Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

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1 Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40

2 1 L integrle come limite di somme 2 Clssi di funzioni integrbili 3 Proprietà dell integrle 4 Il teorem fondmentle del clcolo integrle 5 Metodi per l ricerc di primitive 6 Integrli generlizzti 7 Funzioni integrli ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 2 / 40

3 Introduzione l clcolo integrle Problemi che hnno portto ll nscit del clcolo integrle: Definire e misurre l re di un figur pin contorno curvilineo. Definire e misurre l lunghezz di un curv. Fine 1600, inizio 1700: viene introdotto questo scopo il concetto di integrle come limite di somme e viene nche fornito un lgoritmo per il suo clcolo effettivo utilizzbile in csi generli. Esempio: dt f(x) = x 2, clcolimo l misur dell re compres tr l sse x e f(x) per x [0, 1]. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 3 / 40

4 L definizione di integrle Si f : [, b] R limitt. Considerimo l suddivisione di [, b] individut di punti ove, per ogni j = 0,..., n = x 0, x 1, x 2,... x n 1, x n = b x j = + j b n in modo che per ogni j = 1,..., n si bbi x j x j 1 = b n. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 4 / 40

5 L definizione di integrle Considerimo in ciscuno degli n intervlli [x j 1, x j ] un punto rbitrrio ξ j. Costruimo l somm (dett di Cuchy Riemnn): S n = n j=1 f(ξ j ) (x j x j 1 ) = b n n f(ξ j ). j=1 Pssimo l limite per n +. Si osservi che i punti ξ j scelti d ogni posso possono essere diversi d quelli scelti nei pssi precedenti o successivi. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 5 / 40

6 L definizione di integrle Definizione Si dice che un funzione limitt f : [, b] R è integrbile in [, b] se, dett S n un su qulsisi successione di Cuchy Riemnn, esiste finito lim n + S n e non dipende dll scelt i punti ξ j d ogni psso dell costruzione itertiv. In tl cso si pone Il simbolo lim S n = n + si chim integrle di f(x) d b. f(x)dx f(x)dx. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 6 / 40

7 Interpretzione geometric Si f 0 e continu. Ogni ddendo dell somm di Cuchy Riemnn rppresent l re del rettngolo vente come bse il segmento [x j 1, x j ] e come ltezz f(ξ j ). L somm S n rppresent un pprossimzione dell re dell prte di pino compreso tr l sse x, x b, e il grfico di f (trpezoide individuto d f). Pssndo l limite per n + si h S n f(x)dx che si può definire come re del trpezoide. Se f cmbi segno, l integrle rppresent un somm di ree con segno. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 7 / 40

8 Clssi di funzioni integrbili Teorem Si f : [, b] R un funzione continu. Allor f è integrbile. Teorem Si f : [, b] R un funzione limitt e monoton. Allor f è integrbile. Teorem Se f 1 [, b] R e f 2 : [b, c] R sono integrbili llor { f 1 (x) se x [, b) f(x) = f 2 (x) se x (b, c] (f definit in qulsisi modo in b) è integrbile in [, c]. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 8 / 40

9 Esempi Ogni funzione costnte f(x) = c è integrbile su qulunque intervllo [, b] e f(x)dx = c(b ). L funzione di Dirichlet f : [0, 1] R definit d { 1 se x [0, 1] Q; f(x) = 0 se x [0, 1]\Q non è integrbile. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 9 / 40

10 Proprietà dell integrle Proposizione (Linerità dell integrle) Sino f, g : [, b] R integrbili in [, b]. Allor per ogni α, β R nche αf + βg è integrbile e (αf(x) + βg(x)) dx = α f(x)dx + β g(x)dx. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 10 / 40

11 Proprietà dell integrle Proposizione (Additività dell integrle) Si f : [, b] R integrbile in [, b]. Se r b llor f è integrbile nche su [, r] e [r, b] e f(x)dx = r f(x)dx + r f(x)dx. Convenzione: Se > b si definisce f(x)dx = f(x)dx = 0. b f(x)dx. Allor l formul precedente vle qulunque si l ordinmento dei punti, b, r. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 11 / 40

12 Proprietà dell integrle Proposizione (Positività e monotoni dell integrle) Sino f, g : [, b] R integrbili in [, b]. Allor f g f 0 f(x)dx f(x) 0; g(x)dx. Conseguenz: f(x)dx f(x) dx. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 12 / 40

13 Proprietà dell integrle Teorem (dell medi) Si f : [, b] R un funzione continu in [, b]. Allor esiste c [, b] tle che 1 b f(x)dx = f(c). b Interpretzione geometric: se f 0, l re sottes dl grfico di f in [, b] è ugule ll re di un rettngolo di bse [, b] e ltezz opportun f(c). ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 13 / 40

