CORSO DI LAUREA IN SCIENZE ECONOMICHE. Corso di MATEMATICA per l ECONOMIA. Esercizi per la Teoria dell Impresa

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1 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE ECONOMICHE Corso di MATEMATICA per l ECONOMIA Esercizi per la Teoria dell Impresa ) L impresa Beta produce sedie (S) utilizzando due fattori produttivi: lavoro (L) e macchinari (M). La funzione di produzione dell impresa è la seguente: S=L 0.5 M 0.5. a) Nel breve periodo l impresa dispone di un numero fisso di macchinari (M) pari a 4. Calcolate il prodotto marginale del lavoro per M=4. S = L L b) Nel lungo periodo, il costo del lavoro è pari a 0 e quello di un macchinario è pari a 90. Rappresentate graficamente i due isocosti corrispondenti ad un costo di produzione pari a 800 e a 900 Euro, indicando le intercette e le pendenze. 800=0L+90M (pendenza=-/9) 900=0L+90M (pendenza=-/9) M L c) Nell ipotesi di voler produrre 36 sedie, quante unità di lavoro e di macchinari saranno impiegate in equilibrio?

2 36=L / M / M/L=0/90 36=(9M) / M / 36=3M M*= L*=08 d) Supponete che l impresa voglia produrre 7 sedie. Di quanto dovrà aumentare l impiego di lavoro e macchinari rispetto all equilibrio calcolato al punto c)? Motivate la risposta (non sono necessari calcoli). Causa rendimenti di scala costanti e Cobb Douglas le quantità raddoppiano.

3 ) La tecnologia dell impresa Gamma è rappresentata dalla seguente funzione di produzione: Q(K,L) = 3K + L, dove Q indica la quantità prodotta mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale (unici input di produzione). a) Di che tecnologia si tratta? Indicate il saggio marginale di sostituzione tecnica tra K ed L e rappresentate la mappa degli isoquanti nel grafico sottostante. MPL MRTS K, L,. = = MPK 3 Visto che l MRTS è costante la tecnologia di produzione prevede l impiego di fattori perfetti sostituti. Graficamente, gli isoquanti sono dati da rette parallele ad inclinazione costante e pari a -/3 (curve in grassetto). K Pendenza = -/ E E Pendenza = -/ TC(0) TC(40) L b) Sapendo che i prezzi dei fattori sono p L = 4 e p K = 8 scrivete l espressione analitica del generico isocosto e trovate la combinazione dei fattori necessaria per produrre 0 unità di output. Rappresentate sul grafico. Un isocosto ha equazione TC = p L L + p K K. Nel nostro caso: TC = 4L + 8K, fascio di rette parallele con pendenza =-p L /p K = -/. L isoquanto corrispondente alla produzione di 0 unità di output è 0 =3K + L, con pendenza uguale a -/3 e intercette (0,40) e (0,0). Dunque MRTS KL <(P L /P K ), da cui si ottiene una soluzione verticale (0;40) indicata in figura dal punto E. Il più basso isocosto tangente all isoquanto di riferimento è rappresentato dalla curva TC(0). c) Supponete ora che il produttore voglia raddoppiare la sua attuale produzione. Stabilite la nuova combinazione ottimale degli input e rappresentatela graficamente. Se la produzione aumenta fino a 40 unità allora il nuovo isoquanto rilevante avrà equazione 40 =3K + L, con pendenza ancora uguale a -/3 ma intercette (0,80) e (40,0). 3

