Esercitazione del 06/03/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità
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- Giordano Bonfanti
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1 Esercitazione del 6/3/ Istituzioni di Calcolo delle Probabilità David Barbato Esercizio. E la notte di San Lorenzo, Alessandra decide di andare a vedere le stelle cadenti. Osserverà il cielo finché non vedrà 3 stelle cadenti. Sia X il tempo che intercorre tra l inizio della sua osservazione e l istante in cui vede la terza stella cadente. Qual è la distribuzione più adatta per la v.a. X? Perché? (Supporre che sia il tempo medio necessario per vedere λ la prima stella cadente. Vettori aleatori discreti. Sia (X, Y una vettore aletorio discreto, con densità f allora X e Y sono v.a. discrete e la loro distribuzione è data da: P (Y y f(x, y e P (X x f(x, y ( x f(x,y> y f(x,y> Esercizio. Sia (X, Y un vettore aleatorio discreto con densità f data da: ( n f(m, n n, m interi e positivi + 3 m (cioè P (X m, Y n ( +3 m n. (a Calcolare la distribuzione di X. (b A quale distribuzione appartiene X? (Indicare gli eventuali parametri. Soluzione: (a P (X m 3 m per ogni m intero e positivo. (b La v.a. X è una v.a. geometrica di parametro 3. Vettori aleatori continui. Esercizio 3. Sia (X, Y un vettore aleatorio con densità: α(e f (X,Y (x, y x + e x+y se < x <, < y < altrimenti
2 (a Calcolare α. (b Calcolare la funzione di ripartizione e la densità delle variabili marginali X e Y. (c Calcolare E[e X ]. (d X e Y sono indipendenti? Esercizio 4. Sia (X, Y un vettore aleatorio con densità: α(e f (X,Y (x, y x + e y (x, y D (x, y / D Dove D (x, y R : < x <, < y < } (a Calcolare α. (b Calcolare la funzione di ripartizione e la densità delle variabili marginali X e Y. (c Calcolare P(X + Y <. (d Calcolare E[e Y ]. Esercizio 5. Sia (X, Y un vettore aleatorio con densità continua f (X,Y : f (X,Y (x, y α( sen(x + cos(x (x, y D y y 3 (x, y / D Dove D (x, y R : < x < π, y > }. (a Calcolare α. (b Calcolare le funzioni di ripartizione e le densità delle variabili marginali X e Y. (c X e Y sono indipendenti? (d Calcolare P (X < e P (X < Y <. Esercizio 6. Sia (X, Y un vettore aleatorio con densità: α( f (X,Y (x, y + se < x <, < y < 3 x y x 3 y altrimenti (a Calcolare α. (b Calcolare la funzione di ripartizione e la densità delle variabili marginali X e Y. (c Calcolare E[XY ]. (d Calcolare la covarianza cov(x, Y.
3 Esercizio 7. Sia (X, Y un vettore aleatorio con densità continua f (X,Y : α( e y (x, y D f (X,Y (x, y x (x, y / D Dove D (x, y R : x >, y > }. (a Calcolare α. (b Calcolare la funzione di ripartizione e la densità delle variabili marginali X e Y. e (c Calcolare E[ Y + ]. Y X (d Le variabili X e Y sono indipendenti? Quanto vale la covarianza cov[x, Y ]? Soluzioni Esercizio 3 (a Si può calcolare α risolvendo l uguaglianza R f (X,Y (x, y dxdy R f (X,Y (x, y dxdy e x ( + e y dydx α(e x + e x+y dydx e x (y + e y y y dx e x + e x e e x e dx e x (e + dx e x (e + x x (e e (e + Quindi si ha α (e e (e + (b Denotiamo con f X e f Y le densità di X e Y e con F X e F Y le rispettive funzioni di ripartizione. f X (x f (X,Y (x, y dy Per x / (, si ha f X (x f (X,Y (x, y dy dy Per x (, invece f X (x f (X,Y (x, y dy 3 α e x ( + e y dy
4 e x (y + e y y y ( ex + e ex (e + (e e (e + ex e e x / (, f X (x e x x (, e e si procede in maniera analoga per f Y, Per y / (, si ha f Y (y f (X,Y (x, y dx dx Per y (, invece f Y (y f (X,Y (x, y dx α e x ( + e y dx e x ( + e y x x (e e ( + e y ( + ey (e e (e e (e + + ey e + y / (, f Y (y +e y y (, e + Per calcolare le funzioni di ripartizioni possiamo integrare f X e f Y. F X (x f X (s ds Per x si ha F X (x f (X(s ds ds Per x si ha F X (x P (X x Per < x < invece F X (x f X (s ds F X (x e s e e ds ex e e e x e x e e e < x < x si procede in maniera analoga per F Y ottenendo: y y+e F Y (y y < y < +e y (c E[e X ] e x f X (x dx e x e x e e dx e e (d X e Y sono indipendenti, basta verificare che f (X,Y (x, y f X (x f Y (y per ogni x e y. 4
