Appunti su rendite e ammortamenti

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Appunti su rendite e ammortamenti"

Transcript

1 Corso di Matematica I Facoltà di Ecoomia Dipartimeto di Matematica Applicata Uiversità Ca Foscari di Veezia Fuari Stefaia, Apputi su redite e ammortameti 1. Redite Per redita si itede u isieme di capitali {R 0, R 1,,R } da riscuotere (o da pagare) a scadeze determiate {t 0, t 1,,t }, come visualizzato el seguete diagramma importiepoche: R 0 R 1 R 2 R t 0 t 1 t 2 t I capitali R 0, R 1, R 2,., R soo chiamati rate della redita. L itervallo di tempo fra due rate cosecutive è detto periodo e geeralmete esso è costate (si veda il paragrafo Tipi di redite). Ua redita ha ua durata che è uguale all itervallo di tempo fra l iizio del primo periodo e la fie dell ultimo periodo Tipi di redite Si possoo distiguere le redite i varie categorie, a secoda delle caratteristiche dei tempi di scadeza e delle rate della redita. i) Redite periodiche e redite o periodiche La distizioe fra redite periodiche e o periodiche fa riferimeto al tempo che itercorre fra due rate cosecutive. Nelle redite periodiche l itervallo di tempo che itercorre fra due rate cosecutive è uguale durate tutto l orizzote temporale della redita ed è chiamato periodo della redita; si parla i questo caso di redite auali se il periodo è l ao, di redite mesili se il periodo è il mese, di redite semestrali se il periodo è il semestre e così via. ii) Redite immediate e redite differite La prima rata della redita può essere riscossa (o pagata), el primo periodo della redita, i questo caso la redita si dice immediata, oppure i u periodo successivo k e i questo caso la redita si dice differita di k periodi.

2 Apputi su redite e ammortameti, pag. 2 iii) Redite posticipate e redite aticipate Assume rilievo il tempo di scadeza delle rate; si parla di redite posticipate qualora la scadeza di ciascua rata sia riferita all istate fiale di ogi periodo: R k t k-1 t k k-mo periodo Si parla di redite aticipate qualora la scadeza di ciascua rata sia riferita all istate iiziale di ogi periodo: R k t k-1 t k k-mo periodo iv) Redite costati e redite variabili Per quato riguarda gli importi delle rate si distigue fra le redite costati, i cui gli importi delle rate soo tutti uguali fra di loro e le redite co importi variabili; i quest ultimo caso è ache possibile che le rate si modifichio i base ad ua certa legge, ad esempio i progressioe aritmetica o i progressioe geometrica. v) Redite temporaee e redite perpetue Co riferimeto al umero delle rate, si distigue fra le redite temporaee, i cui il umero delle rate è fiito e le redite perpetue i cui il umero delle rate è ifiito. 1.2 Il problema della valutazioe di ua redita Quado si parla di redite si poe il problema di determiare l importo moetario che, co riferimeto ad u istate fissato, può essere cosiderato fiaziariamete equivalete alla redita. Questo importo, chiamato valore della redita, varia i relazioe alla scelta del regime fiaziario utilizzato (solitamete el calcolare il valore di redite si usa il regime della capitalizzazioe composta), alla scelta del tasso di iteresse impiegato el calcolo e alla scelta dell istate di valutazioe. I particolare, il valore della redita è chiamato valore attuale della redita qualora l istate di valutazioe coicida co l istate i cui avviee la prima riscossioe (pagameto) o co u istate precedete; è chiamato motate della redita qualora l istate di valutazioe coicida co l istate i cui avviee l ultima riscossioe (pagameto) o co u istate successivo.

3 Apputi su redite e ammortameti, pag Calcolo del valore attuale di ua redita Si cosideri il caso di ua redita che coseta di riscuotere alla fie di ogi ao u importo R, per ai. Usado la termiologia del paragrafo precedete, si tratta di ua redita temporaea, aua, costate di rata R, posticipata. R R R Si vuole calcolare il valore attuale della redita all istate t = 0. Per fare questo, basta riportare ciascua rata al tempo 0 mediate operazioi di attualizzazioe; si calcola quidi la somma dei valori attuali delle sigole rate, utilizzado il regime di capitalizzazioe composta ad u tasso auo di iteresse i, supposto per semplicità costate per tutta la durata dell operazioe. V R R R V = R( R( R( 1+ (1) Cosiderato il fattore di attualizzazioe v = ( 1+ si può scrivere V = Rv + Rv Rv (2) da cui V = R( v + v v (3) ) Poichè i termii etro paretesi costituiscoo ua progressioe geometrica di ragioe v, si può scrivere il valore attuale come 1 : v v V = Rv = R (4) v i Ad esempio il valore attuale al tempo 0 di ua redita di rata 30 esigibile alla fie di ogi ao per 5 ai, calcolato ad u tasso auo di iteresse del 10%, è uguale a: 5 (1 + 0,1) V = 30 = 113,72 (5) 0,1 1 v La quatità si idica ormalmete co il simbolo a i ( a figurato al tasso i ) ed idica il i valore attuale di ua redita aua, posticipata, di rate uitarie.

4 Apputi su redite e ammortameti, pag. 4 Nel caso ivece i cui la riscossioe della rata avvega i via aticipata all iizio di ogi ao, come rappresetato dal diagramma seguete R R R R il valore attuale al tempo 0 si calcola come segue: ( ) V at = R + R(1 + i) R(1 + i) Cosiderato il fattore di attualizzazioe v = (1 + i), si può scrivere (6) 2 V at = R + Rv + Rv Rv da cui 2 v Vat = R(1 + v + v v ) = R (8) v Nell esempio precedete di ua redita co R = 30, = 5, ed i = 10%, qualora le rate siao riscosse i via aticipata, si ottiee u valore attuale uguale a 5 (1 + 0,1) V at = 30 = 125,10 (9) (1 + 0,1) Alterativamete, se si coosce già il valore attuale della redita posticipata, si può semplicemete utilizzare la seguete relazioe che lega i due valori attuali: V at = ( 1+ i) V (10) Nell esempio, V at = ( , ) 113, 72 = 125, Calcolo del motate di ua redita Si cosideri ua redita posticipata, di rata costate R e durata ai. Questa volta iteressa cooscere l importo M che, co riferimeto all istate i cui avviee l ultima riscossioe, può essere cosiderato fiaziariamete equivalete a riscuotere R alla fie di ogi ao, per ai. (7) R R R M Tale importo è chiamato valore fiale, o motate della redita, e viee calcolato capitalizzado ogi sigola rata all epoca e poi sommado M = R( + + R( + (11) R( 1+ + R Cosiderato il fattore di capitalizzazioe u = ( 1 + si può scrivere

