MECCANISMI CON CAMME MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE LM. 1. Classificazione. Meccanismi con Camme Piane

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1 Univesità degli Studi di Bologna Scuola di Ingegneia e Achitettua Dipatimento di Ingegneia Industiale Coso di Lauea Magistale in INGEGNERIA MECCANICA sede di Folì. Classiicazione Meccanismi con Camme Piane MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE LM po. Alessando RIVOLA Tel alessando.ivola@unibo.it MECCANISMI CON CAMME a) b) c) d) e) Cedente Taslante (Punteia) ) Cedente Rotante (Bilanciee) a) b) c) d) Punteia Centata e) Punteia Eccentica a) Punteia a Coltello b) e) ) Cedente a Rotella c) Punteia a Piattello d) Punteia seica Meccanica applicata alle Macchine LM

2 Meccanismi con Camme Spaziali Accoppiamenti di Foza Accoppiamenti di Foma Meccanica applicata alle Macchine LM Meccanica applicata alle Macchine LM 4

3 Accoppiamenti di Foma Accoppiamenti di Foma Meccanica applicata alle Macchine LM 5 Meccanica applicata alle Macchine LM 6

4 . Nomenclatua. Analisi Cinematica Poblema: nota la oma della camma e il tipo di meccanismo, deteminae posizione, velocità ed acceleazione del cedente. E un poblema che si pesenta aamente poiché ciò che si conosce è popio la legge di moto del cedente ed è in base a questa che si detemina la oma della camma. Vediamo comunque come sia possibile isolvee il poblema assegnato. Meccanismi Cinematicamente Equivalenti Pendiamo in esame il meccanismo a camma con punteia a otella appesentato in igua. E acile vedee che nell intono di una qualunque coniguazione esso è cinematicamente equivalente ad un manovellismo di spinta avente pe telaio il telaio del meccanismo a camma, pe cosoio la punteia e la cui biella ha gli assi delle coppie otoidali in coispondenza dei centi di cuvatua dei poili di camma e otella. Inatti la distanza O O esta invaiata pe uno spostamento ininitesimo del meccanismo. Pe l analisi cinematica si può alloa pocedee con i metodi noti pe i sistemi aticolati piani. Ovviamente occoe conoscee le posizioni del cento di cuvatua del poilo camma. Tace Point Punto di ieimento Pitch Cuve Poilo Pimitivo Cam Poile Poilo della camma Base Cicle Cechio di Base Pessue Angle Angolo di Pessione Punto teoico sul cedente; coisponde al punto sul tagliente di una punteia a coltello. Nel caso di punteia a otella coincide con il cento della otella. Nel caso di punteia a piattello è l intesezione della supeicie del piattello con la paallela all asse della punteia passante pe il cento della camma. La sua taiettoia è il poilo pimitivo. La taiettoia del punto di ieimento nel moto del cedente ispetto alla camma. La supeicie della camma a contatto con il cedente. Pe la punteia a coltello, il poilo della camma coincide con il poilo pimitivo. La più piccola ciconeenza, con cento nell asse di otazione della camma, tangente al poilo camma. L angolo ta la nomale al poilo pimitivo e la diezione del moto del cedente. Meccanica applicata alle Macchine LM 7 Meccanica applicata alle Macchine LM 8