14 Il teorem fondmentle del clcolo integrle L definizione di integrle non è gevole d usre per il suo clcolo effettivo. Il metodo più usto per il clcolo dell integrle di un funzione richiede l uso dell nozione di primitiv. Definizione Si f : [, b] R un funzione. Un primitiv di f è un funzione G : [, b] R derivbile in [, b] e tle che G (x) = f(x) x [, b]. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 14 / 40

15 Proprietà delle primitive Proposizione Si f : [, b] R un funzione. se G : [, b] R è un primitiv di f, llor, per ogni c R, G + c è un primitiv di f; se G 1, G 2 : [, b] R sono due primitive di f, llor esiste c R tle che G 1 = G 2 + c. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 15 / 40

16 Esempi Un funzione che non mmette primitive: si f : [ 1, 1] R definit d { 1 se x [ 1, 0); f(x) = 1 se x [0, 1]. Vedremo che ogni funzione continu mmette primitive. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 16 / 40

17 Il teorem fondmentle del clcolo integrle Teorem Si f : [, b] R un funzione continu in [, b]. Se G : [, b] R è un primitiv di f llor f(x)dx = G(b) G(). Per indicre G(b) G() di solito si us il simbolo [G(x)] b. Si prov che ogni f : [, b] R continu mmette un primitiv. Succede tlvolt che tle primitiv non si esprimibile trmite le funzioni elementri. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 17 / 40

18 Integrle indefinito Definizione Si f : [, b] R. L insieme i cui elementi sono le primitive di f si chim integrle indefinito di f e si denot con il simbolo f(x)dx. Dto che le primitive di f, se esistono, differiscono per un costnte si scrive f(x)dx = G(x) + c c R (G primitiv di f). ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 18 / 40

19 Alcune primitive Leggendo l tbell delle derivte delle funzioni elementri: kdx = kx + c k R; x p dx = xp+1 p c 1 p 1; dx = log x + c x x < 0 oppure x > 0; x dx = x log + c; e x dx = e x + c; sen xdx = cos x + c; cos xdx = sen x + c; ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 19 / 40

20 Alcune primitive 1 cos 2 x dx = (1 + tg 2 x)dx = tg x + c; 1 dx = rctg x + c; 1 + x2 1 dx = rcsen x + c. 1 x 2 ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 20 / 40

21 Integrzione per scomposizione Dte f e g funzioni continue e α, β R, dll linerità dell derivt segue che (αf(x) + βg(x)) dx = α f(x)dx + β g(x)dx. Quest proprietà è stt già vist per l integrle definito (vedere l proprietà di linerità dell integrle). ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 21 / 40

22 Integrzione per sostituzione, integrle indefinito Sino Allor ϕ : [, b] R un funzione derivbile in [, b] con derivt continu tle che ϕ([, b]) I, I R intervllo; f : I R un funzione continu in I. [ f(ϕ(x))ϕ (x)dx = ] f(t)dt. t=ϕ(x) ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 22 / 40

23 Integrzione per sostituzione, integrle definito Sino Allor ϕ : [, b] R un funzione derivbile in [, b] con derivt continu tle che ϕ([, b]) I, I R intervllo; f : I R un funzione continu in I. f(ϕ(x))ϕ (x)dx = ϕ(b) ϕ() f(x)dx. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 23 / 40

24 Simmetrie Si f : [ k, k] R. Se f è pri, llor k k k f(x)dx = 2 f(x)dx. 0 Se f è dispri, llor k k f(x)dx = 0. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 24 / 40

25 Integrzione di funzioni rzionli Clcolo di integrli del tipo Pn (x) Q m (x) dx ove P n e Q m sono polinomi di grdo n ed m rispettivmente. Se n m, eseguire l divisione tr polinomi. Se n < m, distinguimo tre csi: m = 1 (immedito); m = 2; m > 2. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 25 / 40

26 Integrzione di funzioni rzionli, denomintore di grdo 2 In tl cso Q m (x) Q(x) = x 2 + bx + c. Occorre distinguere tre csi: Q(x) h due rdici distinte; Q(x) è un qudrto perfetto; Q(x) non si nnull mi. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 26 / 40

27 Integrzione per prti Se f e g sono derivbili in [, b] si h (fg) = f g + fg ossi fg = (fg) f g. Allor prendendo l integrle indefinito di mbo i membri e osservndo che (fg) (x)dx = f(x)g(x) si trov l formul di integrzione per prti: f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 27 / 40

28 Integrzione per prti Per l integrle definito vle l formul: f(x)g (x)dx = [f(x)g(x)] b f (x)g(x)dx. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 28 / 40

29 Integrzione di funzioni non limitte Si f : [, b) R continu e tle che lim f(x) = ±. x b Si consider il limite lim ε 0 + ε f(x)dx. (1) Definizione Se il limite (1) esiste finito si dice che f è integrbile in senso improprio in [, b) o che l integrle f(x)dx è convergente. Se il limite (1) è ugule ± l integrle si dice divergente. Se il limite (1) non esiste si dice che l integrle non esiste. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 29 / 40

30 Integrzione di funzioni non limitte Anloghe definizioni si hnno se f : (, b] R è continu e tle che lim f(x) = ±. x + Si consider il limite lim f(x)dx. (2) ε 0 + +ε Definizione Se il limite (2) esiste finito si dice che f è integrbile in senso improprio in (, b] o che l integrle f(x)dx è convergente. Se il limite (2) è ugule ± l integrle si dice divergente. Se il limite (2) non esiste si dice che l integrle non esiste. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 30 / 40

31 Integrzione di funzioni non limitte In simboli, nel primo cso si scrive nel secondo cso si scrive f(x)dx = lim ε 0 + f(x)dx = lim ε 0 + ε +ε f(x)dx, f(x)dx. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 31 / 40

32 Criteri di integrbilità l finito Sino f, g : [, b) R continue e tli che lim x b x b f(x) = lim g(x) = +. Criterio del confronto: Se 0 f(x) g(x) in [, b) llor g integrbile f integrbile, f non integrbile g non integrbile. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 32 / 40

33 Criteri di integrbilità l finito Criterio del confronto sintotico: Se f > 0 e g > 0 e f g per x b llor f integrbile g integrbile. Teorem f(x) dx convergente f(x)dx convergente. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 33 / 40

34 Integrzione su intervlli illimitti Si f : [, + ) R continu. Si consider il limite ω lim ω + f(x)dx. (3) Definizione Se il limite (3) esiste finito si dice che f è integrbile in senso improprio in [, + ) o che l integrle + f(x)dx è convergente. Se il limite (3) è ugule ± l integrle si dice divergente. Se il limite (3) non esiste si dice che l integrle non esiste. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 34 / 40

35 Integrzione su intervlli illimitti Anlogmente se f : (, b] R è continu, si consider il limite lim ω ω f(x)dx. (4) Definizione Se il limite (4) esiste finito si dice che f è integrbile in senso improprio in (, b] o che l integrle f(x)dx è convergente. Se il limite (4) è ugule ± l integrle si dice divergente. Se il limite (4) non esiste si dice che l integrle non esiste. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 35 / 40

36 Integrzione su intervlli illimitti In simboli, si scrive + f(x)dx = f(x)dx = Inoltre se f : R R è continu si pone + f(x)dx = c dove c R è scelto rbitrrimente. ω lim f(x)dx, ω + lim ω ω f(x)dx + f(x)dx. + c f(x)dx. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 36 / 40

37 Criteri di integrbilità ll infinito Sino f, g : [, + ) R continue. Criterio del confronto: Se 0 f(x) g(x) in [, + ). Allor g integrbile f integrbile, f non integrbile g non integrbile. Criterio del confronto sintotico: Se f > 0 e g > 0 e f g per x + llor f integrbile g integrbile. Teorem + f(x) dx convergente + f(x)dx convergente. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 37 / 40

38 Funzioni integrli Si f un funzione integrbile in un intervllo I. Si fissi x 0 I e si fcci vrire x I. È ben definito x x 0 f(t)dt e, quindi, l funzione F : x I x x 0 f(t)dt. L funzione F prende il nome di funzione integrle ssocit d f. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 38 / 40

39 Secondo teorem fondmentle del clcolo integrle Teorem Si f : [, b] R un funzione integrbile, si x 0 [, b] e si F (x) = Allor 1 F è continu in [, b]; x x 0 f(t)dt. 2 se f è continu in [, b], F è derivbile in [, b] e F (x) = f(x) x [, b]. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 39 / 40

40 Osservzioni L second prte del teorem fferm che F è un primitiv di f se f è continu. Quindi ogni funzione continu mmette un primitiv (l su funzione integrle). Regolrità: f continu, F = f F continu cioè F è derivbile con derivt continu. f derivbile con derivt continu, F = f F derivbile e F = f F continu cioè F è derivbile due volte con derivte continue. In generle l funzione integrle h sempre un grdo di regolrità in più rispetto ll funzione integrnd. ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 40 / 40

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