Software per le Telecomunicazioni

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1 Università degli studi di Roma Tor Vergata a.a Software per le Telecomunicazioni Docente: Ing. Dajana Cassioli Stanza 4187 Dip. Ing. Elettronica Tel Info Materiale consigliato: Manuali Guide di MATLAB sul sito (gratuite ma in inglese) Raccolta dei lucidi proiettati a lezione (italiano) Guida sintetica di MATLAB (in italiano) (http://www.df.unipi.it/~ferrante/matlab.pdf) Software Octave per Windows (versione freeware simile alla versione base di MATLAB stessi nomi per le funzioni) Scilab (migliore, ma con nomi differenti) Per eventuali chiarimenti agli studenti Al termine delle lezioni Previo appuntamento ( a 2

2 Organizzazione del Corso Introduzione a MATLAB Vettori e Matrici La Grafica di MATLAB Programmare in MATLAB Calcolo Numerico Metodi Montecarlo e Fit Statistici Analisi ed Elaborazioni di Segnali (Pilotaggio di Esperimenti e Acquisizione di Dati Sperimentali) 3 Cos è MATLAB? Il nome MATLAB sta per Matrix Laboratory Cos è MATLAB? MATLAB è un linguaggio per computazioni tecniche ad elevate prestazioni, che integra calcolo, visualizzazione e programmazione in un unico ambiente facile da usare dove problemi e soluzioni sono espresse in notazioni matematiche standard. MATLAB è un sistema interattivo basato sull uso di vettori e matrici (array) come dati elementari ; tali matrici non richiedono di essere definite o dimensionate Gli usi più comuni prevedono: Calcoli matematici Sviluppo di algoritmi Acquisizione dei dati Modellizzazone, simulazione e studio/progetto di prototipi Analisi di dati, esplorazione e visualizzazione Grafica scientifica ed ingegneristica Sviluppo di applicazioni e/con interfacce grafiche utente. 4

3 Perché Calcolo Interattivo? 1. Nei programmi di calcolo interattivo le operazioni da eseguire possono essere immesse direttamente da tastiera ed eseguite istantaneamente. 2. Rispetto ai programmi scritti con un linguaggio compilato (come C, C++, fortran, etc), offrono il vantaggio di poter rapidamente capire quali sono le operazioni da effettuare sui dati, e poter visualizzare immediatamente il risultato, evitando di dover compilare ed eseguire ogni volta il programma da capo: questo rende più veloci le fasi di scrittura dei programmi. 3. Svantaggi: a) i programmi prodotti risultano piu lenti di quelli scritti con linguaggio compilato di basso livello b) non è possibile (solitamente) scrivere programmi in grado di funzionare al di fuori del programma di calcolo interattivo utilizzato 4. Di solito questi strumenti, e relativi linguaggi, vengono utilizzati nella fase di prototipizzazione di un programma, o nella fase finale di visualizzazione dei risultati 5. Per le operazioni di calcolo su grosse quantità di dati rimane preferibile l uso di un programma compilato. 5 Programmi di Calcolo Interattivo Programmi utilizzati principalmente per il calcolo simbolico: Mathematica Windows, Mac, Linux Maple Windows, Mac, Linux Programmi utilizzati principalmente per il calcolo numerico: Matlab - commerciale - Windows, Mac, Linux Octave - gratuito - Linux, (Windows) Scilab - gratuito - Linux, Windows root - gratuito - Linux, Mac, Windows paw - gratuito - Linux Per Linux si trovano molte altre possibilita, come grace, R, etc..., etc. 6

