Unità 3 Le correnti alternate

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1 TOMO IV ELETTROMAGNETISMO convenzione: i simboli in grassetto vanno frecciati Modulo 3 I FENOMENI ELETTROMAGNETICI Unità 3 Le correnti alternate 3.0 L elettricità costituisce una forma di energia estremamente flessibile e conveniente, ma anche un mezzo eccellente per elaborare informazioni e trasmetterle a distanza. Energia e informazione sono dunque i due grandi campi di applicazione dell elettricità, che nel corso del tempo hanno condotto a cambiamenti radicali nel nostro modo di lavorare, di comunicare e di trascorrere il tempo libero. Sull informazione torneremo in seguito, mentre in questa Unità ci occupiamo dell energia elettrica e dei suoi impieghi. Ma perchè diciamo che questa forma di energia è flessibile e conveniente? Perchè può essere facilmente trasmessa a distanza attraverso conduttori elettrici e perchè ci permette di ottenere calore (senza dover bruciare combustibili) e lavoro meccanico (senza dover usare motori termici) dove e quando ci serve. Dell importanza dell elettricità, d altra parte, ci rendiamo veramente conto soltanto quando viene a mancare, perchè consideriamo ovvio disporne in ogni momento. Innumerevoli prese di corrente ci forniscono infatti l elettricità che ci occorre per tutti i suoi impieghi. Ma da dove proviene? In che forma ci viene fornita? In questa Unità cercheremo di rispondere a questi e altri interrogativi. Figura 0. La macchina lavastoviglie è un eccellente esempio di impiego pratico dell elettricità in casa, sia come forma di energia che come mezzo per elaborare informazioni. Il ciclo di programmazione del lavaggio viene predisposto e attuato da un microprocessore, cioè un calcolatore realizzato interamente in un cristallo di silicio, che provvede ad azionare in sequenza vari dispositivi. Nelle diverse fasi di funzionamento della macchina, poi, l energia elettrica viene trasformata in calore (riscaldando l acqua) e in energia meccanica (azionando le pompe che prelevano l acqua pulita ed espellono quella sporca, i dispositivi che mescolano all acqua il detersivo,...). E il risultato di tutto ciò è quello di liberarci dalla fatica di lavare i piatti... (fotografia di macchina lavastoviglie; meglio uno spaccato che metta in evidenza pompe, riscaldatori e altri dispositivi) 3.1 La corrente alternata Il più semplice generatore elettrico basato sull induzione elettromagnetica è una spira che ruota in un campo magnetico in modo che il flusso concatenato con essa subisca delle variazioni. Queste variazioni provocano una tensione indotta nella spira, e quindi una corrente indotta. E in effetti questo è il principio di funzionamento degli alternatori impiegati nelle centrali elettriche. Esaminiamo il fenomeno in termini quantitativi, considerando una spira di area S che ruota in un campo uniforme B attorno a un asse perpendicolare alla direzione del campo, come mostrato in figura 1. Ricordando che il flusso concatenato con la spira è dato dal prodotto di S per il prodotto scalare di B e n ( formula (1) dell Unità 2), possiamo scrivere: C = BS cos, chiamando l angolo fra B e la normale n alla superficie della spira. Se la spira ruota con velocità angolare costante assegnando t = 0 all istante in cui la spira si trova nella posizione a) in figura, il valore istantaneo dell angolo è uguale a t e si ha pertanto: (1) C (t) = BS cost Cioè il flusso concatenato con la spira varia periodicamente con legge sinusoidale La tensione indotta V(t) nella spira si ricava applicando la legge di Faraday-Neumann, cioè calcolando la derivata temporale del flusso cambiata di segno: d d BS cost C V t BS sent dt dt Ricordiamo che le grandezze costanti possono essere portate fuori del segno di derivazione e che la derivata rispetto al tempo di cos(t) è -sen(t). 1

