LICEO CLASSICO LORENZO COSTA UN GIOIELLO DEL MARE: IL NAUTILUS. Classe IV C anno scolastico 12/13 Materia: matematica Docente: Emanuela Corsaro

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1 LICEO CLASSICO LORENZO COSTA UN GIOIELLO DEL MARE: IL NAUTILUS Classe IV C anno scolastico 12/13 Materia: matematica Docente: Emanuela Corsaro

2 INTRODUZIONE Nell ambito della realizzazione dell Unità di Apprendimento IL MARE abbiamo sviluppato con l insegnante di matematica la presente unità didattica Un gioiello del mare: il Nautilus. Riassumiamo di seguito le fasi del nostro lavoro: Le conchiglie a spirale anche il nome di un sottomarino Il Nautilus e la matematica: la successione di Fibonacci La successione di Fibonacci e il numero aureo La sezione aurea Qualche curiosità Fibonacci e la potenza n-esima del binomio

3 LE CONCHIGLIE A SPIRALE In natura diversi tipi di conchiglie hanno una forma fatta a spirale, una di queste è il Nautilus (in alto a sinistra)

4 Il Nautilus è un mollusco sopravvissuto relativamente senza alcun cambiamento per 450 milioni di anni è una delle poche conchiglie che esiste dall'era dei dinosauri, per questo chiamato "fossile vivente è una creatura notturna che passa la maggior parte della sua vita nelle profondità dell'oceano

5 ANCHE IL NOME DI UN SOTTOMARINO Nautilus, che in greco significa marinaio è anche il nome del primo sommergibile funzionante. Venne commissionato da Napoleone e progettato dall'inventore americano Robert Fulton. Varato nel 1800 era costituito da fogli di rame con una struttura in ferro, usava timoni per il controllo del movimento verticale e orizzontale e dei serbatoi di aria compressa per dare all'equipaggio di quattro persone un'autonomia di sei ore. Sott'acqua il Nautilus veniva spinto da un propulsore a quattro pale fatto girare a mano. Il Nautilus è anche il sottomarino fantastico ideato e comandato dal Capitano Nemo nei romanzi Ventimila leghe sotto i mari (1870) e L'isola misteriosa (1874), frutto del mirabile ingegno visionario di Jules Verne, popolare scrittore francese anticipatore della moderna fantascienza. Nautilus vennero chiamati anche altri sottomarini: il Regio sommergibile Nautilus, assegnato alla III Squadriglia Sommergibili di Brindisi nel 1913; durante la prima guerra mondiale operò in funzione offensiva lungo le coste della Dalmazia sei navi della marina degli Stati Uniti, incluso lo USS Nautilus SSN-571, che fu il primo sottomarino militare a propulsione nucleare costruito nel 1952 presso i cantieri navali della General Electric nel Connecticut.

6 IL NAUTILUS E LA MATEMATICA In MATEMATICA il Nautilus è particolarmente interessante perché l accrescimento biologico del suo guscio, fatto a forma di spirale, segue una particolare successione di numeri chiamata successione di Fibonacci.

7 La successione di Fibonacci è una successione di numeri interi naturali in cui ciascun numero (a parte i primi due) è il risultato della somma dei due precedenti. Matematicamente si ottiene assegnando i valori dei primi due termini, 1 e 1 e calcolando via via i successivi; si ottiene così la successione infinita di numeri: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,..