4 Di nuovo MRTS KL < (P L /P K ), da cui si ottiene un altra soluzione verticale (0;80) indicata in figura dal punto E. Il corrispondente isocosto è dato dalla curva TC(40). d) Indicate di che tipo di rendimenti di scala gode l impresa Gamma. Se i prezzi dei fattori sono costanti, come varieranno i costi di produzione all aumentare dell output? Spiegate. La tecnologia di Gamma presenta rendimenti di scala costanti, infatti Q(tK,tL) = 3(tK) + tl = t(3k + L) = t Q(K,L). All aumentare della produzione l impresa aumenta nella stessa proporzione l uso del fattore relativamente più economico, il capitale, ma l impiego di lavoro resta nullo. Ne discende che anche i costi aumenteranno in egual misura. 3) L impresa Confit000 produce marmellata di fragole utilizzando esclusivamente lavoro e capitale secondo la seguente funzione di produzione: q =min (3l,6k ) dove q è la quantità prodotta, l sono le ore di lavoro e k le unità di capitale. a) Di che tipo di che tecnologia si tratta? Disegnate la mappa degli isoquanti nel grafico. Indicate come varia il Saggio Marginale di Sostituzione Tecnica lungo gli isoquanti. La tecnologia rappresenta fattori perfetti complementi. MRTS KL = lungo il tratto verticale degli isoquanti MRTS KL = 0 lungo il tratto orizzontale degli isoquanti MRTS KL non può essere definito nei punti angolosi. ATTENZIONE LA SCALA DEL GRAFICO NON E MOLTO ATTENDIBILE, sull ASSE ORIZZONTALE DOVRESTE AVERE MULTIPLI di 6, INVECE SULL ASSE VERTICALE MULTIPLI di 3. 4

5 b) Calcolate l equazione della retta passante per i vertici di ogni isoquanto e disegnatela nel grafico precedente. 6k = 3l k = l c) Calcolate l espressione analitica del generico isocosto nel caso in cui il prezzo del lavoro e del capitale siano rispettivamente pl=3 e pk=6. C = pll + pk k = 3l + 6k C k = l 6 d) Calcolate la combinazione ottimale di capitale e lavoro che minimizza il costo totale nel caso in cui Confit000 decida di produrre 60 unità di marmellata di fragole. Isoquanto di riferimento 60 = min(3l,6k ) 60 = min(3l,6k) 3L = 6K Sostituendo3L = 6K nella prima espressione 60 = min(3l,3l) 3L = 6K 60 = 3L 3L = 6K L* = 0 K* = 0 e) Ipotizzate che il prezzo del lavoro salga pl =5 e che quello del capitale diventi pk=7. Calcolate la combinazione ottimale di lavoro e capitale che minimizza I costi totali nel caso in cui Confit000 continui a produrre 60 unità di marmellata di fragole. In questo caso la combinazione ottimale non cambia L*=0 e K*=0. 5

6 4) Si supponga che la funzione di produzione dell impresa Pinapple, che produce calcolatrici, X, sia del tipo: X = L K Dove L è il lavoro impiegato e K il capitale. a) Se L aumenta del 0%, quanto deve aumentare K affinché la produzione di X aumenti del 0%? In questo caso la somma degli esponenti della Cobb-Douglas è pari ad, quindi la funzione di produzione esibisce rendimenti di scala costanti, di conseguenza affinché la produzione di X aumenti del 0%, dato che L aumenta del 0%, K deve aumentare anch esso del 0%. b) Calcolate il MRST tra capitale e lavoro. X / L K MRTS = = X / K 3 L c) Qual è la produttività marginale del lavoro? Quanto vale questa produttività se X=500 e K=00? 0.75 X K MP L = = 0.5K L = 0.5 L L Se X=500 e K= = L 00 L 0.5 = 5.8 L = 6500 Quindi X K 00 MP L = = 0.5 = 0.5 = 0.00 L L 6500 d) Le proporzioni tra i fattori di produzione, mantenendo invariati i loro prezzi relativi, dipendono dall output? Perché? Affinché l impresa minimizzi i costi, deve valere che: w MRTS = r K w = 3 L r K w = 3 L r Quindi la proporzionalità tra i fattori impiegati non dipende dall output, ma dal prezzo dei fattori e dall inverso dal rapporto tra il coefficiente del capitale e del lavoro. 6