4 Il sistema MATLAB Il sistema MATLAB consta di 5 parti principali: Ambiente di Sviluppo, Libreria delle Funzioni Matematiche, il Linguaggio MATLAB, Funzioni Grafiche e l Interfaccia MATLAB per programmi applicativi (API) Ambiente di sviluppo. Si tratta di un insieme di strumenti per utilizzare le funzioni ed i files di Matlab tramite delle interfacce grafiche utente. E formato dal Desktop di MATLAB e dalla Command Window, la Command History, l Editor/Debugger, ed i browser per visualizzare gli help, il Workspace, la finestra con la directory corrente, ed il search path. Libreria delle Funzioni Matematiche di MATLAB. Si compone di un gran numero di algoritmi computazionali che spaziano dalle funzioni elementari come SOMMA, SENO, COSENO e operazioni sul PIANO COMPLESSO, a funzioni più sofisticate come l INVERSA di MATRICE, il calcolo degli AUTOVALORI, FUNZIONI di BESSEL e le TRASFORMATE di FOURIER VELOCI (FFT). 7 Il sistema MATLAB (cont.) Il linguaggio MATLAB. Si tratta di un linguaggio ad alto livello per operazioni su matrici/vettori con istruzioni (classiche) di controllo di flusso (if, switch, for, ecc.), funzioni, strutture di dati, input/output e supporto alla programmazione ad oggetti. Funzioni Grafiche. Una vasta libreria di funzioni grafiche consente di visualizzare vettori e matrici. E possibile visualizzare i dati in 2 o 3 dimensioni, è possibile elaborare tali immagini, creare animazioni e grafici per presentazioni. Interfaccia MATLAB per programmi applicativi (API). Si tratta di una libreria che permette di fare interagire programmi scritti in C o in Fortran con MATLAB. Comprende comandi per chiamare routines da MATLAB (collegamenti dinamici), chiamare MATLAB come motore di calcolo e per leggere e scrivere file.mat 8

5 MATLAB - Ambiente di Sviluppo Avviare MATLAB Windows: Cliccare sull icona di MATLAB sul desktop UNIX: digitare matlab al prompt. Una volta avviato MATLAB, si apre la finestra del desktop di MATLAB E possibile cambiare la finestra in cui MATLAB si avvia, definire alcune opzioni di avvio, come lanciare una macro all avvio, o ridurre il tempo di avvio (se necessario) in alcune situazioni. Uscire da MATLAB Per terminare la propria sessione MATLAB, selezionare Exit MATLAB dal menu File sul desktop, o digitare quit nella Command Window. 9 Il Desktop di MATLAB Il desktop di MATLAB prevede: La Command Window La finestra Command History Start Button Help Browser Current Directory Browser Workspace Browser Array Editor L Editor/Debugger 10

6 E possibile modificare l aspetto del desktop aprendo, chiudendo, spostando o ridimensionando le finestre in esso contenute 11 MATLAB Desktop Classico 12

7 Command Window Viene utilizzata per definire variabili e lanciare funzioni ed M-files. Le operazioni di Input/output sulla finestra di comando possono essere controllate dall utente La linea di comando di MATLAB è indicata da un prompt come in DOS: >> Accetta dichiarazioni di variabili, espressioni e chiamate a tutte le funzioni disponibili nel programma. Tutte le funzioni di MATLAB non sono altro che files di testo, simili a quelli che l utente può generare con un text editor, e vengono eseguite semplicemente digitandone il nome sulla linea di comando. MATLAB permette inoltre di richiamare le ultime righe di comandi inseriti usando le frecce in alto e in basso. 13 Help di MATLAB - 1 MATLAB presenta un help in linea con informazioni sulla sintassi di tutte le funzioni disponibili. Se si conosce il nome della funzione, e si vogliono conoscere dettagli sul suo funzionamento, basta digitare: help nome nome può essere un istruzione o una directory Se è una istruzione help mostra le informazioni riguardo tale istruzione Se è una directory help mostra la lista dei files in essa contenuti Ad esempio:» help round ROUND Round towards nearest integer. ROUND(X) rounds the elements of X to the nearest integers. See also FLOOR, CEIL, FIX. 14

8 Help di MATLAB - 2 È anche possibile avere un help di tutte le funzioni di una certa categoria; ad esempio per sapere quali sono le funzioni specifiche per l analisi ed il processamento dei segnali, basta digitare: help signal Per sapere quali sono le varie categorie di funzioni disponibili, tra cui i cosiddetti toolbox, basta digitare: help 15 Help di MATLAB - 3 Un comando utile per trovare una funzione sconosciuta è lookfor Altrimenti, andando nel menù help->help window compare una finestra in cui tutti i comandi e le funzioni sono raggruppati per categorie, con una breve descrizione. Infine si può scegliere help desk: questo comando aprirà il browser con la documentazione completa di matlab è la più esauriente, ma anche la più dispersiva. 16

