Appunti su rendite e ammortamenti

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Appunti su rendite e ammortamenti"

Transcript

1 Corso di Matematica I Facoltà di Ecoomia Dipartimeto di Matematica Applicata Uiversità Ca Foscari di Veezia Fuari Stefaia, Apputi su redite e ammortameti 1. Redite Per redita si itede u isieme di capitali {R 0, R 1,,R } da riscuotere (o da pagare) a scadeze determiate {t 0, t 1,,t }, come visualizzato el seguete diagramma importiepoche: R 0 R 1 R 2 R t 0 t 1 t 2 t I capitali R 0, R 1, R 2,., R soo chiamati rate della redita. L itervallo di tempo fra due rate cosecutive è detto periodo e geeralmete esso è costate (si veda il paragrafo Tipi di redite). Ua redita ha ua durata che è uguale all itervallo di tempo fra l iizio del primo periodo e la fie dell ultimo periodo Tipi di redite Si possoo distiguere le redite i varie categorie, a secoda delle caratteristiche dei tempi di scadeza e delle rate della redita. i) Redite periodiche e redite o periodiche La distizioe fra redite periodiche e o periodiche fa riferimeto al tempo che itercorre fra due rate cosecutive. Nelle redite periodiche l itervallo di tempo che itercorre fra due rate cosecutive è uguale durate tutto l orizzote temporale della redita ed è chiamato periodo della redita; si parla i questo caso di redite auali se il periodo è l ao, di redite mesili se il periodo è il mese, di redite semestrali se il periodo è il semestre e così via. ii) Redite immediate e redite differite La prima rata della redita può essere riscossa (o pagata), el primo periodo della redita, i questo caso la redita si dice immediata, oppure i u periodo successivo k e i questo caso la redita si dice differita di k periodi.

2 Apputi su redite e ammortameti, pag. 2 iii) Redite posticipate e redite aticipate Assume rilievo il tempo di scadeza delle rate; si parla di redite posticipate qualora la scadeza di ciascua rata sia riferita all istate fiale di ogi periodo: R k t k-1 t k k-mo periodo Si parla di redite aticipate qualora la scadeza di ciascua rata sia riferita all istate iiziale di ogi periodo: R k t k-1 t k k-mo periodo iv) Redite costati e redite variabili Per quato riguarda gli importi delle rate si distigue fra le redite costati, i cui gli importi delle rate soo tutti uguali fra di loro e le redite co importi variabili; i quest ultimo caso è ache possibile che le rate si modifichio i base ad ua certa legge, ad esempio i progressioe aritmetica o i progressioe geometrica. v) Redite temporaee e redite perpetue Co riferimeto al umero delle rate, si distigue fra le redite temporaee, i cui il umero delle rate è fiito e le redite perpetue i cui il umero delle rate è ifiito. 1.2 Il problema della valutazioe di ua redita Quado si parla di redite si poe il problema di determiare l importo moetario che, co riferimeto ad u istate fissato, può essere cosiderato fiaziariamete equivalete alla redita. Questo importo, chiamato valore della redita, varia i relazioe alla scelta del regime fiaziario utilizzato (solitamete el calcolare il valore di redite si usa il regime della capitalizzazioe composta), alla scelta del tasso di iteresse impiegato el calcolo e alla scelta dell istate di valutazioe. I particolare, il valore della redita è chiamato valore attuale della redita qualora l istate di valutazioe coicida co l istate i cui avviee la prima riscossioe (pagameto) o co u istate precedete; è chiamato motate della redita qualora l istate di valutazioe coicida co l istate i cui avviee l ultima riscossioe (pagameto) o co u istate successivo.

3 Apputi su redite e ammortameti, pag Calcolo del valore attuale di ua redita Si cosideri il caso di ua redita che coseta di riscuotere alla fie di ogi ao u importo R, per ai. Usado la termiologia del paragrafo precedete, si tratta di ua redita temporaea, aua, costate di rata R, posticipata. R R R Si vuole calcolare il valore attuale della redita all istate t = 0. Per fare questo, basta riportare ciascua rata al tempo 0 mediate operazioi di attualizzazioe; si calcola quidi la somma dei valori attuali delle sigole rate, utilizzado il regime di capitalizzazioe composta ad u tasso auo di iteresse i, supposto per semplicità costate per tutta la durata dell operazioe. V R R R V = R( R( R( 1+ (1) Cosiderato il fattore di attualizzazioe v = ( 1+ si può scrivere V = Rv + Rv Rv (2) da cui V = R( v + v v (3) ) Poichè i termii etro paretesi costituiscoo ua progressioe geometrica di ragioe v, si può scrivere il valore attuale come 1 : v v V = Rv = R (4) v i Ad esempio il valore attuale al tempo 0 di ua redita di rata 30 esigibile alla fie di ogi ao per 5 ai, calcolato ad u tasso auo di iteresse del 10%, è uguale a: 5 (1 + 0,1) V = 30 = 113,72 (5) 0,1 1 v La quatità si idica ormalmete co il simbolo a i ( a figurato al tasso i ) ed idica il i valore attuale di ua redita aua, posticipata, di rate uitarie.

4 Apputi su redite e ammortameti, pag. 4 Nel caso ivece i cui la riscossioe della rata avvega i via aticipata all iizio di ogi ao, come rappresetato dal diagramma seguete R R R R il valore attuale al tempo 0 si calcola come segue: ( ) V at = R + R(1 + i) R(1 + i) Cosiderato il fattore di attualizzazioe v = (1 + i), si può scrivere (6) 2 V at = R + Rv + Rv Rv da cui 2 v Vat = R(1 + v + v v ) = R (8) v Nell esempio precedete di ua redita co R = 30, = 5, ed i = 10%, qualora le rate siao riscosse i via aticipata, si ottiee u valore attuale uguale a 5 (1 + 0,1) V at = 30 = 125,10 (9) (1 + 0,1) Alterativamete, se si coosce già il valore attuale della redita posticipata, si può semplicemete utilizzare la seguete relazioe che lega i due valori attuali: V at = ( 1+ i) V (10) Nell esempio, V at = ( , ) 113, 72 = 125, Calcolo del motate di ua redita Si cosideri ua redita posticipata, di rata costate R e durata ai. Questa volta iteressa cooscere l importo M che, co riferimeto all istate i cui avviee l ultima riscossioe, può essere cosiderato fiaziariamete equivalete a riscuotere R alla fie di ogi ao, per ai. (7) R R R M Tale importo è chiamato valore fiale, o motate della redita, e viee calcolato capitalizzado ogi sigola rata all epoca e poi sommado M = R( + + R( + (11) R( 1+ + R Cosiderato il fattore di capitalizzazioe u = ( 1 + si può scrivere