5 Apputi su redite e ammortameti, pag. 5 M = Ru + Ru (12) Ru + R da cui M R( u u (13) = u + 1) Cosiderato che i termii etro paretesi costituiscoo ua progressioe geometrica di ragioe u, si può scrivere il motate come 2 : u u u M = R = R = R (14) u ( 1+ i Nell esempio di ua redita di rata 30 esigibile alla fie di ogi ao per 5 ai, il motate all epoca, calcolato ad u tasso auo di iteresse del 10%, è uguale a ( 1+ 01, ) 5 M = 30 = 18315, (15) 01, E iteressate osservare che i virtù della proprietà di scidibilità della capitalizzazioe composta è equivalete capitalizzare ogi rata all epoca e poi sommare oppure calcolare la somma dei valori attuali delle rate all epoca 0 (valore attuale della redita) e poi capitalizzare il risultato così otteuto per ai; vale quidi la relazioe M = V( 1 + (16) Qualora l operazioe fiaziaria abbia breve durata, per calcolare il motate di ua redita si potrebbe adottare il regime della capitalizzazioe semplice. Ad esempio, si cosideri la situazioe di ua redita che cosete di riscuotere u importo uguale a 120 all iizio di ogi trimestre. Si vuole calcolare il motate di tale redita alla fie dell ao i corso, i regime di capitalizzazioe semplice, utilizzado u tasso di iteresse auo i = 0, M = 120 ( ( 1+ i ) + 120( 1+ i ) + 120( 1+ i ) = Osservazioe: uso di tassi di iteresse equivaleti Potrebbe capitare che il tasso di iteresse i sia riferito ad u periodo diverso da quello della redita. Ad esempio si potrebbe cosiderare la situazioe di ua redita che cosete di riscuotere u certo importo R alla fie di ogi mese, per mesi e si coosca il tasso auo di iteresse i. I questo caso prima di impiegare le formule per il calcolo del valore attuale e del motate, occorre calcolare il tasso di iteresse i m, riferito ad 1/m-simo di ao, equivalete al tasso auo i: 1 / m i m = ( 1+ (17) Ad esempio il valore attuale di ua redita che preveda la riscossioe mesile, i via posticipata di 258 per 48 mesi, al tasso di iteresse auo i del 10%, si calcola come 48 ( 1+ V = = 10255, 97 i12 2 u La quatità si idica ormalmete co il simbolo s i ed idica il motate di ua redita aua, i posticipata, di rate uitarie.

6 Apputi su redite e ammortameti, pag. 6 1 / 12 dove i12 = ( 1+ 01, ) = 0, rappreseta il tasso di iteresse mesile, equivalete al tasso di iteresse auo i. 1.3 Problemi relativi alle redite Si ripreda la formula (4) che permette di calcolare il valore attuale di ua redita co rata costate, posticipata, uguale ad R: V ( 1+ = R i (18) Compaioo quattro gradezze: il valore attuale V, la rata R, la durata ed il tasso di iteresse i. Se si cooscoo i valori di tre di queste gradezze, si può determiare il valore della quarta. La relazioe precedete, apputo, determia V oti R,, i Calcolo della rata Per calcolare l importo della rata che cosete di otteere u certo valore attuale, basta ricavare R dalla relazioe precedete: Vi R = ( 1+ (19) Calcolo del umero delle rate Noto il valore attuale della redita, la rata ed il tasso di iteresse, è possibile determiare, cioè determiare il umero delle rate che occorre versare per otteere u certo valore attuale V. La relazioe (18) può essere scritta come V ( 1+ = (20) R i da cui Vi ( (21) 1 = 1+ R risolvedo mediate i logaritmi, si ha Vi log( ) R (22) = log( 1+ R co la codizioe V <. i Calcolo del tasso di iteresse A volte si preseta il problema di determiare il tasso di iteresse associato ad ua redita, qualora si coosca il valore attuale, il umero e l importo delle rate. Si ripreda la formula (1) per il calcolo del valore attuale che può essere scritta come R ( R( R( 1+ V = 0 g( = 0 L obiettivo è quello di cercare il valore della variabile i che risolve l equazioe g ( = 0. La soluzioe può essere ricercata utilizzado alcui metodi approssimati, fra i quali ricordiamo u metodo iterativo per la ricerca degli zeri di ua fuzioe. Il metodo (23)

7 Apputi su redite e ammortameti, pag. 7 si basa sul fatto che se ua fuzioe cotiua i u itervallo assume i due puti a e b dell itervallo valori di sego diversi, allora essa si aulla almeo ua volta i (a,b). Solo per dare u idea, l applicazioe del metodo iterativo per la ricerca del tasso di iteresse parte da u valore iiziale del tasso di iteresse i 0 e procede co il calcolo di g(i 0 ) i base alla (23); se si trova che g(i 0 )=0 allora i 0 è il tasso di iteresse cercato; altrimeti, se ad esempio g(i 0 )>0 si cercherà di dimiuire il primo membro dell equazioe aumetado il tasso di iteresse e quidi cosiderado i 1 >i 0 ; si calcola uovamete g(i 1 ) e se si trova che g(i 1 )<0, allora si può restrigere la ricerca ell itervallo (i 0, i 1 ), ripetedo il procedimeto. Si osservi che la regola per la variazioe del tasso sfrutta la proprietà che il valore attuale di ua redita è ua fuzioe decrescete del tasso di iteresse. 2. Il problema del rimborso di u prestito U problema molto comue i sede ecoomica è quello dell ammortameto di u debito. L operazioe di ammortameto si cofigura el modo seguete. Al mometo t = 0 u soggetto (detto mutuatario o debitore) riceve a prestito da u altro soggetto (detto mutuate o creditore) ua somma S (detta mutuo o prestito) e deve restituirla etro u certo periodo di tempo ricosegado o solo il capitale ricevuto ma ache gli iteressi. Il rimborso del prestito può avveire i vari modi, che soo discipliati ache dalle orme di legge sui cotratti di mutuo. Se e ricordao due i particolare. i) Rimborso globale I questo caso il rimborso del capitale avuto i prestito avviee i u uica soluzioe, alla scadeza del cotratto di mutuo, isieme agli iteressi maturati. Dal puto di vista del debitore, l ammortameto è visto come ua operazioe fiaziaria i cui all epoca t = 0 si riceve la somma S e all epoca t = si restituisce al creditore la somma i fiaziariamete equivalete all importo S. Alla scadeza, quidi, il debitore verserà S ( 1+ i), cioè il motate i dell importo S, calcolato impiegado il regime della capitalizzazioe composta co u tasso di iteresse i: S -S(1+i) 0 Dal puto di vista del creditore l ammortameto è visto come u operazioe fiaziaria opposta, i cui all epoca 0 si eroga l importo S e all epoca si riceve il rimborso del capitale uitamete agli iteressi maturati: -S S(1+i) 0

8 Apputi su redite e ammortameti, pag. 8 ii) Rimborso rateale (ammortameto progressivo) I questo caso si verifica la restituzioe graduale del capitale che avviee i più scadeze successive ed il pagameto degli iteressi i ciascua scadeza. La durata del prestito viee quidi suddivisa i varie scadeze t 0, t 1,..., t k,..., t. R k C k I k t 0 t 1 t k t Ad ogi scadeza k-esima il debitore paga u importo (C k ) a titolo di rimborso del capitale (quota capitale) ed u importo (I k ) a titolo di iteresse (quota iteresse). Quidi ad ogi scadeza il debitore paga sia la quota capitale che la quota iteresse. Idicata co R k la rata di ammortameto, la somma che complessivamete il debitore paga alla scadeza k, si ha che R k = C k + I k. Dal puto di vista del debitore l ammortameto si cofigura come u operazioe fiaziaria i cui si riceve S all epoca t 0 e si pagao le rate di ammortameto R 1, R 2,.., R, alle varie epoche t 1,...,tk,..., t. All opposto il creditore eroga S all epoca 0 e riceve gli importi R 1, R 2,.., R, alle varie scadeze. 2.1 Il piao di ammortameto Nel caso del rimborso rateale del prestito si tratta di determiare gli importi che i ciascua scadeza il debitore dovrà restituire al creditore. Si tratta quidi di determiare le quote parziali di rimborso del capitale e l ammotare degli iteressi da pagare i ciascua scadeza, che sarao commisurati di volta i volta al capitale che a tale scadeza risulta o acora restituito. Si cosideri iizialmete la situazioe i cui le epoche di rimborso parziale soo equidistati ua dall altra (scadeze 0, 1,, k,, ) e i pagameti avvegoo i via posticipata alla fie di ogi scadeza pattuita. E possibile orgaizzare le specifiche relative ai tempi di rimborso e al pagameto delle quote i u prospetto che prede il ome di piao di ammortameto. Ad ogi scadeza è importate cooscere ache l ammotare del debito residuo e l ammotare del debito estito; ammortizzare u mutuo sigifica versare alle varie scadeze le rate previste i modo che il debito residuo fiale si azzeri e, allo stesso modo, che il debito estito raggiuga l importo del prestito che è stato cocesso. Si idichi co: S l ammotare del prestito; C k la quota che il debitore paga alla scadeza k, a titolo di rimborso del capitale (quota capitale); I k la quota che il debitore paga alla scadeza k, a titolo di iteresse (quota iteresse); R k l importo totale versato dal debitore alla scadeza k (rata di ammortameto), dove