5 Pe il meccanismo a camma e bilanciee appesentato nella seguente igua, il meccanismo cinematicamente equivalente è un quadilateo aticolato avente pe telaio il telaio del meccanismo a camma, con biella avente gli assi delle coppie otoidali in coispondenza dei centi di cuvatua dei poili di camma e otella e aste incenieate in coispondenza degli assi di camma e bilanciee. 4. Sintesi 4. Tacciamento del poilo camma con Metodo Gaico Poblema: assegnata la legge di moto si deve disegnae la camma atta ad impoe al cedente tale legge di moto. In geneale, stabilita la unzione da geneae ss(θ), è necessaio deteminae i poili coniugati dei due membi a contatto nella coppia supeioe. Solitamente la oma di uno dei due poili è nota (poilo cicolae, ettilineo, ). La deteminazione dell alto poilo avviene con il metodo dell inviluppo. Si considea il moto elativo al membo di cui si vuol deteminae il poilo, acendo assumee al membo di cui è noto il poilo le posizioni deinite dagli accoppiamenti e dalla unzione ss(θ) che si vuol ealizzae. In alte paole si opea una invesione cinematica assegnando ad ogni membo una velocità angolae uguale e contaia a quella del membo con poilo da deteminae (la camma). L inviluppo delle successive posizioni assunte dal membo con poilo noto costituisce il poilo coniugato che si vuole deteminae. Punteia a Rotella Centata Analogo agionamento può essee impiegato pe deteminae il meccanismo cinematicamente equivalente ad un meccanismo a camma con piattello (vedi igua seguente). Meccanica applicata alle Macchine LM 9 Meccanica applicata alle Macchine LM

6 Punteia a Rotella Deviata 4. Deteminazione del poilo camma e della taiettoia del cento esa con metodi analitici 4.. Camma a disco con punteia a coltello. Pe la punteia a coltello, il poilo camma coincide con il poilo pimitivo. Possiamo quindi ae ieimento a quest ultimo. Pe un geneico angolo di otazione camma pai a θ, la distanza adiale del punto di ieimento dal cento di otazione della camma è: OCRR +s(θ). Petanto, il poilo della camma è deinito, in coodinate polai, dal aggio OC e dall angolo θ. Punteia a Piattello Centata Il poblema della deteminazione della taiettoia del cento esa si iduce ad un caso paticolae del meccanismo a camma con punteia a otella, si imanda, quindi, alla elativa tattazione. 4.. Camma a disco con punteia a otella centata. In questo caso il poilo camma dieisce dal poilo pimitivo. Indicato con il cento di cuvatua del poilo camma, osseviamo che il meccanismo cinematicamente equivalente e un manovellismo di spinta centato in cui O è la manovella e C la biella. Osseviamo inolte che tale meccanismo equivalente è comune anche al meccanismo a camma con punteia a coltello. Petanto è, come ovvio, anche cento di cuvatua del poilo pimitivo. Meccanica applicata alle Macchine LM Meccanica applicata alle Macchine LM

7 Indicato con P il punto di tangenza ta otella e poilo della camma, osseviamo che, in geneale, P non si tova sul segmento OC pe cui è eato ottenee il poilo della camma detaendo in senso adiale il aggio R della otella dalla quantità OCR b ++ s(θ)r + s(θ) (che appesenta il poilo pimitivo). Applicando il teoema di Canot al tiangolo CPO, si ha: PO R + ( R + s) R ( R + s)cos( π α) R + ( R + s) + R ( R + s)cos( α) Deteminazione del Poilo inteno Inolte, posto: β θ ϕ Applicando il teoema di Canot al tiangolo CPO, si ha: PO R + ( R + s) R ( R + s) cosα Inolte, posto: β ϕ θ pe il teoema dei seni sullo stesso tiangolo isulta: PO sin β CP sinα da cui si icava: poiettando OP e OC sulla nomale a OC passante pe il punto P, isulta: PO sin β CP sinα da cui si icava: R β acsin sinα PO PO Il poilo esteno della camma è alloa espesso dalle coodinate polai: R ϕ θ acsin sinα PO R β acsin sinα PO Il poilo camma è alloa espesso dalle coodinate polai: Deteminazione del Poilo esteno PO R ϕ θ + acsin sinα PO Deteminazione della taiettoia del cento esa. Come è ovvio, se il aggio della esa R coincide con il aggio del ullo R, la taiettoia del cento esa coincide con il poilo pimitivo. In caso contaio il cento esa si tova sulla nomale al poilo della camma e dista dal punto C una quantità pai a: CFR - R. Esiste natualmente anche il poilo esteno. Tale poilo viene impiegato nel caso di camma a disco con scanalatua (contatto di oma). Pe deteminalo acciamo ieimento alla igua seguente. Applicando il teoema di Canot al tiangolo FCO, si ha: OF ( CF) + ( CO) + ( CF)( CO) cosα Meccanica applicata alle Macchine LM Meccanica applicata alle Macchine LM 4

