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1 Capitalizzazione e attualizzazione finanziaria Una percentuale di una certa importanza nel mondo economico è il tasso di interesse. Il tasso di interesse rappresenta quella quota di una certa somma presa a prestito che dovrà essere restituita dopo un periodo in aggiunta alla restituzione della somma stessa. Spesso la somma presa a prestito viene chiamata capitale iniziale, o semplicemente capitale. Se oggi prendo a prestito un milione di euro e il tasso di interesse pattuito è il cinque per cento all anno, tra un anno dovrò restituire il milione e pagare cinquantamila euro a titolo di interessi. In altri termini, gli interessi si calcolano moltiplicando il capitale iniziale per il tasso di interesse. Possiamo dunque scrivere Interessi = Capitale i. Ricordiamo che la rappresentazione percentuale è equivalente a quella in termini di frazioni di unità. Dunque per ottenere il cinque percento di una somma la si deve moltiplicare per 0,05; per ottenere il dieci percento la si moltiplica per 0,1; e così via. A ben vedere, il tasso di interesse può essere pensato come il tasso di crescita della somma monetaria quando essa viene data a prestito. Infatti, pagare un certo ammontare di interessi in aggiunta al capitale iniziale significa rendere disponibile per il creditore una somma pari al capitale iniziale moltiplicato per un numero maggiore di uno. Se esprimiamo il tasso di interesse come frazione dell unità, la somma finale da restituire, detta montante, è data dalla relazione Montante = Capitale + Interessi = Capitale 1 + Capitale i = Capitale (1 + i), dove i è il tasso di interesse e 1 + i è il fattore di interesse. Più alto è il tasso di interesse e più grande è il montante a parità di capitale iniziale. Il processo di calcolo del montante a partire dal capitale iniziale e dal tasso di interesse è chiamato capitalizzazione. Supponiamo che esista in un certo momento un unico tasso di interesse condiviso da tutti gli operatori dell economia: non solo chi deve prendere a prestito sa che dovrà pagare quel tasso di interesse ogni periodo, ma anche chi ha risorse da prestare ad altri sa che potrà ottenere quel tasso di interesse. Per un soggetto qualsiasi, dunque, non può essere la stessa cosa disporre oggi di un milione disporre dello stesso milione tra un anno. Se un individuo A la pensasse così, qualche altro individuo B potrebbe sfruttare questa sua opinione a proprio favore, proponendogli il seguente contratto: tu, A, dammi oggi un milione e io ti do un milione tra un anno. Dopo un anno B avrà lucrato gli interessi e, trattenendoli, otterrà un guadagno senza fare fatica. Ben presto tutti

2 capiranno che un milione di oggi non equivale ad un milione disponibile fra un anno. Qual è dunque la somma dell anno prossimo che equivale ad un milione di oggi? Poiché si tratta semplicemente della cifra di cui potrò disporre fra un anno per il fatto di aver prestato un milione oggi, quella somma è il montante di un milione, che può essere calcolato tramite la formula Montante = Un Milione (1 + i). È poi ovvio, per quanto abbiamo detto nel paragrafo precedente, che se io do a prestito un Capitale per due anni anziché per uno, il montante si calcola in questo modo: Montante = Capitale (1 + i) 2. E così via se il numero degli anni aumenta. Poniamoci ora il problema opposto. Immaginiamo di sapere già oggi che fra un anno disporremo di un milione, e domandiamoci: quale somma odierna equivale ad un milione disponibile fra un anno? Il criterio di equivalenza deve essere lo stesso di prima: deve trattarsi di una somma tale che, se presa a prestito oggi, necessita esattamente di un milione per saldare il debito, cioè deve essere una somma il cui montante è un milione. Questa somma, dunque, deve