5 Apputi su redite e ammortameti, pag. 5 M = Ru + Ru (12) Ru + R da cui M R( u u (13) = u + 1) Cosiderato che i termii etro paretesi costituiscoo ua progressioe geometrica di ragioe u, si può scrivere il motate come 2 : u u u M = R = R = R (14) u ( 1+ i Nell esempio di ua redita di rata 30 esigibile alla fie di ogi ao per 5 ai, il motate all epoca, calcolato ad u tasso auo di iteresse del 10%, è uguale a ( 1+ 01, ) 5 M = 30 = 18315, (15) 01, E iteressate osservare che i virtù della proprietà di scidibilità della capitalizzazioe composta è equivalete capitalizzare ogi rata all epoca e poi sommare oppure calcolare la somma dei valori attuali delle rate all epoca 0 (valore attuale della redita) e poi capitalizzare il risultato così otteuto per ai; vale quidi la relazioe M = V( 1 + (16) Qualora l operazioe fiaziaria abbia breve durata, per calcolare il motate di ua redita si potrebbe adottare il regime della capitalizzazioe semplice. Ad esempio, si cosideri la situazioe di ua redita che cosete di riscuotere u importo uguale a 120 all iizio di ogi trimestre. Si vuole calcolare il motate di tale redita alla fie dell ao i corso, i regime di capitalizzazioe semplice, utilizzado u tasso di iteresse auo i = 0, M = 120 ( ( 1+ i ) + 120( 1+ i ) + 120( 1+ i ) = Osservazioe: uso di tassi di iteresse equivaleti Potrebbe capitare che il tasso di iteresse i sia riferito ad u periodo diverso da quello della redita. Ad esempio si potrebbe cosiderare la situazioe di ua redita che cosete di riscuotere u certo importo R alla fie di ogi mese, per mesi e si coosca il tasso auo di iteresse i. I questo caso prima di impiegare le formule per il calcolo del valore attuale e del motate, occorre calcolare il tasso di iteresse i m, riferito ad 1/m-simo di ao, equivalete al tasso auo i: 1 / m i m = ( 1+ (17) Ad esempio il valore attuale di ua redita che preveda la riscossioe mesile, i via posticipata di 258 per 48 mesi, al tasso di iteresse auo i del 10%, si calcola come 48 ( 1+ V = = 10255, 97 i12 2 u La quatità si idica ormalmete co il simbolo s i ed idica il motate di ua redita aua, i posticipata, di rate uitarie.

6 Apputi su redite e ammortameti, pag. 6 1 / 12 dove i12 = ( 1+ 01, ) = 0, rappreseta il tasso di iteresse mesile, equivalete al tasso di iteresse auo i. 1.3 Problemi relativi alle redite Si ripreda la formula (4) che permette di calcolare il valore attuale di ua redita co rata costate, posticipata, uguale ad R: V ( 1+ = R i (18) Compaioo quattro gradezze: il valore attuale V, la rata R, la durata ed il tasso di iteresse i. Se si cooscoo i valori di tre di queste gradezze, si può determiare il valore della quarta. La relazioe precedete, apputo, determia V oti R,, i Calcolo della rata Per calcolare l importo della rata che cosete di otteere u certo valore attuale, basta ricavare R dalla relazioe precedete: Vi R = ( 1+ (19) Calcolo del umero delle rate Noto il valore attuale della redita, la rata ed il tasso di iteresse, è possibile determiare, cioè determiare il umero delle rate che occorre versare per otteere u certo valore attuale V. La relazioe (18) può essere scritta come V ( 1+ = (20) R i da cui Vi ( (21) 1 = 1+ R risolvedo mediate i logaritmi, si ha Vi log( ) R (22) = log( 1+ R co la codizioe V <. i Calcolo del tasso di iteresse A volte si preseta il problema di determiare il tasso di iteresse associato ad ua redita, qualora si coosca il valore attuale, il umero e l importo delle rate. Si ripreda la formula (1) per il calcolo del valore attuale che può essere scritta come R ( R( R( 1+ V = 0 g( = 0 L obiettivo è quello di cercare il valore della variabile i che risolve l equazioe g ( = 0. La soluzioe può essere ricercata utilizzado alcui metodi approssimati, fra i quali ricordiamo u metodo iterativo per la ricerca degli zeri di ua fuzioe. Il metodo (23)

7 Apputi su redite e ammortameti, pag. 7 si basa sul fatto che se ua fuzioe cotiua i u itervallo assume i due puti a e b dell itervallo valori di sego diversi, allora essa si aulla almeo ua volta i (a,b). Solo per dare u idea, l applicazioe del metodo iterativo per la ricerca del tasso di iteresse parte da u valore iiziale del tasso di iteresse i 0 e procede co il calcolo di g(i 0 ) i base alla (23); se si trova che g(i 0 )=0 allora i 0 è il tasso di iteresse cercato; altrimeti, se ad esempio g(i 0 )>0 si cercherà di dimiuire il primo membro dell equazioe aumetado il tasso di iteresse e quidi cosiderado i 1 >i 0 ; si calcola uovamete g(i 1 ) e se si trova che g(i 1 )<0, allora si può restrigere la ricerca ell itervallo (i 0, i 1 ), ripetedo il procedimeto. Si osservi che la regola per la variazioe del tasso sfrutta la proprietà che il valore attuale di ua redita è ua fuzioe decrescete del tasso di iteresse. 2. Il problema del rimborso di u prestito U problema molto comue i sede ecoomica è quello dell ammortameto di u debito. L operazioe di ammortameto si cofigura el modo seguete. Al mometo t = 0 u soggetto (detto mutuatario o debitore) riceve a prestito da u altro soggetto (detto mutuate o creditore) ua somma S (detta mutuo o prestito) e deve restituirla etro u certo periodo di tempo ricosegado o solo il capitale ricevuto ma ache gli iteressi. Il rimborso del prestito può avveire i vari modi, che soo discipliati ache dalle orme di legge sui cotratti di mutuo. Se e ricordao due i particolare. i) Rimborso globale I questo caso il rimborso del capitale avuto i prestito avviee i u uica soluzioe, alla scadeza del cotratto di mutuo, isieme agli iteressi maturati. Dal puto di vista del debitore, l ammortameto è visto come ua operazioe fiaziaria i cui all epoca t = 0 si riceve la somma S e all epoca t = si restituisce al creditore la somma i fiaziariamete equivalete all importo S. Alla scadeza, quidi, il debitore verserà S ( 1+ i), cioè il motate i dell importo S, calcolato impiegado il regime della capitalizzazioe composta co u tasso di iteresse i: S -S(1+i) 0 Dal puto di vista del creditore l ammortameto è visto come u operazioe fiaziaria opposta, i cui all epoca 0 si eroga l importo S e all epoca si riceve il rimborso del capitale uitamete agli iteressi maturati: -S S(1+i) 0

8 Apputi su redite e ammortameti, pag. 8 ii) Rimborso rateale (ammortameto progressivo) I questo caso si verifica la restituzioe graduale del capitale che avviee i più scadeze successive ed il pagameto degli iteressi i ciascua scadeza. La durata del prestito viee quidi suddivisa i varie scadeze t 0, t 1,..., t k,..., t. R k C k I k t 0 t 1 t k t Ad ogi scadeza k-esima il debitore paga u importo (C k ) a titolo di rimborso del capitale (quota capitale) ed u importo (I k ) a titolo di iteresse (quota iteresse). Quidi ad ogi scadeza il debitore paga sia la quota capitale che la quota iteresse. Idicata co R k la rata di ammortameto, la somma che complessivamete il debitore paga alla scadeza k, si ha che R k = C k + I k. Dal puto di vista del debitore l ammortameto si cofigura come u operazioe fiaziaria i cui si riceve S all epoca t 0 e si pagao le rate di ammortameto R 1, R 2,.., R, alle varie epoche t 1,...,tk,..., t. All opposto il creditore eroga S all epoca 0 e riceve gli importi R 1, R 2,.., R, alle varie scadeze. 2.1 Il piao di ammortameto Nel caso del rimborso rateale del prestito si tratta di determiare gli importi che i ciascua scadeza il debitore dovrà restituire al creditore. Si tratta quidi di determiare le quote parziali di rimborso del capitale e l ammotare degli iteressi da pagare i ciascua scadeza, che sarao commisurati di volta i volta al capitale che a tale scadeza risulta o acora restituito. Si cosideri iizialmete la situazioe i cui le epoche di rimborso parziale soo equidistati ua dall altra (scadeze 0, 1,, k,, ) e i pagameti avvegoo i via posticipata alla fie di ogi scadeza pattuita. E possibile orgaizzare le specifiche relative ai tempi di rimborso e al pagameto delle quote i u prospetto che prede il ome di piao di ammortameto. Ad ogi scadeza è importate cooscere ache l ammotare del debito residuo e l ammotare del debito estito; ammortizzare u mutuo sigifica versare alle varie scadeze le rate previste i modo che il debito residuo fiale si azzeri e, allo stesso modo, che il debito estito raggiuga l importo del prestito che è stato cocesso. Si idichi co: S l ammotare del prestito; C k la quota che il debitore paga alla scadeza k, a titolo di rimborso del capitale (quota capitale); I k la quota che il debitore paga alla scadeza k, a titolo di iteresse (quota iteresse); R k l importo totale versato dal debitore alla scadeza k (rata di ammortameto), dove