8 Inolte, posto: θ ϕ poiettando OF e OC sulla nomale a OC passante pe il punto F, isulta: CF CF sin α OF sin da cui si icava: acsin sinα OF La taiettoia del cento esa è quindi espessa dalle coodinate polai: OF CF ϕ θ acsin sinα OF Queste espessioni sono valide anche pe il caso di punteia a coltello dove natualmente, essendo R, si ha: CFR 4.. Camma a disco con punteia a piattello. Deteminazione del poilo camma. Eettuata l invesione cinematica, in una posizione geneica la distanza ta l asse O della camma e il punto di ieimento C (C è l intesezione ta la supeicie del piattello e la paallela al moto della punteia passante pe O) vale: OCR b + s(θ). Il punto di contatto P in geneale non coincide con il punto di ieimento. Le coodinate polai del poilo camma di possono tovae come segue: Dal tiangolo OCP isulta: OP OC + CP Inolte, possiamo ossevae che la distanza CP è la medesima che si ha ta il cento della camma O ed il cento di istantanea otazione ta camma e punteia. Petanto il segmento CP appesenta la velocità della punteia a meno della velocità angolae della camma, ovveo: Dimensionamento piattello. Il piattello deve isultae lungo almeno: Deteminazione della taiettoia del cento esa. Dal tiangolo OC F isulta: dove: Inolte si ha: ( CP) s OF ( OC' ) + ( C' F). max ( CP) min ( s' ) max ( ') min C ' F CP s' e OC' R + R s( θ ) le coodinate del cento esa sono: b + C' F s' tg e, posto: ϕ θ + OC' R + R + s( θ ) b OF [ R + R + s( θ )] b ϕ θ + actg R b + s' s' + R + s( θ ) s Ωs' CP ɺ s' Ω Ω Inolte si ha: CP s' tg e, posto: ϕ θ + OC R s( θ ) b + il poilo camma isulta espesso dalle coodinate polai: OP [ R + s( θ )] ϕ θ + actg R b b + s' s' + s( θ ) Meccanica applicata alle Macchine LM 5 Meccanica applicata alle Macchine LM 6

9 4..4 Camma a disco e bilanciee con otella. La posizione iniziale del cedente è quella tatteggiata in igua, in cui la otella si appoggia al cechio di base di aggio R b all inizio del tatto di salita ed il cedente oma con il telaio O O l angolo β. α N C β+ M α b ϕ C α C L O β G θ ω d O Ovviamente in questo caso la s(θ) appesenta le otazioni del cedente; si ha che l angolo che il bilanciee oma con il telaio è dato da: β β + s(θ). Si ponga: O O d e O C b Dal tiangolo O GC isulta: O C CG + O G CG αc actg OG Le coodinate polai del poilo pimitivo sono: Meccanica applicata alle Macchine LM 7 O C β dove: ( bsin β ) O CG bsin β O G d b + ( d bcos β ) cos β bsin β ϕc θ + αc θ + actg d bcos β Il punto L di igua è il cento di istantanea otazione nel moto elativo camma-bilanciee, petanto isulta: OL ω O L OL da cui si ha: s' O L ω Pe la similitudine dei tiangoli O NL e O ML isulta anche: Sia l angolo omato dal segmento C con il segmento O O. Ossevando che: O M bsin( β + ) d sin O N bsin( β + ) si ha: bsin( β + ) d sin bsin( β + ) s' bsin β ( s' ) che, dopo alcuni passaggi, onisce: tg d bcos β ( s' ) O L O M O L O N s Angolo di pessione. L angolo di pessione è pe deinizione l angolo compeso ta la diezione della velocità di un punto del cedente e la nomale al poilo pimitivo. Facendo ieimento alla igua, indicato con α l angolo di pessione, lo stesso esta individuato ta la nomale al segmento O C ed il segmento C. π π L angolo di pessione è quindi deteminato dalla: α β [ β + s ( θ )] Deteminazione del poilo camma. Dal tiangolo O HP isultano le seguenti: Essendo: PH bsin β R sin O H d bcos β R P' C P ϕ P α P b O cos β θ d H' H ω O P αp actg O + O H Meccanica applicata alle Macchine LM 8 β PH PH O H O '