9 Apputi su redite e ammortameti, pag. 9 R k = Ck + Ik Codizioe di chiusura sulle quote capitale Poiché il prestito S viee suddiviso i parti da rimborsare alle diverse scadeze, deve essere rispettato il vicolo: C1 + C Ck C = S (24) il che sigifica che la somma di tutte le quote di capitale versate coicide co l ammotare del prestito Codizioe di equità sulle rate L ammortameto si cofigura come u operazioe fiaziaria i cui si riceve S (o si paga S se si cosidera il puto di vista del creditore) all epoca 0 e si pagao (rispettivamete si ricevoo se si cosidera il puto di vista del creditore) le rate di ammortameto R 1, R 2,.., R, alla fie di ciascu periodo 1, 2,..,, ell ipotesi di pagameti posticipati. R 1 R 2 R Deve essere quidi verificata ua codizioe di equivaleza fiaziaria fra la prestazioe S all epoca 0 e la successioe degli importi (rate) R 1, R 2,.., R, alle diverse epoche. Ciò sigifica che il mutuo S deve coicidere co il valore attuale, calcolato al tempo iiziale 0, della redita descritta dalle rate R 1, R 2,.., R S = R1 (1 + i) + R2 (1 + i) R (1 + i) (25) dove i rappreseta il tasso uiperiodale di iteresse, cosiderato il regime di capitalizzazioe composta Debito residuo Risulta iteressate determiare ad ogi scadeza k-esima l ammotare di dearo che il debitore deve acora restituire, a titolo di capitale, per estiguere il debito. Tale gradezza viee deomiata debito residuo all epoca k e viee idicata co D k. Si può esprimere il debito residuo cosiderado le quote capitale che hao scadeza successiva a k D k = Ck Ck C (26) Da tale relazioe si ricava che il debito residuo iiziale coicide co l importo del mutuo, metre il debito residuo fiale si aulla D0 = C1 + C C = S D = 0 (27) (28)

10 Apputi su redite e ammortameti, pag. 10 L ultima relazioe, quella di azzerameto del debito residuo, può essere vista come ua codizioe di equità o codizioe di chiusura dell operazioe di ammortameto. E ache possibile esprimere il debito residuo ad ua certa scadeza aggiorado il debito residuo otteuto alla scadeza precedete, el modo seguete Dk = Dk Ck (29) Debito estito Si defiisce debito estito all epoca k, e si idica co E k, l ammotare di dearo che il debitore ha già versato a titolo di rimborso del capitale. Si può esprimere il debito estito cosiderado le quote capitale già versate fio alla scadeza k-esima E k = C1 + C C k (30) Da tale relazioe si ricava che il debito estito iiziale è ullo, metre il debito estito alla scadeza coicide co l ammotare del prestito S E 0 = 0 (31) E = C1 + C C = S (32) Cooscedo il debito estito ad ua certa scadeza si può otteere il debito estito alla scadeza successiva mediate la regola di aggiorameto E k = Ek + Ck (33) Quota iteresse Sia i il tasso di iteresse riferito all uità temporale presa i cosiderazioe; se ad esempio le epoche di rimborso parziale soo misurate i ai, il tasso i corrispode al tasso auo di iteresse. Alla scadeza di ogi rata k-esima si possoo calcolare gli iteressi commisurati al capitale che a tale scadeza risulta o acora restituito, cioè gli iteressi geerati dal debito residuo, el modo seguete: I k = i Dk (34) Si osservi che qualora le epoche di rimborso siao scadeze geeriche t 1,...,tk,..., t, o ecessariamete equidistati ua dall altra, si dovrao calcolare gli iteressi maturati dal debito residuo i ciascu geerico itervallo ( tk 1, tk ) : t = [(1 ) 1 + k t I k k Dk i ] (35) La relazioe (34) è u caso particolare della (35) posto t k t k = 1 (epoche equidistati) Redazioe del piao di ammortameto Le gradezze fodametali che compaioo ell operazioe di ammortameto, l importo del mutuo (S), le scadeze del rimborso k ( k = 0, 1,..., ), la successioe delle rate di ammortameto (R k ), delle quote capitale (C k ), delle quote iteresse (I k ), del debito residuo (D k ), e del debito estito (E k ), soo orgaizzate solitamete i u prospetto deomiato piao di ammortameto i cui ogi coloa del piao viee itestata ad ua di tali successioi. Ua volta redatto il piao di ammortameto si possoo verificare le relazioi esisteti fra i vari elemeti del piao, le codizioi di chiusura e di equivaleza fiaziaria dell operazioe di ammortameto di u debito.

11 Apputi su redite e ammortameti, pag. 11 epoca rata quota capitale quota iteresse debito residuo debito estito D 0 = S E 0 = 0 1 R 1 C 1 I 1 D 1 E 1 2 R 2 C 2 I 2 D 2 E 2 k R k = Ck + I k C k I k Dk = Dk Ck E k = Ek + Ck R C I D = 0 E = S Esempio Si cotrae u prestito di co durata 5 ai e si cocordado le segueti quote di capitale: alla fie del primo e del terzo ao, alla fie del secodo e del quito ao. Si sa che il tasso di iteresse auo è del 12% i regime di capitalizzazioe composta. Si vuole redigere il piao di ammortameto del mutuo. Si cosiderio i dati del problema: S = ; = 5; i = 0,12; C 1 = C 3 = ; C 2 = C 5 = Il piao di ammortameto del prestito si preseta come segue: k R k C k I k D k E k Per compilarlo si può partire scrivedo elle celle corrispodeti alcui dati del problema (C 1 = 4.500, C 2 = 2.000, C 3 =4.500, C 5 =2.000 ). Ioltre si cooscoo il debito residuo e il debito estito iiziali (D 0 = S = , E 0 = 0). Dalla codizioe di chiusura sulle quote capitale si può ricavare l ammotare della quarta quota capitale, ote le altre e oto l importo del mutuo: C 4 = S ( C1 + C2 + C3 + C5 ) = Ua volta che si cooscoo le cique quote capitale si può trovare la successioe dei debiti residui, impiegado la regola di aggiorameto (29) e la successioe dei debiti estiti, impiegado la regola di aggiorameto (33). Noti i debiti residui i ciascua scadeza k, si possoo poi trovare le quote iteresse I k (k = 0,1,..,5), tramite la relazioe (34). Ifie, ota la coloa delle quote capitale e delle quote iteresse, si può trovare la successioe delle rate. 2.2 Nuda proprietà e usufrutto Durate u operazioe di ammortameto vi può essere la ecessità di valutare gli impegi futuri, cosiderato u certo istate di valutazioe ed u particolare tasso di