9 Apputi su redite e ammortameti, pag. 9 R k = Ck + Ik Codizioe di chiusura sulle quote capitale Poiché il prestito S viee suddiviso i parti da rimborsare alle diverse scadeze, deve essere rispettato il vicolo: C1 + C Ck C = S (24) il che sigifica che la somma di tutte le quote di capitale versate coicide co l ammotare del prestito Codizioe di equità sulle rate L ammortameto si cofigura come u operazioe fiaziaria i cui si riceve S (o si paga S se si cosidera il puto di vista del creditore) all epoca 0 e si pagao (rispettivamete si ricevoo se si cosidera il puto di vista del creditore) le rate di ammortameto R 1, R 2,.., R, alla fie di ciascu periodo 1, 2,..,, ell ipotesi di pagameti posticipati. R 1 R 2 R Deve essere quidi verificata ua codizioe di equivaleza fiaziaria fra la prestazioe S all epoca 0 e la successioe degli importi (rate) R 1, R 2,.., R, alle diverse epoche. Ciò sigifica che il mutuo S deve coicidere co il valore attuale, calcolato al tempo iiziale 0, della redita descritta dalle rate R 1, R 2,.., R S = R1 (1 + i) + R2 (1 + i) R (1 + i) (25) dove i rappreseta il tasso uiperiodale di iteresse, cosiderato il regime di capitalizzazioe composta Debito residuo Risulta iteressate determiare ad ogi scadeza k-esima l ammotare di dearo che il debitore deve acora restituire, a titolo di capitale, per estiguere il debito. Tale gradezza viee deomiata debito residuo all epoca k e viee idicata co D k. Si può esprimere il debito residuo cosiderado le quote capitale che hao scadeza successiva a k D k = Ck Ck C (26) Da tale relazioe si ricava che il debito residuo iiziale coicide co l importo del mutuo, metre il debito residuo fiale si aulla D0 = C1 + C C = S D = 0 (27) (28)

10 Apputi su redite e ammortameti, pag. 10 L ultima relazioe, quella di azzerameto del debito residuo, può essere vista come ua codizioe di equità o codizioe di chiusura dell operazioe di ammortameto. E ache possibile esprimere il debito residuo ad ua certa scadeza aggiorado il debito residuo otteuto alla scadeza precedete, el modo seguete Dk = Dk Ck (29) Debito estito Si defiisce debito estito all epoca k, e si idica co E k, l ammotare di dearo che il debitore ha già versato a titolo di rimborso del capitale. Si può esprimere il debito estito cosiderado le quote capitale già versate fio alla scadeza k-esima E k = C1 + C C k (30) Da tale relazioe si ricava che il debito estito iiziale è ullo, metre il debito estito alla scadeza coicide co l ammotare del prestito S E 0 = 0 (31) E = C1 + C C = S (32) Cooscedo il debito estito ad ua certa scadeza si può otteere il debito estito alla scadeza successiva mediate la regola di aggiorameto E k = Ek + Ck (33) Quota iteresse Sia i il tasso di iteresse riferito all uità temporale presa i cosiderazioe; se ad esempio le epoche di rimborso parziale soo misurate i ai, il tasso i corrispode al tasso auo di iteresse. Alla scadeza di ogi rata k-esima si possoo calcolare gli iteressi commisurati al capitale che a tale scadeza risulta o acora restituito, cioè gli iteressi geerati dal debito residuo, el modo seguete: I k = i Dk (34) Si osservi che qualora le epoche di rimborso siao scadeze geeriche t 1,...,tk,..., t, o ecessariamete equidistati ua dall altra, si dovrao calcolare gli iteressi maturati dal debito residuo i ciascu geerico itervallo ( tk 1, tk ) : t = [(1 ) 1 + k t I k k Dk i ] (35) La relazioe (34) è u caso particolare della (35) posto t k t k = 1 (epoche equidistati) Redazioe del piao di ammortameto Le gradezze fodametali che compaioo ell operazioe di ammortameto, l importo del mutuo (S), le scadeze del rimborso k ( k = 0, 1,..., ), la successioe delle rate di ammortameto (R k ), delle quote capitale (C k ), delle quote iteresse (I k ), del debito residuo (D k ), e del debito estito (E k ), soo orgaizzate solitamete i u prospetto deomiato piao di ammortameto i cui ogi coloa del piao viee itestata ad ua di tali successioi. Ua volta redatto il piao di ammortameto si possoo verificare le relazioi esisteti fra i vari elemeti del piao, le codizioi di chiusura e di equivaleza fiaziaria dell operazioe di ammortameto di u debito.

11 Apputi su redite e ammortameti, pag. 11 epoca rata quota capitale quota iteresse debito residuo debito estito D 0 = S E 0 = 0 1 R 1 C 1 I 1 D 1 E 1 2 R 2 C 2 I 2 D 2 E 2 k R k = Ck + I k C k I k Dk = Dk Ck E k = Ek + Ck R C I D = 0 E = S Esempio Si cotrae u prestito di co durata 5 ai e si cocordado le segueti quote di capitale: alla fie del primo e del terzo ao, alla fie del secodo e del quito ao. Si sa che il tasso di iteresse auo è del 12% i regime di capitalizzazioe composta. Si vuole redigere il piao di ammortameto del mutuo. Si cosiderio i dati del problema: S = ; = 5; i = 0,12; C 1 = C 3 = ; C 2 = C 5 = Il piao di ammortameto del prestito si preseta come segue: k R k C k I k D k E k Per compilarlo si può partire scrivedo elle celle corrispodeti alcui dati del problema (C 1 = 4.500, C 2 = 2.000, C 3 =4.500, C 5 =2.000 ). Ioltre si cooscoo il debito residuo e il debito estito iiziali (D 0 = S = , E 0 = 0). Dalla codizioe di chiusura sulle quote capitale si può ricavare l ammotare della quarta quota capitale, ote le altre e oto l importo del mutuo: C 4 = S ( C1 + C2 + C3 + C5 ) = Ua volta che si cooscoo le cique quote capitale si può trovare la successioe dei debiti residui, impiegado la regola di aggiorameto (29) e la successioe dei debiti estiti, impiegado la regola di aggiorameto (33). Noti i debiti residui i ciascua scadeza k, si possoo poi trovare le quote iteresse I k (k = 0,1,..,5), tramite la relazioe (34). Ifie, ota la coloa delle quote capitale e delle quote iteresse, si può trovare la successioe delle rate. 2.2 Nuda proprietà e usufrutto Durate u operazioe di ammortameto vi può essere la ecessità di valutare gli impegi futuri, cosiderato u certo istate di valutazioe ed u particolare tasso di