10 Le coodinate polai del poilo camma inteno sono date da: O P ( bsin β R sin ) + ( d bcos β R cos ) bsin β R sin ϕp θ + αp θ + actg d bcos β R cos Pe il poilo camma esteno isulta invece: O P' ϕ θ + α P' ( bsin β + R sin ) P' + ( d bcos β + R cos ) bsin β + R sin θ + actg d bcos β + R cos Deteminazione della taiettoia del cento esa. Dal tiangolo O JF isulta: dove: O J bsin β + ( R JF d bcos β + ( R R R J F C O F O J OJ ϕ θ + actg JF R )sin b ϕ F O R )cos β θ ω d + JF O β O Petanto le coodinate polai del cento esa pe tagliae il poilo inteno sono: O F [ bsin β + ( R R )sin ] + [ d bcos β + ( R bsin β + ( R R )sin ϕ θ + actg d bcos β + ( R R ) cos R ) cos ] Analogamente si icavano le coodinate polai del cento esa pe tagliae il poilo esteno: O F' [ bsin β ( R R )sin ] + [ d bcos β ( R bsin β ( R R )sin ϕf ' θ + actg d bcos β ( R R ) cos R ) cos ] 4. Deteminazione del aggio di cuvatua del poilo camma e enomeno del sottotaglio 4.. Camma a disco con punteia a coltello. Il cento di cuvatua del poilo pimitivo si tova ovviamente sulla nomale al poilo nel punto di contatto. Pe tovae il aggio di cuvatua del poilo, C ρ, issiamo un sistema di ieimento catesiano complesso (x jy) con oigine nel punto O ed asse eale x coincidente con la diezione di ieimento θ (OA in igua) e studiamo il moto del punto C. Tale moto, che istante pe istante è appossimabile ad un moto cicolae su un aco di cento e aggio C, è composto dal moto elativo al telaio e dal moto di tascinamento. Nel moto elativo al telaio C si muove lungo il aggio OC. Nel moto di tascinamento C si muove lungo un aco di cento O e aggio R R +s(θ). Il vettoe (C O) può essee scitto come: Deiniamo i due seguenti vesoi otogonali: a e b e jϑ π j ϑ + Si ha inolte: j e jϑ j a dr dr dϑ s' Ω dϑ jϑ ( C O) R e. valgono ovviamente le: d R d s' dω d s' dϑ Ω + ' Ω + ' Ω ɺ s s s' ' Ω + s' Ωɺ dϑ da j j Ω e db j Ω e () ϑ ϑ Ω b Ω a Meccanica applicata alle Macchine LM 9 Meccanica applicata alle Macchine LM