12 Apputi su redite e ammortameti, pag. 12 valutazioe. A volte ifatti si stipula u cotratto di ammortameto, ma poi decorso u certo periodo di tempo si può avere la ecessità di rivedere le codizioi del cotratto, oppure di saldare aticipatamete il mutuo, oppure di allugare la durata. I tutti questi casi è utile valutare l impego fiaziario futuro; solitamete la valutazioe viee fatta impiegado u tasso di valutazioe diverso dal tasso di remuerazioe del prestito. Idicata co k ua certa epoca, si defiisce valore del prestito all epoca k (chiamato ache corso dell operazioe fiaziaria) il valore attuale i k delle rate acora da corrispodere, calcolato i base ad u geerico tasso di valutazioe x: ( k) Wk ( x) = Rk + 1 (1 + x) + Rk + 2(1 + x) R (1 + x) (36) Si defiisce uda proprietà del prestito all epoca k il valore attuale i k delle quote capitale acora da corrispodere, calcolato i base al tasso di valutazioe x ( k) Pk ( x) = Ck + 1 (1 + x) + Ck + 2(1 + x) C (1 + x) (37) Ifie, si defiisce usufrutto del prestito all epoca k il valore attuale i k delle quote iteresse acora da corrispodere, calcolato i base al tasso di valutazioe x ( k) U k ( x) = Ik + 1 (1 + x) + I k + 2 (1 + x) I (1 + x) (38) Dalle defiizioi date e utilizzado la proprietà di decomposizioe della rata di ammortameto elle sue compoeti (quota capitale e quota iteresse), segue che il valore del prestito ad ua certa epoca k, valutato i base ad u dato tasso di valutazioe, o è altro che la somma della uda proprietà e dell usufrutto del prestito Wk ( x) = Pk ( x) + U k ( x) (39) Si osservi che il calcolo del valore del prestito, della uda proprietà e dell usufrutto può ache essere effettuato adottado u regime diverso da quello solitamete impiegato della capitalizzazioe composta; ioltre, tali gradezze possoo essere riferite ad u geerico istate s che o coicide co alcua delle scadeze di rimborso del piao. I questi casi si dovrao riformulare le relazioi (36)-(37)-(38) i modo che siao i grado di rappresetare il caso cosiderato Esempio Si cosideri l esempio del paragrafo precedete dell ammortameto di u mutuo di da ammortizzarsi i cique ai. Si vuole calcolare la valutazioe del prestito, la uda proprietà e l usufrutto, dopo aver corrisposto le prime due rate, impiegado u tasso di valutazioe del 15%. Posto k = 2, x = 0,15, si può calcolare dapprima la uda proprietà P 2 (0,15) e l usufrutto U 2 (0,15) impiegado la (37) e la (38): 3 P 2 (0,15) = 4.500(1 + 0,15) (1 + 0,15) (1 + 0,15) = 9.008,79 3 U 2 (0,15) = 1.380(1 + 0,15) + 840(1 + 0,15) + 240(1 + 0,15) = 1.992,97 Poi, tramite la (39), si calcola la valutazioe del prestito W 2 ( 0,15) = P2 (0,15) + U2(0,15) = , Ammortameto co quote di capitale costate U particolare metodo di ammortameto prevede il pagameto, da parte del debitore, di quote capitale tutte uguali ad u comue importo C.

13 Apputi su redite e ammortameti, pag. 13 C1 = C2 =... = C = C (40) Tale tipo di ammortameto è ache chiamato metodo italiao o metodo uiforme. Se si coosce l ammotare del prestito S si può ricavare immediatamete l ammotare della quota capitale costate da versare alla fie di ciascua scadeza pattuita; ciò si ottiee utilizzado la codizioe di chiusura sulle quote capitale: S (41) C1 + C C = S C = S C = Si può mostrare come i tale tipo di ammortameto le quote di debito residuo, le quote iteresse e le rate di ammortameto siao decresceti i progressioe aritmetica Debito residuo Dalla codizioe (29) di aggiorameto del debito residuo, essedo la quota capitale costate i ciascua scadeza k-esima ( C k = C k), si ottiee la relazioe Dk Dk 1 = C k =1,2,..., (42) ciò sigifica che la differeza fra il debito residuo ad ua certa scadeza e il debito residuo alla scadeza precedete è costate ed è uguale a C, che rappreseta la ragioe della progressioe aritmetica Quota iteresse Si cosideri la quota iteresse all epoca k+1, calcolata sulla base del debito residuo alla scadeza precedete Ik +1 = i D k (43) dalla relazioe (42) si può scrivere il debito residuo alla scadeza k come: Dk = Dk C (44) per cui sostituedo i (43) si ottiee Ik + 1 = i( Dk C) = idk ic (45) ed essedo id k = Ik, si ottiee Ik + 1 = Ik ic Ik + 1 Ik = ic (46) il che sigifica che le quote iteresse si presetao i progressioe aritmetica decrescete, co ragioe ic Rata di ammortameto I modo aalogo si può dimostrare che ache le rate di ammortameto si presetao i progressioe aritmetica decrescete, co ragioe ic, cioè Rk +1 Rk = ic (47) Ifatti si può far vedere che la differeza fra le rate di ammortameto i due scadeze successive coicide co la differeza fra le quote iteresse i due scadeze successive, la quale a sua volta è uguale a ic, per la (46). Ifatti si possoo esprimere le rate di ammortameto alle scadeze k e k+1, come somma delle quote capitale (costati) e delle quote iteresse: R k = C + I k e R k + 1 = C + Ik + 1 da cui Rk + 1 Rk = C + Ik + 1 C Ik = Ik + 1 Ik

14 Apputi su redite e ammortameti, pag Esempio Si vuole ammortizzare, co il metodo italiao, al tasso di iteresse del 10% auo, i 5 ai. Il piao di ammortameto si preseta come segue k R k C k I k D k E k I primo luogo si può calcolare l ammotare della quota capitale da pagare alla fie di ciascu ao C = C = = ciò cosete di riempire immediatamete la coloa itestata alla quota capitale. Successivamete, sfruttado la relazioe di aggiorameto del debito residuo ( Dk = Dk C, co D 0 = S = ) si può riempire la coloa itestata al debito residuo; si ota apputo come le quote D k siao i progressioe aritmetica decrescete di ragioe 200. Ua volta oto il debito residuo i ciascua scadeza, si possoo calcolare le quote iteresse, che sarao decresceti i progressioe aritmetica di ragioe ic = -20 e le rate di ammortameto come somma delle quote capitale e delle quote iteresse. 2.4 Ammortameto a rate costati U altro particolare metodo per ammortizzare u prestito prevede rate di ammortameto tutte uguali ad u comue importo R, i ciascua scadeza cosiderata R1 = R2 =... = R = R (48) Tale tipo di ammortameto è ache chiamato metodo fracese o metodo progressivo i seso stretto. I questo caso la codizioe di equivaleza fiaziaria impoe che l importo del prestito S deve coicidere co il valore attuale calcolato al tempo iiziale 0 della redita a rata costate R, cioè, ricordado la formula (4) del capitolo dedicato alle redite v S = R 1 (49) i Se si coosce l ammotare del prestito S, il umero delle rate ed il tasso di iteresse i, si può ricavare immediatamete l ammotare della rata di ammortameto da versare alla fie di ciascua scadeza pattuita i R = S (50) 1 v Ua caratteristica di tale metodo di ammortameto è che le quote capitale C k soo cresceti i progressioe geometrica (da cui il termie metodo d ammortameto progressivo). Ifatti a partire dalle relazioi: R = Rk = Ik + Ck = i Dk + Ck

15 Apputi su redite e ammortameti, pag. 15 R = Rk + 1 = Ik Ck + 1 = i Dk + Ck + 1 = i( Dk Ck ) + Ck + 1 essedo il primo membro uguale ad R per etrambe le equazioi, si possoo uguagliare i secodi membri e si ottiee: i Dk 1 + Ck = i Dk i Ck + Ck + 1 Ck + 1 = (1 + i) Ck il che sigifica che il rapporto fra la quota capitale ad ua certa scadeza e quella alla scadeza precedete è costate ed è uguale ad (1+i), che rappreseta la ragioe della progressioe Esempio Si vuole costruire il piao di ammortameto di u prestito di da restituire i quattro rate costati auali al tasso di iteresse auo i = 0,06. Il piao di ammortameto completo del debito si preseta come segue: k R k C k I k D k E k , , , , , ,15 925, , , , ,90 634, , , , ,12 326, I primo luogo si può calcolare l ammotare della rata di ammortameto, i base alla relazioe (50): (0,06) R = 5.771,83 4 (1 + 0,06) = Calcolata R e riempita l itera coloa itestata alla rata, si possoo calcolare le altre gradezze del piao, calcolado per ciascua scadeza k-esima (k = 1,,4) la quota iteresse I k = i Dk, la quota capitale Ck = Rk Ik e il debito residuo Dk = Dk Ck. Si osservi che le quote capitale crescoo i progressioe geometrica di ragioe 1,06.