essere tale che Un Milione = Cifra odierna (1 + i). Poiché l incognita è la cifra odierna, meglio scrivere Cifra odierna = Un Milione / (1 + i). Più in generale, data una qualsiasi somma di cui si conosce la disponibilità certa futura, il suo equivalente odierno è chiamato valore attuale, e scriviamo Valore attuale = Somma futura / (1 + i). Questa operazione di calcolo dell equivalente finanziario odierno di una cifra futura nota si chiama attualizzazione o sconto. Infine, se io so che avrò a disposizione una certa Somma futura fra due anni, il suo valore attuale è Valore attuale = Somma futura / (1 + i) 2. E così via quando aumenta il numero degli anni. Le operazioni di capitalizzazione e di attualizzazione servono per trovare gli equivalenti finanziari a certe date di somme disponibili a certe altre date. Ciò è molto importante quando si devono confrontare somme disponibili a date diverse per prendere decisioni economiche. Supponiamo che una decisione comporti un costo oggi e un ricavo domani. Per calcolare il saldo, cioè il profitto, di questa operazione non posso sottrarre il costo di oggi dal ricavo di domani: prima devo attualizzare,

3 cioè trovare il valore attuale, del ricavo di domani. Solo dopo questa operazione le due cifre sono tra loro equivalenti dal punto di vista finanziario e possono essere confrontate. Tutte le attività di investimento comportano per definizione sequenze di entrate e uscite nel corso del tempo, per cui occorrono talora operazioni anche sofisticate di omogeneizzazione finanziaria prima di poterne valutare la convenienza. Per questa ragione occorre essere guardinghi nei confronti dei promotori di operazioni finanziarie complesse (mutui, fondi, assicurazioni). Lezioni di matematica finanziaria - Rendite certe a rata costante Cos è una rendita e come la si può calcolare facilmente quando la sua rata non cambia Indice articolo 1. Introduzione alle lezioni di matematica finanziaria 2. Regime dell interesse semplice (e dello sconto razionale) 3. Regime dello sconto commerciale 4. Regime dell interesse composto 5. Confronto tra regimi finanziari e tabella riassuntiva delle formule 6. Rendite certe a rata costante Una situazione frequente che ci si può trovare davanti è quella dove il pagamento (o l incasso) di una certa somma di denaro non è una tantum ad una certa scadenza, ma periodico a determinate scadenze, per es. annuali. Cioè si potrebbe avere la necessità di calcolare il valore attuale non di un singolo pagamento, ma di più pagamenti, tutti di uguale importo, cadenzati per es. alla fine di ciascun anno per un certo numero di anni. Oppure, nella stessa situazione, abbiamo la necessità di sapere l importo della rata periodica conoscendo il valore attuale (ad oggi) di quella sfilza di pagamenti tutti uguali (rappresentati appunto dalla rata periodica costante). In questi casi ci troviamo di fronte ad una rendita e non si tratta di casi di scuola, difficilmente verificabili nella realtà, perché quasi tutti i prestiti con rimborso rateale che si stipulano nel mondo bancario e finanziario (per es. i mutui), o comunque quasi tutti i finanziamenti aventi un piano d ammortamento per il rimborso del capitale erogato, corrispondono a questi criteri e sono quindi definibili come rendite. Occorre pertanto saper calcolare i principali valori di queste rendite a rata costante: il valore attuale (V) di una rendita a rata costante annuale per un certo numero di anni la rata annuale (R) da pagare per avere un certo valore attuale alla data iniziale o un certo montante alla data finale della rendita o prestito il montante o valore finale (S) di una rendita a rata costante annuale (cioè il valore dopo il pagamento dell ultima rata) Altri valori importanti che bisogna conoscere per calcolare, con le nostre formule, quelli cercati sono: il tasso di interesse (i) il tempo in anni di durata del prestito (t) eventualmente, la periodicità infrannuale della rata periodica (R m ), dove m è appunto la periodicità