11 Essendo dunque: ( C O) R a () Essendo la velocità assoluta pependicolae a C, si può icavae semplicemente l angolo di pessione. Risulta inatti: v s' Ω s' tgα (6) v R Ω R + s t la deivata pima, ispetto al tempo, del vettoe (C O) si può scivee come: Pe deinizione di aggio di cuvatua, esso è pai al appoto ta il quadato del modulo della velocità assoluta e la componente nomale della acceleazione assoluta. d ( C O) dr a + R Ω b () L acceleazione assoluta in diezione C vale: ( s' ' Ω + R Ω ) cosα + ( s' Ω ) sinα d ( C O) n v e tenendo conto che: sinα e d( C O) v cosα t, d( C O) d ( C O) d R dr dr mente la deivata seconda è: a + Ω b + Ω b + R Ωɺ b R Ω d ( C O) d R dr ovveo: a + Ω b + R Ωɺ b R Ω a. (4) Nella () il pimo temine è la velocità elativa v, mente il secondo è la componente di tascinamento v t. La velocità assoluta, che è pependicolae a C, è la somma vettoiale dei due temini. a il aggio di cuvatua isulta essee pai a: d( C O) ρ d ( C O) In conclusione è: n Ω ( s' + R ) ( s' ' Ω + R Ω ) RΩ + ( s' Ω ) ρ [ ] ( R + s) + s' ( R + s) s' ' + s' + ( R + s) ( s' + R ) s' Ω s' ' R + s' + R 4.. Camma a disco con punteia a otella centata. Come ossevato in pecedenza (4..), in questo caso il poilo camma dieisce dal poilo pimitivo. Nell ipotesi in cui la velocità angolae della camma sia costante, tenendo conto delle (), la () e la (4) diventano: d( C O) s' Ω a + R Ω b Il modulo della velocità assoluta è poi: d( C O) v d ( C O) ( ); s' ' Ω a + s' Ω b R Ω a dr + vt + R Ω Ω s' + R (4 ) (5) Pe deteminae il aggio di cuvatua della camma è suiciente ossevae che il punto di contatto P ta camma e otella si tova sulla congiungente C e ad una distanza dal cento della otella pai a CPR. Il aggio di cuvatua del poilo camma è dunque: ρpc-cp ovveo: ρρ -R In deinitiva il aggio di cuvatua vale: ρ [ s' + ( R + s) ] ( R + s ) dove: ( R + s) s' ' + s' R R b +R R Meccanica applicata alle Macchine LM Meccanica applicata alle Macchine LM

12 Si ossevi che R è il aggio base della coispondente camma con punteia a coltello, mente Rb il aggio base della camma con punteia centata a otella. 4.. Camma a disco con punteia a piattello Camma a disco e bilanciee con otella. Posto uguale a k l angolo PO, si ha: OC P + O cos( π ) P O cos CP O sin( π ) O sin k Deivando la seconda ispetto a θ isulta: d( CP) d( s' ) s' ' O cos k che, sostituita nella pima equazione, onisce il aggio di cuvatua del poilo: ρ P OC + O cos k OC + s'' k k k Poiettando la pecedente secondo la diezione del telaio e della sua nomale si ottiene: I ) II ) O cosα + ρ cos + bcos β d O sinα + ρ sin bsin β Deivando la seconda equazione ispetto all angolo camma θ, si ha: dα d dβ O cosα + ρ cos b cos β essendo: isulta: dα dβ s' (vedi nota **) O cosα ρ ' cos bs' cos β che sostituita nella (I) onisce: d bcos β ρ ' cos + bs' cos β ρ cos Pe calcolae il aggio di cuvatua del poilo pimitivo ρ, si può scivee la seguente equazione (da intendesi vettoiale): O + C + CO + OO d bcos( β + s)( s' ) ed inine: ρ cos ( + ' ) Il aggio di cuvatua del poilo camma inteno vale: (vedi nota ***) ρ ρ R α C β+ b β d O (**) Dal momento che è il cento di cuvatua, se il segmento O O uota dell angolo ininitesimo, il segmento O esta isso e, petanto, l angolo α diminuisce della quantità. In deinitiva si ha: dα ( α ) α (***) I valoi di e di cos da inseie nella omula pe il calcolo del aggio di cuvatua del poilo, si icavano in base alle seguenti: α θ β bsin β ( s' ) D D tg actg [ tg ] actg d bcos β ( s' ) C C O ω O d D ' actg d θ C D + C sec + tg cos D' C DC' D' C DC' C C + D D + C da cui: cos C C + D Meccanica applicata alle Macchine LM Meccanica applicata alle Macchine LM 4