L ammortamento dei prestiti. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08

L ammortamento dei prestiti. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 L ammortameto dei prestiti. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8 Prestiti idivisi Operazioi fiaziarie co due cotraeti mutuate o creditore: presta u capitale mutuatario o debitore: si impega a restituire

Dettagli

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA INTRODUZIONE Apputi sulla ATEATIA FINANZIARIA La matematica fiaziaria si occupa delle operazioi fiaziarie. Per operazioe fiaziaria si itede quella operazioe ella quale avviee uo scambio di capitali, itesi

Dettagli

Università degli Studi La Sapienza. Facoltà di Economia. Anno accademico 2012-13. Matematica Finanziaria Canale D - K

Università degli Studi La Sapienza. Facoltà di Economia. Anno accademico 2012-13. Matematica Finanziaria Canale D - K 1 Matematica Fiaziaria Uiversità degli Studi La Sapieza Facoltà di Ecoomia Ao accademico 212-13 Matematica Fiaziaria Caale D - K Capitolo 3 Ammortameto di prestiti idivisi Atoio Aibali Atoio Aibali a.a.

Dettagli

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R.

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R. 70 Capitolo Terzo i cui α i rappreseta la rata di ammortameto del debito di u capitale uitario. Si tratta di risolvere u equazioe lieare ell icogita R. SIANO NOTI IL MONTANTE IL TASSO E IL NUMERO DELLE

Dettagli

Elementi di matematica finanziaria

Elementi di matematica finanziaria Elemeti di matematica fiaziaria 18.X.2005 La matematica fiaziaria e l estimo Nell ambito di umerosi procedimeti di stima si rede ecessario operare co valori che presetao scadeze temporali differeziate

Dettagli

Interesse e formule relative.

Interesse e formule relative. Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Iteresse e formule relative Esercizio Determiare quale somma sarà dispoibile fra 7 ai ivestedo oggi 0000 ad u tasso auale semplice del 5% Soluzioe Il diagramma del

Dettagli

La matematica finanziaria

La matematica finanziaria La matematica fiaziaria La matematica fiaziaria forisce gli strumeti ecessari per cofrotare fatti fiaziari che avvegoo i mometi diversi Esempio: Come posso cofrotare i ricavi e i costi legati all acquisto

Dettagli

Selezione avversa e razionamento del credito

Selezione avversa e razionamento del credito Selezioe avversa e razioameto del credito Massimo A. De Fracesco Dipartimeto di Ecoomia politica e statistica, Uiversità di Siea May 3, 013 1 Itroduzioe I questa lezioe presetiamo u semplice modello del

Dettagli

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6 SUCCESSIONI Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La serie

Dettagli

Campi vettoriali conservativi e solenoidali

Campi vettoriali conservativi e solenoidali Campi vettoriali coservativi e soleoidali Sia (x,y,z) u campo vettoriale defiito i ua regioe di spazio Ω, e sia u cammio, di estremi A e B, defiito i Ω. Sia r (u) ua parametrizzazioe di, fuzioe della variabile

Dettagli

Matematica Finanziaria

Matematica Finanziaria Corso di Matematica Fiaziaria a.a. 202/203 Testo a cura del Prof. Sergio Biachi Programma Operazioi fiaziarie i codizioi di certezza L operazioe fiaziaria elemetare Operazioi a proti e a termie Regimi

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1)

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) I umeri aturali hao u ordie; ogi umero aturale ha u successivo (otteuto aggiugedo 1), e ogi umero aturale diverso da zero ha u precedete (otteuto sottraedo 1).

Dettagli

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento Modelli multiperiodali discreti Cosideriamo ora modelli discreti cioè co u umero fiito di stati del modo multiperiodali, cioè apputo co più periodi. Il prototipo di questa classe di modelli è il modello

Dettagli

Estimo rurale appunti 2005. Estimo rurale

Estimo rurale appunti 2005. Estimo rurale Estimo rurale apputi 2005 Estimo rurale L estimo rurale rietra ell ambito delle disciplie ecoomiche, ma metre l ecoomia si occupa della coosceza della realtà, esso si occupa della valutazioe dei bei. Compito

Dettagli

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni Capitolo 8 Le fuzioi e le successioi Prof. A. Fasao Fuzioe, domiio e codomiio Defiizioe Si chiama fuzioe o applicazioe dall isieme A all isieme B ua relazioe che fa corrispodere ad ogi elemeto di A u solo

Dettagli

Matematica Finanziaria

Matematica Finanziaria Corso di Matematica Fiaziaria a.a. 202/203 Testo a cura del Prof. Sergio Biachi Programma Operazioi fiaziarie i codizioi di certezza L operazioe fiaziaria elemetare Operazioi a proti e a termie Regimi

Dettagli

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA

Dettagli

APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE. (tratti da A. MONTE Elementi di Impianti Industriali Cortina)

APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE. (tratti da A. MONTE Elementi di Impianti Industriali Cortina) ITIS OMAR Dipartimeto di Meccaica APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE (tratti da A. MONTE Elemeti di Impiati Idustriali Cortia) Si defiisce iteresse il dearo pagato per l'uso di u capitale otteuto i prestito

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie umeriche e serie di poteze Sommare u umero fiito di umeri reali è seza dubbio u operazioe che o può riservare molte sorprese Cosa succede però se e sommiamo u umero ifiito? Prima di dare delle defiizioi

Dettagli

CONCETTI BASE DI STATISTICA

CONCETTI BASE DI STATISTICA CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabilità U umero reale compreso tra 0 e, associato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relativa o col grado di credibilità co cui u eveto

Dettagli

Analisi statistica dell Output

Analisi statistica dell Output Aalisi statistica dell Output IL Simulatore è u adeguata rappresetazioe della Realtà! E adesso? Come va iterpretato l Output? Quado le Osservazioi soo sigificative? Quati Ru del Simulatore è corretto effettuare?

Dettagli

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 6 Questioario Quesito Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è

Dettagli

BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO. Diritti reali: usufrutto CORSO PRATICANTI 2015

BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO. Diritti reali: usufrutto CORSO PRATICANTI 2015 BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO Diritti reali: usufrutto CORSO PRATICANTI 2015 Usufrutto L'usufrutto è il diritto di godimeto da parte di ua persoa detta USUFRUTTUARIO di u bee altrui; il proprietario del bee

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Ua fuzioe reale di ua variabile reale f di domiio A è ua legge che ad ogi x A associa u umero reale che deotiamo co f(x). Se A = N, la f è detta successioe di umeri reali. Se co si

Dettagli

Stima di un immobile a destinazione alberghiera APPROFONDIMENTI

Stima di un immobile a destinazione alberghiera APPROFONDIMENTI APPROFONDIMENTI www.shutterstock.com/vladitto Stima di u immobile a destiazioe alberghiera di Maria Ciua (Ricercatore di Estimo Facoltà di Igegeria dell Uiversità di Palermo) I geere ell expertise immobiliare

Dettagli

Matematica finanziaria

Matematica finanziaria C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Materiale didattico Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Matematica fiaziaria A cura di Fracesco

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito

Dettagli

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo

Dettagli

Sintassi dello studio di funzione

Sintassi dello studio di funzione Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe:

Dettagli

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE Lezioi di Matematia per

Dettagli

STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA

STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA aa 2009-2010 Operazioi statistiche elemetari Spesso ci si preseta il problema del cofroto tra dati Ad esempio, possiamo voler cofrotare feomei [ecoomici]

Dettagli

8. Quale pesa di più?

8. Quale pesa di più? 8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora

Dettagli

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Defiire lo strumeto matematico ce cosete di studiare la cresceza e la decresceza di ua fuzioe Si comicia col defiire cosa vuol dire ce ua fuzioe è crescete. Defiizioe:

Dettagli

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006 Terzo appello del primo modulo di ANALISI 18.7.26 1. Si voglioo ifilare su u filo delle perle distiguibili tra loro solo i base alla dimesioe: si hao a disposizioe perle gradi di diametro di 2 cetimetri

Dettagli

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13

Statistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13 Statistica di base Luca Mari, versioe 31.12.13 Coteuti Moda...1 Distribuzioi cumulate...2 Mediaa, quartili, percetili...3 Sigificatività empirica degli idici ordiali...3 Media...4 Acora sulla media...4

Dettagli

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15 Corso di Laurea Magistrale i Igegeria Iformatica A.A. 014/15 Complemeti di Probabilità e Statistica Prova scritta del del 3-0-15 Puteggi: 1. 3+3+4;. +3 ; 3. 1.5 5 ; 4. 1 + 1 + 1 + 1 + 3.5. Totale = 30.