9 MATLAB Help Browser 17 Command History Window Le istruzioni eseguite a linea di comando vengono registrate nella finestra Command History. In tale finestra, sono infatti visualizzate tutte le istruzioni precedentemente eseguite, ed è possibile copiarle ed eseguirle di nuovo 18

10 Current Directory Browser Per cercare, visualizzare, aprire e modificare le directory ed i file di MATLAB (o ad esso collegati) si può utilizzare il Current Directory Browser. 19 MATLAB Search PATH!!!! Tutte le operazioni su files di MATLAB usano come punti di riferimento la current directory ed il search path. Qualsiasi file voglia essere eseguito DEVE trovarsi nella current directory o essere stato registrato nel search path. I files forniti con MATLAB e con i toolbox di MathWorks sono già inclusi nel search path. E possibile aggiungere al search path di MATLAB le directory che contengono i propri files. Per visualizzare le directory presenti nel search path o per variare l attuale configurazione del search path, si può selezionare Set Path dal menu File sul desktop di MATLAB, ed utilizzare la finestra del Set Path. In alternativa, si può utilizzare la funzione path per visualizzare il search path, il comando addpath per aggiungere una directory al search path, ed infine rmpath per eliminare una directory dal search path. 20

11 Il Workspace di MATLAB Il workspace di MATLAB è costituito dall insieme di variabili (vettori) create durante una sessione di MATLAB e memorizzate Si aggiungono variabili al workspace ogni volta che si usa una funzione o si esegue un M-file con variabili globali, o si caricano workspace salvati sul disco. Per visualizzare il workspace e le informazioni riguardo ciascuna variabile si può utilizzare il Workspace Browser, o le funzioni who and whos. Per cancellare le variabili dal workspace, basta selezionare la variabile ed il comando Delete dal menu Edit oppure si può utilizzare il comando clear Il workspace non rimane in memoria quando viene chiusa una sessione di MATLAB E però possibile salvarlo in un file che può essere richiamato in un altra sessione di MATLAB selezionando Save Workspace As dal menu File, o si può utilizzare il comando save. 21 Workspace Browser 22

12 The Array Editor 23 L Editor/Debugger Si usa per creare e/o fare il debug di M-file Gli M-file sono i programmi scritti dall utente per eseguire le funzioni di MATLAB Tutte le funzioni di MATLAB sono M-file Gli M-file possono essere visualizzati e modificati utilizzando un qualsiasi editor di testo ma l Editor/Debugger fornisce in più una interfaccia grafica sia come editor di testo sia per eseguire il debug di M-file Digitando edit nomefile nella Command Window MATLAB apre automaticamente la finestra dell Editor/Debugger e visualizzerà il file nomefile.m 24

13 Cos è un M-file? Macro Se si devono eseguire più comandi in una volta sola, è possibile creare una macro, ossia un file contenente tutte le istruzioni che si desidera eseguire. Per creare una macro, bisogna cliccare sul disegno della pagina bianca, il primo a sinistra nella sbarra degli strumenti. Una nuova macro viene aperta all interno dell editore: si possono scrivere i comandi, nell ordine in cui si desidera eseguirli, e poi salvare. Per eseguire la macro, bisogna digitare il nome del file al prompt. Tutte le variabili create o modificate dalla macro saranno disponibili alla fine dell esecuzione. 25 Cos è un M-file? (segue) Funzioni La differenza più evidente tra una macro ed una funzione sta nella sintassi: per eseguire una funzione bisogna dare un comando del tipo : y=func(x), oppure, più in generale, [y1 y2 y3 ]=func(x1,x2,x3,..) x1, x2, x3 sono le variabili di ingresso y1, y2, y3. sono le variabili in uscita: vengono create o modificate dalla funzione, e contengono il risultato delle operazioni effettuate al suo interno. Tutte le altre variabili create dalla funzione vengono distrutte al termine dell esecuzione. Unafunzioneiniziacon unarigadel tipo:function [y1,y2,y3 ]=func(x1,x2,x3, ) e termina con l istruzione return. 26

