LICEO SCIENTIFICO STATALE " A. EINSTEIN " PALERMO

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1 Programma di MATEMATICA Classe: IV F Anno scolastico: LICEO SCIENTIFICO STATALE " A. EINSTEIN " PALERMO RICHIAMI E COMPLETAMENTO PROGRAMMA ANNO PRECEDENTE Geom. Analitica: Funzione lineare. Fasci di rette: proprio e improprio. Circonferenza: definizione, equazione cartesiana, esercizi sulla circonferenza. Coniche (parabola, ellisse, iperbole): definizione, proprietà, equazione canonica e non, esercizi e problemi sulle coniche. Iperbole equilatera riferita agli asintoti. Equazione canonica. Vertici, fuochi, assi di simmetria. Relazione tra i suddetti elementi e i corrispondenti dell iperbole equilatera riferita agli assi di simmetria. La proporzionalità inversa. Iperbole equilatera traslata (riferita a rette parallele ai propri asintoti. Funzine omografica. Equazione, proprietà, asintoti, assi, centro, vertici, fuochi. Problemi di vario tipo sulla funzione omografica. Eq. delle rette tangenti uscenti da un punto. Regola dello sdoppiamento. Funzioni esponenziali Richiami concetto di potenza e proprietà formali delle potenze. Potenza con esponente reale di un numero reale positivo. Il numero reale come elemento separatore di due classi numeriche contigue. Equazioni esponenziali elementari: definizione. Funzione esponenziale. Grafico della funzione esponenziale: y = ax. Caso a > 1 e caso 0 < a < 1. Proprietà. Dominio e condominio della funzione esponenziale. Monotonia. Approccio ai limiti. Funzioni logaritmiche Logaritmi: definizione. Esempi di calcolo. Proprietà dei logaritmi. Funzione logaritmica. Grafico della funzione logaritmica (caso della base maggiore di 1 e caso della base compresa tra 0 e 1), proprietà, limiti. Passaggio da un sistema di logaritmi a un altro. Logaritmi neperiani e decimali. Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche Equazioni esponenziali e logaritmiche: definizione e criteri di risoluzione. Disequazioni logaritmiche: definizione. Disequazioni esponenziali: definizione e criteri di risoluzione. Dominio di funzioni esponenziali e logaritmiche. Risoluzione di equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali, sia intere che fratte. Sistemi di disequazioni logaritmiche ed esponenziali Pagina 1 di 5

2 FUNZIONI GONIOMETRICHE Premessa. Definizione di angolo orientato. Misura di un angolo: sistema sessagesimale e assoluto, misura di un angolo in radianti. Definizione delle funzioni: seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante di un angolo orientato. Proprietà, variazioni e grafici delle funzioni goniometriche. Periodicità delle funzioni goniometriche. Funzioni goniometriche di alcuni angoli notevoli. Espressioni di tutte le funzioni goniometriche di un dato angolo mediante una sola di esse. Funzioni inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente. Angoli associati e rispettive proprietà. Grafico delle principali funzioni goniometriche: sinusoide, cosinusoide, tangentoide. Periodo di una funzione goniometrica. TRIGONOMETRIA: FORMULE GONIOMETRICHE Premessa. Formule di sottrazione. Formule di addizione. Formule di duplicazione. Formule di bisezione. Formule di prostaferesi e di Werner. Formule parametriche del seno e coseno in funzione razionale di tg(α/2). TRIGONOMETRIA: IDENTITA. EQUAZIONI GONIOMETRICHE Identità ed equazioni goniometriche. Equazioni goniometriche: elementari, riducibili ad elementari, lineari in sen x e cos x omogenee e non omogenee, di secondo grado in sen x e cos x omogenee o riducibili ad omogenee: metodo grafico-analitico, uso delle formule parametriche razionali, e metodo dell angolo aggiunto; altre tipologie: equazioni risolubili col metodo posizionale, con l ausilio delle formule goniometriche, mediante scomposizioni particolari. TRIGONOMETRIA: DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Disequazioni goniometriche: elementari, riconducibili a disequazioni elementari, lineari in sen x e cos x omogenee e non omogenee, di secondo grado in sen x e cos x omogenee e non omogenee, risolubili mediante scomposizioni particolari e mediante l uso delle formule goniometriche. Disequazioni goniometriche fratte e di prodotto. Metodi grafici con l uso della circonferenza goniometrica. Semplici sistemi di disequazioni goniometriche. TRIGONOMETRIA: APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA Risoluzione dei triangoli rettangoli e qualsiasi. Area di un triangolo. Semplici problemi di geometria piana risolubili con l ausilio della trigonometria. Primo e secondo teorema sui triangoli rettangoli. Triangoli scaleni: teorema della corda, teorema dei seni, teorema di Carnet (o del coseno), con applicazioni alla risoluzione di probemi, anche mediante la soluzione di equazioni e/o disequazioni goniometriche. Formula di Erone per il calcolo dell area di un triangolo. Teorema delle proiezioni. Pagina 2 di 5