7 5) L impresa Alfa fronteggia la seguente funzione di produzione: Q = L + 5K, dove Q indica la quantità prodotta, mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale, gli unici fattori impiegati nel processo produttivo. a) Di che tecnologia si tratta? Rappresentate la mappa degli isoquanti nel grafico sottostante e calcolate il saggio marginale di sostituzione tecnica tra capitale e lavoro (MRTS KL ). Perfetti sostituti MRTS KL = MP L /MP K = /5 K 0 E E 5 L b) Sapendo che i prezzi dei fattori sono, rispettivamente, P L =, P K =, scrivete l espressione analitica del generico isocosto. TC= P L L + P K K TC = L + K, fascio di rette parallele con pendenza = - c) Supponete che l impresa intenda produrre una quantità Q = 50. Trovate la combinazione di fattori impiegata in equilibrio e rappresentatela nel grafico precedente. Isoquanto di riferimento: 50 = L + 5 K, retta con pendenza = -/5 ed intercette (0;0) (5;0) Isocosti: vedi b) MRTS KL <(P L /P K ) soluzione verticale (0;0) d) Supponete, ora, che il prezzo del capitale P K salga a 5. Che effetto avrà tale aumento sulla combinazione di fattori impiegata in equilibrio? Rispondete analiticamente e graficamente. 7

8 Nuova mappa di isocosti: TC= P L L + P K K TC = L + 5 K, fascio di rette parallele con pendenza = - /5 MRTS KL >(P L /P K ) soluzione orizzontale (5;0) 6) L impresa Alfa produce dolci (D) utilizzando due fattori produttivi: lavoro (L) e farina (F). La funzione di produzione dell impresa è la seguente: D=L 0.5 F 0.5. a) Che rendimenti di scala ha la funzione di produzione? Motivate la risposta. Si tratta di una CD, la cui somma degli esponenti è : rendimenti di scala costanti. b) Supponendo che il costo del lavoro sia pari a e quello della farina pari a 3, scrivete la generica equazione di una retta di isocosto, e rappresentatela graficamente, indicando le intercette e la pendenza. C=L+3F Pendenza = - 4 F C/3 C/ L c) Nell ipotesi di voler produrre 60 dolci, quante unità di lavoro e di farina verranno impiegati in equilibrio? Rappresentate la soluzione nel grafico precedente. 60 = L 0.5 F 0.5 () /3=F/L () L*=30 F*=0 d) Supponete che nel breve periodo l impresa voglia produrre 0 dolci e che abbia a disposizione 36 lavoratori. Quante unità di farina verranno utilizzate? 0=6 F 0.5 F=400 8

9 7) Per produrre l output Y, l impresa A combina i fattori produttivi L (lavoro) e K (capitale) utilizzando la seguente tecnologia: Y=5L + 45K a) Calcolate il saggio marginale di sostituzione tecnica tra capitale e lavoro e disegnate, nel grafico sottostante, l isoquanto corrispondente al raggiungimento dell obiettivo di produzione di 75 unità di output, indicandone pendenza e intercette. MRTS KL = MP L /MP K = 5/45=/3 K 5/3 E=E 5 Pendenza del nuovo isocosto = - E b) Se il costo dei fattori produttivi è rispettivamente, P L =0 e P K =60 scrivete l espressione analitica dell isocosto corrispondente e fornitene una rappresentazione nel grafico pretendete L isocosto avrà espressione pari a: TC= P L L + P K K ossia TC =0 L + 60K, rappresentato da un fascio di rette parallele con pendenza = -/3 L Pendenza dell isocosto = -/3 Pendenza dell isoquanto = -/3 c) Determinate la combinazione di fattori produttivi di equilibrio per l impresa A e indicate nel grafico il punto corrispondente all equilibrio. Trattandosi di una tecnologia a fattori produttivi perfetti sostituti, il calcolo dell equilibrio d impresa implica il confronto tra la pendenza dell isoquanto di riferimento e quella dell isocosto. Isoquanto di riferimento: 75 = 5L + 45K, retta con pendenza = -/3 Isocosto 9