14 Come appare l Editor/Debugger 27 MATLAB Vettori e Matrici 28

15 Vettori Un vettore viene definito tra parentesi quadre x = [] Gli elementi delle righe si separano con spazi o virgole x = [ ] oppure x = [1, 2, 3, 4] Gli elementi delle colonne con punti e virgola (oppure andando a capo ad ogni elemento) x = [1; 2; 3; 4] oppure x = [ ] Ogni elemento del vettore può essere richiamato ponendo l indice tra parentesi tonde (gli indici devono essere 1) x(3) = 3 Uno scalare è un vettore di dimensione 1x1 MATLAB non visualizza il contenuto delle variabili sulla finestra di comando se terminate l istruzione con un punto e virgola 29 Creazione ed Indicizzazione Voglio creare un vettore composto di numeri interi da 1 a 10:» x=[1:10] x = Voglio creare un vettore compreso tra 0 e 1 con spaziatura 0.2:» x=[0:0.2:1] x = Voglio creare un vettore di 6 elementi equispaziati a partire dal primo elemento 1 all ultimo elemento 20:» x=linspace(1,20,6) x = Voglio selezionare un sottoinsieme di un vettore» indici=[1 4 5];» x(indici) ans =

16 Operazioni tra/su vettori Gli operatori disponibili sono: +,-,*,/,^ (somma, sottrazione, prodotto, divisione, elevamento a potenza) sin, cos, tan asin, acos, atan exp, log, log10 abs, sqrt, sign 31» x=[ ];» y=[ ];» z=x+y z = Esempi» y=[ ];» z=x+y??? Error using ==> + Matrix dimensions must agree. Posso sommare o sottrarre due vettori riga o colonna della stessa dimensione: matlab somma elemento per elemento; mentre dà errore se le dimensioni sono differenti! Posso calcolare espressioni come sin(x), exp(x), etc: matlab applica l espressione aritmetica ad ogni singolo elemento»» z=sin(x) z =

17 Prodotto tra Vettori Se x e y hanno la stessa lunghezza, ma sono un vettore riga ed uno colonna, posso effettuare una ordinaria moltiplicazione riga * colonna utilizzando il simbolo *» x=[ ];» y=[2; 4; 6; 8; 10];» x*y ans = 110 Posso effettuare il prodotto di due vettori elemento per elemento se questi hanno la stessa dimensione: si indica col simbolo.*» y=[ ];»» x.*y ans = Prodotto tra Vettori (segue) Posso anche effettuare il prodotto esterno : in questo caso ottengo una matrice: nella pratica, basta porre prima il vettore colonna e poi il vettore riga. M ij = y i x j» x=[ ];» y=[2; 4; 6; 8; 10];» y*x ans =

18 Altre Operazioni (esempi) Definiamo un vettore x: x=[ ]; Vogliamo calcolare il massimo tra gli elementi del vettore x:» M = max(x) M = 6 Vogliamo calcolare il minimo tra gli elementi del vettore x:» m = min(x) m = 1 Vogliamo selezionare alcuni elementi del vettore x che verificano una certa condizione:» ind = find(x>4) ind = Altre Operazioni (esempi) Definiamo un vettore x: x=[ ]; Vogliamo ordinare in ordine crescente gli elementi del vettore x:» x_ord = sort(x) X_ord = Vogliamo sommare tutti gli elementi del vettore x:» S = sum(x) S = 21 Length(x) dà il numero di elementi contenuti nel vettore (=6) Prod([1:n]) calcola il fattoriale di n (n!) 36

19 Numeri Complessi L unità immaginaria è i o j ed è predefinita (è quindi consigliabile non utilizzare i e j come variabili o indici nei cicli) Un numero complesso si scrive nella forma a+j*b Es. z=2+j*3; Alcuni operatori applicabili ai numeri complessi: abs(z) calcola il modulo di z angle(z) calcola la fase di z real(z) calcola la parte reale di z imag(z) calcola la parte immaginaria di z 37 Matrici Analogamente ad un vettore, una matrice viene definita tra parentesi quadre: A = [] Gli elementi delle righe vengono separati con spazi o virgole, e le diverse righe con punti e virgola (oppure andando a capo ad ogni nuova riga): A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; oppure: A = [ ]; Una volta definita, la matrice A viene memorizzata nel workspace di MATLAB come la variabile A 38