2 che ponendo V 0 = BS possiamo scrivere nella forma (2) 0 sen V t V t Questa tensione, in un circuito di resistenza R, fa scorrere una corrente indotta la cui intensità varia nel tempo corrispondentemente con la legge (3) 0 sen i t i t dove i 0 = V 0 /R. Flusso concatenato, tensione indotta e corrente indotta sono tutte grandezze periodiche ( figura 2), con uguali periodo T e frequenza f, legati come segue alla velocità angolare della spira (4) T 2 1 ; f T 2 Queste grandezze, il cui segno s inverte periodicamente e il cui valor medio è nullo, prendono il nome di grandezze alternate. La tensione indotta nella spira è una tensione alternata, la corrente è una corrente alternata, come quelle che ci forniscono le prese di rete usuali. In Italia e nella maggior parte degli altri Paesi, la tensione e la corrente della rete elettrica hanno la frequenza di 50 Hz e quindi periodo di 20 ms; in Usa e in Canada la frequenza di rete è invece di 60 Hz. Notate la differenza fra una corrente continua e una alternata: la corrente continua scorre sempre nello stesso senso e con la stessa intensità, l intensità di una corrente alternata varia invece continuamente e il suo senso s inverte due volte durante ogni periodo. Non tutte le correnti variabili periodiche seguono però la legge sinusoidale, e del resto non tutte le correnti variabili sono periodiche. Negli schemi elettrici i generatori di tensione alternata si rappresentano con il simbolo grafico. 3.2 Il valore efficace delle correnti e delle tensioni alternate Possiamo caratterizzare una corrente o una tensione alternata dandone il valore dell ampiezza massima, cioè V 0 e i 0 nelle formule (2) e (3). Ma nella pratica si utilizza il valore efficace. Quando per esempio diciamo che la tensione di rete è di 220 volt ci riferiamo appunto al valore efficace di questa tensione e non alla sua ampiezza. La definizione del valore efficace di una corrente o di una tensione alternata è basata sull effetto Joule che esse producono in un conduttore ohmico. In particolare, il valore efficace di una corrente alternata è l intensità della corrente continua che, attraversando lo stesso conduttore, dissiperebbe per effetto Joule la stessa potenza della corrente alternata. Ma che relazione c è fra il valore efficace i eff di una corrente alternata e la sua ampiezza i 0? Per stabilirla consideriamo la potenza istantanea dissipata in una resistenza R da una corrente alternata i(t), rappresentata nel grafico di figura 4: Quando si cominciarono a usare le correnti alternate, nella seconda metà dell Ottocento, si trovò che il modo più semplice per caratterizzare una corrente alternata era quello di basarsi sull effetto Joule. Cioè di stabilirne l effetto di riscaldamento equivalente a quello di una corrente continua di intensità nota, utilizzando un resistore posto in un calorimetro. (5) P(t) = R i 2 (t) = R i 0 2 sen 2 t Il valor medio di questa potenza, ricordando l uguaglianza trigonometrica sen 2 = (1 - cos2e tenendo presente che la funzione coseno ha valor medio nullo, è 2

3 (6) 1 1 P( t) Ri (sen t) Ri cos 2t Ri Ma questa è anche la potenza dissipata nella stessa resistenza da una corrente continua di intensità i = i 0 / 2. Concludiamo pertanto che il valore efficace i eff di una corrente alternata di ampiezza massima i 0 è: Con la notazione () f t indichiamo il valore medio nel tempo della grandezza periodica f(t), calcolato su un periodo. i0 (7) ieff 2 Per analogia, lo stesso criterio si applica a qualsiasi altra grandezza alternata che varia nel tempo con legge sinusoidale. In particolare, il valore efficace di una tensione alternata è: V0 (8) Veff 2 E quindi il valor massimo della tensione di rete è V0 2V 1, V. La potenza media può quindi esprimersi come prodotto della tensione efficace per la corrente efficace: (9) P() t Veff ieff Ma questa relazione, come vedremo fra breve, vale soltanto per un circuito resistivo. Esempio 1. Calcoliamo il valore efficace della corrente che scorre in un tostapane. Vogliamo calcolare il valore efficace della corrente che scorre in un tostapane, conoscendo la potenza assorbita dall apparecchio, che rappresenta evidentemente la potenza media. Sulla targa del tostapane leggiamo: P = 500 W. Possiamo utilizzare la formula (9) dato che il tostapane funziona grazie all effetto Joule prodotto da un resistore usato come riscaldatore. Conoscendo il valore efficace della tensione di rete, V eff = 220 V, dalla formula (9) ricaviamo: i eff = P/V eff = 500/220 = 2,27 A. Figura 1. La spira di area S ruota in un campo magnetico uniforme B. A ogni diversa orientazione della spira corrisponde un diverso valore del flusso concatenato, il cui andamento è mostrato nella parte (b) in funzione dell angolo fra B e la normale n alla