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1 Indice 1 I tassi di interesse Tasso di interesse Semplice Tasso di interesse Composto Esempi tasso semplice Esempi tasso composto Il problema del rimborso di un prestito Il piano di ammortamento Debito residuo Debito estinto Quota interesse Ammortamento con quote di capitale costante (metodo italiano) Ammortamento con rate costanti (metodo francese) Le operazioni finanziarie Criteri di scelta in condizioni di certezza Il criterio del VAN Il criterio del TIR Bibliografia 27 i

2 ii INDICE

3 Capitolo 1 I tassi di interesse Con il termine tasso di interesse si intende una somma di denaro pagata per l utilizzo di un altra somma di denaro, quest ultimo detto montante. Quando si depositano i propri risparmi in banca, la banca paga ai risparmiatori un interesse sul denaro che riceve per il periodo in cui è depositato, periodo in cui la banca può sfruttare ed investire le somme versate dai propri clienti. Il tasso di interesse viene normalmente fissato come tasso annuale o sotto forma di percentuale del montante ricevuto (i risparmi versati dal cliente). I tassi di interesse sono molto variabili: la domanda e l offerta di prestiti, la preferenza tra denaro e titoli, l offerta di moneta e le aspettative del mercato sono solitamente ritenuti i principali fattori che causano queste variazioni. I tassi d interesse possono essere semplici o composti. Semplici quando si applicano solo sul capitale, composti quando si applicano anche sugli interessi già maturati. Queste definizioni possono inizialmente sembrare un pò fumose, ma chiariremo poi con degli esempi. I tassi di interesse si suddividono poi in: 1. tassi passivi o debitori 2. tassi attivi o creditori Il tasso di interesse rappresenta la remunerazione (il guadagno o rendimento) di un investimento oppure il costo (onere) di un finanziamento. Oltre al tasso di interesse, al fine di determinare correttamente il rendimento di un investimento o il costo di un finanziamento, vanno considerate le spese accessorie, le imposte (ritenute fiscali sugli interessi passivi) e le commissioni bancarie. Negli esempi che tratteremo, ci dimenticheremo di questi altri fattori, focalizzandoci solo sul tasso di interesse, semplice o composto. 1

4 2 1.1 Tasso di interesse Semplice 1.1 Tasso di interesse Semplice L interesse viene detto semplice quando è proporzionale al capitale e al tempo. Ovvero gli interessi maturati in un periodo precedente, non vengono aggiunti al capitale che li ha prodotti (capitalizzazione), e quindi non maturano a loro volta interessi. Indicando con C il capitale iniziale i il tasso di interesse periodale (può essere mensile, trimestrale, annuo..) t durata temporale dell operazione M il capitale finale, detto anche montante, pari alla somma di capitale iniziale e interessi maturati I l interesse prodotto da un capitale C ad un tasso annuo i e per un periodo t si avrà che l evoluzione nel tempo del montante è la seguente: M 0 = C M 1 = M 0 + ic = C + ic = C(1 + i) M 2 = M 1 + ic = C + ic + ic = C + 2iC = C(1 + 2i)... M t = M t 1 + ic = C + (t 1)iC + ic = C + tic = C(1 + ti) Ricapitolando quindi si ha la seguente definizione: Definizione 1.1. Il montante M di un capitale C impiegato per t periodi a un tasso d interesse semplice i si calcola con la formula: M = C(1 + ti). Da cui si ricava facilmente Definizione 1.2. Il valore attuale C di un capitale M disponibile dopo t periodi a un tasso d interesse semplice i si calcola con la formula: C = M (1 + ti) Definizione 1.3. Il tasso d interesse i semplice necessario ad ottenere un montante M al tempo t dato un capitale iniziale C si calcola con la formula: i = M C Ct