3 TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Introduzione. Matrici. Righe e colonne. Matrici rettangolari e quadrate. Ordine di una matrice. Vettori. Algebra delle matrici: somma algebrica, moltiplicazione per uno scalare. Elemento neutro ripetto alla somma. Determinante di una matrice quadrata. Regola di Sarrus. Proprietà delle matrici e dei determinanti. Complementi algebrici e minori complementari degli elementi di una matrice. Prodotto tra una matrice (m,n) per un vettore di n righe. Prodotto righe per colonne di due matrici conformabili rispetto al prodotto. Elemento neutro rispetto al prodotto per le matrici quadrate. Le matrici unitarie. Matrici simmetriche ed emiimmetriche. Matrici trasposte. Inveribilità di una matrice quadrata. Calcolo della matrice inversa. Prodotto scalare tra due vettori in forma matriciale. Matrici ortonormali. Trasformazioni geometriche lineari piane: definizione e proprietà. Elementi uniti: punti uniti, rette puntualmente unite e globalmente unite Trasformazioni dirette e inverse. Equaz. matriciali di trasformaz. geometriche. Matrice della trasformazione. Significato geometrico del determinante della matrice dlla trasformazione. Isometrie. Simmetria assiale: definizione, proprietà ed equazioni rispetto agli assi coordinati e ad una retta qualsiasi. Simmetria centrale: definizione, proprietà ed equazioni rispetto all origine e a un punto qualsiasi. Traslazione: definizione, concetto di equipollenza, proprietà ed equazioni. Rotazione: definizione, rotazione degli assi coordinati, proprietà ed equazioni. Omotetia: definizione, proprietà ed equazioni con centro di coordinate nulle e diverse da zero. Similitudine: definizione e rapporto di similitudine. Tipologia dell e equazioni di una similitudine: caso della similitudine diretta e dell indiretta. Dilatazione rispetto l asse x e rispetto l asse y. Dilatazione secondo entrambi gli assi. Affinità: definizione, proprietà ed equazioni. Ricerca e definizione di punti e rette uniti. Rapporto dell affinità e suo significato. Affinità diretta e indiretta. Condizioni analitiche di una similitudine e di una isometria. Applicazioni alle curve e alle funzioni. Composizioni di più affinità. Trasformazioni composte. Composizioni di un omotetia con particolari isometrie. Composizione di isometrie. Glissosimmetrie. Applicazione delle trasformazioni geometriche alle curve. Ricerca di eventuali centri o assi di simmetria di una curva. SPAZIO: RETTE E PIANI Assioma di partizione dello spazio. Posizioni reciproche di due rette. Posizioni reciproche di due piani. Posizioni reciproche di una retta e di un piano. Diedri e piani perpendicolari. Sezione normale di un diedro. Pagina 3 di 5