10 TC =0 L + 60K, con pendenza = -/3 Poiché MRTS KL <(P L /P K ) soluzione verticale (0;5/3) d) Qualora a seguito di una ricontrattazione salariale il costo del lavoro salisse a 30, pensate che l impresa possa impiegare una diversa combinazione di fattori produttivi in equilibrio? Fornite una risposta analitica e grafica. L aumento del costo del lavoro fa aumentare la pendenza dell isocosto, che ora risulta pari a - ma non cambia il confronto con la pendenza dell isoquanto relativo agli obiettivi di produzione. L equilibrio rimane quindi nel punto E a cui corrisponde un utilizzo di fattori produttivi rispettivamente pari a K*=5/3 L*=0 Quello che cambia rispetto all equilibrio precedente è l aumento dei costi di produzione. 8) L impresa Beta fronteggia la seguente funzione di produzione: Q = min (K, L), dove Q indica la quantità prodotta, mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale, gli unici fattori impiegati nel processo produttivo. a) Di che tecnologia si tratta? Rappresentate la mappa degli isoquanti nel grafico sottostante e indicate il saggio marginale di sostituzione tecnica tra capitale e lavoro (MRTS KL ). Perfetti complementi Retta uscente dall origine: K=L (retta 45 ) Sul tratto verticale degli isoquanti MRTS KL = Sul tratto orizzontale degli isoquanti MRTS KL = 0 Nei punti angolosi MRTS KL non definito K K=L E = E 60 L 0

11 b) Sapendo che i prezzi dei fattori sono, rispettivamente, P L =3, P K =4, scrivete l espressione analitica del generico isocosto. TC= P L L + P K K TC = 3 L + 4 K, fascio di rette parallele con pendenza = -3/4 c) Supponete che l impresa intenda produrre una quantità Q = 60. Trovate la combinazione di fattori impiegata in equilibrio e rappresentatela nel grafico precedente. Isoquanto di riferimento: 60 = min (K, L) Isocosti: vedi b) 60 = min (K, L) K = L K* = L* = 60 d) Supponete, ora, che il prezzo del lavoro P L salga a 7. Che effetto avrà tale aumento sulla combinazione di fattori impiegata in equilibrio? Rispondete analiticamente e graficamente. Nuova mappa di isocosti: TC = P L L + P K K TC = 7 L + 4 K, fascio di rette parallele con pendenza = -7/4 La combinazione di fattori impiegata in equilibrio non varia, E=E 9) Supponiamo che nella fabbrica di Willy Wonka vengano prodotte speciali caramelle gommose (C), impiegando due soli input: frutta (F) e zucchero (Z). L isoquanto è rappresentato dalla seguente funzione: C = F Z Dove sia la frutta che lo zucchero sono espressi in chilogrammi. a) Spiegate se la funzione di produzione delle caramelle gommose presenta rendimenti di scala crescenti, costanti o decrescenti. Si tratta di una funzione di produzione di tipo Cobb-Douglas con somma degli esponenti pari ad, quindi i rendimenti di scala sono costanti. b) Calcolate il MRST tra lo zucchero e la frutta.

12 C / F Z MRTS = = C / Z F c) Supponiamo che la frutta costi 4 e che lo zucchero costi, nell ipotesi che in una settimana si vogliano produrre 36 chili di caramelle, quanti chili di frutta e di zucchero verranno impiegati in equilibrio? Per trovare le quantità di equilibrio possiamo mettere a sistema il confronto tra MRST e rapporto tra i prezzi e la funzione di isoquanto: Z = 4 F C = F Z = 36 Dalla prima troviamo Z=4F, sostituito nella seconda: C = F 4 ( F ) = = F Da cui F*=8, sostituendo F* troviamo Z*=7. Se sostituiamo F* e Z* nell isoquanto, troviamo: 0,5 0,5 C = (8) (7) = 36 d) Calcolate la spesa totale associata alla produzione di 36 chili e scrivete la funzione dell isocosto. Isocosto: IC = pz Z + pf F Costo totale: C=7*+8*4=44 costo totale. e) A causa di un pessimo raccolto di frutta, la quantità di frutta è dimezzata rispetto alla quantità di equilibrio. Nell ipotesi che si vogliano continuare a produrre 36 chili di caramelle, come varierà l impiego del fattore zucchero? Quali considerazioni si possono fare confrontando i costi economici nel caso d) e nel caso e). In questo caso sostituiamo ad F=9 e troviamo: C = 9 3Z Z = 36 Z = Z* = 44 = 36 In questo caso la frutta è un fattore razionato, se si vuole mantenere lo stesso livello di produzione, si deve utilizzare una combinazione tecnico-produttiva inefficiente,

13 che quindi non minimizza i costi. Infatti, in questo caso i costi ammontano a C =80, maggiori rispetto al caso precedente. 3