5 1.2 Tasso di interesse Composto 3 e la seguente Definizione 1.4. L interesse prodotto da un capitale C impiegato in regime di interesse semplice a un tasso annuo i e per un periodo t è: I = Cit. 1.2 Tasso di interesse Composto L interesse viene detto composto quando invece l interesse maturato nel periodo t viene aggiunto al capitale nel periodo t+1 e genererà quindi anch esso interessi. E importante sottolineare che a parità di capitale C, interesse i e periodo t un operazione finanziaria con tasso d interesse composto raggiungerà un montante maggiore (od uguale, come poi vedremo) ad una con tasso d interesse semplice, poichè nel primo caso anche l interesse produce interesse. Con questo tipo d interesse la dinamica del montante nel tempo è la seguente: M 0 = C M 1 = M 0 + im 0 = C + ic = C(1 + i) M 2 = M 1 + im 1 = C(1 + i) + ic(1 + i) = C(1 + i)(1 + i) = C(1 + i) 2... M t = C(1 + i) t Quindi vediamo che per t > 1 i montanti in regime di interesse composto sono superiori a quelli in regime di interesse semplice, e questo indipendentemente dal capitale iniziale. Similmente si possono dare le seguenti definizioni: Definizione 1.5. Il montante M di un capitale C impiegato per t periodi a un tasso d interesse composto i si calcola con la formula: M = C(1 + i) t. Da cui si ricava facilmente Definizione 1.6. Il valore attuale C di un capitale M disponibile dopo t periodi a un tasso d interesse composto i si calcola con la formula: C = M (1 + i) t

6 4 1.3 Esempi tasso semplice Figura 1.1: Confronto tra le dinamiche dei Montanti ottenuti con C=100,t=20 e i=0.02 semplice e composto. Definizione 1.7. Il tasso d interesse composto i necessario a ricavare da un capitale C in un tempo t un montante M si calcola con la formula: i = ( ) 1 M t 1 C e la seguente Definizione 1.8. L interesse prodotto da un capitale C impiegato in regime di interesse composto a un tasso annuo i e per un periodo t è: I t = C(1 + i) t C(1 + i) t 1 = C(1 + i) t 1 (1 + i 1) = Ci(1 + i) t Esempi tasso semplice Esempio 1.1. Consideriamo un investimento di 500 con tasso di interesse semplice i=0.05, per un periodo di 10 anni. Ci interessa inizialmente calcolare il nostro guadagno finale e l interesse maturato nell ultimo anno del nostro investimento.

7 1.3 Esempi tasso semplice 5 La definizione 1.1 dice che M t = C(1 + ti), quindi il guadagno finale, cioè il montante al tempo t=10, che si ottiene semplicemente sostituendo i dati, è M 10 = 500 ( ) = 750. Allo stesso modo la definizione 1.4 dice che I t = Cit e quindi l interesse maturato nell ultimo anno è I 10 = = 250. Similmente, utilizzando le stesse formule, possiamo calcolare il montante e l interesse per qualsiasi anno da 0 a 10, ottenendo quindi una serie di dati che rappresentano l andamento nel tempo delle due grandezze. Figura 1.2: Tabella dinamiche montante e interesse ottenuti con C=500,t=10 e i=0.05 semplice Rappresentando poi queste due serie di dati su un grafico risulta ancora più semplice avere un idea di come entrambe si comportino con il passare del tempo. E importante sottolineare che anche se le rappresentiamo con 2 linee continue, in realtà i dati sono puntuali, cioè sia il montante che l interesse non sono definiti per t diversi da quelli rappresentati in tabella: non ha quindi senso chiedersi quanto valga il montante dopo 6 mesi dall inizio dell investimento (cioè in t=0.5). Esempio 1.2. Supponiamo ora di avere a disposizione un capitale iniziale C di 100, e di essere disposti a privarcene solo per ottenere tra 20 anni da esso almeno 500. A quanto dovrebbe ammontare il tasso d interesse semplice i per convincerci ad investire ora i nostri risparmi?

8 6 1.3 Esempi tasso semplice Figura 1.3: Grafico dinamiche montante e interesse ottenuti con C=500,t=10 e i=0.05 semplice La formula della definizione 1.3 serve a risolvere proprio questo tipo di problemi. Basta sostituire infatti in i = M C Ct C=100, t=20 ed M = M 2 0 = 500 per ottenere i = = 0, 2. Chiaramente al crescere di i M 2 0 cresce (come anche i montanti per t<20) quindi accetteremmo di investire in ogni proposta con i maggiore od uguale a 0,2. Per convincerci di questo, vediamo le dinamiche dei montanti ottenute con quattro diversi tassi d interesse semplice i. Figura 1.4: Grafico dinamiche montante ottenute con C=100,t=20 e i=0.05, 0.1, 0.15 e 0.2 semplice