20 Generazione di Matrici zeros Contiene tutti zeri ones Contiene tutti uno rand Gli elementi hanno valori casuali uniformemente distribuiti randn Gli elementi hanno valori casuali a distribuzione normale Alcuni esempi: 39 Indicizzazione Sia A = [ ]; L elemento amn è indirizzato come A(m,n): A(2,3) = 6 La riga m-esima è indirizzata come A(m,:), dove tutte le colonne sono indicate dai due punti: A(2,:) = [4 5 6] La colonna n-esima è indirizzata come A(:,n), dove tutte le righe sono indicate dai due punti: A(:,3) = [3; 6; 9] La sottomatrice avente elementi amn con m1 m m2 e n1 n n2 è indirizzata come A(m1:m2,n1:n2): A(1:2,2:3) = [2, 3; 5, 6] La funzione find adesso restituisce due indici, il primo per le righe, il secondo per le colonne: [m,n]=find(a<0) dà m=[], n=[] Nota: in MATLAB gli indici partono sempre da 1 40

21 Indicizzazione (segue) E anchepossibilerichiamareglielementidiunamatrice utilizzando un solo indice, ossia A(k), come si fa per i vettori In questo caso la matrice viene considerata come un lungo vettore colonna formato da tutte le colonne (una dopo l altra) della matrice, ossia k = pn row +m dove N row è il numero di righe della matrice, p,m sono due interi con p = 0,1,...,N col e m = 0,1,...,N row -1 Esempio: Posso selezionare il valore 15 della matrice A utilizzando le due notazioni equivalenti: A(8) o A(4,2). 41 Indicizzazione (segue) Se si richiama un elemento non contenuto in una matrice, MATLAB dà errore. Esempio: Se invece si definisce un elemento in più rispetto alla dimensione della matrice, la dimensione della matrice aumenta per dare spazio al nuovo elemento: 42

22 Cancellare Righe e Colonne Si possono cancellare righe e colonne da una matrice usando la coppia di parentesi quadre, ossia: Sia Per cancellare la seconda colonna di X digito: X diventa: 43 Operazioni con Matrici Gli operatori applicabili a matrici sono: + - * ^ / \ ' Trasposta Divisione a sinistra:a\b=inv(a)*b Divisione a destra: B/A=B*inv(A) Le matrici di uguale dimensione si possono sommare, sottrarre, moltiplicare per uno scalare o sommare ad uno scalare con le stesse regole dei vettori. Attenzione: ricordarsi sempre che quando si fanno operazioni tra matrici è importante l'ordine dei fattori: A*B B*A 44

23 Operazioni con Matrici (segue) Posso moltiplicare una matrice (m x n) con una (n x l). Il risultato sarà una matrice (m x l) Es. Siano a=[1 2 3 ; 2 3 4] e b = [1 2 ; 3 4 ; 5 6] a*b = e b*a = Posso moltiplicare una matrice (m x n) per un vettore colonna di lunghezza n: il risultato sara un vettore colonna di lunghezza m Posso moltiplicare un vettore riga di lunghezza n per una matrice di dimensioni (n x m): il risultato sarà un vettore riga di lunghezza m. L operatore.* (punto seguito da asterisco) permette di effettuare la moltiplicazione elemento per elemento di matrici di uguali dimensioni. Allo stesso modo funzionano./ e.^ A^2 indica invece il quadrato di una matrice effettuato moltiplicando riga per colonna. 45 Operazioni su Matrici Sia a = [1 2 3; 1 4 9; ] rank(a) da il rango della matrice» rank(a) ans = 3 Per matrici quadrate: det(a) da il determinante trace(a) da la traccia inv(a) da l inversa» det(a)» inv(a) ans = ans =

24 Altre Operazioni sum sum(a) restituisce un vettore riga che contiene le somme degli elementi sulle colonne di A 47 Altre Operazioni La matrice trasposta Esempio: 48

25 Altre Operazioni diag Esempio: 49 Operatori (Richiamo) Le espressioni usano i ben noti operatori aritmetici e le regole della precedenza aritmetica. + - * / \ ^ '.*.^ ecc. Somma Sottrazione Moltiplicazione Divisione Divisione a Sinistra Elevamento a Potenza Trasposta Complessa Coniugata Esegue le operazioni *, ^, ecc. elemento per elemento 50