12 Apputi su redite e ammortameti, pag. 12 valutazioe. A volte ifatti si stipula u cotratto di ammortameto, ma poi decorso u certo periodo di tempo si può avere la ecessità di rivedere le codizioi del cotratto, oppure di saldare aticipatamete il mutuo, oppure di allugare la durata. I tutti questi casi è utile valutare l impego fiaziario futuro; solitamete la valutazioe viee fatta impiegado u tasso di valutazioe diverso dal tasso di remuerazioe del prestito. Idicata co k ua certa epoca, si defiisce valore del prestito all epoca k (chiamato ache corso dell operazioe fiaziaria) il valore attuale i k delle rate acora da corrispodere, calcolato i base ad u geerico tasso di valutazioe x: ( k) Wk ( x) = Rk + 1 (1 + x) + Rk + 2(1 + x) R (1 + x) (36) Si defiisce uda proprietà del prestito all epoca k il valore attuale i k delle quote capitale acora da corrispodere, calcolato i base al tasso di valutazioe x ( k) Pk ( x) = Ck + 1 (1 + x) + Ck + 2(1 + x) C (1 + x) (37) Ifie, si defiisce usufrutto del prestito all epoca k il valore attuale i k delle quote iteresse acora da corrispodere, calcolato i base al tasso di valutazioe x ( k) U k ( x) = Ik + 1 (1 + x) + I k + 2 (1 + x) I (1 + x) (38) Dalle defiizioi date e utilizzado la proprietà di decomposizioe della rata di ammortameto elle sue compoeti (quota capitale e quota iteresse), segue che il valore del prestito ad ua certa epoca k, valutato i base ad u dato tasso di valutazioe, o è altro che la somma della uda proprietà e dell usufrutto del prestito Wk ( x) = Pk ( x) + U k ( x) (39) Si osservi che il calcolo del valore del prestito, della uda proprietà e dell usufrutto può ache essere effettuato adottado u regime diverso da quello solitamete impiegato della capitalizzazioe composta; ioltre, tali gradezze possoo essere riferite ad u geerico istate s che o coicide co alcua delle scadeze di rimborso del piao. I questi casi si dovrao riformulare le relazioi (36)-(37)-(38) i modo che siao i grado di rappresetare il caso cosiderato Esempio Si cosideri l esempio del paragrafo precedete dell ammortameto di u mutuo di da ammortizzarsi i cique ai. Si vuole calcolare la valutazioe del prestito, la uda proprietà e l usufrutto, dopo aver corrisposto le prime due rate, impiegado u tasso di valutazioe del 15%. Posto k = 2, x = 0,15, si può calcolare dapprima la uda proprietà P 2 (0,15) e l usufrutto U 2 (0,15) impiegado la (37) e la (38): 3 P 2 (0,15) = 4.500(1 + 0,15) (1 + 0,15) (1 + 0,15) = 9.008,79 3 U 2 (0,15) = 1.380(1 + 0,15) + 840(1 + 0,15) + 240(1 + 0,15) = 1.992,97 Poi, tramite la (39), si calcola la valutazioe del prestito W 2 ( 0,15) = P2 (0,15) + U2(0,15) = , Ammortameto co quote di capitale costate U particolare metodo di ammortameto prevede il pagameto, da parte del debitore, di quote capitale tutte uguali ad u comue importo C.

13 Apputi su redite e ammortameti, pag. 13 C1 = C2 =... = C = C (40) Tale tipo di ammortameto è ache chiamato metodo italiao o metodo uiforme. Se si coosce l ammotare del prestito S si può ricavare immediatamete l ammotare della quota capitale costate da versare alla fie di ciascua scadeza pattuita; ciò si ottiee utilizzado la codizioe di chiusura sulle quote capitale: S (41) C1 + C C = S C = S C = Si può mostrare come i tale tipo di ammortameto le quote di debito residuo, le quote iteresse e le rate di ammortameto siao decresceti i progressioe aritmetica Debito residuo Dalla codizioe (29) di aggiorameto del debito residuo, essedo la quota capitale costate i ciascua scadeza k-esima ( C k = C k), si ottiee la relazioe Dk Dk 1 = C k =1,2,..., (42) ciò sigifica che la differeza fra il debito residuo ad ua certa scadeza e il debito residuo alla scadeza precedete è costate ed è uguale a C, che rappreseta la ragioe della progressioe aritmetica Quota iteresse Si cosideri la quota iteresse all epoca k+1, calcolata sulla base del debito residuo alla scadeza precedete Ik +1 = i D k (43) dalla relazioe (42) si può scrivere il debito residuo alla scadeza k come: Dk = Dk C (44) per cui sostituedo i (43) si ottiee Ik + 1 = i( Dk C) = idk ic (45) ed essedo id k = Ik, si ottiee Ik + 1 = Ik ic Ik + 1 Ik = ic (46) il che sigifica che le quote iteresse si presetao i progressioe aritmetica decrescete, co ragioe ic Rata di ammortameto I modo aalogo si può dimostrare che ache le rate di ammortameto si presetao i progressioe aritmetica decrescete, co ragioe ic, cioè Rk +1 Rk = ic (47) Ifatti si può far vedere che la differeza fra le rate di ammortameto i due scadeze successive coicide co la differeza fra le quote iteresse i due scadeze successive, la quale a sua volta è uguale a ic, per la (46). Ifatti si possoo esprimere le rate di ammortameto alle scadeze k e k+1, come somma delle quote capitale (costati) e delle quote iteresse: R k = C + I k e R k + 1 = C + Ik + 1 da cui Rk + 1 Rk = C + Ik + 1 C Ik = Ik + 1 Ik

14 Apputi su redite e ammortameti, pag Esempio Si vuole ammortizzare, co il metodo italiao, al tasso di iteresse del 10% auo, i 5 ai. Il piao di ammortameto si preseta come segue k R k C k I k D k E k I primo luogo si può calcolare l ammotare della quota capitale da pagare alla fie di ciascu ao C = C = = ciò cosete di riempire immediatamete la coloa itestata alla quota capitale. Successivamete, sfruttado la relazioe di aggiorameto del debito residuo ( Dk = Dk C, co D 0 = S = ) si può riempire la coloa itestata al debito residuo; si ota apputo come le quote D k siao i progressioe aritmetica decrescete di ragioe 200. Ua volta oto il debito residuo i ciascua scadeza, si possoo calcolare le quote iteresse, che sarao decresceti i progressioe aritmetica di ragioe ic = -20 e le rate di ammortameto come somma delle quote capitale e delle quote iteresse. 2.4 Ammortameto a rate costati U altro particolare metodo per ammortizzare u prestito prevede rate di ammortameto tutte uguali ad u comue importo R, i ciascua scadeza cosiderata R1 = R2 =... = R = R (48) Tale tipo di ammortameto è ache chiamato metodo fracese o metodo progressivo i seso stretto. I questo caso la codizioe di equivaleza fiaziaria impoe che l importo del prestito S deve coicidere co il valore attuale calcolato al tempo iiziale 0 della redita a rata costate R, cioè, ricordado la formula (4) del capitolo dedicato alle redite v S = R 1 (49) i Se si coosce l ammotare del prestito S, il umero delle rate ed il tasso di iteresse i, si può ricavare immediatamete l ammotare della rata di ammortameto da versare alla fie di ciascua scadeza pattuita i R = S (50) 1 v Ua caratteristica di tale metodo di ammortameto è che le quote capitale C k soo cresceti i progressioe geometrica (da cui il termie metodo d ammortameto progressivo). Ifatti a partire dalle relazioi: R = Rk = Ik + Ck = i Dk + Ck

15 Apputi su redite e ammortameti, pag. 15 R = Rk + 1 = Ik Ck + 1 = i Dk + Ck + 1 = i( Dk Ck ) + Ck + 1 essedo il primo membro uguale ad R per etrambe le equazioi, si possoo uguagliare i secodi membri e si ottiee: i Dk 1 + Ck = i Dk i Ck + Ck + 1 Ck + 1 = (1 + i) Ck il che sigifica che il rapporto fra la quota capitale ad ua certa scadeza e quella alla scadeza precedete è costate ed è uguale ad (1+i), che rappreseta la ragioe della progressioe Esempio Si vuole costruire il piao di ammortameto di u prestito di da restituire i quattro rate costati auali al tasso di iteresse auo i = 0,06. Il piao di ammortameto completo del debito si preseta come segue: k R k C k I k D k E k , , , , , ,15 925, , , , ,90 634, , , , ,12 326, I primo luogo si può calcolare l ammotare della rata di ammortameto, i base alla relazioe (50): (0,06) R = 5.771,83 4 (1 + 0,06) = Calcolata R e riempita l itera coloa itestata alla rata, si possoo calcolare le altre gradezze del piao, calcolado per ciascua scadeza k-esima (k = 1,,4) la quota iteresse I k = i Dk, la quota capitale Ck = Rk Ik e il debito residuo Dk = Dk Ck. Si osservi che le quote capitale crescoo i progressioe geometrica di ragioe 1,06.

