Potenziamento formativo, Infermieristica, M. Ruspa RIPASSO DI MATEMATICA

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1 RIPASSO DI MATEMATICA

2 MATEMATICA DI BASE CHE OCCORRE CONOSCERE Numeri relativi ed operazioni con i medesimi Frazioni Potenze e relative proprieta Monomi, polinomi, espressioni algebriche Potenze di dieci e notazione scientifica Soluzione di equazioni di primo grado Proporzioni Percentuali Richiami di geometria piana e solida Angoli Funzioni e loro rappresentazione grafica Equivalenze e conversioni tra unità di misura

3 NUMERI RELATIVI

4 NUMERI RELATIVI -3 1/ a 2 b

5 Numeri relativi: numeri preceduti dal segno + o dal segno segno ALGEBRA DEI NUMERI RELATIVI a = - 5,2 modulo o valore assoluto (si indica con a )

6 Numeri relativi: numeri preceduti dal segno + o dal segno segno ALGEBRA DEI NUMERI RELATIVI Due numeri relativi sono a = - 5,2 concordi se hanno lo stesso segno es: ( 3 ; 7,15 ; 6001); discordi se hanno segno contrario es: (+73,6 ; 12,2); modulo o valore assoluto (si indica con a ) opposti se hanno stesso modulo e segno contrario es: ( 2,13 ; +2,13) reciproci (inversi) se hanno lo stesso segno e modulo inverso es: ( 4/5 ; 5/4)

7 LE 4 OPERAZIONI Addizione (somma) Sottrazione (differenza) Addendi concordi:somma dei moduli stesso segno Addendi discordi:differenza dei moduli segno dell addendo di modulo maggiore Si ottiene sommando al primo numero (minuendo) l opposto del secondo (sottraendo)

8 LE 4 OPERAZIONI Addizione (somma) Sottrazione (differenza) Addendi concordi:somma dei moduli stesso segno Addendi discordi:differenza dei moduli segno dell addendo di modulo maggiore Si ottiene sommando al primo numero (minuendo) l opposto del secondo (sottraendo) Nota: per lo scioglimento delle parentesi in una espressione si elimina la parentesi se preceduta dal segno + si elimina la parentesi cambiando segno a tutti i fattori al suo interno se preceduta dal segno -

9 LE 4 OPERAZIONI Addizione (somma) Sottrazione (differenza) Addendi concordi:somma dei moduli stesso segno Addendi discordi:differenza dei moduli segno dell addendo di modulo maggiore Si ottiene sommando al primo numero (minuendo) l opposto del secondo (sottraendo) Moltiplicazione (prodotto) Il modulo è il prodotto dei moduli Il segno è positivo -> numero pari di segni - negativo -> numero dispari di segni - Divisione (quoziente o rapporto) Si ottiene moltiplicando il dividendo per il reciproco del divisore

10 FRAZIONI Una frazione è un rapporto tra due numeri a e b numeratore denominatore

11 Una frazione è un rapporto tra due numeri a e b Frazioni equivalenti FRAZIONI Dividendo o moltiplicando numeratore e denominatore per un fattore comune, la frazione non cambia. Es: numeratore denominatore sono frazioni equivalenti

12 Una frazione è un rapporto tra due numeri a e b Frazioni equivalenti FRAZIONI Dividendo o moltiplicando numeratore e denominatore per un fattore comune, la frazione non cambia. Es: numeratore denominatore sono frazioni equivalenti Riduzione ai minimi termini Esprimere una frazione in una forma equivalente con valori minimi del numeratore e denominatore (divisione per tutti i fattori comuni) 3

13 OPERAZIONI CON LE FRAZIONI

14 OPERAZIONI CON LE FRAZIONI Moltiplicazione di due frazioni Es: 2

15 OPERAZIONI CON LE FRAZIONI Moltiplicazione di due frazioni Es: Somma/differenza di frazioni: Es: 1 (12 = minimo comune multiplo di 6 e 4) 2 2

16 OPERAZIONI CON LE FRAZIONI Moltiplicazione di due frazioni Es: Somma/differenza di frazioni: Es: 1 (12 = minimo comune multiplo di 6 e 4) 2 Divisione di due frazioni: 2 Es: 2

17 OPERAZIONI CON LE FRAZIONI Moltiplicazione di due frazioni Es: Somma/differenza di frazioni: Es: 1 (12 = minimo comune multiplo di 6 e 4) 2 Divisione di due frazioni: 2 Inverso di una frazione: Es: Es: 2

18 Esempi di operazioni con le frazioni =? [R = 8/5] =? [R = 1/21]

19 Esempi di operazioni con le frazioni

20 CONFRONTO TRA FRAZIONI 3/4 e maggiore di 5/6? Equivalentemente, 3/4-5/6 > 0? Per confrontare due frazioni e opportuno esprimerle in forma equivalente con denominatore comune Il minimo comune denominatore tra 4 e 6 e 12

21 a = base, b = esponente ELEVAMENTO A POTENZA una potenza di esponente pari e`sempre positiva; una potenza di esponente dispari e` negativa se la base e negativa.