9 1.3 Esempi tasso semplice 7 Esempio 1.3. Supponiamo invece di essere a conoscenza del tasso di interesse i semplice, della durata e del montante finale ottenuto dal nostro investimento. Come calcolare l unica incognita rimasta, e cioè il capitale iniziale? Utilizzando 1.2. Per M=1000, i=0.08 e t=50 si ottiene C = M 1+ti = = 200. Chiaramente a parità di i e t, al crescere di M il capitale C è costretto a crescere e viceversa, poichè tra loro c è una relazione lineare M = m C rappresentabile dalla retta di coefficente angolare m = 1 + it. Vediamo la rappresentazione di questa retta per questo esempio, cioè m=1+i*t=1+0.08*50=5. Figura 1.5: Grafico relazione lineare M=(1+i*t)*C con 1+i*t=5 Variando il coefficiente angolare otteniamo quindi diverse dinamiche. Il coefficiente angolare può essere modificato sia variando i e tenendo fisso t che viceversa: in entrambi i casi le dinamiche dei montanti disegnate nello stesso grafico formano dei fasci di rette propri con centro nell origine.

10 8 1.3 Esempi tasso semplice Figura 1.6: Grafico relazione lineare M=(1+i*t)*C con t=50 al variare di i Figura 1.7: Grafico relazione lineare M=(1+i*t)*C con i=0.01 al variare di t

11 1.4 Esempi tasso composto Esempi tasso composto Esempio 1.4. Affrontiamo il primo problema del capitolo precedente intendendo però questa volta con i il tasso di interesse composto. Ci interessa calcolare il guadagno finale di un investimento durato 10 anni di capitale iniziale C di 500 a tasso di interesse composto La formula da utilizzare è quella della definizione 1.5: M 10 = C(1 + i) 10 = 500 ( ) 10 = 814, 45. La formula 1.8 ci serve invece a calcolare l interesse maturato in ogni periodo. Ad esempio nell ultimo anno il capitale ha maturato un interesse dato da: I 10 = Ci(1 + i) t 1 = 38, 78. Come per il caso dell investimento con i semplice, anche qui similmente si possono calcolare M t ed I t t, ottenendo i seguenti dati in tabella e la conseguente rappresentazione grafica. Figura 1.8: Tabella dinamiche montante e interesse ottenuti con C=500,t=10 e i=0.05 composto

12 Esempi tasso composto Figura 1.9: Grafico dinamica montante ottenuta con C=500,t=10 e i=0.05 composto Figura 1.10: Grafico dinamica Interesse ottenuta con C=500,t=10 e i=0.05 composto

13 1.4 Esempi tasso composto 11 Esempio 1.5. Supponiamo ora nuovamente di avere a disposizione un capitale iniziale C di 100, e di essere disposti a privarcene solo per ottenere tra 20 anni da esso almeno 500. A quanto dovrebbe ammontare il tasso d interesse (questa volta composto) i per convincerci ad investire ora i nostri risparmi? Dobbiamo ora avvalerci della formula nella definizione 1.7, che in questo caso diventa: i = ( ) 1 M C t 1 = ( ) = 0, 084. Come potevamo aspettarci, il tasso d interesse composto richiesto è decisamente minore, a parità di ogni altro dato, di quello semplice richiesto per la stessa operazione (ricordiamo che nel capitolo precedente risultava essere necessario i semplice uguale a 0.2). Chiaramente come nel caso di i semplice, al crescere di i M 20 cresce (come anche i montanti per t<20) quindi accetteremmo di investire in ogni proposta con i maggiore od uguale a 0,084. Anche in questo caso possiamo averne una prova grafica, confrontando le dinamiche dei montanti ottenute con quattro diversi tassi d interesse i. Figura 1.11: Grafico dinamiche montante ottenute con C=100,t=20 e i=0.05, 0.1, 0.15 e 0.2 composto Esempio 1.6. Supponiamo infine di essere a conoscenza del tasso di interesse i composto, della durata e del montante finale ottenuto dal nostro investimento. Come calcolare l unica incognita rimasta, e cioè il capitale iniziale? Utilizzando 1.6. Per M=1000, i=0.08 e t=50 si ottiene C = M (1+i) = 1000 = 21, 32. t (1+0.08) 50 Da notare quanto C risulti decisamente più basso rispetto a quello calcolato nell investimento con i semplice, che risultava uguale a 200.