DISPENSE DI MATEMATICA FINANZIARIA

DISPENSE DI MATEMATICA FINANZIARIA SPENSE MATEMATA FNANZAA 3 Piai di ammortameto. 3. osiderazioi geerali. U piao di ammortameto cosiste ella restituzioe di u importo preso a prestito mediate il versameto d'importi distribuiti el tempo.

Dettagli

Capitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE 2015-2016

Capitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE 2015-2016 Capitolo 27 Elemeti di calcolo fiaziario EEE 205-206 27. Le diverse forme dell iteresse Si defiisce capitale (C) uo stock di moeta dispoibile i u determiato mometo. Si defiisce iteresse (I) il prezzo d

Dettagli

Rendita perpetua con rate crescenti in progressione aritmetica

Rendita perpetua con rate crescenti in progressione aritmetica edita perpetua co rate cresceti i progressioe aritmetica iprediamo l'esempio visto ella scorsa lezioe di redita perpetua co rate cresceti i progressioe arimetica: Questa redita può ache essere vista come

Dettagli

L ammortamento dei prestiti. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08

L ammortamento dei prestiti. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 L ammortameto dei prestiti. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8 Prestiti idivisi Operazioi fiaziarie co due cotraeti mutuate o creditore: presta u capitale mutuatario o debitore: si impega a restituire

Dettagli

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA INTRODUZIONE Apputi sulla ATEATIA FINANZIARIA La matematica fiaziaria si occupa delle operazioi fiaziarie. Per operazioe fiaziaria si itede quella operazioe ella quale avviee uo scambio di capitali, itesi

Dettagli

Università degli Studi La Sapienza. Facoltà di Economia. Anno accademico 2012-13. Matematica Finanziaria Canale D - K

Università degli Studi La Sapienza. Facoltà di Economia. Anno accademico 2012-13. Matematica Finanziaria Canale D - K 1 Matematica Fiaziaria Uiversità degli Studi La Sapieza Facoltà di Ecoomia Ao accademico 212-13 Matematica Fiaziaria Caale D - K Capitolo 3 Ammortameto di prestiti idivisi Atoio Aibali Atoio Aibali a.a.

Dettagli

Elementi di matematica finanziaria

Elementi di matematica finanziaria Elemeti di matematica fiaziaria 18.X.2005 La matematica fiaziaria e l estimo Nell ambito di umerosi procedimeti di stima si rede ecessario operare co valori che presetao scadeze temporali differeziate

Dettagli

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R.

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R. 70 Capitolo Terzo i cui α i rappreseta la rata di ammortameto del debito di u capitale uitario. Si tratta di risolvere u equazioe lieare ell icogita R. SIANO NOTI IL MONTANTE IL TASSO E IL NUMERO DELLE

Dettagli

Interesse e formule relative.

Interesse e formule relative. Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Iteresse e formule relative Esercizio Determiare quale somma sarà dispoibile fra 7 ai ivestedo oggi 0000 ad u tasso auale semplice del 5% Soluzioe Il diagramma del

Dettagli

La matematica finanziaria

La matematica finanziaria La matematica fiaziaria La matematica fiaziaria forisce gli strumeti ecessari per cofrotare fatti fiaziari che avvegoo i mometi diversi Esempio: Come posso cofrotare i ricavi e i costi legati all acquisto

Dettagli

Successioni ricorsive di numeri

Successioni ricorsive di numeri Successioi ricorsive di umeri Getile Alessadro Laboratorio di matematica discreta A.A. 6/7 I queste pagie si voglioo predere i esame alcue tra le più famose successioi ricorsive, presetadoe alcue caratteristiche..

Dettagli

La stima per capitalizzazione dei redditi

La stima per capitalizzazione dei redditi La stima per capitalizzazioe dei redditi 24.X.2005 La stima per capitalizzazioe La capitalizzazioe dei redditi è l operazioe matematico-fiaziaria che determia l ammotare del capitale - il valore di mercato

Dettagli

Anno 5 Successioni numeriche

Anno 5 Successioni numeriche Ao 5 Successioi umeriche Itroduzioe I questa lezioe impareremo a descrivere e calcolare il limite di ua successioe. Ma cos è ua successioe? Come si calcola il suo limite? Al termie di questa lezioe sarai

Dettagli

Successioni. Grafico di una successione

Successioni. Grafico di una successione Successioi Ua successioe di umeri reali è semplicemete ua sequeza di ifiiti umeri reali:, 2, 3,...,,... dove co idichiamo il termie geerale della successioe. Ad esempio, discutedo il sigificato fiaziario

Dettagli

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE. Successioi umeriche a. Defiizioi: successioi aritmetiche e geometriche Cosideriamo ua sequeza di umeri quale ad esempio:,5,8,,4,7,... Tale sequeza è costituita mediate ua

Dettagli

52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02%

52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02% RISPOSTE MOTIVATE QUIZ D AMMISSIONE 2000-2001 MATEMATICA 51. L espressioe log( 2 ) equivale a : A) 2log B) log2 C) 2log D) log E) log 2 Dati 2 umeri positivi a e b (co a 1), si defiisce logaritmo i base

Dettagli

Progressioni aritmetiche

Progressioni aritmetiche Progressioi aritmetiche Comiciamo co due esempi: Esempio Cosideriamo la successioe di umeri:, 7,, 5, 9, +4 +4 +4 +4 +4 La successioe è tale che si passa da u termie al successivo aggiugedo sempre +4. Si

Dettagli

Campi vettoriali conservativi e solenoidali

Campi vettoriali conservativi e solenoidali Campi vettoriali coservativi e soleoidali Sia (x,y,z) u campo vettoriale defiito i ua regioe di spazio Ω, e sia u cammio, di estremi A e B, defiito i Ω. Sia r (u) ua parametrizzazioe di, fuzioe della variabile

Dettagli

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6 SUCCESSIONI Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La serie

Dettagli

Corso di Elementi di Impianti e macchine elettriche Anno Accademico 2014-2015

Corso di Elementi di Impianti e macchine elettriche Anno Accademico 2014-2015 Corso di Elemeti di Impiati e mahie elettriche Ao Aademico 014-015 Esercizio.1 U trasformatore moofase ha i segueti dati di targa: Poteza omiale A =10 kva Tesioe omiale V 1 :V =480:10 V Frequeza omiale

Dettagli

Selezione avversa e razionamento del credito

Selezione avversa e razionamento del credito Selezioe avversa e razioameto del credito Massimo A. De Fracesco Dipartimeto di Ecoomia politica e statistica, Uiversità di Siea May 3, 013 1 Itroduzioe I questa lezioe presetiamo u semplice modello del

Dettagli

II-9 Successioni e serie

II-9 Successioni e serie SUCCESSIONI II-9 Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La

