MICROECONOMIA (cod. 6006) Domande propedeutiche all esercitazione

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1 MICROECONOMIA (cod. 6006) CLEAM TERZA ESERCITAZIONE giovedì 9 marzo 009 (seconda parte) Questa esercitazione è suddivisa in 3 sezioni: domande da svolgere ad esercitazione, domande in preparazione all esercitazione ed ulteriori esercizi e domande. La maggior parte delle domande e degli esercizi è tratta da vecchi esami di microeconomia. Nota: in questo file sono contenute le soluzioni della seconda e terza parte, quella svolta durante la quarta esercitazione di giovedì 9/03/009 Domande propedeutiche all esercitazione Prima Parte Definizioni Si definiscano sinteticamente i seguenti termini anche con l ausilio, se necessario, di formule e/o grafici: a) Isoquanto E l insieme di tutte le combinazioni di fattori produttivi che consentono all impresa di ottenere un certo volume di produzione. b) Isocosto E l insieme di tutte le combinazioni di fattori produttivi associate ad un certo costo totale per l impresa. c) Saggio Marginale di Sostituzione Tecnica Indica in quale rapporto una data tecnologia consente di sostituire un fattore produttivo con un altro mantenendo inalterato il livello di produzione. E pari all opposto della pendenza dell isoquanto. d) Rendimenti di scala I rendimenti di scala indicano il tasso a cui varia l output totale quando entrambi gli input variano della stessa proporzione. Seconda Parte Vero, falso od incerto. Si stabilisca se i seguenti enunciati sono veri, falsi, o incerti (cioè veri solo sotto ipotesi restrittive non contenute nell enunciato). Si fornisca una spiegazione e si argomenti compiutamente la risposta. [NB: La spiegazione e l argomentazione sono più importanti della corretta classificazione].

2 a) Se una funzione di produzione presenta rendimenti di scala crescenti, allora la sua funzione di costo totale di lungo periodo è caratterizzata da economie di scala. Vero. In presenza di rendimenti di scala crescenti, al fine, per esempio, di raddoppiare il volume di produzione, l impresa deve utilizzare una quantità meno che doppia degli input. Di conseguenza, il costo totale per gli inputs aumenta meno velocemente dell aumento dell output. Per cui, avremo costi medi di produzione decrescenti che coincide con la definizione di economie di scala. b) In una funzione di produzione del tipo Y=f(L,K)=min(L,K), dove Y è l output e L e K i due fattori produttivi, i rendimenti di scala sono sempre costanti. Vero o falso? Si motivi la risposta. Vero, in quanto ogni fattore produttivo L, K ha una produttività costante (data dal reciproco del coefficiente di utilizzo del fattore stesso) e la tecnologia considerata utilizza i fattori sempre secondo una proporzione fissa. c) Se nel breve periodo il prodotto marginale del lavoro è costante, all aumentare del numero dei lavoratori l output totale non varia. Falso. Se il prodotto marginale del lavoro è costante, ciò significa che all aumentare del numero dei lavoratori l output totale aumenta sempre della stessa proporzione. d) Data una funzione di produzione y = min(l,k), una variazione del prezzo di uno dei due fattori produttivi non ha effetto sulla combinazione di fattori utilizzata per produrre una data quantità di output, ma solo sul costo complessivo di produzione Vero. Poiché si tratta di una tecnologia in cui i fattori produttivi sono perfetti complementi, la combinazione economica efficiente dei fattori produttivi è sempre quella corrispondente al vertice della curva di indifferenza corrispondente al livello di produzione desiderato. Il costo di produzione, invece, varia al variare del prezzo dei fattori: aumenta quando questi aumentano e diminuisce in caso contrario. Terza Parte Esercizi ) Si supponga che la funzione di produzione dell impresa Pinapple, che produce calcolatrici, X, sia del tipo: X = L K Dove L è il lavoro impiegato e K il capitale. a) Se L aumenta del 0%, quanto deve aumentare K affinché la produzione di X aumenti del 0%? In questo caso la somma degli esponenti della Cobb-Douglas è pari ad, quindi la funzione di produzione esibisce rendimenti di scala costanti, di conseguenza affinché la produzione di X aumenti del 0%, dato che L aumenta del 0%, K deve aumentare anch esso del 0%. b) Calcolate il MRST tra capitale e lavoro. C / L MRTS = C / K K = 3 L