14 Esempi tasso composto Chiaramente anche ora a parità di i e t, al crescere di M il capitale C è costretto a crescere e viceversa, poichè tra loro c è una relazione lineare M = m C rappresentabile dalla retta di coefficente angolare m = (1 + i) t. Vediamo la rappresentazione di questa retta per questo esempio, cioè m = (1 + i) t = ( ) 50 = 46, 9. La retta sarà quindi molto più ripida di quella del caso precedente il cui coefficiente angolare era solo 5. Variando il coefficiente angolare otteniamo anche qui diverse dinamiche. Il coefficiente angolare può essere modificato sia variando i e tenendo fisso t che viceversa: in entrambi i casi le dinamiche dei montanti disegnate nello stesso grafico formano dei fasci di rette propri con centro nell origine. Figura 1.12: Grafico relazione lineare M = C (1 + i) t con t=50 al variare di i Figura 1.13: Grafico relazione lineare M = C + (1 + i) t con i=0.01 al variare di t

15 Capitolo 2 Il problema del rimborso di un prestito Gli ammortamenti sono particolari flussi finanziari in cui una quantità di capitale S, detta capitale iniziale o principal è scambiata con un flusso di rate ˆR = R 1, R 2,..., R m. I mutui sono l esempio più comune di ammortamento: il mutuario riceve oggi il capitale iniziale S e lo ripaga in m rate (non necessariamente costanti). Un altro esempio sono i BTP dal punto di vista dello Stato: le rate sono rappresentate dagli interessi semestrali ed il capitale è restituito in un unica soluzione alla scadenza. La rata R può essere pagata all inizio o alla fine dei periodi identificati dallo scadenziario ˆt = t 0,..., t m. I periodi possono essere costanti o meno. L operazione di ammortamento si configura nel modo seguente: Al momento t=0 un soggetto (detto mutuario o debitore) riceve a prestito da un altro soggetto ( detto mutuante o creditore) una somma S (detta mutuo o prestito) e deve restituirla entro un certo periodo di tempo riconsegnando non solo il capitale ricevuto ma anche gli interessi. Ricordiamo due particolari tipi di rimborso: Rimborso globale: In questo caso il rimborso del capitale avviene in un unica soluzione, alla scadenza del contratto del mutuo, insieme agli interessi maturati. Dal punto di vista del debitore, l ammortamento è visto come un operazione finanziaria in cui in t=0 si riceve la somma S e all epoca t=n si restituisce al creditore la somma finanziariamente equivalente ad S in n. Alla scadenza quindi il debitore verserà S(1+i) n, cioè il montante in n dell importo S, calcolato in regime di capitalizzazione composta. Dal punto di viste del creditore, l ammortamento è visto come un operazione finanziaria opposta, in cui all epoca 0 si eroga l importo S e all epoca n si riceve il rimborso del capitale unitamente agli interessi. 13

16 14 Figura 2.1: Rimborso globale per il debitore Figura 2.2: Rimborso globale per il creditore Rimborso rateale: In questo caso si verifica la restituzione graduale del capitale che avviene in più scadenze successive e il pagamento degli interessi su ciascuna scadenza. la durata del prestito viene quindi suddivisa in più scadenza t 1, t 2,..., t n. Ad ogni scadenza k-esima il debitore paga un importo C k a titolo di rimborso del capitale ed un importo I k a titolo di interesse. Indicata con R k la rata di ammortamento, la somma che complessivamente il debitore paga alla scadenza k, si ha che R k = C k + I k. Dal punto di vista del debitore l ammortamento si configura come un operazione finanziaria in cui si riceve S all espoca t=0 e si pagano le rate di ammortamento R 1, R 2,..., R n alle scadenze t 1,..., t n. All opposto

