definito

6. Con uno dei metodi di quadratura studiati, si calcoli un approssimazione dell integrale definito quesiti QUESTIO ARIO - P I - sessione ordinaria Provare che una sfera è equivalente ai del cilindro circoscritto Determinare il numero delle soluzioni dell equazione e + e = Dimostrare che se p() è un

Dettagli

PROGRAMMAZIONE DEL DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 2015/2016 Classi Prime

PROGRAMMAZIONE DEL DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 2015/2016 Classi Prime PROGRAMMAZIONE DEL DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 2015/2016 Classi Prime Metodi e strumenti Nelle lezioni in aula si farà uso: [] della lezione dialogata (utilizzata di norma, e che prevede lo sviluppo anche

Dettagli

ESAME DI STATO 2006, SECONDA PROVA SCRITTA PER I LICEI SCIENTIFICI SCIENTIFICI DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2006, SECONDA PROVA SCRITTA PER I LICEI SCIENTIFICI SCIENTIFICI DI ORDINAMENTO 4 006 Archimede ESAME DI STATO 006, SECONDA PROVA SCRITTA PER I LICEI SCIENTIFICI SCIENTIFICI DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario.

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2014

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2014 SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 01 1. Determiniamo l espressione analitica di g() dividendo il suo dominio in intervalli. La circonferenza di diametro AO ha equazione (+) + = + + = 0

Dettagli

Funzioni reali di più variabili reali

Funzioni reali di più variabili reali Funzioni reali di più variabili reali Generalità. Indichiamo con R n il prodotto cartesiano di R per sé stesso, n volte: R n = {(, 2,, n ) ;! R,, n!r}. Quando n = 2 oppure n = 3 indicheremo le coordinate

Dettagli

Generalità sulle funzioni

Generalità sulle funzioni Capitolo Concetto di funzione Generalità sulle funzioni Definizione di funzione Definizione Dato un sottoinsieme non vuoto D di R, si chiama funzione reale di variabile reale, una relazione che ad ogni

Dettagli

Liceo scientifico Albert Einstein. Anno scolastico 2009-2010. Classe V H. Lavoro svolto dalla prof.ssa Irene Galbiati. Materia: MATEMATICA

Liceo scientifico Albert Einstein. Anno scolastico 2009-2010. Classe V H. Lavoro svolto dalla prof.ssa Irene Galbiati. Materia: MATEMATICA Liceo scientifico Albert Einstein Anno scolastico 2009-2010 Classe V H Lavoro svolto dalla prof.ssa Irene Galbiati Materia: MATEMATICA PROGRAMMA DI MATEMATICA CLASSE V H Contenuti Ripasso dei prerequisiti

Dettagli

Simulazione di prova d Esame di Stato

Simulazione di prova d Esame di Stato 1 Simulazione di prova d Esame di Stato Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario Nome Cognome Classe Data / / Problema 1 Sia y = f(x) una funzione reale di variabile

Dettagli

I.I.S. "MARGHERITA DI SAVOIA" a.s. 20014-2015 LICEO LINGUISTICO classe I BL Programma di MATEMATICA

I.I.S. MARGHERITA DI SAVOIA a.s. 20014-2015 LICEO LINGUISTICO classe I BL Programma di MATEMATICA classe I BL Numeri naturali L insieme dei numeri naturali e le quattro operazioni aritmetiche. Le potenze. Espressioni. Divisibilità, numeri primi. M.C.D. e m.c.m. Numeri interi relativi L insieme dei

Dettagli

Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti. Equazioni e Disequazioni

Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti. Equazioni e Disequazioni Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti Equazioni e Disequazioni Ripasso generale relativo alla risoluzione di equazioni, disequazioni,

Dettagli

Soluzione Punto 1 Si calcoli in funzione di x la differenza d(x) fra il volume del cono avente altezza AP e base il

Soluzione Punto 1 Si calcoli in funzione di x la differenza d(x) fra il volume del cono avente altezza AP e base il Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 74 PROBLEMA Considerata una sfera di diametro AB, lungo, per un punto P di tale diametro si conduca il piano α perpendicolare ad esso

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15 Materia: FISICA 1) INTRODUZIONE ALLA SCIENZA E AL METODO SCIENTIFICO La Scienza moderna. Galileo ed il metodo sperimentale. Grandezze

Dettagli

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni:

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni: FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI 1. Esercizi Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso: 1) f(x, ) = log(x x ) ) f(x, ) = x + 3) f(x,

Dettagli

11. L integrazione. 11.2 Integrazione definita. Prerequisiti

11. L integrazione. 11.2 Integrazione definita. Prerequisiti . L integrazione. Integrazione definita Prerequisiti Concetto di limite Continuità di una funzione Calcolo differenziale Calcolo integrale Concetto di volume Metodo degli indivisibili di Cavalieri Obiettivi

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE A. A. 2014-2015 L. Doretti 1 Il concetto di derivata di una funzione è uno dei più importanti e fecondi di tutta la matematica sia per

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio. Funzioni e insiemi numerici.4 Verificare che (A B) (A B) = (A A ) B. ) Sia (a, b) (A B) (A B). Allora a (A A ) e b B, da cui (a,

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2. FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di

Dettagli

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d.

