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1 Disposizioni ministeriali sulle prove di valutazione in matematica nella classe 10 delle scuole del Land Bassa Sassonia entrate in vigore nell anno scolastico 1999/2000. (estratto) Riportiamo innanzi tutto i principali punti della disposizione, traducendoli dal documento originale. 1. Generalità Le previste prove finali devono essere svolte nelle scuole di ogni ordine al termine del Sekundarbereich I. Queste prove consistono in: - una verifica scritta in matematica e, a scelta dell alunno, in tedesco oppure in un materia obbligatoria iniziata nel 5 o 7 anno di scuola oppure in una lingua straniera obbligatoria; - una verifica orale in una materia a scelta dell alunno. 2. Verifica scritta La verifica scritta avviene sotto forma di compito in classe nel secondo semestre. Per questa prova sono previsti, rispetto alla consueta durata, 45 minuti supplementari. I quesiti devono basarsi sul programma d insegnamento dell intero 10 anno di scuola. È consentito l uso dei mezzi di calcolo elettronici introdotti in classe. 2.1.Modalità della prova scritta Il compito scritto consiste di 3-5 quesiti indipendenti, con i quali vengono verificate sia la conoscenza dei contenuti disciplinari sia le competenze disciplinari in misura il più possibile ampia. La durata maggiore deve implicare una maggiore complessità nella posizione dei quesiti, in particolare gli alunni devono essere condotti per tempo, nel corso delle lezioni, all elaborazione di quesiti di ampio respiro. Ogni quesito deve mirare anche nel caso di una suddivisione in più punti ad una esposizione unitaria. I quesiti devono, nel loro complesso, andare oltre la pura riproduzione nozionistica ed offrire la possibilità di dimostrare abilità nella risoluzione di problemi, nell astrazione, e nel pensiero costruttivo. Bisogna evitare di coinvolgere eccessivamente le abilità di calcolo e gli schemi di soluzione precostituiti Correzione e valutazione Nella correzione vengono segnati a margine di ogni compito i pregi e le lacune, in modo da evidenziare la base della valutazione. Anche gli errori linguistici devono essere corretti.

2 Di seguito vengono presentati alcuni esempi tipici di quesiti rispondenti ai criteri suesposti. Tutti presuppongono l interpretazione congiunta di un testo e di un immagine; quest ultima raffigura, in maniera schematica - un complesso di processi dinamici, tramite una configurazione di possibili traiettorie; - il confronto tra grandezze numeriche, riprodotte in grafici di vario tipo; - relazioni tra enti geometrici nel piano e nello spazio. L astrattezza delle figure, che sono modelli di situazioni generali, corrisponde, sul piano dell analisi quantitativa, alla centralità del concetto di proporzione, che sta alla base del calcolo delle probabilità, della similitudine tra figure bi- e tridimensionali, del rapporto tra aree e volumi, del calcolo degli interessi e che, in ogni caso, produce formule letterali. Vengono anche proposti problemi in cui due ordini di valori sono legati da una funzione non lineare, che può anche essere riconosciuta dall andamento di una curva. 3. Esempi di quesiti (durata: 2 ore) Quesito 1 Nella configurazione a destra, la pallina, una volta rilasciata, può prendere una qualunque delle possibili strade. La probabilità di essere deviata a destra o a sinistra è del 50%. Ciò viene modificato da una corrente d aria: allora la sferetta viene deviata verso sinistra in 8 casi su 10. a) Ricava la probabilità che in assenza della corrente la pallina cada nella casella contrassegnata dalla lettera M od A rispettivamente. b) Supponi che la corrente d aria venga attivata. Spiega dettagliatamente perché la pallina cade con la stessa probabilità in M o in A. c) In presenza della corrente d aria, vengono lasciate cadere, una dopo l altra, palline. Determina il valore atteso del numero complessivo di palline nelle caselle contrassegnate da consonanti. d) Considera ora la configurazione qui a lato. La pallina viene rilasciata, in presenza della corrente d aria, due volte di seguito. Ricava la probabilità che la somma dei numeri delle due caselle in cui è caduta la pallina sia compresa tra 45 e 55.