3 c) Qual è la produttività marginale del lavoro? Quanto vale questa produttività se X=500 e K=000? X ( 0.5 ) 0.75 K MPL = = 0.5L K = 0.5 L L 0.75 Dalla funzione di produzione se X=500 e K= = L 000 L = 6.5 Quindi MP L X K 000 = = 0.5 = 0.5 = L L 6.5 d) Le proporzioni tra i fattori di produzione, mantenendo invariati i loro prezzi relativi, dipendono dall output? Perché? Affinché l impresa minimizzi i costi, deve valere che: w MRTS = r K w = 3 L r K w = 3 L r ) Quindi la proporzionalità tra i fattori impiegati non dipende dall output, ma dal prezzo dei fattori e dall inverso dal rapporto tra il coefficiente del capitale e del lavoro. L impresa Alfa fronteggia la seguente funzione di produzione: Q = L + 5K, dove Q indica la quantità prodotta, mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale, gli unici fattori impiegati nel processo produttivo. a) Di che tecnologia si tratta? Rappresentate la mappa degli isoquanti nel grafico sottostante e calcolate il saggio marginale di sostituzione tecnica tra capitale e lavoro (MRTS KL ). Perfetti sostituti MRTS KL = MP L /MP K = /5

4 K 0 E E 5 L b) Sapendo che i prezzi dei fattori sono, rispettivamente, P L =, P K =, scrivete l espressione analitica del generico isocosto. TC= P L L + P K K TC = L + K, fascio di rette parallele con pendenza = - c) Supponete che l impresa intenda produrre una quantità Q = 50. Trovate la combinazione di fattori impiegata in equilibrio e rappresentatela nel grafico precedente. Isoquanto di riferimento: 50 = L + 5 K, retta con pendenza = -/5 ed intercette (0;0) (5;0) Isocosti: vedi b) MRTS KL <(P L /P K ) soluzione verticale (0;0) d) Supponete, ora, che il prezzo del capitale P K salga a 5. Che effetto avrà tale aumento sulla combinazione di fattori impiegata in equilibrio? Rispondete analiticamente e graficamente. Nuova mappa di isocosti: TC= P L L + P K K TC = L + 5 K, fascio di rette parallele con pendenza = - /5 MRTS KL >(P L /P K ) soluzione orizzontale (5;0) 3) L impresa Alfa produce dolci (D) utilizzando due fattori produttivi: lavoro (L) e farina (F). La funzione di produzione dell impresa è la seguente: D=L 0.5 F 0.5.

5 a) Che rendimenti di scala ha la funzione di produzione? Motivate la risposta. Si tratta di una CD, la cui somma degli esponenti è : rendimenti di scala costanti. b) Supponendo che il costo del lavoro sia pari a e quello della farina pari a 3, scrivete la generica equazione di una retta di isocosto, e rappresentatela graficamente, indicando le intercette e la pendenza. C=L+3F Pendenza = - 4 F C/3 C/ L c) Nell ipotesi di voler produrre 60 dolci, quante unità di lavoro e di farina verranno impiegati in equilibrio? Rappresentate la soluzione nel grafico precedente. 60 = L 0.5 F 0.5 () /3=F/L () L*=30 F*=0 d) Supponete che nel breve periodo l impresa voglia produrre 0 dolci e che abbia a disposizione 36 lavoratori. Quante unità di farina verranno utilizzate? 0=6 F 0.5 F=400 Definizioni Ulteriori esercizi e domande a) Mappa degli isocosti Intera famiglia delle linee di isocosto corrispondente a una coppia di prezzi dei due fattori della produzione. b) Rendimenti di scala decrescenti Una tecnologia è caratterizzata dai rendimenti di scala decrescenti se, aumentando la quantità utilizzata di tutti i fattori della medesima proporzione, si ottiene un aumento meno che proporzionale del prodotto.