17 2.1 Il piano di ammortamento 15 il creditore riceve S in t=0 e paga le rate alle scadenze. 2.1 Il piano di ammortamento Nel caso del rimborso rateale del prestito si tratta di determinare gli importi da restituire al creditore a ciascuna scadenza. Si tratta quindi di determinare le quote parziali di rimborso del capitale e l ammonare degli interessi da pagare in ciascuna scadenza, che saranno commisurati di volta in volta al capitale che in ciascuna scadenza risulta non ancora restituito. Si consideri la situazione in cui i tempi t 1, t 2,..., t n siano equidistanti uno dall altra: è possibile organizzare il pagamento delle quote in un prospetto che prende il nome di piano di ammortamento. Ad ogni scadenza è importante conoscere anche l ammontare del debito residuo e l ammontare del debito estinto; ammortizzare un mutuo significa versare alle varie scadenze le rate previste in modo che il debito finale residuo si azzeri e che allo stesso modo il debito estinto raggiunga l importo del prestito concesso. Indichiamo con: S l ammontare del prestito C k la quota capitale che il debitore paga al tempo k a titolo di rimborso del capitale I k la quota interesse che il debitore paga al tempo k a titolo di interesse R k = C k + I k la rata di ammortamento Due sono le condizioni che devono essere rispettate: condizione di chiusura sulle quote capitale condizione di equità sulle rate C 1 + C C n = S (2.1) S = R 1 (1 + i) 1 + R 2 (1 + i) R n (1 + i) n (2.2), cioè il mututo S deve coincidere con il valore attuale, calcolato in t=0 della rendita descritta dalle rate R 1,..., R n Debito residuo Definiamo il debito residuo al tempo k, cioè il debito non ancora estinto al tempo k: D k = C k+1 + C k C n

18 Il piano di ammortamento Questa relazione implica che il debito residuo iniziale coincide con l importo del mutuo e il debito residuo finale si annulla. Una definizione iterativa del debito residuo è la seguente: Debito estinto D k = D k 1 C k. Parallelamente definiamo anche il debito estinto al tempo k, cioè l ammontare di debito già versato dal debitore al tempo k: E k = C 1 + C C k Da tale relazione si ricava che il debito estinto iniziale è nullo, mentre il debito estinto finale coincide con S. Una definizone iterativa del debito estinto è la seguente: Quota interesse E k = E k 1 + C k. Alla scadenza di ogni rata k-esima si possono calcolare gli interessi commisurati al capitale che a tale scadenza risulta non ancora restituito, cioè gli interessi generati dal debito residuo: I k = id k 1. Figura 2.3: Tabella piano di ammortamento.

19 2.2 Ammortamento con quote di capitale costante (metodo italiano) Ammortamento con quote di capitale costante (metodo italiano) Un conosciuto metodo di ammortamento prevede il pagamento di quote capitali tutte uguali ad una costante C, cioè C 1 = C 2 =... = C n = C. Questo metodo è chiamato anche metodo italiano o metodo uniforme. La condizione (2.1) in questo caso implica: C C n = S nc = S C = S n. (2.3) Similmente per le altre grandezze introdotte ricaviamo le seguenti formule: debito residuo: quota interesse: D k = D k 1 C (2.4) I k = I k 1 ic (2.5) rata di ammortamento: R k = R k 1 ic (2.6) Esempio 2.1. Supponiamo di voler ammortizzare, con il metodo italiano, 1000 al tasso di interesse i=10% annuo, in 5 anni. In primo luogo possiamo subito calcolare C con l equazione (2.3), ottenendo C = = 200. Ciò ci consente, volendo completare la tabella del piano di ammortamento, di compilare tutta la colonna relativa alla quota capitale. Successivamente, grazie all equazione (2.4) e ricordando che D 0 = S = 1000, si può riempire la colonna dedicata al debito residuo. Una volta noto il debito residuo in ciascuna scadenza, si possono calcolare le quote interesse e le rate di ammortamento come somma delle quote capitale e delle quote interesse. Riassumiamo poi in un grafico le dinamiche ottenute.