4 E importante precisare inoltre che, per la ricerca dei suddetti valori, si usa sempre l unico regime finanziario scindibile: quello dell interesse composto. Esistono vari tipi di rendita. Noi vedremo solo quelle più comuni, ovvero le rendite certe a rata costante per tutto il periodo di durata del prestito. Tra queste distingueremo: rendite a rate posticipate, in cui la rata è pagata alla fine dei periodi in cui è diviso il prestito (per es. a fine anno) e quindi l ultima rata (R) coincide con la fine del tempo complessivo rendite a rate anticipate, in cui invece la rata è pagata all inizio dei periodi in cui è diviso il prestito (per es. ad inizio anno) e quindi la prima rata coincide con l inizio del tempo complessivo Su scala temporale le rendite posticipate sono così raffigurabili: Mentre le rendite anticipate possono raffigurarsi così: Vediamo come si arriva alle formule della rendita costante a rate posticipate, partendo da quelle dell attualizzazione composta che ci sono note perché fatte nelle precedenti lezioni. Se ad ogni fine anno (e per un certo numero t di anni) pago R, per conoscere il valore attuale di questa successione di pagamenti (rendita) non devo fare altro che la somma dei t importi attualizzati di R per ciascun singolo periodo. Cioè: V = R / [(1 +i) + R/(1 +i) 2 + R/(1 +i) t-1 + R/(1 +i) t ] Alla fine di qualche passaggio matematico finalizzato alla semplificazione della suddetta somma (che vi risparmio), risulterà: V = R {1 [1 / (1 + i) t ]} / i in cui al termine [1 / (1 + i) t ] può essere sostituito il fattore di attualizzazione v = [1 / (1 + i)], risultando così la più semplice formula della rendita posticipata: V = R [(1 v t ) / i] che sui libri di matematica potreste trovare scritto anche nella seguente forma: V = R a t i in cui a t i = [(1 v t ) / i] che si legge a figurato t al tasso i. Ovviamente, se invece del valore attuale V si volesse cercare l importo della rata annuale costante R, la formula cambia in: R = V / a t i, per esteso R = V / [(1 v t ) / i] Abbiamo finora visto le formule per le rendite posticipate, è arrivato il momento di vedere la formula per il calcolo della rendita anticipata, in cui cioè il pagamento della rata costante avviene all inizio di ciascun anno. Vediamo adesso la formula delle rendite anticipate, che per semplificare al massimo possiamo esporre in funzione di quella per le rendite posticipate: V = R (1 + i) a t i con (1 + i) a svolgere quindi il ruolo di fattore di correzione per trasformare il valore attuale di una rendita posticipata in rendita anticipata. Ovviamente per calcolare la rata di una rendita anticipata sarà: R = V / [(1 + i) a t i]

5 Se invece del valore attuale (cioè ad oggi, inizio tempo complessivo) di una rendita volessimo calcolarne il montante a fine tempo complessivo (cioè il suo valore una volta pagate tutte le rate), allora le formule sono le seguenti: S = R [(1 + i) t 1] / i per il montante di una rendita posticipata, che anche in questo caso si può scrivere: S = R s t i con s t i = [(1 + i) t 1] / i Mentre per il montante di una rendita anticipata (sempre in funzione del montante posticipato): S = R (1 + i) [(1 + i) t 1] / i S = R (1 + i) s t i con il termine (1 + i) a svolgere, anche qui, il ruolo di fattore di correzione per trasformare il montante di una rendita posticipata in rendita anticipata. I montanti di una rendita costante possono essere espressi anche in funzione della formula del valore attuale della rendita posticipata: S = R (1 + i) t a t i per il montante posticipato e S = R (1 + i) t+1 a t i per il