13 4..5 Fenomeno del sottotaglio Se il aggio di cuvatua del poilo pimitivo è minoe, in valoe assoluto, del aggio della otella, si veiica il cosiddetto sottotaglio, cioè, pensando di impiegae pe la costuzione del poilo camma una esa di diameto uguale a quello della otella, una pate del contono della camma viene distutto duante il taglio. Condizione ainché non si veiichi sottotaglio è dunque: ρ > R () Ricodando l espessione del aggio di cuvatua del poilo pimitivo nel caso di camma con punteia centata a otella: [ s' + ( R + s) ] ρ con R R ( R + s) ( R + s) s' ' + s' b + R si osseva, come del esto è abbastanza intuitivo, che a paità di alte cicostanze (legge di moto, aggio otella), il peicolo di sottotaglio è tanto maggioe quanto minoe è il aggio base della camma. ρ ρ ρ O ρ ρ ρ O ρ ρ In igua è mostato il caso in cui, a paità di aggio di cuvatua del poilo pimitivo si aumenta il aggio del ullo (di conseguenza diminuisce il aggio base). Nel caso (c) il poilo camma che daebbe luogo al poilo pimitivo desideato dovebbe pesentae un cappio. Come è ovvio, duante il taglio con una esa avente diameto pai a quello del ullo, tale cappio viene distutto; ne isulta che la camma così ealizzata non è atta a geneae la legge di moto desideata. Dimostiamo la elazione (). Con ieimento alla igua abbiamo: Poilo inteno: ρ ρ R Poilo esteno: ρ ρ + R ) ( Condizione ainché non si veiichi sottotaglio è che la somma delle cuvatue di camma e otella (o esa) sia positiva, cioè: + > () ρ R Pe il poilo inteno si ha quindi: + > ρ R R R + ρ R ρ ρ + > > ρ R R ( ρ R ) R ( ρ R ) R ( ρ R ) Note sui segni dei aggi di cuvatua Il aggio di cuvatua ρ del poilo pimitivo è positivo se il cento O della camma si tova dalla stessa pate del cento di cuvatua. In alte paole ρ è positivo se il poilo è convesso ispetto al cento della camma O. Il aggio di cuvatua ρ del poilo camma è positivo se il mateiale si tova dalla stessa pate del cento di cuvatua. In alte paole ρ è positivo se il poilo è concavo ispetto al cento di cuvatua. Se ρ è positivo deve isultae: Se ρ è negativo deve isultae: ρ > ρ > R ρ < ρ < R () (4) (è sempe veiicata) Pe il poilo esteno isulta invece: + > ( ρ + R ) R Meccanica applicata alle Macchine LM 5 Meccanica applicata alle Macchine LM 6

14 R ρ R + ( ρ + R ) R ( ρ + R ) R Se ρ è positivo deve isultae: Se ρ è negativo deve isultae: ρ ( ρ + R ) R ρ > ρ > R ρ < ρ < R > Dalla () e dalla (6) isulta in conclusione che deve essee: Abbiamo quindi ottenuto la elazione (). ρ > ( ρ R ) + (5) (è sempe veiicata) (6) ρ > R Possiamo anche ossevae che quando il poilo pimitivo è concavo (ρ <) non si hanno mai poblemi pe il poilo inteno (vedi equazione (4)); è il poilo esteno che può essee soggetto a sottotaglio. Al contaio, quando il poilo pimitivo è convesso (ρ >), è il poilo esteno che non ha poblemi di sottotaglio (vedi equazione (5)), mente il poilo inteno può essene aetto Se vogliamo agionae in temini di poilo camma, dovendo valee la () deve essee: + ρ R ρ + R ρr > Se ρ è positivo deve isultae: Se ρ è negativo deve isultae: ρ + R ρ ρ > ρ > R ρ < ρ < R > (è sempe veiicata) Possiamo concludee che il sottotaglio può veiicasi quando il poilo camma è concavo (il mateiale non sta dalla pate del cento di cuvatua ) Inine, pe quanto iguada il taglio con una esa avente aggio R diveso da quello della otella, deve valee ancoa la () in cui si sostituisce R a R : + ρ > R Se ρ è positivo deve isultae: ρ + R ovveo: + > ρ R ρr ρ > ρ > R (è sempe veiicata) ρ + R ρ > Se ρ è negativo deve isultae: ρ < ρ < R Possiamo concludee che anche in questo caso il sottotaglio può veiicasi quando il poilo camma è concavo (il mateiale non sta dalla pate del cento di cuvatua ). Inolte, qualoa isulti R R, e non si abbia sottotaglio nei cononti del ullo, non si hanno poblemi nemmeno duante il taglio con la esa. Se, al contaio, è R R, e si ha sottotaglio nei cononti del ullo, a maggio agione si incontano poblemi nel taglio con la esa. 4.4 Tacciamento del poilo camma con il Metodo Analitico dell Inviluppo 4.4. Inviluppo di una amiglia di cuve Sia S{ c } una amiglia di cuve su un piano (x,y) dipendenti dal paameto c. Una cuva è detta inviluppo della amiglia S se: ) pe ogni punto della cuva è possibile tovae una cuva c della amiglia che sia tangente a nel punto; ) pe ogni cuva c della amiglia è possibile tovae un punto di nel quale la cuva c sia tangente a ; ) nessuna cuva della amiglia ha un segmento in comune con la cuva. Teoema: Siano le cuve c della amiglia S descitte dall equazione F(x, y, c), con F continua e continuamente dieenziabile pe tutti i suoi agomenti in un intono del punto (x, y, c ). Se nel punto (x, y, c ) sono soddisatte le seguenti condizioni: F( x, y, c ) F ( x, y, c) c F x F c x F y F c y F c Alloa in un intono del punto (x, y ) e pe valoi di c appatenenti ad un intono di c, esiste un inviluppo della amiglia di cuve F(x, y, c). F( x, y, c) L equazione dell inviluppo è ottenibile dalle due seguenti equazioni: F ( x, y, c) c espimendo x e y come unzioni del paameto c oppue espimendo c come unzione delle due vaiabili x, y e intoducendo c nell equazione: F ( x, y, c( x, y)) Meccanica applicata alle Macchine LM 7 Meccanica applicata alle Macchine LM 8