Dettagli

Matematica Finanziaria

Matematica Finanziaria Corso di Matematica Fiaziaria a.a. 202/203 Testo a cura del Prof. Sergio Biachi Programma Operazioi fiaziarie i codizioi di certezza L operazioe fiaziaria elemetare Operazioi a proti e a termie Regimi

Dettagli

V Tutorato 6 Novembre 2014

V Tutorato 6 Novembre 2014 1. Data la successioe V Tutorato 6 Novembre 01 determiare il lim b. Data la successioe b = a = + 1 + 1 8 6 + 1 80 + 18 se 0 se < 0 scrivere i termii a 0, a 1, a, a 0 e determiare lim a. Data la successioe

Dettagli

LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI

LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUATITATIVI La variabilità di u isieme di osservazioi attiee all attitudie delle variabili studiate ad assumere modalità

Dettagli

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento Modelli multiperiodali discreti Cosideriamo ora modelli discreti cioè co u umero fiito di stati del modo multiperiodali, cioè apputo co più periodi. Il prototipo di questa classe di modelli è il modello

Dettagli

Matematica Finanziaria

Matematica Finanziaria Corso di Matematica Fiaziaria a.a. 202/203 Testo a cura del Prof. Sergio Biachi Programma Operazioi fiaziarie i codizioi di certezza L operazioe fiaziaria elemetare Operazioi a proti e a termie Regimi

Dettagli

Numerazione binaria Pagina 2 di 9 easy matematica di Adolfo Scimone

Numerazione binaria Pagina 2 di 9 easy matematica di Adolfo Scimone Numerazioe biaria Pagia di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe SISTEMI DI NUMERAZIONE Sistemi di umerazioe a base fissa Facciamo ormalmete riferimeto a sistemi di umerazioe a base fissa, ad esempio el sistema

Dettagli

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA

Dettagli

Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell Analisi Modale

Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell Analisi Modale Calcolo della risposta di u sistema lieare viscoso a più gradi di libertà co il metodo dell Aalisi Modale Lezioe 2/2 Prof. Adolfo Satii - Diamica delle Strutture 1 La risposta a carichi variabili co la

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1)

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) I umeri aturali hao u ordie; ogi umero aturale ha u successivo (otteuto aggiugedo 1), e ogi umero aturale diverso da zero ha u precedete (otteuto sottraedo 1).

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagia Giovaa Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secodaria di secodo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioi del Quadrifoglio à t i U 2 Radicali I questa Uità affrotiamo

Dettagli

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni Capitolo 8 Le fuzioi e le successioi Prof. A. Fasao Fuzioe, domiio e codomiio Defiizioe Si chiama fuzioe o applicazioe dall isieme A all isieme B ua relazioe che fa corrispodere ad ogi elemeto di A u solo

Dettagli

5. Le serie numeriche

5. Le serie numeriche 5. Le serie umeriche Ricordiamo che ua successioe reale è ua fuzioe defiita da N, evetualmete privato di u umero fiito di elemeti, a R. Solitamete si idica ua successioe co la lista dei suoi valori: (a

Dettagli

Estimo rurale appunti 2005. Estimo rurale

Estimo rurale appunti 2005. Estimo rurale Estimo rurale apputi 2005 Estimo rurale L estimo rurale rietra ell ambito delle disciplie ecoomiche, ma metre l ecoomia si occupa della coosceza della realtà, esso si occupa della valutazioe dei bei. Compito

Dettagli

STIMA DEI DIRITTI REALI SU COSA ALTRUI (CAPP. 15-16-17)) STIMA INERENTI L USUFRUTTO, USO E ABITAZIONE (CAP. 15)

STIMA DEI DIRITTI REALI SU COSA ALTRUI (CAPP. 15-16-17)) STIMA INERENTI L USUFRUTTO, USO E ABITAZIONE (CAP. 15) STIMA DEI DIRITTI REALI SU COSA ALTRUI (CAPP. 15-16-17)) Apputi di estimo STIMA INERENTI L USUFRUTTO, USO E ABITAZIONE (CAP. 15) DIRITTO DI USUFRUTTO Defiizioe di usufrutto L usufrutto è u diritto reale

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE LORENZO BRASCO. Teoremi di Cesaro Teorema di Stolz-Cesaro. Siao {a } N e {b } N due successioi umeriche, co {b } N strettamete positiva, strettamete crescete e ilitata. Se esiste

Dettagli

1 Limiti di successioni

1 Limiti di successioni Esercitazioi di matematica Corso di Istituzioi di Matematica B Facoltà di Architettura Ao Accademico 005/006 Aa Scaramuzza 4 Novembre 005 Limiti di successioi Esercizio.. Servedosi della defiizioe di ite

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Ua fuzioe reale di ua variabile reale f di domiio A è ua legge che ad ogi x A associa u umero reale che deotiamo co f(x). Se A = N, la f è detta successioe di umeri reali. Se co si

Dettagli

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo

Dettagli

APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE. (tratti da A. MONTE Elementi di Impianti Industriali Cortina)

APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE. (tratti da A. MONTE Elementi di Impianti Industriali Cortina) ITIS OMAR Dipartimeto di Meccaica APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE (tratti da A. MONTE Elemeti di Impiati Idustriali Cortia) Si defiisce iteresse il dearo pagato per l'uso di u capitale otteuto i prestito

Dettagli

Successioni. Capitolo 2. 2.1 Definizione

Successioni. Capitolo 2. 2.1 Definizione Capitolo 2 Successioi 2.1 Defiizioe Ua prima descrizioe, più ituitiva che rigorosa, di quel che itediamo per successioe cosiste i: Ua successioe è ua lista ordiata di oggetti, avete u primo ma o u ultimo

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie umeriche e serie di poteze Sommare u umero fiito di umeri reali è seza dubbio u operazioe che o può riservare molte sorprese Cosa succede però se e sommiamo u umero ifiito? Prima di dare delle defiizioi

Dettagli

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 6 Questioario Quesito Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è

Dettagli

ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del 5.02.2013 TEMA 1. f(x) = arcsin 1 2 log 2 x.

ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del 5.02.2013 TEMA 1. f(x) = arcsin 1 2 log 2 x. ANALISI MATEMATICA Area dell Igegeria dell Iformazioe Appello del 5.0.0 TEMA Esercizio Si cosideri la fuzioe f(x = arcsi log x. Determiare il domiio di f e discutere il sego. Discutere brevemete la cotiuità

Dettagli

BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO. Diritti reali: usufrutto CORSO PRATICANTI 2015

BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO. Diritti reali: usufrutto CORSO PRATICANTI 2015 BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO Diritti reali: usufrutto CORSO PRATICANTI 2015 Usufrutto L'usufrutto è il diritto di godimeto da parte di ua persoa detta USUFRUTTUARIO di u bee altrui; il proprietario del bee

Dettagli

Esercizi riguardanti limiti di successioni

Esercizi riguardanti limiti di successioni Esercizi riguardati iti di successioi Davide Boscaii Queste soo le ote da cui ho tratto le esercitazioi del gioro 27 Ottobre 20. Come tali soo be lugi dall essere eseti da errori, ivito quidi chi e trovasse

Dettagli

CONCETTI BASE DI STATISTICA

CONCETTI BASE DI STATISTICA CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabilità U umero reale compreso tra 0 e, associato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relativa o col grado di credibilità co cui u eveto

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito

Dettagli

Teorema 13. Se una sere converge assolutamente, allora converge:

Teorema 13. Se una sere converge assolutamente, allora converge: Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi 03: Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale.- Si cosiglia vivamete di fare gli esercizi del testo. Covergeza assoluta e