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d. 1) Il valore di 5 10 20 è: a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 2) Il valore del rapporto (2,8 10-4 ) / (6,4 10 2 ) è: a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori 3) La quantità

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE. Corsi di Laurea in Ingegneria. A cura di Jung Kyu CANCI e Domenico FRENI. Con la collaborazione di

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE. Corsi di Laurea in Ingegneria. A cura di Jung Kyu CANCI e Domenico FRENI. Con la collaborazione di UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE Corsi di Laurea in Ingegneria A cura di Jung Kyu CANCI e Domenico FRENI Con la collaborazione di Luciano BATTAIA e Pier Carlo CRAIGHERO MATEMATICA DI BASE TEMI D ESAME 9

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA. Lezione n 7

METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA. Lezione n 7 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Lezione n 7 In questa lezione percorriamo gli argomenti della geometria che interessano la scuola primaria, in modo essenziale, o meglio ancora sommario.

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti

Rilevazione degli apprendimenti Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 00-0 PROVA DI MATEMATIA Scuola secondaria di II grado lasse... Studente... Simulazioni di prove costruite secondo il Quadro di riferimento Invalsi pubblicato

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Elenco Ordinato per Materia Chimica

Elenco Ordinato per Materia Chimica ( [B,25404] Perché le ossa degli uccelli sono pneumatiche, cioè ripiene di aria? C (A) per consentire i movimenti angolari (B) per immagazzinare come riserva di ossigeno X(C) per essere più leggere onde

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

CLASSI PRIME tecnico 4 ORE

CLASSI PRIME tecnico 4 ORE PIANO ANNUALE a.s. 2012/2013 CLASSI PRIME tecnico 4 ORE Settembre Ottobre Novembre dicembre dicembre gennaio- 15 aprile 15 aprile 15 maggio Somministrazione di test di ingresso. Insiemi numerici Operazioni

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

COSTRUZIONI E DISEGNO RELATIVO E NOZIONI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA (SEZIONE DI AGRIMENSURA)

COSTRUZIONI E DISEGNO RELATIVO E NOZIONI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA (SEZIONE DI AGRIMENSURA) Istruzioni e programmi d insegnamento per gli istituti tecnici approvati con regio decreto 2 ottobre 1891 n. 622 (Raccolta ufficiale delle leggi e dei decreti del Regno d Italia, Roma, Stamperia Reale,

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 2 CORSO DI ORDINAMENTO 2013. 8 4 + x 2, con dominio R (infatti x2 + 4 0 per ogni. 8 4 + ( x) = 8. 4 + x 2

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 2 CORSO DI ORDINAMENTO 2013. 8 4 + x 2, con dominio R (infatti x2 + 4 0 per ogni. 8 4 + ( x) = 8. 4 + x 2 SOLUZIONE DEL PROBLEMA CORSO DI ORDINAMENTO. Studiamo la funzione f(x) = x R). Notiamo che f( x) = 4 + x, con dominio R (infatti x + 4 per ogni 4 + ( x) = 4 + x = f(x), cioè la funzione è pari e il grafico

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

CLASSE 4B LICEO SCIENTIFICO PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2011-12. Disciplina : MATEMATICA. Docente Prof.ssa Paola Perego

CLASSE 4B LICEO SCIENTIFICO PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2011-12. Disciplina : MATEMATICA. Docente Prof.ssa Paola Perego CONVITTO NAZIONALE MARIA LUIGIA di Parma CLASSE 4B LICEO SCIENTIFICO PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2011-12 Disciplina : MATEMATICA Docente Prof.ssa Paola Perego COMPETENZE CONOSCENZE Funzione esponenziale e logaritmica

Dettagli

INdAM QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA

INdAM QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA INdAM Prova scritta per il concorso a 40 borse di studio, 2 borse aggiuntive e a 40 premi per l iscrizione ai Corsi di Laurea in Matematica, anno accademico 2011/2012. Piano Lauree Scientifiche. La prova

Dettagli

La trigonometria prima della trigonometria. Maurizio Berni

La trigonometria prima della trigonometria. Maurizio Berni La trigonometria prima della trigonometria Maurizio Berni 9 maggio 2010 Negli istituti tecnici agrari la trigonometria viene affrontata: nella seconda classe in Disegno e Topografia (risoluzione di triangoli