20 Ammortamento con rate costanti (metodo francese) Figura 2.4: Dinamiche debito residuo, quote capitale,quote interesse, debito residuo ed estinto. 2.3 Ammortamento con rate costanti (metodo francese) Un altro particolare metodo per ammortizzare un prestito prevede rate di ammortamento tutte uguali, cioè R 1 = R 2 =... = R n = R. Questo tipo di ammortamento è detto metodo francese o metodo progressivo in senso stretto. L equazione (2.2) diventa quindi { } 1 S = R 1 + i + 1 (1 + i) (1 + i) n indicando (1 + i) 1 = µ si ottiene: S = R(µ + µ µ n ) e poichè i termini dentro la parentesi formano una serie geometrica di ragione µ, S = Rµ 1 µn 1 µ = R1 (1 + i) 1 i (2.7) Quindi se si conosce S, n ed i si può calcolare immediatamente l ammontare della rata R: i R = S 1 (1 + i) n (2.8) Si ricava inoltre che le quote di capitale rispettano la seguente equazione: C k = (1 + i)c k 1 (2.9)

21 2.3 Ammortamento con rate costanti (metodo francese) 19 Esempio 2.2. Supponiamo di voler costruire col metodo francese un piano di ammortamento di un prestito di da restituire in 4 rate costanti annuali al tasso di interesse annuo i=6%. Come prima compiliamo la tabella del piano di ammortamento, stavolta iniziando completando prima la colonna delle rate in base all equazione (2.8): R = , 06 = 5.771, (1 + 0, 06) 4 Calcolata R possiamo calcolare per ogni scadenza k la quota interesse I k = id k 1, la quota capitale C k = R k I k e il debito residuo D k = D k 1 C k, ottenendo la seguente tabella e le seguenti dinamiche. Figura 2.5: Dinamiche debito residuo, quote capitale,quote interesse, debito residuo ed estinto.

22 Ammortamento con rate costanti (metodo francese)

23 Capitolo 3 Le operazioni finanziarie Tutti i problemi finora affrontanti riguardo il calcolo di montanti relativamente a capitali depositati e gli ammortamenti di un debito sono i più semplici esempi appartenenti ad una famiglia più grande di problemi denominabili operazioni finanziarie. In ogni caso precedentamente affrontato notiamo la presenza di diversi dati rilevanti per la loro discussione e risoluzione, in particolare gli importi e i tempi. Diamo quindi la definizione di situazione finanziaria. Definizione 3.1. Chiamiamo situazione finanziaria o prestazione finanziaria una coppia ordinata (x,t) consistente nella disponibilità del capitale x al tempo t 0. Notiamo che in questo modo è possibile rappresentare ogni situazione finanziaria come un punto in un piano cartesiano dove l asse delle ascisse indica il tempo e l asse delle ordinate indica il capitale x. La condizione t 0 restringe il grafico al primo e quarto quadrante, mentre ammettiamo che x possa assumere anche valori negativi (può accadere quando x è in uscita, cioè è un importo da pagare). Per poter poi disegnare sul piano cartesiano anche operazioni più complesse come gli ammortamenti, che prendono in considerazione diversi flussi di cassa (importi) in diversi tempi, diamo la definizione di operazione finanziaria, dove ˆx = x 1, x 2,..., x n e ˆt = t 1, t 2,..., t n. Definizione 3.2. La coppia di vettori ˆx/ˆt si chiama operazione finanziaria. Se m=2, l operazione finanziaria è detta semplice (un esempio sono i problemi affrontati nel capitolo 1). Come nelle situazioni finanziarie, se x j > 0 il j-esimo importo è un entrata, se x j < 0 il j-esimo importo è un uscita. ˆx/ˆt consisterà di n punti sul piano cartesiano, cioè di n situazioni finanziarie. 21