3 Quesito 2 I diagrammi rappresentano la distribuzione delle distanze da casa a scuola tra gli allievi di una classe. Nessuno scolaro che abita a più di 1 km dalla scuola viene a piedi. a) La scuola ha 574 allievi. Per quanti la scuola dista più di 2 km? Quanti arrivano a piedi? Qual è la proporzione di pedoni tra gli allievi della scuola? b) 10 allievi vengono scelti a caso ed intervistati. Qual è la probabilità che tra questi vi siano 4 bambini che abitano a meno di 1 km dalla scuola? c) Qual è la probabilità, che tra 8 allievi intervistati a caso ve ne siano meno di 3 che devono percorrere più di 2 km? d) Qual è il numero minimo di allievi che devono essere intervistati affinché la probabilità di trovare un allievo che abita a più di 5 km dalla scuola sia superiore al 85%? Quesito 3 Sopra il portale principale del duomo di Strasburgo si trova un rosone gotico del diametro di 14 m. Il suo bordo inferiore è situato a 28 m dal suolo. a) Il turista Willi Wackel è a 60 m di distanza dal portale e tiene la sua macchina fotografica ad un altezza di 1,50 m. L angolo visuale è l angolo tra il bordo superiore del rosone, l occhio dell osservatore ed il bordo inferiore del rosone. Calcola l angolo visuale con il quale il turista vede il rosone. b) Willi Wackel vuole fotografare il rosone con il massimo angolo visuale possibile. Egli modifica dunque la sua distanza dal portale, andando avanti e indietro. Al variare della distanza varia anche l angolo visuale. Risolvi il suo problema.

4 Quesito 4 a) In una colonia sciistica, alla temperatura di 0 C, viene distribuito del caffè bollente, che nelle tazze si raffredda. La figura rappresenta la curva di raffreddamento del caffè. Determina l equazione della funzione corrispondente al grafico. Determina la temperatura del caffè dopo 20 minuti ed il tempo che occorre aspettare se si desidera bere il caffè a 60 C. Verifica il tuo risultato. b) Nel rifugio il caminetto acceso diffonde una temperatura di 21,4 C. Anche lì viene servito il caffè e Andi misura le seguenti temperature: L equazione della funzione di raffreddamento del caffè è della forma y = ab x +c. Descrivi la differenza rispetto al processo di raffreddamento in a). Determina l equazione della relativa funzione. Quesito 5 Ad un quadrato viene inscritto e circoscritto un cerchio. a) Calcola i raggi, le aree ed i perimetri di entrambi i cerchi per un quadrato di lato 5 cm. Esegui il calcolo anche per un quadrato di lato avente lunghezza arbitraria k. b) Che cosa puoi dire sui rapporti dei raggi, delle aree e dei perimetri dei due cerchi? c) Il cerchio inscritto racchiude a sua volta un quadrato più piccolo, analogamente il cerchio circoscritto è racchiuso in un quadrato più grande. Determina le lunghezze dei lati di questi due quadrati in funzione di k. d) Come si può proseguire?

5 Quesito 6 Cheope deve risparmiare sulla sua piramide rispetto alle misure progettate (base quadrata di lato 223 m, altezza 144 m). Il volume originario deve essere ridotto del 10%. L architetto di corte gli propone le seguenti alternative: a) Si conserva la base originaria e si riduce l altezza. Quanto misura la nuova altezza? b) Si conserva l altezza originaria e si riduce il lato della base. Quanto misura il nuovo lato? c) Si conserva la forma della piramide, però si elimina la punta (vedi disegno). Quanto misura l altezza del restante tronco di piramide? d) Il ministero delle finanze ha una proposta più raffinata: Cheope deve mantenere le misure del progetto, ma sostituire la base quadrata con una base a forma di triangolo equilatero di lato 223 m. In questo caso, quale percentuale del volume si risparmierebbe? Quesito 7 Sono dati tre grafici di funzioni e le funzioni f 1, f 2, f 3.

6 a) Attribuisci ad ogni funzione il suo grafico, motivando la tua scelta. b) Calcola gli zeri della funzione f 1. c) Alla luce dei grafici, fai un affermazione motivata sul numero di soluzioni dell equazione f 3 (x) = a, al variare di a in R. d) Quale delle tre funzioni possiede una funzione inversa su R? Quesito 8 La famiglia Müller vuole ristrutturare la casa e necessita di un prestito di euro. La sua banca di fiducia propone le seguente offerte a condizioni fissate: Offerta 1: interesse 5,9% ogni 12 mesi Offerta 2: interesse 1,45% ogni 3 mesi a) Quale delle due offerte è più conveniente? b) Formula due offerte di tipo analogo che siano ugualmente convenienti. c) La famiglia Müller vorrebbe restituire il denaro in rate trimestrali di euro. La banca presenta il seguente piano di ammortamento relativo all offerta 2, e valido per il primo anno: Quanto tempo occorrerà per estinguere il debito, e a quanto ammonta il debito residuo?

7 d) La banca ha determinato l ammortamento secondo la seguente espressione: Spiegala.

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