Dettagli

Matematica finanziaria

Matematica finanziaria C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Materiale didattico Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Matematica fiaziaria A cura di Fracesco

Dettagli

Sintassi dello studio di funzione

Sintassi dello studio di funzione Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe:

Dettagli

8. Quale pesa di più?

8. Quale pesa di più? 8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora

Dettagli

Stima di un immobile a destinazione alberghiera APPROFONDIMENTI

Stima di un immobile a destinazione alberghiera APPROFONDIMENTI APPROFONDIMENTI www.shutterstock.com/vladitto Stima di u immobile a destiazioe alberghiera di Maria Ciua (Ricercatore di Estimo Facoltà di Igegeria dell Uiversità di Palermo) I geere ell expertise immobiliare

Dettagli

DISTRIBUZIONI DOPPIE

DISTRIBUZIONI DOPPIE DISTRIBUZIONI DOPPIE Fio ad ora abbiamo visto teciche di aalisi dei dati per il solo caso i cui ci si occupi di u solo carattere rilevato su u collettivo (distribuzioi semplici). I termii formali fio ad

Dettagli

Università di Milano Bicocca Esercitazione 4 di Matematica per la Finanza 24 Aprile 2015

Università di Milano Bicocca Esercitazione 4 di Matematica per la Finanza 24 Aprile 2015 Uiversità di Milao Bicocca Esercitazioe 4 di Matematica per la Fiaza 24 Aprile 205 Esercizio Completare il seguete piao di ammortameto: 000 2 3 234 3 6 369 Osserviamo iazitutto che, per il vicolo di chiusura

Dettagli

Analisi statistica dell Output

Analisi statistica dell Output Aalisi statistica dell Output IL Simulatore è u adeguata rappresetazioe della Realtà! E adesso? Come va iterpretato l Output? Quado le Osservazioi soo sigificative? Quati Ru del Simulatore è corretto effettuare?

Dettagli

SERIE NUMERICHE Con l introduzione delle serie vogliamo estendere l operazione algebrica di somma ad un numero infinito di addendi.

SERIE NUMERICHE Con l introduzione delle serie vogliamo estendere l operazione algebrica di somma ad un numero infinito di addendi. Serie SERIE NUMERICHE Co l itroduzioe delle serie vogliamo estedere l operazioe algebrica di somma ad u umero ifiito di addedi. Def. Data la successioe {a }, defiiamo la successioe {s } poedo s = a k.

Dettagli

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Defiire lo strumeto matematico ce cosete di studiare la cresceza e la decresceza di ua fuzioe Si comicia col defiire cosa vuol dire ce ua fuzioe è crescete. Defiizioe:

Dettagli

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1 SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X = N:

Dettagli

I appello - 29 Giugno 2007

I appello - 29 Giugno 2007 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 I appello - 9 Giugo 7 ) Studiare la covergeza putuale e uiforme della seguete successioe di fuzioi: [ ( )] f (x) = cos (

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA

STATISTICA DESCRITTIVA STATISTICA DESCRITTIVA La statistica descrittiva serve per elaborare e sitetizzare dati. Tipicamete i dati si rappresetao i tabelle. Esempio. Suppoiamo di codurre u idagie per cooscere gli iscritti al

Dettagli

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006 Terzo appello del primo modulo di ANALISI 18.7.26 1. Si voglioo ifilare su u filo delle perle distiguibili tra loro solo i base alla dimesioe: si hao a disposizioe perle gradi di diametro di 2 cetimetri

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2006

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2006 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 006 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PRBLEMA U filo metallico di lughezza l viee utilizzato

Dettagli

3.1 Il principio di inclusione-esclusione

3.1 Il principio di inclusione-esclusione Capitolo 3 Calcolo combiatorio 3.1 Il pricipio di iclusioe-esclusioe Il calcolo combiatorio prede i cosiderazioe degli isiemi fiiti particolari e e cota il umero di elemeti. Questo può dar luogo ad iteressati

Dettagli

STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA

STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA aa 2009-2010 Operazioi statistiche elemetari Spesso ci si preseta il problema del cofroto tra dati Ad esempio, possiamo voler cofrotare feomei [ecoomici]

Dettagli

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri Prerequisiti: Aelli Spazi vettoriali Sia A u aello commutativo uitario PARTE QUARTA Teoria algebrica dei umeri Lezioe 7 Cei sui moduli Defiizioe 7 Si dice modulo (siistro) su A (o semplicemete, A-modulo)

Dettagli

Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.

Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci. Formula per la determiazioe della uccessioe geeralizzata di Fiboacci. A cura di Eugeio Amitrao Coteuto dell articolo:. Itroduzioe......... uccessioe di Fiboacci....... 3. Formula di Biet per la successioe

Dettagli

Calcolo Combinatorio (vers. 1/10/2014)

Calcolo Combinatorio (vers. 1/10/2014) Calcolo Combiatorio (vers. 1/10/2014 Daiela De Caditiis modulo CdP di teoria dei segali Igegeria dell Iformazioe - sede di Latia, CALCOLO COMBINATORIO Pricipio Fodametale del Calcolo Combiatorio: Si realizzio

Dettagli

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE Lezioi di Matematia per

Dettagli

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln DOMINIO FUNZIONE Determiare il domiio della fuzioe f = l e e + e + e Deve essere e e + e + e >, posto e = t si ha t e + t + e = per t = e e per t = / Il campo di esisteza è:, l, + Determiare il domiio

Dettagli

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni Foglio di esercizi N. - Soluzioi. Determiare il domiio della fuzioe f) = log 3 + log 3 3)). Deve essere + log 3 3) > 0, ovvero log 3 3) >, ovvero prededo l espoeziale i base 3 di etrambi i membri) 3 >

Dettagli

INVENTORY CONTROL. Ing. Lorenzo Tiacci

INVENTORY CONTROL. Ing. Lorenzo Tiacci INVENTORY CONTRO Ig. orezo Tiacci Testo di riferimeto: Ivetory Maagemet ad Productio Plaig ad Cotrol - Third Ed. E.A. Silver, D.F. Pyke, R. Peterso Wiley, 998 Idice. POITICA (s, ) (order poit, order quatity)

Dettagli

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15 Corso di Laurea Magistrale i Igegeria Iformatica A.A. 014/15 Complemeti di Probabilità e Statistica Prova scritta del del 3-0-15 Puteggi: 1. 3+3+4;. +3 ; 3. 1.5 5 ; 4. 1 + 1 + 1 + 1 + 3.5. Totale = 30.

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 006 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PRBLEMA U filo metallico di lughezza l viee utilizzato

Dettagli

Equazioni e contrazioni: un punto fisso //

Equazioni e contrazioni: un punto fisso // * 010 Equazioi e cotrazioi: u puto fisso // Nicola Chiriao Docete al Liceo Scietifico L. Siciliai di Catazaro [Nicola Chiriao] Nicola Chiriao è docete di Matematica e Fisica al Liceo Scietifico Siciliai

Dettagli

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13 Statistica di base Luca Mari, versioe 31.12.13 Coteuti Moda...1 Distribuzioi cumulate...2 Mediaa, quartili, percetili...3 Sigificatività empirica degli idici ordiali...3 Media...4 Acora sulla media...4

Dettagli

STATISTICA INFERENZIALE SCHEDA N. 2 INTERVALLI DI CONFIDENZA PER IL VALORE ATTESO E LA FREQUENZA

STATISTICA INFERENZIALE SCHEDA N. 2 INTERVALLI DI CONFIDENZA PER IL VALORE ATTESO E LA FREQUENZA Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.uige/pls_statistica Resposabili scietifici M.P. Rogati e E. Sasso (Dipartimeto di Matematica Uiversità di Geova) STATISTICA INFERENZIALE