Dettagli

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1 SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X = N:

Dettagli

INVENTORY CONTROL. Ing. Lorenzo Tiacci

INVENTORY CONTROL. Ing. Lorenzo Tiacci INVENTORY CONTRO Ig. orezo Tiacci Testo di riferimeto: Ivetory Maagemet ad Productio Plaig ad Cotrol - Third Ed. E.A. Silver, D.F. Pyke, R. Peterso Wiley, 998 Idice. POITICA (s, ) (order poit, order quatity)

Dettagli

I appello - 29 Giugno 2007

I appello - 29 Giugno 2007 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 I appello - 9 Giugo 7 ) Studiare la covergeza putuale e uiforme della seguete successioe di fuzioi: [ ( )] f (x) = cos (

Dettagli

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri Prerequisiti: Aelli Spazi vettoriali Sia A u aello commutativo uitario PARTE QUARTA Teoria algebrica dei umeri Lezioe 7 Cei sui moduli Defiizioe 7 Si dice modulo (siistro) su A (o semplicemete, A-modulo)

Dettagli

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni Foglio di esercizi N. - Soluzioi. Determiare il domiio della fuzioe f) = log 3 + log 3 3)). Deve essere + log 3 3) > 0, ovvero log 3 3) >, ovvero prededo l espoeziale i base 3 di etrambi i membri) 3 >

Dettagli

CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE

CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE 5.. Itroduzioe La Teoria della Similitudie ha pricipalmete due utilizzi: Estedere i risultati otteuti testado ua sigola macchia ad altre codizioi operative o a ua famiglia

Dettagli

ARGOMENTI Scopi e caratteristiche dello strumento Tipologie di mutui Il mercato secondario e il ruolo svolto nella crisi finanziaria

ARGOMENTI Scopi e caratteristiche dello strumento Tipologie di mutui Il mercato secondario e il ruolo svolto nella crisi finanziaria MERCATO DEI MUTUI A.A. 2015/2016 Prof. Alberto Dreassi adreassi@uits.it DEAMS Uiversità di Trieste ARGOMENTI Scopi e caratteristiche dello strumeto Tipologie di mutui Il mercato secodario e il ruolo svolto

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 006 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PRBLEMA U filo metallico di lughezza l viee utilizzato

Dettagli

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln

5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln DOMINIO FUNZIONE Determiare il domiio della fuzioe f = l e e + e + e Deve essere e e + e + e >, posto e = t si ha t e + t + e = per t = e e per t = / Il campo di esisteza è:, l, + Determiare il domiio

Dettagli

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia)

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia) Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea December 18, 2013 1 ichiami su utilità attesa e avversioe al rischio Prima di cosiderare il

Dettagli

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014)

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014) Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia per maager. Prima versioe, marzo 2013; versioe aggiorata, marzo 2014) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea March 14, 2014 1 Prezzo

Dettagli

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI I cocetti di successioe e di serie possoo essere estesi i modo molto aturale al caso delle fuzioi DEFINIZIONE Sia E u sottoisieme di  e, per ogi

Dettagli

Le carte di controllo

Le carte di controllo Le carte di cotrollo Dott.ssa Bruella Caroleo 07 dicembre 007 Variabilità ei processi produttivi Le caratteristiche di qualsiasi processo produttivo soo caratterizzate da variabilità Le cause di variabilità

Dettagli

Campionamento stratificato. Esempio

Campionamento stratificato. Esempio ez. 3 8/0/05 Metodi Statiici per il Marketig - F. Bartolucci Uiversità di Urbio Campioameto ratificato Ua tecica molto diffusa per sfruttare l iformazioe coteuta i ua variabile ausiliaria (o evetualmete

Dettagli

Random walk classico. Simulazione di un random walk

Random walk classico. Simulazione di un random walk Radom walk classico Il radom walk classico) è il processo stocastico defiito da co prob. S = S0 X k, co X k = k= co prob. e le X soo tra di loro idipedeti. k Si tratta di u processo a icremeti idipedeti

Dettagli

Cenni di Teoria delle assicurazioni

Cenni di Teoria delle assicurazioni ei di Teoria dee assicurazioi Vautazioe di acue fore basiari di assicurazioi sua ita Probea di autazioe di ua redita di durata aeatoria Necessità di espriere a probabiità di sopraieza di u idiiduo: Fuzioi

Dettagli

Economia Internazionale - Soluzioni alla IV Esercitazione

Economia Internazionale - Soluzioni alla IV Esercitazione Ecoomia Iterazioale - Soluzioi alla IV Esercitazioe 25/03/5 Esercizio a) Cosa soo le ecoomie di scala? Come cambia la curva di oerta i preseza di ecoomie di scala? Perchè queste oroo u icetivo al commercio

Dettagli

1. Considerazioni generali

1. Considerazioni generali . osiderazioi geerali Il processaeto di ob su acchie parallele è iportate sia dal puto di vista teorico che pratico. Dal puto di vista teorico questo caso è ua geeralizzazioe dello schedulig su acchia

Dettagli

Complessità Computazionale

Complessità Computazionale Uiversità degli studi di Messia Facoltà di Igegeria Corso di Laurea i Igegeria Iformatica e delle Telecomuicazioi Fodameti di Iformatica II Prof. D. Brueo Complessità Computazioale La Nozioe di Algoritmo

Dettagli

Indici COMIT Metodologia di calcolo

Indici COMIT Metodologia di calcolo Il presete documeto riassume le regole fodametali per il calcolo e la gestioe degli idici elaborati da Itesa Sapaolo per l itero Mercato Telematico Azioario italiao (MTA) ed il vecchio Nuovo Mercato. Gli

Dettagli

STIMA DEL FONDO RUSTCO

STIMA DEL FONDO RUSTCO STIMA DEL FONDO RUSTCO 1) Quali soo gli aspetti ecoomici che possoo essere presi i cosiderazioe ella stima dei fodi rustici? La stima di u fodo rustico può essere fatta applicado i segueti aspetti ecoomici:

Dettagli

, l'insieme dei numeri interi relativi: 0, 1, 1, 2, 2, infinito. m dove m e n sono elementi di. Le frazioni hanno tre

, l'insieme dei numeri interi relativi: 0, 1, 1, 2, 2, infinito. m dove m e n sono elementi di. Le frazioni hanno tre Uiversità Boccoi. Ao accademico 00 00 Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi email: fabrizio.iozzi@ui-boccoi.it Lezioi / Gli isiemi umerici Gli isiemi umerici co i quali lavoreremo soo:, l'isieme

Dettagli

Tutti i diritti di sfruttamento economico dell opera appartengono alla Esselibri S.p.A. (art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30)

Tutti i diritti di sfruttamento economico dell opera appartengono alla Esselibri S.p.A. (art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30) Copyright 2005 Esselibri S.p.A. Via F. Russo, 33/D 8023 Napoli Azieda co sistema qualità certificato ISO 400: 2003 Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzioe ache parziale e co qualsiasi mezzo