spira. Il flusso è massimo ( C = BS) nella posizione 1, dove = 0; poi diminuisce, annullandosi nella posizione 2 ( = /2) e raggiungendo il minimo ( C = -BS) nella posizione 3 ( = ); e quindi riaumenta, annullandosi nella posizione 4 ( = 3/2) per poi riassumere il valore massimo iniziale. (Parte a): Adattare da Hecht, vol.2, pag. 734, solo la parte con le 5 posizioni della spira, indicate con scritte 1, 2, 3, 4, 5, eliminando le frecce e le scritte v, aggiungendo delle frecce nere con la scritta n uscenti dal centro della spira (diretta a destra la prima in alto; diretta in basso la seconda, a sinistra la terza e così via. Parte b), grafico che rappresenta un periodo intiero di un coseno, indicando l asse x con la scritta angolo e l asse y con la scritta flusso ; con le scritte 1, 2, 3, 4 rispettivamente in corrispondenza al massimo iniziale della curva, al primo zero e così via. Sull asse x tacche indicate con,, 3/4, 2) Figura 2. Grafici del flusso concatenato, della tensione indotta e della corrente indotta in funzione del tempo per la spira di figura 1 (supponendo che gli estremi della spira siano collegati a una resistenza). Si nota che la tensione indotta, in accordo con la legge di Faraday-Neumann, si annulla agli istanti di tempo in cui il flusso ha un massimo o un minimo (e quindi la sua derivata è nulla), mentre il suo valore assoluto è massimo agli istanti in cui il flusso varia più rapidamente (e quindi la sua derivata è massima). eff 3

4 Figura 3. Non tutte le correnti (o le tensioni) periodiche sono sinusoidali: una corrente periodica può avere la forma di un onda triangolare (a), di un onda quadra (b) o altre forme ancora. E del resto neanche tutte le grandezze variabili sono periodiche: le tensioni che trasportano informazione, chiamate segnali, variano infatti nel tempo a) corrispondentemente alle informazioni che esse rappresentano. Come il segnale musicale (c) oppure il segnale binario (d), che rappresenta una sequenza di bit. (nella parte c) aggiungere la forma d onda di un segnale musicale. b) Figura 4. La potenza istantanea (curva rossa) dissipata da una corrente alternata (curva blu) di ampiezza i 0 in una resistenza R varia periodicamente fra 0 e Ri 0 2, con valor medio Ri 0 2 /2. c) d) 3.3 Gli alternatori Per disporre di tensioni e correnti alternate, in laboratorio come in molti impieghi pratici, si utilizzano vari tipi di generatori, costituiti generalmente da circuiti elettronici ( figura 5). Questi strumenti producono tensioni alternate di opportuna ampiezza, frequenza e forma. Ma le potenze in gioco sono relativamente modeste. Un tipico generatore da laboratorio può fornire infatti tensioni e correnti fino a circa 10 V eff e 100 ma eff. Tensioni alternate più elevate e correnti più intense, come è necessario per esempio per alimentare le rete elettrica, sono prodotte nelle centrali elettriche, utilizzando generatori chiamati alternatori, che convertono in energia elettrica grandi quantità di energia meccanica. Il principio di funzionamento di un alternatore ( figura 5bis) è lo stesso della spira ruotante in un campo magnetico che abbiamo esaminato nel paragrafo precedente. I terminali della spira sono collegati, mediante due contatti striscianti (A e B in figura 5bis) al circuito utilizzatore esterno, nel quale sorrerà, come nella spira, una corrente alternata. Naturalmente la spira, quando è percorsa dalla corrente indotta, è soggetta a forze magnetiche che si oppongono alla sua rotazione. Perché essa possa ruotare con continuità occorre dunque compiere lavoro, vincendo queste forze, e questo compito è affidato al motore che aziona l alternatore. Il risultato finale è la trasformazione in energia elettrica dell energia meccanica fornita dal motore. Esempio 2. Calcoliamo l intensità della forza magnetica che si oppone alla rotazione di una spira in un campo magnetico. Consideriamo una spira quadrata di lato L = 0,2 m percorsa da una corrente alternata it i0 sent, con i 0 = 5 A e = 6,2850 rad/s, che ruota in un campo magnetico di intensità B = 0,1 T come mostrato nella figura A. Vogliamo calcolare a) le forze magnetiche agenti sulla spira quando il piano in cui essa si trova forma un angolo = 45 rispetto al campo, b) il valore, istante per istante, della potenza del motore che la mantiene in rotazione con velocità angolare. Notiamo innanzitutto che il flusso concatenato con la spira è dato dalla formula (1) e quindi la corrente indotta dalla formula (3). Nella posizione indicata in figura, cioè per = t = 45, il flusso è in aumento, e quindi la corrente è diretta nel senso delle frecce blu, in modo da contrastare l aumento del flusso secondo la legge di Lenz. 4