26 Concatenazione di Matrici La concatenazione consiste nell unire piccole matrici a formarne una più grande. L operatore che consente di effettuare la concatenazione è la coppia di parentesi quadre [ ] Data definisco ottengo 51 Concatenazione di Matrici (segue) E possibile anche creare delle Tabelle : Sia Definisco: 52

27 MATLAB Rappresentazione grafica dei dati 53 La Libreria Grafica MATLAB offre una grande varietà di possibilità per visualizzare vettori e matrici come grafici Nel seguito descriveremo le più importanti funzioni grafiche Porteremo anche degli esempi di alcune applicazioni tipiche 54

28 Creare un grafico Per creare un grafico si usa la funzione plot. La funzione plot assume diverse forme, in dipendenza dagli argomenti in ingresso Se y è un vettore, plot(y) fornisceunacurvadeivaloridiy in funzione dell indice deglielementidiy. Se si specificano 2 vettori come argomenti in ingresso, plot(x,y) produce un grafico di y in funzione di x. Esempio: Per aggiungere le labels 55 Piùinsiemididatiin un unicografico Si possono tracciare più curve su uno stesso grafico utilizzando la funzione plot con più argomenti MATLAB usa automaticamente e ciclicamente una lista di colori predefinita (ma modificabile dall utente) per distinguere i diversi insiemi di dati Il comando legend permette di identificare facilmente i vari grafici 56

29 Come Specificare Stili e Colori E possibile specificare colori, stili e markers (come + oppure o) quando si usa il comando plot color_style_marker è una stringa che contiene da 1 a 4 caratteri (compreso in un unico ) formata da un tipo di colore, uno stile della linea, ed un tipo di marker Le stringhe per i colori sono 'c', 'm', 'y', 'r', 'g', 'b', 'w', and 'k, che corrispondono rispettivamente a celeste, magenta, giallo, rosso, verde, blu, bianco, e nero Stringhe per lo stile della linea sono '-' per continua, '--' per tratteggiata, ':' per a punti, '-.' per punto-linea. Non indicare lo stile della linea se non si vuole una linea I tipi di markers sono '+', 'o', '*', e 'x','s' (square), 'd' (diamond), '^' (up triangle), 'v' (down triangle), '>' (right triangle), '<' (left triangle), 'p' (pentagram), 'h' (hexagram), e nulla se non si vuole il marker. Specificando il marker ma non la linea, MATLAB traccia solo il marker. 57 Esempi Plot(x,y, ks ) traccia quadrati neri in ogni punto dei dati, ma non connette tali markers con una linea Plot(x,y, r:+ ) traccia una linea punteggiata di colore rosso e pone un + in ogni punto dei dati Potreste voler usare meno punti per tracciare i markers di quanti ne utilizzate per le linee 58

30 Graficare Dati Immaginari e Complessi Quando gli argomenti in input a plot sono complessi, la parte immaginaria viene ignorata Quando si dà a plot in ingresso un unico argomento complessoil comando grafica la parte immaginaria in funzione della parte reale, ossia: dove Z è un vettore o una matrice complessa 59 Aggiungere curve ad un grafico/finestra già esistente Il comando hold consente di aggiungere curve ad un grafico già esistente hold on: il grafico esistente non viene cancellato alla successiva chiamata a plot, ma aggiunge nuovi dati al grafico corrente, riscalando gli assi se necessario hold off rilascia il grafico Ogni chiamata a plot automaticamente apre una nuova finestra se non ci sono finestre già aperte sullo schermo. Se una finestra di figura già esiste, MATLAB usa quella finestra per gli output grafici 60