15 Esempio Si considei la amiglia di ette espessa 4 dall equazione: y cx c La deivata ispetto al paameto c è: F + 4 x c c Ricavando c dalla seconda equazione e intoducendolo nella pima si ha: y 6x, Esempio yc x Si considei la amiglia di ellissi di equazione: + a bc appesentata in igua (ab, c- ). F y x La deivata ispetto al paameto c è: c + c a c b yxab Che ha le seguenti soluzioni pe il paameto c: c ± c ± yb yxab yb ovveo l equazione di una paabola simmetica ispetto all asse x e passante pe l oigine. Esempio Si considei la amiglia di cuve espessa dall equazione: [ x + ( y c) ] b [ x ( y c) ] appesentata in igua. Intoducendo queste nella pima equazione si ottiene l equazione delle cuve inviluppo della amiglia di ellissi: yx ± ab E l equazione di un asteoide (due ipeboli). F La deivata ispetto al paameto c è: ( y c)[x + ( y c) + b ] c Una soluzione è yc, che intodotta nella pima equazione onisce x ( x b ) che ha te soluzioni: xb; x-b; x. Le pime due sono cuve inviluppo della amiglia, mente non lo è la teza in quanto consiste nei punti di nodo delle cuve della amiglia. Nessuna alta cuva inviluppo si ottiene pe la soluzione y c 4.4. Deteminazione delle coodinate del poilo camma Una volta nota la legge di moto ss(θ), le coodinate del poilo camma si possono ottenee applicando la teoia dell inviluppo. Pe meccanismi con cedente a otella si otteanno due cuve inviluppo: una intena ed una estena. Quella intena saà impiegata pe le camme a disco, entambe pe le camme a solco (con scanalatua). Meccanica applicata alle Macchine LM 9 Meccanica applicata alle Macchine LM