4 SPAZIO: POLIEDRI E SOLIDI DI ROTAZIONE Angoloide: definizione e proprietà. Prisma indefinito. Prisma finito, retto e regolare. Parallelepipedo e cubo. Superficie piramidale e piramide. Tronco di piramide. Poliedri regolari: definizione. Superficie cilindrica indefinita e cilindro indefinito. Cilindro finito. Superficie conica indefinita. Cono indefinito. Cono finito. Tronco di cono. Superficie sferica e sfera. Zona sferica a due basi e a una base. Segmento sferico a una e a due basi. Fuso e spicchio sferico. Settore sferico. SPAZIO: AREA DELLA SUPERFICIE DI SOLIDI NOTEVOLI Area della superficie di un prisma retto, di un parallelepipedo rettangolo e del cubo. Area della superficie di una piramide retta e di un tronco di piramide. Area della superficie del cilindro. Area della superficie del cono e del tronco di cono. Area della superficie sferica e delle sezioni sferiche. SPAZIO: ESTENSIONE E VOLUME DEI SOLIDI Concetto di estensione solida e di equivalenza. Principio di Cavalieri. Equivalenze notevoli. Volume del parallelepipedo rettangolo e del cubo. Volume del prisma, della piramide, del tronco di piramide, del cilindro, del cono e del tronco di cono. Volume della sfera e di alcune sue parti. NUMERI COMPLESSI Definizione unità immaginaria. Forma algebrica. Operazioni: addizione, differenza, moltiplicazione, quoziente, potenze con esponente intero. Rappresentazione geometrica (piano di Gauss-Argand). Forma trigonometrica. Prodotto, quoziente, potenza con esponente intero, radici ennesime di numeri complessi scritti sotto forma trigonometrica. Formula di De Moivre. Applicazioni. Radici ennesime dei numeri complessi. Forma polare dei numeri complessi. Rappresentazione polare del piano cartesiano. Equazione delle rette e delle coniche in forma polare. CALCOLO COMBINATORIO Introduzione. Funzione fattoriale: definizione e proprietà. Dai gruppi ai raggruppamenti. Disposizioni semplici di n oggetti distinti. Disposizioni con ripetizione. Permutazioni semplici di elementi distinti e di elementi non tutti distinti. Combinazioni semplici e combinazioni con ripetizione. Potenza n- esima di un binomio: coefficienti binomiali. PROBABILITA Definizione di spazio campionario, esperimento ed evento aleatorio. Evento elementare, certo, impossibile, unione, intersezione, differenza, complementare. Eventi compatibili ed incompatibili, dipendenti ed indipendenti. Concezione classica di probabilità. Limiti della definizione classica di probabilità. Legge empirica del caso. Concezione statistica di probabilità. Limiti della definizione statistica di probabilità. Concezione soggettiva di probabilità. Concezione assiomatica di probabilità. Teoremi sulla probabilità. Probabilità totale di eventi incompatibili e di eventi compatibili. Probabilità Pagina 4 di 5

5 contraria. Probabilità condizionata. Dipendenza stocastica e probabilità composta. Applicazioni dei teoremi sulla probabilità. Formula di Bayes. Variabili casuali discrete: definizione e proprietà. Distribuzioni di probabilità: distribuzione binomiale (o di Bernoulli). Applicazione al caso delle prove ripetute. GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO Le coordinate cartesiane nello spazio. Distanza tra due punti. Punto medio di un segmento. Equazione cartesiana e parametrica di un piano nello spzio. Complanarità tra tre vettori. Complanarità di quattro punti non allineati. Condizione di parallelismo e di perpendicolarità tra piani. Distanza di un punto da un piano. Piani in posizioni particolari. Piani paralleli a uno degli assi coordinati e piani parallaeli a uno dei piani coordinati. La retta. Coefficienti o rapporti direttivi l, m, n. Equazione parametrica di una retta. Equazione frazionaria. Equazione cartesiana di una retta. Rette in posizioni particolari (parallele a uno ndegli assi cartesiani o a uno dei piani coordinati. Forma ridotta delle equazioni di una retta. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra due rette e tra una retta e un piano. Applicazioni. Condizione di complanarità di due rette. Rette sghembe. Distanza minima tra due rette sghembe. Distanza punto-retta. La superficie sferica. Equazione canonica e centro-raggio. Equazione del piano tangente a una superficie sferica in un suo punto. Funzioni di due variabili. Def. ed esempi di calcolo del dominio. Sistemi di disequazioni in due variabili. Cenno alla rappresentazione delle curve di livello. Cenno alle quadriche. Palermo, giugno 2016 Gli alunni L'insegnante (Prof. Francesco BALSAMO) Pagina 5 di 5

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