24 Criteri di scelta in condizioni di certezza 3.1 Criteri di scelta in condizioni di certezza Introduciamo ora due dei svariati criteri per discernere tra due investimenti finanziari, poichè è chiaramente necessario avere un metodo per scegliere tra due diverse operazioni finanziarie quale sia la migliore (quella che farà fruttare meglio il capitale che ho da investire, o quella che mi costerà meno se parliamo di mutui) Il criterio del VAN Definizione 3.3. Data una qualsiasi operazione finanziaria ˆx/ˆt, assumendo che l istante iniziale per semplicità sia t 1 = 0 e scelto un tasso di valutazione j (altro non è che l ipotetico tasso di interesse i), il risultato economico attualizzato (VAN) dell operazione corrisponde esattamente al suo valore attuale che viene così definito: m V AN(j, ˆt/x) = x k (1 + j) t k (3.1) k=1 Il VAN (chiamato anche REA) di un progetto quantifica quindi il valore attuale del guadagno (Valore Attuale Netto, da cui VAN) che un determinato progetto permette di realizzare. Un criterio di scelta tra due investimenti, sempre soggetti però all arbitrarietà del tasso di valutazione (i non è sempre disponibile con certezza), suggerisce di scegliere quello il cui VAN, a parità di tasso, sia maggiore. Date due operazioni finanziarie, se esiste un tasso di valutazione per cui i due VAN relativi sono uguali, questo tasso è detto tasso di svolta, nel senso che un tasso superiore o inferiore causa un inversione delle preferenze. Esempio 3.1. Applichiamo il criterio del VAN nel confronto tra due possibili ammortamenti: I 1 = ˆx/ˆt = {+1500, 400, 400, 500}/{0, 1, 2, 3} I 2 = ˆx/ˆt = {+2000, 500, 500, 800}/{0, 1, 2, 3} Supponendo di valutarle al tasso i=5%, applicando la formula (3.1) si ottiene: V AN(I 1, 5%) = (1, 05) 1 400(1, 05) 2 500(1, 05) 3 = , , , = 324, V AN(I 2, 5%) = (1, 05) 1 500(1, 05) 2 800(1, 05) 3 = , , , = 379, Quindi, essendo il VAN di I 2 maggiore di quello di I 1, il secondo investimento è da preferire al primo.

25 3.1 Criteri di scelta in condizioni di certezza 23 Esempio 3.2. Dati i due seguenti ammortamenti: I 1 = ˆx/ˆt = {+500, 600, 50}/{0, 1, 2} I 2 = ˆx/ˆt = {+450, 550}/{0, 1} determiniamo il tasso di svolta j in base a cui si inverte la preferenza. Usando come incognita il tasso j, calcoliamo i due VAN V AN(I 1, j) = (1 + j) 1 50(1 + j) 2 V AN(I 2, j) = (1 + j) 1 e poi uguagliamoli ottenendo un equazione (1 + j) 1 50(1 + j) 2 = (1 + j) 1 Con dei semplici conti si ottiene: (1 + j) 50 (1 + j) 2 = 0 che moltiplicata per (1 + j) 2, divisa per 50 e definendo ω = 1 + j diventa un equazione di secondo grado nell incognita ω: ω 2 ω 1 = 0 Risolvendola si trovano le due soluzioni: ω 1,2 = 1± 5 2, da cui scartiamo chiaramente quella negativa perchè ci darebbe un tasso j negativo (ricordando che è un tasso di interesse non avrebbe significato economico). Da ω = 1, 618, poichè ω = 1 + j si ottiene un tasso di svolta j = 0, 618 = 61, 8% (tasso decisamente da usurai). Calcolando poi i due VAN ad uno stesso tasso, ad esempio j = 40%, V AN(I 1, 40%) = 45, 92 V AN(I 2, 40%) = 57, 14 possiamo dedurre che per j < 61, 8% è preferibile il secondo ammortamento, mentre per j > 61, 8% risulta più conveniente il primo. Il criterio del VAN presenta una debolezza innegabile, che la stessa esistenza del tasso di svolta sottolinea: la forte dipendenza dal tasso di valutazione j scelto. Come evidenziato prima, il tasso j è l ipotetico tasso i di interesse, ma questo