Dettagli

Matematica Attuariale. Contratto di assicurazione

Matematica Attuariale. Contratto di assicurazione Matematica Attuariae La matematica attuariae studia a determiazioe dei premi assicurativi i fuzioe di determiati eveti che possoo verificarsi i reazioe a cotratti assicurativi. Cotratto di assicurazioe

Dettagli

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere Eserciio 1 7 puti. Dato il campo vettoriale v, + 1,, i si determii ua fuioe f > i modo tale che il campo vettoriale f v sia irrotaioale, cioè abbia le derivate icrociate uguali; ii si spieghi se i risultati

Dettagli

Esercitazione 2 Progetto e realizzazione di un semplice sintetizzatore musicale basato su FPGA

Esercitazione 2 Progetto e realizzazione di un semplice sintetizzatore musicale basato su FPGA Architetture dei sistemi itegrati digitali Alessadro Bogliolo Esercitazioe 2 Progetto e realizzazioe di u semplice sitetizzatore musicale basato su FPGA (A) Defiizioe della specifica ed esperimeti prelimiari

Dettagli

Distribuzioni di probabilità Unità 79

Distribuzioni di probabilità Unità 79 Prerequisiti: - Primi elemeti di probabilità e statistica. - Nozioi di calcolo combiatorio. - Rappresetazioe di puti e rette i u piao cartesiao. Questa uità iteressa tutte le scuole ad eccezioe del Liceo

Dettagli

1 Metodo della massima verosimiglianza

1 Metodo della massima verosimiglianza Metodo della massima verosimigliaza Estraedo u campioe costituito da variabili casuali X i i.i.d. da ua popolazioe X co fuzioe di probabilità/desità f(x, θ), si costruisce la fuzioe di verosimigliaza che

Dettagli

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI E u problema di ifereza per molti aspetti collegato a quello della stima. Rispode ad u esigeza di carattere pratico che spesso si preseta i molti campi dell attività

Dettagli

Introduzione: definizione di investimento... 2 Principali tipi di investimenti... 3 Problemi decisionali... 3 Cenni alla metrica dei flussi di

Introduzione: definizione di investimento... 2 Principali tipi di investimenti... 3 Problemi decisionali... 3 Cenni alla metrica dei flussi di Apputi di Ecoomia Capitolo 9 Aalisi degli ivestimeti Itroduzioe: defiizioe di ivestimeto... 2 Pricipali tipi di ivestimeti... 3 Problemi decisioali... 3 Cei alla metrica dei flussi di cassa... 4 Defiizioe

Dettagli

Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni

Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni. Problemi di Scheduling Definizioni Problemi di Schedulig Defiizioi I problemi di schedulig soo caratterizzati da tre isiemi: Attività (Task) T {T,T 2, T } macchie (Machies) P {P,P 2, P m } Risorse R {R,R 2, R s } Schedulig: assegare m Macchie

Dettagli

Capitolo uno STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA

Capitolo uno STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA Capitolo uo STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA La statistica bidimesioale o bivariata si occupa dello studio del grado di dipedeza di due caratteri distiti della stessa uità statistica. E possibile, ad esempio,

Dettagli

Approfondimenti di statistica e geostatistica

Approfondimenti di statistica e geostatistica Approfodimeti di statistica e geostatistica APAT Agezia per la Protezioe dell Ambiete e per i Servizi Tecici Cos è la geostatistica? Applicazioe dell aalisi di Rischio ai siti Cotamiati Geostatistica La

Dettagli

Soluzione del tema di Informatica Progetto Mercurio Esame di Stato AS 2010-2011 1 Prof. Mauro De Berardis Itis Teramo Mercurio 2011 Prova scritta di

Soluzione del tema di Informatica Progetto Mercurio Esame di Stato AS 2010-2011 1 Prof. Mauro De Berardis Itis Teramo Mercurio 2011 Prova scritta di Soluzioe del tema di Iformatica Progetto Mercurio Esame di Stato AS 2010-2011 1 Sessioe ordiaria Esame di Stato 2011 Tema di Iformatica - Progetto: Mercurio Soluzioe proposta da: Co il termie Web 2.0 si

Dettagli

Complementi di Matematica e Statistica

Complementi di Matematica e Statistica Uiversità di Bologa Sede di Forlì Ao Accademico 009-00 Complemeti di Matematica e Statistica (Alessadro Lubisco) Aalisi delle compoeti pricipali INDICE Idice... i Aalisi delle compoeti pricipali... Premessa...

Dettagli

Analisi Fattoriale Discriminante

Analisi Fattoriale Discriminante Aalisi Fattoriale Discrimiate Bibliografia Lucidi (materiale reperibile via Iteret) Lauro C.N. Uiversità di Napoli Gherghi M. Uiversità di Napoli D Ambra L. Uiversità di Napoli Keeth M. Portier Uiversity

Dettagli

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica ELT A-Z Docete: dott. F. Zucca Esercitazioe # 4 1 Distribuzioe Espoeziale Esercizio 1 Suppoiamo che la durata della vita di ogi membro di

Dettagli

Metodi Iterativi Generalità e convergenza Metodi di base Cenni sui metodi basati sul gradiente Cenni sui metodi multigriglia

Metodi Iterativi Generalità e convergenza Metodi di base Cenni sui metodi basati sul gradiente Cenni sui metodi multigriglia Itroduzioe Metodi diretti Elimiazioe di Gauss Decomposizioe LU Casi particolari Metodi Iterativi Geeralità e covergeza Metodi di base Cei sui metodi basati sul gradiete Cei sui metodi multigriglia 1 Itroduzioe

Dettagli

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio Radicali Per itrodurre il cocetto di radicali che già avete icotrato alle medie quado avete imparato a calcolare la radice quadrata e cubica dei umeri iteri, abbiamo bisogo di rivedere il cocetto di uzioe

Dettagli

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag.

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag. SERIE NUMERICHE (Cosimo De Mitri. Defiizioe, esempi e primi risultati... pag.. Criteri per serie a termii positivi... pag. 4 3. Covergeza assoluta e criteri per serie a termii di sego qualsiasi... pag.

Dettagli

Capitolo 2 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

Capitolo 2 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE (Note didattiche) Bruo Chiadotto Fabrizio Cipollii Capitolo CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Il calcolo delle probabilità, ato el cotesto dei giochi d azzardo si è sviluppato

Dettagli

CAPITOLO UNDICESIMO VARIABILI CASUALI 1. INTRODUZIONE

CAPITOLO UNDICESIMO VARIABILI CASUALI 1. INTRODUZIONE CAPITOLO UNDICESIMO VARIABILI CASUALI SOMMARIO:. Itroduzioe. -. Variabili casuali discrete. - 3. La variabile casuale di Beroulli. - 4. La variabile casuale biomiale. -. La variabile casuale di Poisso.

Dettagli

ESERCIZI DI ANALISI I. Prof. Nicola Fusco 1. Determinare l insieme in cui sono definite le seguenti funzioni:

ESERCIZI DI ANALISI I. Prof. Nicola Fusco 1. Determinare l insieme in cui sono definite le seguenti funzioni: N. Fusco ESERCIZI DI ANALISI I Prof. Nicola Fusco Determiare l isieme i cui soo defiite le segueti fuzioi: ) log/ arctg π ) 4 ) log π 6 arcse ) ) tg log π + ) 4) 4 se se se tg 5) se cos tg 6) [ 6 + 8 π

Dettagli

Il confronto tra DUE campioni indipendenti

Il confronto tra DUE campioni indipendenti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Cofroto tra due medie I questi casi siamo iteressati a cofrotare il valore medio di due camioi i cui i le osservazioi i u camioe soo

Dettagli

Università degli Studi di Bologna. Appunti del corso di Analisi Matematica Anno Accademico 2013 2014. prof. Daniele Ritelli

Università degli Studi di Bologna. Appunti del corso di Analisi Matematica Anno Accademico 2013 2014. prof. Daniele Ritelli Uiversità degli Studi di Bologa Scuola di Ecoomia Maagemet e Statistica Corso di Laurea i Scieze Statistiche Apputi del corso di Aalisi Matematica Ao Accademico 03 04 f b y prof. Daiele Ritelli f a a b

Dettagli

Medici Specialisti e Odontoiatri

Medici Specialisti e Odontoiatri ALLEGATO B BOLLO 16,00 P A R T E P R I M A DOMANDA DI INCLUSIONE NELLA GRADUATORIA art. 21 dell Accordo Collettivo Nazioale per la disciplia dei rapporti co i Medici specialisti ambulatoriali, Medici Veteriari

Dettagli

Supponiamo, ad esempio, di voler risolvere il seguente problema: in quanti modi quattro persone possono sedersi l una accanto all altra?