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

Verifica di Matematica Classe V

Verifica di Matematica Classe V Liceo Scientifico Paritario R. Bruni Padova, loc. Ponte di Brenta, 22/03/2016 Verifica di Matematica Classe V Soluzione Problemi. Risolvi uno dei due problemi: 1. Sei stato assunto come economo da una

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Esercizi di Analisi Matematica CAPITOLO 1 LE FUNZIONI Exercise 1.0.1. Risolvere le seguenti disuguaglianze: (1) x 1 < 3 () x + 1 > (3) x + 1 < 1 (4) x 1 < x + 1 x 1 < 3 x + 1 < 3 x < 4 Caso: (a): x 1

Dettagli

Archimede BORSE DI STUDIO INDAM 2003

Archimede BORSE DI STUDIO INDAM 2003 1 2004 Archimede BORSE DI STUDIO INDAM 2003 ARTICOLO UN PREMIO PER GLI STUDENTI DI MATEMATICA Anche per il 2003-2004, l INdAM ha assegnato 50 borse di studio ad alcuni dei migliori studenti immatricolati

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 2000-2001 Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 000-00 Problema Sia AB un segmento di lunghezza a e il suo punto medio. Fissato un conveniente

Dettagli

ESERCITAZIONI PROPEDEUTICHE DI MATEMATICA. A. Concetti e proprietà di base del sistema dei numeri della matematica ( ) + 64 7 10 :5

ESERCITAZIONI PROPEDEUTICHE DI MATEMATICA. A. Concetti e proprietà di base del sistema dei numeri della matematica ( ) + 64 7 10 :5 ESERCITAZIONI PROPEDEUTICHE DI MATEMATICA PER IL CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIA Ana Millán Gasca Luigi Regoliosi La lettura e lo studio del libro Pensare in matematica da parte degli

Dettagli

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA Istituto Istruzione Superiore A. Venturi Modena Liceo artistico - Istituto Professionale Grafica Via Rainusso, 66-41124 MODENA Sede di riferimento (Via de Servi, 21-41121 MODENA) tel. 059-222156 / 245330

Dettagli

CLASSI PRIME Scienze Applicate 5 ORE

CLASSI PRIME Scienze Applicate 5 ORE CLASSI PRIME Scienze Applicate 5 ORE Settembre Ottobre Somministrazione di test di ingresso. Novembre dicembre Insiemi numerici Operazioni negli insiemi N, Q Operazioni negli insiemi Z, Q. Potenze con

Dettagli

modulo A1.1 modulo A1.2 livello A1 modulo A2.1 modulo A2.2 matematica livello A2 livello A3

modulo A1.1 modulo A1.2 livello A1 modulo A2.1 modulo A2.2 matematica livello A2 livello A3 livello A1 modulo A1.1 modulo A1.2 matematica livello A2 modulo A2.1 modulo A2.2 livello A insiemi e appartenenza interpretazione grafica nel piano traslazioni proprietà commutatività associatività elemento

Dettagli

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Giulio Donato Broccoli Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Comprende: Metodi matematici fondamentali per affrontare i temi assegnati Esercizi interamente svolti

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 15 marzo 2007 Categoria Student Per studenti di quarta o quinta della secondaria di secondo grado

Kangourou Italia Gara del 15 marzo 2007 Categoria Student Per studenti di quarta o quinta della secondaria di secondo grado Testi_07.qxp 6-04-2007 2:07 Pagina 28 Kangourou Italia Gara del 5 marzo 2007 Categoria Student Per studenti di quarta o quinta della secondaria di secondo grado I quesiti dal N. al N. 0 valgono 3 punti

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

Studio di funzioni ( )

Studio di funzioni ( ) Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente

Dettagli

Problema n. 1: CURVA NORD

Problema n. 1: CURVA NORD Problema n. 1: CURVA NORD Sei il responsabile della gestione del settore Curva Nord dell impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all ingresso e all uscita degli spettatori,

Dettagli

4. Programmi di matematica per le scuole tecniche e gli istituti tecnici (1860) 1

4. Programmi di matematica per le scuole tecniche e gli istituti tecnici (1860) 1 4. Programmi di matematica per le scuole tecniche e gli istituti tecnici (1860) 1 SCUOLE TECNICHE MATEMATICHE ELEMENTARI Primo Anno Aritmetica Sistema volgare di numerazione orale e scritta Le quattro

Dettagli

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 L insieme dei numeri razionali. Equazioni e disequazioni di primo grado Sistemi di equazioni e disequazioni di primo grado.. IL PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano.

Dettagli

Archimede 4 2003 ESAME DI STATO 2003 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

Archimede 4 2003 ESAME DI STATO 2003 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede 4 2003 ESAME DI STATO 2003 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA

Dettagli

la funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali.

la funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali. 1 y 4 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è una irrazionale con indice di radice pari, il cui radicando è un polinomio, essa risulta definita solo per i valori della per i quali il radicando è positivo, ovvero

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli