Problema numerico. Relazione funzionale chiara e non ambigua tra dati iniziali e soluzione. Dati iniziali e soluzione sono due vettori finiti x, y.

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1 Problema numerico Relazione unzionale chiara e non ambigua tra dati iniziali e soluzione. Dati iniziali e soluzione sono due vettori initi, y. (=y

2 Metodo numerico Descrizione matematica dei calcoli che si devono sviluppare per arrivare alla soluzione Attenzione: in un metodo numerico non è detto ci sia la initezza nel tempo! Quando abbiamo un metodo numerico possiamo costruire un algoritmo

3 Algoritmo Sequenza inita e non ambigua di ordini (istruzioni che ai dati iniziali (input associano un unico risultato (output in un tempo inito Per uno stesso metodo numerico si possono costruire più algoritmi

4 Bontà di un algoritmo Generale e robusto: applicabile ad un qualsiasi insieme di dati di un certo dominio Semplicità di veriica delle ipotesi di applicazione Stabilità numerica Richiesta di risorse - numero di operazioni - quantità di memoria richiesta

5 Costo computazionale Complessità computazionale di un algoritmo= numero di operazioni aritmetiche loating point richieste per la sua esecuzione Unità di misura FLOP (loating point operation 1 lop = una operazione elementare (+,-,*,/

6 Aritmetica loating point Insieme dei numeri macchina F(B,s,L,U: tutti i numeri della orma =±0. d 1 d 2 d 3...d s B m (rappresentazione loating point dove B: base di rappresentazione d 1 0 s: numero di cire della mantissa L,U: estremi del range in cui può variare l esponente m (L<m<U

7 I calcolatori utilizzano 32 o 64 bit per rappresentare i numeri macchina (nella base B=2: Singola precisione segno mantissa esponente Doppia precisione segno mantissa esponente Con l hidden bit: 24 e 53 cire, rispettivamente

8 Aritmetica di Matlab Matlab lavora in base 2 ma visualizza i risultati usando la base 10 Matlab lavora in doppia precisione: 16 cire in base 10 (53 cire binarie L=-308, U=+308 (base B=2: L=-1022, U=1024 realma=1.7977e+308 ( (massimo numero rappresentabile in valore assoluto realmin=2.2251e-308 ( (minimo numero rappresentabile in valore assoluto

9 Numeri in modulo maggiori di realma e ineriori a realmin non possono essere rappresentati. A un numero più grande di realma (overlow Matlab associa il valore speciale In >>2*realma ans=in >>realmin/2 ans=1.1125e-308 (underlow In questo caso una parte di bit destinati alla mantissa viene usata per l esponente (perdita di cire signiicative. Se tale perdita supera un certo livello, Matlab restituisce 0. >> realmin/10e+16 ans=0 ATTENZIONE: per l underlow non viene dato un segnale di errore

10 Precisione di macchina eps=2-52 =2.2E-16 precisione di macchina Per Matlab: è il più grande numero macchina tale che 1+eps=1 Per deinizione: è il più piccolo numero macchina tale che 1+eps>1

11 L utilizzo di numeri macchina comporta i seguenti atti: Gli errori sono sempre presenti nel calcolo Non tutti i numeri sono rappresentabili nell insieme dei numeri macchina (overlow, underlow Si devono utilizzare algoritmi stabili per non propagare troppo gli errori Attenzione: ricordarsi che esistono problemi sensibili alla variazione dei dati di ingresso (problemi mal condizionati

12 Nel problema numerico i dati iniziali sono generalmente aetti da un errore: Errore propagato (=y δ errore inerente i dati + δ (+δ=ŷ δy=ŷ-y è l errore dovuto alla propagazione dell errore inerente δ (δy errore propagato. La propagazione dell errore dipende solo dal problema numerico considerato. NON dipende dall algoritmo usato per are i calcoli.

13 Esempio: calcolare y=ep(a dato iniziale aetto da un errore inerente δ calcoloŷ=ep(a(+δ=ep(a ep(a δ errore (relativo propagato: (y-ŷ / y = ep(a(1-ep(a δ / ep(a = 1-ep(a δ a=100, =10, δ=0.1 errore inerente (relativo: δ/= 1/100 errore (relativo propagato: (y-ŷ / y =ep(10-1=2.2025e+004 Esempio di problema mal condizionato

14 Problema ben/mal-condizionato Quando a piccole perturbazioni (relative sui dati corrispondono perturbazioni (relative sul risultato ( dello stesso ordine di grandezza, il problema y=( è deinito ben condizionato. Quando invece l errore (relativo sul risultato è molto più grande dell errore (relativo sui dati... il problema considerato è detto mal condizionato. Uno stesso problema può essere mal condizionato per certi dati ma non per altri.