6 c) Lungo periodo Un intervallo di tempo sufficiente affinché tutti i fattori della produzione siano variabili e nessuno fisso. d) Rendimenti marginali crescenti Una tecnologia è caratterizzata da rendimenti marginali crescenti se il prodotto marginale di un fattore aumenta al crescere della quantità utilizzata di tale fattore. Vero, falso od incerto a) Considerate la seguente funzione di produzione: Y=min(L, K), dove Y indica la quantità complessivamente prodotta, L il numero di lavoratori e K il numero di unità di capitale impiegate. Per raddoppiare il volume di produzione è sufficiente impiegare una quantità doppia di lavoratori e capitale. Vero, la funzione di produzione esibisce rendimenti di scala costanti: è effettivamente sufficiente raddoppiare gli input per raddoppiare l'output. E però corretto anche affermare che ciò non è sempre necessario. Se si parte da una situazione in cui K è diverso da L basta anche meno. b) Se una tecnologia è caratterizzata da rendimenti marginali decrescenti, allora presenta rendimenti di scala decrescenti. FALSO, consideriamo la seguente tecnologia Cobb-Douglas: Y = L K. Essa presenta rendimenti marginali decrescenti ma rendimenti di scala costanti. c) Considerate la seguente funzione di produzione Y = L + 3K, dove Y indica l output, L il lavoro e K il capitale (unici fattori impiegati nel processo produttivo). La produttività marginale del lavoro è crescente. FALSO. La produttività marginale è definita come il prodotto aggiuntivo che si può ottenere impiegando una unità in più di un fattore mantenendo invariata la quantità degli altri fattori produttivi. La funzione di produzione data si riferisce a due fattori produttivi che risultano perfetti sostituti. In tal caso il prodotto marginale di entrambi i fattori è costante. Infatti: MP l Y ( l, k) = l = d) Considerate la seguente funzione di produzione, Y = L K dove Y indica l output, L il lavoro e K il capitale (unici fattori impiegati nel processo produttivo). La produttività marginale del capitale è decrescente.

7 FALSO. La funzione di produzione presentata è del tipo Cobb-Douglas con il caso particolare di entrambi gli esponenti relativi ai due fattori produttivi sono pari a. Come si vede calcolando il prodotto marginale del capitale relativo alla funzione data, esso non dipende dal capitale bensì dal lavoro: Y ( l, k) MP k = = L k Dato che l esponente di L è pari a, la produttività marginale del capitale è costante. L affermazione risulta quindi falsa. In generale, nel caso di funzioni Cobb-Doglas, la produttività marginale del capitale dipende dall esponente del fattore lavoro. Se questo è pari a. il prodotto marginale del capitale sarà costante; se è > sarà crescente; se infine è < la produttività marginale sarà decrescente. In questo caso l esponete è pari a per questo risulta che il prodotto marginale è crescente. Ulteriori esercizi ) Per produrre l output Y, l impresa A combina i fattori produttivi L (lavoro) e K (capitale) utilizzando la seguente tecnologia: Y=5L + 45K a) Calcolate il saggio marginale di sostituzione tecnica tra capitale e lavoro e disegnate, nel grafico sottostante, l isoquanto corrispondente al raggiungimento dell obiettivo di produzione di 75 unità di output, indicandone pendenza e intercette. MRTS KL = MP L /MP K = 5/45=/3 K 5/3 E=E 5 Pendenza del nuovo isocosto = - E L Pendenza dell isocosto = -/3 Pendenza dell isoquanto = -/3 b) Se il costo dei fattori produttivi è rispettivamente, P L =0 e P K =60 scrivete l espressione analitica dell isocosto corrispondente e fornitene una rappresentazione nel grafico pretendete L isocosto avrà espressione pari a:

8 TC= P L L + P K K ossia TC =0 L + 60K, rappresentato da un fascio di rette parallele con pendenza = -/3 c) Determinate la combinazione di fattori produttivi di equilibrio per l impresa A e indicate nel grafico il punto corrispondente all equilibrio. Trattandosi di una tecnologia a fattori produttivi perfetti sostituti, il calcolo dell equilibrio d impresa implica il confronto tra la pendenza dell isoquanto di riferimento e quella dell isocosto. Isoquanto di riferimento: 75 = 5L + 45K, retta con pendenza = -/3 Isocosto TC =0 L + 60K, con pendenza = -/3 Poiché MRTS KL <(P L /P K ) soluzione verticale (0;5/3) d) Qualora a seguito di una ricontrattazione salariale il costo del lavoro salisse a 30, pensate che l impresa possa impiegare una diversa combinazione di fattori produttivi in equilibrio? Fornite una risposta analitica e grafica. L aumento del costo del lavoro fa aumentare la pendenza dell isocosto, che ora risulta pari a - ma non cambia il confronto con la pendenza dell isoquanto relativo agli obiettivi di produzione. L equilibrio rimane quindi nel punto E a cui corrisponde un utilizzo di fattori produttivi rispettivamente pari a K*=5/3 L*=0 Quello che cambia rispetto all equilibrio precedente è l aumento dei costi di produzione. ) L impresa Beta fronteggia la seguente funzione di produzione: Q = min (K, L), dove Q indica la quantità prodotta, mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale, gli unici fattori impiegati nel processo produttivo. a) Di che tecnologia si tratta? Rappresentate la mappa degli isoquanti nel grafico sottostante e indicate il saggio marginale di sostituzione tecnica tra capitale e lavoro (MRTS KL ). Perfetti complementi Retta uscente dall origine: K=L (retta 45 ) Sul tratto verticale degli isoquanti MRTS KL = Sul tratto orizzontale degli isoquanti MRTS KL = 0 Nei punti angolosi MRTS KL non definito K K=L