montante anticipato ESEMPIO 1 Calcolare il valore attuale di un pagamento costante annuo posticipato di euro per 15 anni al tasso effettivo annuo del 3,50%. V = x {[1 1/(1 + 0,035) 15 ] / 0,035} = ,41 ESEMPIO 2 Calcolare la rata annuale posticipata di un prestito di euro , concesso per 20 anni al tasso effettivo annuo del 5,75%. R = /{[1 1/(1 + 0,0575) 20 ] / 0,0575} = ,82 Ecco una bella tabella riassuntiva di quanto abbiamo detto sulle rendite. Valore attuale Rata Montante Rata Rendite posticipate R [(1 v t ) / i] R a t i V / a t i R [(1 + i) t 1] / i R s t i V / s t i Rendite anticipate R (1 + i) a t i V / [(1 + i) a t i] R (1 + i) s t i V / [(1 + i) s t i] Rendite frazionate Le rendite frazionate sono quelle rendite in cui i periodi alla scadenza dei quali avviene il pagamento della rata costante sono inferiori all anno (per es. mensili). Di conseguenza quasi tutti i mutui erogati dalle banche sono rendite frazionate, perché la rata da pagare ha generalmente periodicità inferiore all anno, per lo più mensile. In questo caso, per il calcolo del valore attuale o dell importo della rata, non si fa altro che variare l unità di misura delle formule da i = tasso annuale a i m = tasso periodico, con m ad indicare appunto la periodicità infrannuale (per es. m = 12 significa che la rata è mensile). Avremo quindi che la formula per il valore attuale diventa (con R m = rata periodica): V = R m {1 [1 / (1 + i m ) tm ]} / i m cioè

6 V = R m [(1 v tm ) / i m ] con v = [1 / (1 + i m )], con la solita terminologia: V = R m a tm i m in cui, come si vede, è stato cambiato i col tasso periodico i m e t con il più ampio tempo t x m (perché i periodi sono maggiori in quanto infrannuale). Se vogliamo esprimere la stessa formula in funzione di i, anziché di i m, avremo (con R = rata annuale): V = R [(1 v t ) / j m ] cioè, scritta per esteso, V = R {1 [1 / (1 + i) t ]} / j m formula nella quale interviene j m (ma solo al denominatore, perché al numeratore c è sempre i) e per la quale si ricorda che (j m = i m x m) ed anche che j m = m [(1 + i) 1/m 1] La formula per calcolare V in funzione di i (e con l intervento al denominatore di j) si può scrivere pure così: V = R a t i (i / j m ) in cui (i / j m ) è detto fattore di correzione anche in questa nuova forma: V = R a t (m) i dove m rappresenta come di consueto la periodicità della rata (m = 12 se la rata è mensile). Peraltro è importante inserire in tutti i termini della formula della rendita il tasso annuale nominale j m al posto del tasso effettivo annuo i, perché le banche utilizzano proprio j m per esprimere il costo del finanziamento. Ciò perché il tasso nominale è quello pubblicizzato ed esso è più basso (a volte anche di molto) del tasso effettivo pagato, come interessi, dai mutuatari per rimborsare i loro prestiti. Pertanto la seguente formulazione della rendita in funzione di j m è fondamentale quando si vuole calcolare da soli il valore attuale di un mutuo bancario: V = R m {1 [1 / (1 + j m /m) tm ]} / (j m /m), per il calcolo della rata del mutuo bancario: R m = [V (j m /m)] / {1 [1 / (1 + j m /m) tm ]} ESEMPIO Calcolare la rata mensile posticipata di un prestito di euro , concesso per 15 anni al tasso nominale annuo del 6,00% (pari ad un tasso effettivo di 6,168%). R 12 = [ x (0,06/12)] / {1 [1 / (1 + 0,06/12) 15x12 ]}= 1.012,63 Per concludere forniamo la tabella riassuntiva delle rendite frazionate. Rendite frazionate in funzione di i in funzione di i m in funzione di j m Calcolo del valore attuale R m a t i (i / j m ) R [(1 v tm ) / i m ] R a tm i m R m {1 [1 / (1 + j m /m) tm ]} / (j m / m) Calcolo della rata V / [a t i (i / j m )] V / [(1 v tm )/i m ] V / a tm i m [V (j m / m)] / {1 [1 / (1 + j m /m) tm ]} Steve Round

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