15 Indice di condizionamento di un problema + δ ( + δ ( ( K δ K (costante indice di condizionamento K grande problema mal condizionato (errore propagato molto più grande dell errore sui dati K piccolo problema ben condizionato (errore propagato dello stesso ordine dell errore sui dati Nella soluzione di sistemi lineari A=b, K= A A -1

16 Indice di condizionamento per la valutazione di una unzione Problema: valutare una unzione (dierenziabile in un punto : valore esatto +δ: valore perturbato (+δ-( (δ ( '( ( ( ( δ δ + δ δ + ( '( ( ( ( ( '( K = δ δ ( '( ( ( ( +

17 Esempio di mal condizionamento: a (=ep(a 2 con a>0 a (=2a ep(a 2 K= (2a 2 ep(a 2 /ep(a 2 =2a 2 Valutare a ( con a=5, in =5 K=250 problema mal condizionato Inatti, se perturbiamo a di 0.3 (δa=0.3: a 1 =5.3 Errore relativo sul dato di ingresso: a 1 -a /a=0.06 y= a=5 (5=1.9356E +054 y 1 = a1 =5.3 (5=3.4996E +057 Errore relativo sul risultato: y 1 -y /y=1.8070e+003

18 Esempio di ben condizionamento: con >0 K=1/2 Calcolo L errore propagato è (Esercizio 3 = ( 2 1 ( ' = y δ + = ˆ + + = y δ δ ˆ y y y δ 2 1 ˆ

19 Errori nella risoluzione di un problema numerico Problema y=( 1 =+δ e 1 = (-( 1 errore dovuto al condizionamento 1 e 2 = ( 1-1 ( 1 errore di discretizzazione Applichiamo l algorimo e otteniamo un valore 2 ( 1 e 3 = 1 ( 1-2 ( 1 errore di calcolo

20 Stabilità numerica Riguarda gli algoritmi e precisamente gli errori di calcolo commessi nella sequenza di istruzioni dell algoritmo stesso. Quando lavoriamo su un calcolatore usiamo un insieme di numeri macchina e le operazioni macchina si introducono degli errori di calcolo dovuti agli errori di arrotondamento

21 Per giudicare la bontà di un algoritmo per il calcolo di (, dobbiamo conrontare l output dell algoritmo 2 ( 1 con ( 1, dove 1 =l( (i.e. 1 =rappresentazione di come numero macchina Un algoritmo si dice numericamente stabile se ( 1-2 ( 1 / ( 1 è dell ordine della precisione di macchina, ossia se non ampliica gli errori di arrotondamento dovuti ai calcoli. La stabilità di un algoritmo valuta quindi la reazione ornita dall algoritmo all introduzione di perturbazioni nei dati iniziali. Tiene conto della sola propagazione degli errori di arrotondamento provocati dall aritmetica di macchina.

22 Condizionamento di un problema, algoritmo e stabilità La stabilità dell algoritmo non garantisce che il risultato calcolato sia accurato. Per un problema mal condizionato la distinzione tra algoritmo stabile e instabile non è molto signiicativa in quanto l errore totale risulta dominato dall errore inerente. Quindi per un problema mal condizionato è opportuna, in generale, una sua riormulazione.

23 La bassa accuratezza dei risultati prodotti da un processo numerico può essere imputabile all elevato condizionamento intrinseco del problema oppure all instabilità dell algoritmo utilizzato per produrlo.

24 Ampliicazione errori di calcolo (instabilità numerica Cancellazione numerica: perdita di cire signiicative nella sottrazione quando i due operandi sono vicini tra loro. Inatti, sappiamo che se nella somma i dati sono aetti da errore (a+δa ±(b+δb l errore relativo sul risultato è (δa±δb/(a±b

25 La dierenza macchina non introduce alcuna perdita di precisione ma può ampliicare gli errori di arrotondamento presenti negli operandi a l(a, b l(b a-b l(l(a-l(b (Operazioni macchina: Esercizi 1,2

26 Esempio: a= b= Calcolare a-b nell aritmetica a s=6 cire >> a= ; b= >> digits(6 [sintassi generale: digits(s] >> a1=sym(a,'d' a1 = >> b1=sym(b,'d' b1 = >> a1-b1 ans =.302 E-3 La vera dierenza è a-b= E-3 Le ultime cire della mantissa sono alterate in quanto abbiamo atto l(a-l(b

27 Adesso prendiamo due numeri più vicini: a= b= Calcoliamo a-b nella stessa aritmetica di prima a1-b1=l(a-l(b=.2000e-5 mentre a-b=.2584e-5 (Cancellazione numerica: Esercizi 4,5

28 Sommare tanti addendi a 1 + a 2 + a 3 + a n Algoritmo più stabile: ordinare gli addendi in modo che: a 1 a 2 a 3 a n e poi sommare (Esercizio 8

29 Valutazione di un polinomio p(= a 1 n + a 2 n a n + a n+1, a 1 0 a: vettore dei coeicienti : vettore di punti in cui eettuare la valutazione >>y=polyval(a, Il comando polyval usa l algoritmo di Horner Costo computazionale: n moltiplicazioni e n addizioni

30 p=1; s=a n+1 ; or i=n:-1:1 p=p*; s=p*a i +s; end disp(s; Algoritmo standard Costo computazionale: 2n moltiplicazioni e n addizioni

31 Algoritmo di Horner Si basa sulla seguente riscrittura di p(: p(= (((a 1 +a 2 +a 3 + +a n +a n+1 s=a 1 ; or i=2:n+1 s=s*+a i ; end disp(s; Costo computazionale: n moltiplicazioni e n addizioni

32 Esercizio: Scrivere un ile di comandi che valuti e disegni il polnomio p(= nell intervallo [0.998, 1.002] con diversi algoritmi: 1. valutazione brutale 2. schema di Horner (polyval 3. p(=(-1 6

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34 Altri esempi di instabilità numerica (Esercizi 6,7