9 E = E 60 b) Sapendo che i prezzi dei fattori sono, rispettivamente, P L =3, P K =4, scrivete l espressione analitica del generico isocosto. TC= P L L + P K K TC = 3 L + 4 K, fascio di rette parallele con pendenza = -3/4 c) Supponete che l impresa intenda produrre una quantità Q = 60. Trovate la combinazione di fattori impiegata in equilibrio e rappresentatela nel grafico precedente. Isoquanto di riferimento: 60 = min (K, L) Isocosti: vedi b) 60 = min (K, L) K = L K* = L* = 60 d) Supponete, ora, che il prezzo del lavoro P L salga a 7. Che effetto avrà tale aumento sulla combinazione di fattori impiegata in equilibrio? Rispondete analiticamente e graficamente. Nuova mappa di isocosti: TC = P L L + P K K TC = 7 L + 4 K, fascio di rette parallele con pendenza = -7/4 La combinazione di fattori impiegata in equilibrio non varia, E=E 3) Supponiamo che nella fabbrica di Willy Wonka vengano prodotte speciali caramelle gommose (C), impiegando due soli input: frutta (F) e zucchero (Z). L isoquanto è rappresentato dalla seguente funzione: C = F Z Dove sia la frutta che lo zucchero sono espressi in chilogrammi. a) Spiegate se la funzione di produzione delle caramelle gommose presenta rendimenti di scala crescenti, costanti o decrescenti. Si tratta di una funzione di produzione di tipo Cobb-Douglas con somma degli esponenti pari ad, quindi i rendimenti di scala sono costanti.

10 b) Calcolate il MRST tra lo zucchero e la frutta. C / F Z MRTS = = C / Z F c) Supponiamo che la frutta costi 4 e che lo zucchero costi, nell ipotesi che in una settimana si vogliano produrre 36 chili di caramelle, quanti chili di frutta e di zucchero verranno impiegati in equilibrio? Per trovare le quantità di equilibrio possiamo mettere a sistema il confronto tra MRST e rapporto tra i prezzi e la funzione di isoquanto: Z = 4 F C = F Z = 36 Dalla prima troviamo Z=4F, sostituito nella seconda: C = F 4 ( F ) = = F Da cui F*=8, sostituendo F* troviamo Z*=7. Se sostituiamo F* e Z* nell isoquanto, troviamo: 0,5 0,5 C = (8) (7) = 36 d) Calcolate la spesa totale associata alla produzione di 36 chili e scrivete la funzione dell isocosto. Isocosto: IC = pz Z + pf F Costo totale: C=7*+8*4=44 costo totale. e) A causa di un pessimo raccolto di frutta, la quantità di frutta è dimezzata rispetto alla quantità di equilibrio. Nell ipotesi che si vogliano continuare a produrre 36 chili di caramelle, come varierà l impiego del fattore zucchero? Quali considerazioni si possono fare confrontando i costi economici nel caso d) e nel caso e). In questo caso sostituiamo ad F=9 e troviamo: C = 9 3Z Z = 36 Z = Z* = 44 = 36 In questo caso la frutta è un fattore razionato, se si vuole mantenere lo stesso livello di produzione, si deve utilizzare una combinazione tecnico-produttiva inefficiente, che quindi non minimizza i costi. Infatti, in questo caso i costi ammontano a C =80, maggiori rispetto al caso precedente.

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