31 Aggiungere curve ad un grafico/finestra già esistente (segue) Se ci sono più finestre grafiche aperte, MATLAB usa quella designata come "figura corrente" (l ultima usata) Per rendere finestra corrente una finestra esistente, si può cliccarci sopra col mouse o digitare figure(n), dove n è il numero della figura sul titolo. I risultati di grafici seguenti verranno visualizzati in questa finestra. Per aprire una nuova finestra e renderla figura corrente, digitare: figure 61 Grafici Multipli Il comando subplot permette di visualizzare più grafici in una stessa finestra o stamparli sullo stesso foglio: subplot(m,n,p) divide la finestra della figura in una matrice mxn di subplots più piccoli e seleziona il p-esimo subplot per graficare quello che viene richiesto con un successivo comando di plot o simili I grafici sono numerati dalla prima riga in alto della finestra della figura, poi la seconda, e così via. 62

32 Esempio Voglio graficare i miei dati in 4 parti differenti della finestra della figura: t = 0:pi/10:2*pi; [X,Y,Z] = cylinder(4*cos(t)); subplot(2,2,1); mesh(x) subplot(2,2,2); mesh(y) subplot(2,2,3); mesh(z) subplot(2,2,4); mesh(x,y,z) Gli Assi Per impostare la scala, l orientazione e le proporzioni dei grafici esiste il comando axis Impostare i limiti degli assi Per default, MATLAB trova il massimo ed il minimo dei dati per selezionare i limiti degli assi su cui graficarli Il comando axis permette di specificare limiti diversi: 2D: axis([xmin xmax ymin ymax]) 3D: axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax]) Per riabilitare la selezione automatica dei limiti basta digitare axis auto 64

33 Altre proprietà della funzione axis Proporzionare gli assi dare agli assi x e y la stessa lunghezza: axis square Impostare incrementi uguali sui due assi: axis equal Per tornare alle condizioni di default (automatic mode) axis auto normal Visibilità degli assi Gli assi possono essere visibili o meno secondo i comandi: axis on, axis off Le linee della griglia Il comando grid commuta le linee della griglia on e off. grid on, grid off 65 Labels e Titoli Si usano i comandi xlabel, ylabel, and zlabel Il comando title aggiunge un titolo in alto sulla figura La funzione text permette di inserire testo ovunque sulla figura. Esempio: t = -pi:pi/100:pi; y = sin(t); plot(t,y) axis([-pi pi -1 1]) xlabel('-\pi \leq {\itt} \leq \pi') ylabel('sin(t)') title('graph of the sine function') text(1,-1/3,'{\itnote the odd symmetry.}') 66

34 Salvare una Figura Per salvare una figura selezionare Save dal menu File sulla finestra della figura stessa. In questo modo verrà salvata come figure.fig e sarà possibile aprirla solo con MATLAB Per salvare la figura utilizzando un diverso formato grafico, come TIFF, EPS, PDF, JPEG, per utilizzarla in altre applicazioni, selezionare Export dal menu File nella finestra della figura. E anche possibile salvare le figure da linea di comando utilizzando l istruzione saveas, che accetta anche diverse opzioni per salvare la figura in formati differenti. 67 Grafici Mesh e Surface MATLAB definisce una superficie tramite le coordinate z di un insieme di punti definiti su una griglia nel piano x-y, utilizzando linee per connettere pounti adiacenti Le funzioni grafiche mesh and surf visualizzano le superfici in 3 dimensioni mesh produce lo scheletro di una superficie con delle linee colorate. surf visualizza sia le linee di connessione sia le superfici più piccole da esse delimitate e colora entrambe Per visualizzare una funzione di due variabili, z = f (x,y) Generare due matrici X e Y con le righe e le colonne (rispettivamente) ripetute a coprire tutto il dominio della funzione Usare X e Y per valutare e graficare la funzione La funzione meshgrid trasforma un dominio descritto da un vettore o due vettori x e y in matrici X and Y da poter essere utilizzate per valutare le funzioni in due variabili. Le righe della matrice X sono copie del vettore x e le colonne della matrice Y sono copie del vettore y. 68

35 Esempio di mesh Grafichiamo la funzione sinc in due dimensioni, sin(r)/r, nelle due direzioni x e y. R è la distanza dall origine, che si trova al centro della matrice [X,Y] = meshgrid(-8:.5:8); R = sqrt(x.^2 + Y.^2) + eps; Z = sin(r)./r; mesh(x,y,z,'edgecolor','black') Ho tolto l indeterminatezza 0/0 nell origine Ho impostato un colore (nero) con cui graficare tutta la griglia 69

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