8 ATTIVITA 1: In una pagina del nostro quaderno a quadretti abbiamo disegnato il guscio del Nautilus seguendo le indicazioni sotto riportate: 1. Abbiamo preso come unità di misura il lato del quadretto 2. Procedendo in senso orario abbiamo disegnato due quadrati contigui di lato 1, poi un quadrato di lato 2, seguito da un quadrato di lato 3, poi di lato 5, poi di lato 8 e così via.. 3. Abbiamo congiunto con un arco di circonferenza i vertici di questi quadrati, ottenendo una spirale, detta spirale logaritmica, che descrive la struttura del Nautilus

9 ATTIVITA 2: Alcuni di noi hanno svolto una ricerca sul web sulla vita del matematico pisano Leonardo Fibonacci ATTIVITA 3: In laboratorio di informatica abbiamo scritto con Excel i primi 40 numeri ( e oltre) della successione di Fibonacci utilizzando le formule studiate. Riportiamo a fianco il nostro foglio di lavoro di Excel. A 1 SUCCESSIONE DI FIBONACCI

10 LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI E IL NUMERO AUREO La successione di Fibonacci è legata ad un numero irrazionale (decimale infinito non periodico) chiamato numero Aureo il cui valore è circa Ф =

11 INFATTI una delle più importanti proprietà della successione di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,... è la seguente: il rapporto di ogni termine con il precedente si avvicina molto rapidamente al numero aureo Ф = più precisamente i valori decimali approssimati di: 1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34, 89/55; 144/89 ecc. sono 1; 2; 1,5; 1, 666; 1,6; 1,625; 1,615; 1, 619; 1, 617; 1, 6181; 1, 6180 ecc.

12 ATTIVITA 4: Utilizzando le formule opportune, abbiamo realizzato con Excel la successione dei rapporti dei termini della successione di Fibonacci e abbiamo verificato che il loro valore tende al numero aureo Ф = SUCCESSIONE DI FIBONACCI RAPPORTI A n /A n , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

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14 LA SEZIONE AUREA DEFINIZIONE La sezione aurea di un segmento di lunghezza l è la misura del segmento medio proporzionale fra la lunghezza di tutto il segmento e la parte rimanente. Prendiamo per comodità l=1 e indichiamo con x la misura della sezione aurea, (1-x) è allora la misura del segmento rimanente. 1 Dalla definizione deve essere: x 1-x 1 : x = x : (1-x) da cui, per la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè x 2 =1-x x 2 -(1-x)=0 e x 2 +x-1=0 Si dimostra che tale numero x (che è la soluzione positiva dell equazione di secondo grado scritta sopra), vale

15 Il rapporto fra la misura di un segmento e la sua sezione aurea viene chiamato numero aureo e indicato con la lettera Ф pertanto

16 Di seguito viene riportato il valore di Ф fino alla 1000 cifra decimale: 1, Il numero aureo Ф è l unico numero non naturale il cui reciproco e il cui quadrato mantengono inalterata la propria parte decimale:

17 La successione di Fibonacci possiede molte altre proprietà interessanti e ha legami in diversi settori: la chimica, l economia, l informatica, l arte, la geometria dei frattali, la natura In molte specie vegetali il numero dei petali di ogni fiore è di solito un numero di Fibonacci, come 5, 13, 55 o perfino 377, come nel caso della diaccola. Le squame delle pigne e i semi del girasole sono disposte con andamenti spiraliformi secondo la serie di Fibonacci, in modo da essere uniformemente sparsi su tutta la corolla e non troppo ammassati al centro. Le scaglie degli ananas presentano un'aderenza ancora più costante ai fenomeni di Fibonacci: non una sola eccezione è stata trovata in un test compiuto su 2000 ananas. I numeri di Fibonacci si trovano anche nei cavolfiori e nella fillotassi, ossia l'ordinamento delle foglie su un gambo. Fu Keplero a rilevare che su molti tipi di alberi le foglie sono allineate secondo uno schema che segue i numeri di Fibonacci.

18 I numeri di Fibonacci sono anche presenti nell installazione luminosa denominata Il volo dei numeri (di M. Merzi) su una delle facciate della Mole Antonelliana di Torino.

19 FIBONACCI E LA POTENZA N-ESIMA DEL BINOMIO Nel secondo quadrimestre, quando studieremo i prodotti notevoli e la potenza n-esima del binomio (A+B) n vedremo che i numeri della successione di Fibonacci si ottengono sommando le diagonali del triangolo di Tartaglia:

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