Dettagli

ARGOMENTI Scopi e caratteristiche dello strumento Tipologie di mutui Il mercato secondario e il ruolo svolto nella crisi finanziaria

ARGOMENTI Scopi e caratteristiche dello strumento Tipologie di mutui Il mercato secondario e il ruolo svolto nella crisi finanziaria MERCATO DEI MUTUI A.A. 2015/2016 Prof. Alberto Dreassi adreassi@uits.it DEAMS Uiversità di Trieste ARGOMENTI Scopi e caratteristiche dello strumeto Tipologie di mutui Il mercato secodario e il ruolo svolto

Dettagli

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014)

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014) Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia per maager. Prima versioe, marzo 2013; versioe aggiorata, marzo 2014) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea March 14, 2014 1 Prezzo

Dettagli

CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE

CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE 5.. Itroduzioe La Teoria della Similitudie ha pricipalmete due utilizzi: Estedere i risultati otteuti testado ua sigola macchia ad altre codizioi operative o a ua famiglia

Dettagli

cerchiamo di convincerci che ha senso sommare infiniti numeri! INSIEME INFINITO non INSIEME ILLIMITATO maggiorante limitato B 1/4 + 1/16 + 1/64

cerchiamo di convincerci che ha senso sommare infiniti numeri! INSIEME INFINITO non INSIEME ILLIMITATO maggiorante limitato B 1/4 + 1/16 + 1/64 By Luca Torchio Prima di defiire i modo rigoroso ua somma di ifiiti umeri, che tra l altro i matematici chiamao Serie, cerchiamo di covicerci che ha seso sommare ifiiti umeri! La cosa, i effetti, fa u

Dettagli

Corso di Laurea in Ing. Edile Politecnico di Bari A.A. 2008-2009 Prof. ssa Letizia Brunetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA

Corso di Laurea in Ing. Edile Politecnico di Bari A.A. 2008-2009 Prof. ssa Letizia Brunetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA Corso di Laurea i Ig Edile Politecico di Bari AA 2008-2009 Prof ssa Letizia Bruetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA 2 Idice Spazi vettoriali Cei sulle strutture algebriche 4 2 Defiizioe di spazio vettoriale

Dettagli

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia)

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia) Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea December 18, 2013 1 ichiami su utilità attesa e avversioe al rischio Prima di cosiderare il

Dettagli

Navigazione tramite numeri e divertimento

Navigazione tramite numeri e divertimento 60 Chapter 6 Navigazioe tramite umeri e divertimeto Vladimir Georgiev Itroduzioe La ovità pricipale el ostro approccio e l avviciameto del lavoro dei ostri Lab ai problemi della vita reale tramite la parte

Dettagli

19 31 43 55 67 79 91 103 870,5 882,5 894,5 906,5 918,5 930,5 942,5 954,5

19 31 43 55 67 79 91 103 870,5 882,5 894,5 906,5 918,5 930,5 942,5 954,5 Il 16 dicembre 015 ero a Napoli. Ad u agolo di Piazza Date mi soo imbattuto el "matematico di strada", come egli si defiisce, Giuseppe Poloe immerso el suo armametario di tabelle di umeri. Il geiale persoaggio

Dettagli

che sono una l inversa dell altra; l insieme dei messaggi cifrati C i cui elementi sono indicati con la lettera c.

che sono una l inversa dell altra; l insieme dei messaggi cifrati C i cui elementi sono indicati con la lettera c. I LEZIONE Il ostro iteto è aalizzare i dettaglio i metodi di cifratura che si soo susseguiti el corso della storia prestado particolare attezioe all impiato matematico che e cosete la realizzazioe Iiziamo

Dettagli

Campionamento stratificato. Esempio

Campionamento stratificato. Esempio ez. 3 8/0/05 Metodi Statiici per il Marketig - F. Bartolucci Uiversità di Urbio Campioameto ratificato Ua tecica molto diffusa per sfruttare l iformazioe coteuta i ua variabile ausiliaria (o evetualmete

Dettagli

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. 2 b) n=1. n n 2 +n

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. 2 b) n=1. n n 2 +n SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Applicado la defiizioe di covergeza di ua serie stabilire il carattere delle segueti serie, e, i caso di covergeza, trovare la somma: = + b) = + +. Verificare utilizzado

Dettagli

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI I cocetti di successioe e di serie possoo essere estesi i modo molto aturale al caso delle fuzioi DEFINIZIONE Sia E u sottoisieme di  e, per ogi

Dettagli

Serie numeriche: esercizi svolti

Serie numeriche: esercizi svolti Serie umeriche: esercizi svolti Gli esercizi cotrassegati co il simbolo * presetao u grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Dopo aver verificato la covergeza, calcolare la somma delle segueti serie:

Dettagli

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere Eserciio 1 7 puti. Dato il campo vettoriale v, + 1,, i si determii ua fuioe f > i modo tale che il campo vettoriale f v sia irrotaioale, cioè abbia le derivate icrociate uguali; ii si spieghi se i risultati

Dettagli

Le carte di controllo

Le carte di controllo Le carte di cotrollo Dott.ssa Bruella Caroleo 07 dicembre 007 Variabilità ei processi produttivi Le caratteristiche di qualsiasi processo produttivo soo caratterizzate da variabilità Le cause di variabilità

Dettagli

Random walk classico. Simulazione di un random walk

Random walk classico. Simulazione di un random walk Radom walk classico Il radom walk classico) è il processo stocastico defiito da co prob. S = S0 X k, co X k = k= co prob. e le X soo tra di loro idipedeti. k Si tratta di u processo a icremeti idipedeti

Dettagli

1. Considerazioni generali

1. Considerazioni generali . osiderazioi geerali Il processaeto di ob su acchie parallele è iportate sia dal puto di vista teorico che pratico. Dal puto di vista teorico questo caso è ua geeralizzazioe dello schedulig su acchia

Dettagli

Statistica 1 A.A. 2015/2016

Statistica 1 A.A. 2015/2016 Corso di Laurea i Ecoomia e Fiaza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispodeti a 48 ore di lezioe frotale e 24 ore di esercitazioe) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 19 Iterdipedeza lieare fra variabili quatitative

Dettagli

Cenni di Teoria delle assicurazioni

Cenni di Teoria delle assicurazioni ei di Teoria dee assicurazioi Vautazioe di acue fore basiari di assicurazioi sua ita Probea di autazioe di ua redita di durata aeatoria Necessità di espriere a probabiità di sopraieza di u idiiduo: Fuzioi

Dettagli

Economia Internazionale - Soluzioni alla IV Esercitazione

Economia Internazionale - Soluzioni alla IV Esercitazione Ecoomia Iterazioale - Soluzioi alla IV Esercitazioe 25/03/5 Esercizio a) Cosa soo le ecoomie di scala? Come cambia la curva di oerta i preseza di ecoomie di scala? Perchè queste oroo u icetivo al commercio

Dettagli

STIMA DEL FONDO RUSTCO

STIMA DEL FONDO RUSTCO STIMA DEL FONDO RUSTCO 1) Quali soo gli aspetti ecoomici che possoo essere presi i cosiderazioe ella stima dei fodi rustici? La stima di u fodo rustico può essere fatta applicado i segueti aspetti ecoomici:

Dettagli

ESERCIZI SULLE SERIE

ESERCIZI SULLE SERIE ESERCIZI SULLE SERIE Studiare la atura delle segueti serie. ) cos 4 + ; ) + si ; ) + ()! 4) ( ) 5) ( ) + + 6) ( ) + + + 7) ( log ) 8) ( ) + 9) log! 0)! Studiare al variare di x i R la atura delle segueti

Dettagli