Anno 2. Sistemi di equazioni di secondo grado

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1 Anno 2 Sistemi di equazioni di secondo grado 1

2 Introduzione In questa lezione verrà data una definizione di sistema di equazioni di secondo grado, verrà illustrata la loro risoluzione e le applicazioni. Per seguire la lezione è necessario saper risolvere le equazioni di secondo grado. Al termine della lezione sarai in grado di: definire un sistema di equazioni di secondo grado riconoscere un sistema di equazioni di secondo grado risolvere i sistemi di secondo grado in due incognite In questa lezione parleremo di sistemi di equazioni di secondo grado in due incognite. Verrà data una definizione, verrà illustrata la loro risoluzione e le applicazioni. Per seguire la lezione è necessario conoscere la risoluzione di un equazione di secondo grado. Al termine della lezione sarai in grado di: riconoscere un sistema di equazioni di secondo grado; risolvere un sistema di equazioni di secondo grado in due incognite. 2

3 Definizione di sistema di equazioni di secondo grado Un sistema di equazioni è un insieme di più equazioni che devono essere contemporaneamente verificate. Un sistema per essere definito di equazioni di secondo grado deve essere formato da equazioni il cui prodotto dei gradi è pari a due. Il grado di un equazione è l'esponente più alto con cui compare l'incognita di un equazione. Esempio 1: Esempio 2: y=3x 3 +5x y=4x 2 +5x+1 y=2x 2 +x+11 Esempio 3: y=2x 2 +7x+18 Esempio 4: y=3x+5x y=4x+5x+1 y=2x 2 +x+11 y=2x 2 +7x+18 La definizione di un sistema di equazioni, in matematica, è la seguente: Un sistema di equazioni è un insieme di più equazioni che devono essere contemporaneamente verificate. Un sistema di secondo grado è formato da equazioni il cui prodotto dei gradi è pari a due. Ricordiamo che il grado di un equazione è l'esponente più alto con cui compare l'incognita di un equazione. Osservando gli esempi notiamo che nel primo e secondo i sistemi non sono di secondo grado. Il primo esempio è di sesto grado, in quanto, la prima equazione è di terzo grado e la seconda è di secondo grado. Mentre, nel secondo esempio le equazioni sono entrambe di secondo grado, quindi, il sistema è di quarto. Il terzo esempio riporta un sistema formato da un equazione di secondo grado e una di primo: il sistema è di secondo grado in quanto 2 1=2. La stessa cosa vale per il quarto esempio. 3

4 Numero soluzioni di sistema di equazioni di secondo grado Nei sistemi di secondo grado le equazioni di primo e secondo grado rappresentano rispettivamente una retta e una conica. Le soluzioni di esso indicano i punti di incidenza tra queste due figure. La conica e la retta possono: non incontrarsi, quindi il sistema non avrà soluzioni essere tangenti, quindi il sistema avrà una soluzione doppia incontrarsi in due punti, quindi il sistema avrà due soluzioni distinte Per conoscere il numero di soluzioni si deve calcolare il discriminante(δ) dell equazione di secondo grado. Il discriminante infatti può essere: negativo: la retta e la conica non si incontrano nullo: le figure sono tangenti positivo: le figure si incontrano in due punti E' possibile interpretare da un punto di vista geometrico le soluzioni di un sistema di secondo grado. L'equazione di primo grado rappresenta una retta nel piano cartesiano, quella di 2 grado rappresenta una conica (ellisse, iperbole o parabola). Le soluzioni del sistema corrispondono ai punti di intersezione tra la retta e la conica. La retta e la conica possono: non avere punti in comune; essere tangenti; oppure incontrarsi in due punti. Per conoscere il numero di soluzioni bisogna calcolare il discriminante dell equazione di secondo grado. Se esso è: minore di zero, la conica e la retta non si incontrano e per questo non si avranno soluzioni; uguale a zero, la conica e la retta sono tangenti e quindi si avrà una soluzione doppia; maggiore di zero, la conica e la retta si incontrano in due punti e quindi si avranno due soluzioni. 4

5 Risolvere un sistema di equazioni di secondo grado Prendiamo un sistema qualunque e proviamo a risolverlo. y= x 2 +2x-4 y=3x+2 x 2 +2x-4=3x+2 x 2 -x-6=0 Sistema di equazioni di secondo grado Utilizzo metodo della sostituzione e porto tutto a sinistra x 1 =3 x 2 =-2 Soluzioni dell equazione y 1 =3 3+2=11 y 2 =3 (-2)+2=-4 Sostituiamo nell equazione della retta la x con le soluzioni trovate (3;11) (-2;-4) Queste due coppie sono le soluzioni del sistema Ora prendiamo un sistema di equazioni di secondo grado qualsiasi e proviamo a risolverlo. Scegliamo il sistema formato dalle equazioni y=x 2 +2x-4 e y=3x+2. Utilizziamo il metodo della sostituzione e portiamo tutti i termini al primo membro, semplificando i termini simili. Ricaviamo le soluzioni dell equazione ottenuta, in questo caso 2 e -3. Sostituiamo nell equazione di primo grado le soluzioni trovate alla x. Otteniamo così due coppie di soluzioni: 3, 11 e -2, -4. 5

6 Conclusione Siamo arrivati alla fine della lezione! Ripercorriamo insieme le tappe del nostro percorso. Il cui prodotto dei gradi è pari a due Metodo della sostituzione Insieme di più equazioni Contemporaneamente verificate Sistema di Equazioni di Secondo Grado Trovare le soluzioni dell equazione Sostituirle alle incognite dell equazione Rappresentano i punti di incontro tra retta e parabola Il numero di soluzioni dipende dal discriminante Calcolare le soluzioni dell equazione ottenuta Siamo arrivati alla fine della lezione! Ripercorriamo insieme le tappe del nostro percorso relativo ai sistemi di equazioni di secondo grado. Abbiamo definito il sistema di equazioni di secondo grado un insieme di più equazioni, che devono essere contemporaneamente verificate, specificando che per essere di secondo grado deve essere formato da equazioni il cui prodotto dei gradi è pari a due. Inoltre, abbiamo detto che il numero di soluzioni dipende dal valore del delta e che le soluzioni rappresentano le coordinate dei punti d intersezione tra la retta e la parabola. Per risolvere un sistema inizialmente abbiamo applicato il metodo della sostituzione con le equazioni. In questo modo abbiamo ottenuto un equazione di secondo grado e, dopo averla risolta, ne calcoliamo le due soluzioni. Dopo di che sostituiamo le soluzioni appena trovate nell equazione di primo grado. In questo modo otteniamo le due coppie di soluzioni del sistema. 6

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