Supponiamo, ad esempio, di voler risolvere il seguente problema: in quanti modi quattro persone possono sedersi l una accanto all altra? CALCOLO COMBINATORIO 1.1 Necessità del calcolo combiatorio Accade spesso di dover risolvere problemi dall'appareza molto semplice, ma che richiedoo calcoli lughi e oiosi per riuscire a trovare delle coclusioi

Dettagli

STRUMENTI MATEMATICI PER LE SCELTE ECONOMICHE. [brevi appunti di testo in bozza] 1) Scelta tra progetti economico-finanziari (generalità)

STRUMENTI MATEMATICI PER LE SCELTE ECONOMICHE. [brevi appunti di testo in bozza] 1) Scelta tra progetti economico-finanziari (generalità) UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PAVIA Dipartieto di Scieze Ecooiche e Aziedali Via S. Felice, 7-271 Pavia Tel. 382/986268 - Fax 382/22486 STRUMENTI MATEMATICI PER LE SCELTE ECONOMICHE. [brevi apputi di testo

Dettagli

Serie numeriche. Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. A.A. 2007/08

Serie numeriche. Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. A.A. 2007/08 Serie umeriche Lorezo Pisai Facoltà di Scieze Mm.Ff.N. A.A. 2007/08 Il problema di sommare i iti addedi è uo dei problemi classici dell aalisi matematica. Azi si tratta di u problema che ell atichità ha

Dettagli

PARAMETRI DEL MOTO SISMICO

PARAMETRI DEL MOTO SISMICO PARAMETRI DEL MOTO SISMICO Attività microsismica: caratterizzata da vibrazioi di debole ampiezza e periodi molto gradi tali da o essere percepiti dai più comui strumeti di registrazioe (importate soprattutto

Dettagli

Distribuzione di un carattere

Distribuzione di un carattere Distribuzioe di u carattere Dopo le fasi di acquisizioe e di registrazioe dei dati, si passa al loro cotrollo e quidi alle loro elaborazioe. Si defiisce distribuzioe uitaria semplice di u carattere l elecazioe

Dettagli

METODO DELLE PIOGGE PER IL CALCOLO DEI VOLUMI DI INVASO PER L INVARIANZA IDRAULICA

METODO DELLE PIOGGE PER IL CALCOLO DEI VOLUMI DI INVASO PER L INVARIANZA IDRAULICA METODO DELLE PIOGGE PER IL CALCOLO DEI OLUMI DI INASO PER L INARIANZA IDRAULICA 1. Premessa I queste brevi ote si preseta il metodo semplificato delle piogge illustradoe l implemetazioe i u foglio di calcolo

Dettagli

Metodi statistici per l analisi dei dati

Metodi statistici per l analisi dei dati Metodi statistici per l aalisi dei dati due ttameti Motivazioi ttameti Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ttameti) per cui soo stati codotti gli esperimeti. due ttameti Esempio itroduttivo

Dettagli

FONDO EUROPEO DI SVILUPPO REGIONALE. nuove iniziative d impresa

FONDO EUROPEO DI SVILUPPO REGIONALE. nuove iniziative d impresa regioe puglia il lavoro e l iovazioe PO FESR 2007-2013 Asse VI Azioe 6.1.5. idi uove iiziative d impresa Regioe Puglia cosa trovo i questa scheda? Questa scheda cotiee alcue iformazioi sulla Misura Nidi

Dettagli

Demand-Side Management in a Smart Micro-Grid: A Distributed Approach Based on Bayesian Game Theory

Demand-Side Management in a Smart Micro-Grid: A Distributed Approach Based on Bayesian Game Theory Demad-Side Maagemet i a Smart Micro-Grid: A Distributed Approach Based o Bayesia Game Theory Matteo Sola e Giorgio M. Vitetta Dipartimeto di Igegeria Ezo Ferrari Uiversità degli Studi di Modea e Reggio

Dettagli

STIMA DEI DANNI 1) Che cosa si intende per danno economico?

STIMA DEI DANNI 1) Che cosa si intende per danno economico? STIMA DEI DANNI 1) Che cosa si itede per dao ecoomico? Per dao ecoomico si itede la perdita o la dimiuzioe di valore che u bee subisce a seguito di u siistro ( eveto o prevedibile) o da u fatto doloso

Dettagli

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa I umeri complessi Pagie tratte da Elemeti della teoria delle fuzioi olomorfe di ua variabile complessa di G. Vergara Caffarelli, P. Loreti, L. Giacomelli Dipartimeto di Metodi e Modelli Matematici per

Dettagli

Modelli e strumenti di calcolo attuariale per la previdenza

Modelli e strumenti di calcolo attuariale per la previdenza Modelli e strumeti di calcolo attuariale per la prevideza Fabio Grasso Dipartimeto di Scieze Statistiche Uiversità degli Studi di Roma La Sapieza Abstract Lo sviluppo dei fodi pesioe, i cosegueza dei provvedimeti

Dettagli

2.1. CONSIDERAZIONI GENERALI SULLA TEORIA DEL METODO AGLI ELEMENTI FINITI PER LA SIMULAZIONE DEI PROCESSI DI LAMIERA

2.1. CONSIDERAZIONI GENERALI SULLA TEORIA DEL METODO AGLI ELEMENTI FINITI PER LA SIMULAZIONE DEI PROCESSI DI LAMIERA Politecico di Torio Sistemi di Produzioe... CONSIDERAZIONI GENERALI SULLA TEORIA DEL METODO AGLI ELEMENTI FINITI PER LA SIMULAZIONE DEI PROCESSI DI LAMIERA... Equazioe di govero Negli ultimi ai il metodo

Dettagli

Capitolo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE

Capitolo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE Capitoo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE 3.1 LA TEORIA DI WEIBULL I comportameto meccaico dee fibre di giestra e di juta è stato caratterizzato mediate o studio dea resisteza a trazioe dee fibre

Dettagli

DOMINGO PAOLA. Indici sintetici statistici per variabili quantitative: le medie

DOMINGO PAOLA. Indici sintetici statistici per variabili quantitative: le medie DOMINGO PAOLA Idici sitetici statistici per variabili quatitative: le medie Nelle distribuzioi di variabili quatitative (per oi tabelle elle quali compaioo ella prima coloa misure di gradezze e ella secoda

Dettagli

IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazione di Gras

IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazione di Gras IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazioe di Gras Date due variabili biarie a e b, i quale misura posso assicurare che i ua popolazioe da ogi osservazioe di a segue ecessariamete quella di b? E

Dettagli

Metodi statistici per l'analisi dei dati

Metodi statistici per l'analisi dei dati Metodi statistici per l aalisi dei dati due Motivazioi Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ) per cui soo stati codotti gli esperimeti. Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due Esempio

Dettagli

Elementi di calcolo delle probabilità

Elementi di calcolo delle probabilità 1 Elemeti di calcolo delle probabilità 5 1. Itroduzioe La statistica è ua scieza, strumetale ad altre, cocerete la determiazioe dei metodi scietifici da seguire per raccogliere, elaborare e valutare i

Dettagli