22 a = base, b = esponente ELEVAMENTO A POTENZA una potenza di esponente pari e`sempre positiva; una potenza di esponente dispari e` negativa se la base e negativa. a -b = 1/a b potenza a esponente negativo a 0 = 1 potenza a esponente nullo

23 PROPRIETA DELLE POTENZE Somma di potenze di ugual base e uguale esponente a n + a n (nessuna particolare proprietà, sono pero monomi simili) a 2 + a 2 = 2a 2

24 PROPRIETA DELLE POTENZE Somma di potenze di ugual base e uguale esponente a n + a n (nessuna particolare proprietà, sono pero monomi simili) Somma di potenze di ugual base e diverso esponente a n + a m (nessuna particolare proprietà) a 2 + a 2 = 2a 2 a 3 + a 2 = (a a a) + (a a)

25 PROPRIETA DELLE POTENZE Somma di potenze di ugual base e uguale esponente a n + a n (nessuna particolare proprietà, sono pero monomi simili) Somma di potenze di ugual base e diverso esponente a n + a m (nessuna particolare proprietà) Prodotto di potenze di ugual base e diverso esponente a n a m = a n+m a 2 + a 2 = 2a 2 a 3 + a 2 = (a a a) + (a a) a 3 a 2 = (a a a) (a a) = a a a a a = a 5

26 PROPRIETA DELLE POTENZE Somma di potenze di ugual base e uguale esponente a n + a n (nessuna particolare proprietà, sono pero monomi simili) Somma di potenze di ugual base e diverso esponente a n + a m (nessuna particolare proprietà) Prodotto di potenze di ugual base e diverso esponente a n a m = a n+m Rapporto di potenze di ugual base e diverso esponente a n /a m = a n-m a 2 + a 2 = 2a 2 a 3 + a 2 = (a a a) + (a a) a 3 a 2 = (a a a) (a a) = a a a a a = a 5 a 3 /a 2 = (a a a)/(a a) = a = a 1

27 PROPRIETA DELLE POTENZE Somma di potenze di ugual base e uguale esponente a n + a n (nessuna particolare proprietà, sono pero monomi simili) Somma di potenze di ugual base e diverso esponente a n + a m (nessuna particolare proprietà) Prodotto di potenze di ugual base e diverso esponente a n a m = a n+m Rapporto di potenze di ugual base e diverso esponente a n /a m = a n-m a 2 + a 2 = 2a 2 a 3 + a 2 = (a a a) + (a a) a 3 a 2 = (a a a) (a a) = a a a a a = a 5 a 3 /a 2 = (a a a)/(a a) = a = a 1 Potenza di potenza (a n ) m = a n*m (a 3 ) 2 = (a a a) (a a a) = a a a a a a a = a 6

28 Esempi sulle proprieta delle potenze

29 RADICE a = radicando, n = indice E` l operazione inversa dell elevamento a potenza: è quel numero la cui potenza n-esima è uguale ad a : la radice di indice pari di un numero negativo non esiste la radice di indice dispari di un numero esiste ed è unica esistono sempre due radici di indice pari di un numero positivo

30 RADICE a = radicando, n = indice E` l operazione inversa dell elevamento a potenza: è quel numero la cui potenza n-esima è uguale ad a : la radice di indice pari di un numero negativo non esiste la radice di indice dispari di un numero esiste ed è unica esistono sempre due radici di indice pari di un numero positivo Nota: una potenza con esponente frazionario è uguale ad un radicale che ha per indice il denominatore della frazione m a n = a n/m Infatti a n/m a n/m a n/m (m volte) = a mn/m = a n Esempio: 2 a 6 = a 6/2 = (a*a*a)*(a*a*a) = (a*a*a) 2 = a*a*a = a 3

31 Esempi sui radicali

32 MONOMI E POLINOMI Monomio: una qualunque espressione algebrica che si presenta sotto forma di prodotto di fattori numerici e letterali Coefficiente Grado nella lettera b Parte letterale

33 MONOMI E POLINOMI Monomio: una qualunque espressione algebrica che si presenta sotto forma di prodotto di fattori numerici e letterali Coefficiente identici se hanno stesso coefficiente e stessa parte letterale Grado nella lettera b Parte letterale simili se hanno la stessa parte letterale e diverso coefficiente

34 MONOMI E POLINOMI Monomio: una qualunque espressione algebrica che si presenta sotto forma di prodotto di fattori numerici e letterali Coefficiente identici se hanno stesso coefficiente e stessa parte letterale Grado nella lettera b Parte letterale simili se hanno la stessa parte letterale e diverso coefficiente Polinomio: è una somma algebrica di più monomi non simili binomio trinomio

35 Espressioni algebriche: operazioni con monomi Le operazioni algebriche con monomi si eseguono seguendo le regole viste in precedenza, e ricordando che solo monomi simili possono essere sommati algebricamente

36 Le operazioni algebriche con monomi si eseguono seguendo le regole viste in precedenza, e ricordando che solo monomi simili possono essere sommati algebricamente Sommare due o piu grandezze fisiche (grandezza fisica = numero + unita di misura) equivale a sommare due o piu monomi. Solo grandezze fisiche omogenee (ovvero monomi simili) si possono sommare! 120 km/h + 60 km/h = 180 km/h Espressioni algebriche: operazioni con monomi 120 km/h + 60 kg NON SI PUO ESEGUIRE LA SOMMA!

37 Esempi di operazioni con monomi

38 Espressioni algebriche: operazioni con polinomi Il prodotto di due polinomi si ottiene come somma algebrica dei prodotti di ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo. Il quoziente di un polinomio per un monomio è uguale alla somma algebrica dei quozienti di ciascun termine del polinomio per il monomio divisore.