26 Criteri di scelta in condizioni di certezza in un mercato soggetto a condizioni di incertezza non è facilmente prevedibile e soprattutto per periodi lunghi di investimento non risulta costante. Nel seguito introdurremo un altro criterio generalmente considerato più affidabile sotto questo punto di vista, ma non sempre applicabile Il criterio del TIR Cominciamo dalla definizione formale di TIR (in inglese, IRR, internal rate of return). Definizione 3.4. Data un operazione finanziaria ˆx/ˆt, il suo tasso interno di rendimento (TIR) è un qualsiasi tasso i tale che il suo VAN sia uguale a zero: m V AN(i, ˆx/ˆt) = x k (1 + j ) t 1 t k = 0. (3.2) k=1 Va notato che un operazione potenzialmente può non ammettere TIR o ammerne più di uno. Esempio 3.3. Consideriamo il seguente ammortamento: I = ˆx/ˆt = {100, 10, 10, 110}/{0, 1, 2, 3}. Cerchiamo di individuare, se esiste, il suo TIR. Cerchiamo quindi la soluzione di (3.2) per questo I. Si tratta di risolvere: V AN(i, I) = (1 + i ) 1 10(1 + i ) 2 110(1 + i ) 3 = 0. Sostituendo ω = 1 1+i l equazione si riduce a: 11ω 3 + ω 2 + ω 10 = 0 Usando un trucco algebrico e le regole di fattorizzazione questa può essere risolta senza ricorrere a Ruffini: 11ω 3 + ω 2 + ω 10 = 10ω 3 + 1ω 3 + ω 2 + ω 10 = 10(ω 3 1) + ω(ω 2 + ω + 1) = 10(ω 1)(ω 2 + ω + 1) + ω(ω 2 + ω + 1) = (ω 2 + ω + 1)(10(ω 1) + ω) = (ω 2 + ω + 1)(11ω 10) = 0 Questa equazione ammette quindi una sola soluzione reale ω = 10 11, che mi restituisce un solo i = 1 ω 1 = 1 10 = 10%. Generalmente considerato più preciso del criterio del VAN, il criterio del TIR può essere riassunto come segue:

27 3.1 Criteri di scelta in condizioni di certezza 25 dati due progetti di investimento I 1 ed I 2, dotati rispettivamente di se i 1 ed i 1, I 1 è preferibile ad I 2 se i 1 > i 2, dati due progetti di finanziamento (ammortamenti) I 1 ed I 2, dotati rispettivamente di se i 1 ed i 1, I 1 è preferibile ad I 2 se i 1 < i 2, Esempio 3.4. Consideriamo i due seguenti ammortamenti: I 1 : si riceve un prestito di 800 e lo si rimborsa in due rate distinte, 600 dopo un anno e 500 dopo 2 anni. I 2 : si riceve un prestito di 700 e lo si rimborsa in 3 rate, 300 dopo un anno, 300 dopo 2 anni e 1000 dopo 3 anni. Stabiliamo col criterio del TIR quale dei due finanziamenti è il più conveniente. Prima scriviamo i due finanziamenti in forma estesa: I 1 = ˆx/ˆt = {800, 600, 500}/{0, 1, 2} I 2 = ˆx/ˆt = {700, 300, 300, 1000}/{0, 1, 2, 3} Calcoliamo ora separatamente i due TIR se esistono e sono unici, intendendo con ω = 1 1+i ω 500ω 2 = 0 5ω 2 + 6ω 8 = 0 ω 1,2 = 3± 49 5 = 4 5, avendo scartato la soluzione negativa. Il TIR di I 1 è quindi i 1 = 1 0,8 1 = 0, 25 = 25%. Per quando riguarda I 2 invece l equazione diventa: 10ω 3 + 3ω 2 + 3ω 7 = 0, da cui decomponendo: 7ω 3 + 3ω 3 + 3ω 2 + 3ω 7 = 7(ω 3 1) + 3ω(ω 2 + ω + 1) = 7(ω 1)(ω 2 + ω + 1) + 3ω(ω 2 + ω + 1) = (ω 2 + ω + 1)(10ω 7) = 0 Che ha come unica soluzione reale ω = 7 10 e quindi i 2 = 3 7 = 42, 85%. Quindi per il criterio del TIR applicato ai finanziamenti, I 1 è preferibile a I 2 in quanto i 1 < i 2.

28 Criteri di scelta in condizioni di certezza

29 Bibliografia [1] Luciano Daboni, Claudio De Ferra, Elementi di matematica finanziaria. Trieste: Edizioni LINT. [2] Franco Moriconi, Matematica finanziaria. Bologna: Il Mulino. [3] Andrea Pascucci, Wolfgang Runggaldier, Finanza matematica. Milano: Springer Italia. [4] Ernesto Volpe di Prignano, Lezioni di Matematica Finanziaria Classica. Roma: CISU. 27

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