16 4.4. Camma a disco con punteia a piattello. Con ieimento alla igua, la distanza adiale del punto di ieimento dal cento di otazione della camma è: RR b + s(θ) x R cosθ sinθ y R sinθ + cosθ Camma a disco con punteia a otella centata. Applichiamo il metodo della invesione cinematica. In coispondenza del geneico valoe θ i dell angolo di otazione della camma, il punto di ieimento va ad occupae la posizione P i (R,θ i ) (x i,y i ), dove: Con ieimento alla igua, la distanza adiale del punto di ieimento dal cento di otazione della camma è: RR b ++ s(θ) Il coeiciente angolae m i della etta passante pe il punto P i e la sua intesezione b i con l asse y sono, ispettivamente: π mi tg + θi ctg ( θ ) L equazione di tale etta è dunque: i R bi sinθ y m x + b i i i Petanto l equazione della amiglia di ette che appesentano tutte le posizioni occupate dal piattello è data da: R x cosθ + R y m x + b x ctgθ + sinθ sinθ F( x, y, θ ) y m x b y sinθ + x cosθ R () Deivando ispetto a θ si ottiene: F y cos θ xsinθ θ () Risolvendo le equazioni () e () si ottengono le coodinate del poilo camma: Applichiamo il metodo dell invesione cinematica. In coispondenza del geneico valoe θ i dell angolo di otazione della camma, l asse della otella va ad occupae la posizione P i (R, θ i ). L equazione della ciconeenza di aggio pai a quello della otella e cento in P i è, in coodinate catesiane, la seguente: i ) + ( y Rsinθi) ( x Rcosθ Petanto l equazione della amiglia di cuve che appesentano tutte le posizioni occupate dalla otella è: F( x, y, θ ) ( x R cosθ ) + ( y Rsinθ ) () Deivando ispetto a θ si ottiene: Meccanica applicata alle Macchine LM Meccanica applicata alle Macchine LM

17 F ( R sinθ cosθ )( x R cosθ ) ( R cosθ + sinθ )( y R sinθ ) (4) θ Risolvendo le equazioni () e (4) si ottengono le coodinate del poilo camma: 5. Esempio Consideiamo una camma con punteia centata a otella. In Figua è appesentata la legge di moto della punteia (in mm). E di tipo cicloidale e pesenta un tatto di salita e due di discesa; ta due tatti attivi è pesente una sosta. La Figua ipota gli andamenti di velocità e acceleazione geometiche, s (θ) e s (θ). R cosθ + R cosθ ± x R + M x cosθ + x R sinθ + R y sinθ + R cosθ con: d θ 4 M R cos θ + R sinθ cosθ+r + R sinθ cosθ + sin 4 θ Legge alzata [mm] Figua Legge di alzata s(θ) in mm Vel. geometica [m/ad] - Acc. geometica [m/ad ] Figua Velocità s [m/ad] e acceleazione s [m/ad ] Meccanica applicata alle Macchine LM Meccanica applicata alle Macchine LM 4

18 Ricodiamo le espessioni della legge di moto cicloidale. s( θ ) H i ( θ θ i ) π ( θ θ i ) sin βi π βi H i π ( θ θ i ) s' ( θ ) cos βi βi d s π s' '( θ ) β H i i π ( θ θ i ) sin βi dove: H i è l alzata (positiva se di salita) θ i è l angolo di patenza della legge è l angolo di apetua della legge β i s s Vediamo cosa succede al diminuie del aggio base: Figua 4. Oa i valoi di aggio base e aggio otella sono i seguenti: R b mm R 5 mm In queste condizioni si veiica sottotaglio nelle zona contaddistinte con A e B(vedi ingandimenti di Figua 5). 8 6 s 4 A La Figua appesenta la camma che si ottiene con i seguenti valoi di aggio base e aggio otella: R b 7 mm R 5 mm 5 Poilo pimitivo Poilo inteno Poilo esteno Figua 4 B Poilo pimitivo Poilo inteno Poilo esteno Poilo pimitivo Poilo inteno Poilo esteno Poilo pimitivo Poilo inteno B Poilo esteno Figua Figua 5 Meccanica applicata alle Macchine LM 5 Meccanica applicata alle Macchine LM 6

19 In Figua 6 è ipotato l andamento del aggio di cuvatua del poilo pimitivo (in valoe assoluto). Come si può notae dall ingandimento di Figua 7, esso scende al di sotto del valoe limite appesentato dal aggio del ullo in coispondenza di due zone. Raggio cuvatua poilo pimitivo [mm] (valoe assoluto) o R Figua 6 Raggio cuvatua poilo pimitivo [mm] (valoe assoluto) 8 o 7 R Figua 7 Meccanica applicata alle Macchine LM 7