5 Esercizio 4 (a Si può calcolare α risolvendo l uguaglianza f (X,Y (x, y dxdy R f (X,Y (x, y dydx (e x + e y dydx R D [ ye x e y] y dx e + e x + e dx y [x(e + e x ] (e + e e α(e e x + e y dydx Quindi si ha α (e (b Denotiamo con f X e f Y le densità di X e Y e con F X e F Y le rispettive funzioni di ripartizione. f X (x f (X,Y (x, y dy Per x / (, si ha f X (x f (X,Y (x, y dy dy Per x (, invece f X (x f (X,Y (x, y dy α(e x + e y dy ye x e y y y ( e + e x + e f X (x x / (, α (e x + e x (, Si procede in maniera analoga per f Y f Y (y f (X,Y (x, y dx Per y / (, si ha f Y (y f (X,Y (x, y dx dx Per y (, invece f Y (y f (X,Y (x, y dx α(e x + e y dx e x + xe y x x ( e + e y + e 5
6 f Y (y y / (, α (e y + e y (, Per calcolare le funzioni di ripartizioni possiamo integrare f X e f Y. F X (x f X (s ds Per x si ha F X (x f (X(s ds ds Per x si ha F X (x P (X x Per < x < invece F X (x f X (s ds α (e s + e ds e s + s(e s+x s (x(e + e x x F X (x (x(e + e x < x < x si procede in maniera analogo per F Y ottenendo: y F Y (y (y(e e y + e < y < y (c Denotiamo con C l insieme dei punti (x, y di D tali che x+y <. Allora si ha: P (X + Y < f (X,Y (x, y dydx Al variare di x tra e la disuguaglianza x + y < ci dà y < x. P (X + Y < C x e x + e y dydx [ ye x e y] y x dx xe x e x + e x + e dx y [ xe x + e x + xe] ( e + e + e e (e 6
7 (d Si può calcolare E[e Y ] risolvendo: E[e Y ] e y f (X,Y (x, y dydx R oppure poiché e Y dipende solo da Y risolvendo E[e Y ] e y f Y (y dy R Illustriamo la risoluzione del primo integrale (il più difficile. E[e Y ] D e y α(e x + e y dydx e x+y + dydx [ e x+y + y ] y dx e x e x + dx y [e x e x + x ] (e e + e + e e + e (e Esercizio 5 (a Per calcolare α bisogna imporre f (X,Y e f (X,Y dxdy. Per (x, y D si ha: sen(x >, cos(x >, Y > e Y 3 > dunque per soddisfare la prima condizione sarà sufficiente imporre α. Calcoliamo ora l integrale f (X,Y dxdy. f (X,Y dxdy π π [ sen(x (y + cos(x ] y+ dx ( y y ( π [ cos(x + sen(x] x π x ( cos ( sen(x α + cos(x dydx y y 3 π ( + + α (sen(x + cos(x dx ( π + cos( + sen sen( (b f X (x f (X,Y (x, ydy 7
8 Se x / (, π allora f X(x dy Consideriamo il caso x (, π allora: f X (x f (X,Y dy ( sen(x α + cos(x dy y y 3 [ sen(x (y + cos(x ] y+ (sen(x + cos(x ( y y f X (x f Y (y f (X,Y (x, ydx Se y allora f Y (y dx Consideriamo il caso y > allora: f Y (y α(sen(x + cos(x x (, π x / (, π f (X,Y dx π [ cos(x y ( cos( π + sen( π y y 3 ( y + y 3 ( sen(x α + cos(x dx y y 3 + sen(x ] xπ y 3 x cos( y ( y f Y (y α y > + y F X (a P (X a a f X(xdx Se a allora F X (a a dx Se a π allora F X(a P (X a. Consideriamo il caso a (, π allora: F X (a a f X (xdx a y 3 sen( y 3 α(sen(x + cos(xdx [ cos(x + sen(x] a dx ( cos(a + sen(a + cos( sen( ( cos(a + sen(a 8
9 a F X (a ( cos(a + sen(a a (, π a π F Y (b P (Y b a f Y (ydy Se b allora F Y (b b dy Consideriamo il caso b > allora: b b ( F Y (b f Y (ydy y + [ dy y 3 y + ( y ( α b + ( b ( b ( b F Y (b b α ( b b b > ] b dy (c Le variabili aleatorie X e Y non sono indipendenti perché la funzione f X f Y è diversa da f (X,Y. (d Prima di tutto sen( e cos( devono essere calcolati in radianti quindi: sen(.84 cos(.54 Poiché la v.a. X è assolutamente continua si ha: P (X < P (X F X ( ( cos( + sen(.65 P (X <, Y < P (X < Y < P (Y < ( P (Y < P (Y F Y ( ( sen(x P (X <, Y < + cos(x dydx [ sen(x y ( sen(x α + cos(x ( sen(x cos(x y + cos(x ( y ( sen(x dx 9 ] y y 3 dx y cos(x ( dx [ cos(x sen(x ]
10 ( cos( + 34 sen( + cos( 34 sen( Esercizio 6 ( cos( + 3 sen(.43 8 P (X < Y < (a α.5 log(3+ ( x / (, f X (x α log(3 + x (, x (b 3x 3 ( y / (, 3 f Y (y α + 3 y (, 3 y 8y ( x F X (x log(3 + 3 log(3 < x < x 3x x ( y 3 F Y (y 8 + log(y 3 < y < 3 8y y 3 ( (c E[XY ] log( + log(3.46 (d cov(x, Y.96 Esercizio 7 (a α e x (b f X (x x > x x F X (x x > x y f Y (y e y y > y F Y (y e y y > (c + e 3 (d X e Y sono indipendenti. cov[x, Y ]
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