5 a) Ricordiamo ( pag. xxx) che la forza agente su un conduttore rettilineo percorso da corrente in un campo magnetico uniforme è: F i LB, dove il vettore L ha modulo pari alla lunghezza del filo, la direzione del filo e il verso della corrente. Si capisce che le forze agenti sui tratti BC e DA della spira sono perpendicolari all asse di rotazione e dunque non compiono lavoro. Le forze agenti sui tratti AB e CD sono dirette come le frecce rosse in figura, con intensità F = ibl. Esse costituiscono una coppia, dato che hanno versi opposti, con modulo del momento M = Fb, dove b = L cosè la distanza fra le loro rette d azione. Il modulo del momento è dunque: M = i 0 BL 2 cos 2 = 50,10,2 2 0,5 = 0,01 Nm. b) Il lavoro compiuto durante lo spostamento angolare = t è L = Mt. Pertanto la potenza istantanea del motore, quando la spira si trova nella posizione in figura, è P = L/t = M = 0,016,2850 = 3,14 W. Figura A. La spira quadrata, di lato L, ruota attorno a un asse disposto nel piano orizzontale, in presenza di un campo magnetico diretto orizzontalmente. La formula (9) mostra che un alternatore, per fornire grandi potenze, deve generare al tempo stesso tensioni elevate e correnti molto intense. Per ottenere alte tensioni indotte, tipicamente attorno a 10 kv negli alternatori usati nelle centrali elettriche, invece di una singola spira si utilizzano bobine costituite da un gran numero di spire, che devono presentare bassa resistenza essendo attraversate da forti correnti, e campi magnetici molto intensi generati da potenti elettromagneti. Negli alternatori, inoltre, la corrente indotta viene prelevata da bobine fisse, mentre l elettromagnete è montato sulla parte rotante (il rotore). In altre parole, si preferisce usare bobine fisse soggette al campo magnetico variabile prodotto da un elettromagnete rotante, come è mostrato nella figura 6, anziché bobine rotanti in un campo fisso (come in figura 5bis). Questa scelta evita che correnti molto intense debbano passare attraverso contatti striscianti, che inevitabilmente introducono resistenze indesiderate. Attraverso contatti di questo tipo scorrono invece le correnti ausiliarie, assai meno intense, che alimentano l elettromagnete rotante. Negli alternatori i rendimenti di conversione fra energia meccanica ed energia elettrica sono generalmente molto alti, arrivando fino al 98 % per le macchine più grandi, con potenze di centinaia di MW. Oltre che nelle centrali elettriche e negli impianti per la generazione autonoma di elettricità (usati per esempio negli ospedali), gli alternatori trovano impiego nelle automobili, nelle moto e nelle biciclette. Collegamento storico 1. Le macchine generatrici di corrente continua, da Faraday a Pacinotti. Il primo generatore elettrico, tanto semplice quanto poco efficace, fu realizzato da Faraday nel 1831 facendo ruotare un disco di rame fra i poli di un magnete permanente ( figura A). La forza di Lorentz dovuta al moto del disco nel campo agisce radialmente sugli elettroni del metallo creando una corrente nella direzione vb quando il circuito viene chiuso attraverso dei contatti striscianti collegati all asse e al bordo del disco. Mantenendo costante la velocità di rotazione del disco, si ottiene una corrente costante nel tempo, cioè una corrente continua. Negli anni seguenti furono realizzate varie macchine per generare correnti continue, in alternativa alle batterie di pile che erano le uniche sorgenti di corrente allora disponibili. Queste macchine, chiamate prima generatori magnetoelettrici, poi dinamoelettriche e in seguito dinamo, non trovarono però impiego pratico per il loro basso rendimento. Una svolta si ebbe parecchi anni dopo, quando attorno al 1860 il fisico pisano Antonio Pacinotti ( ) costruì una dinamo di elevate prestazioni, impiegando un anello di ferro (anello di Pacinotti) con una spirale di rame, che ruotava in un campo magnetico ( figura C). 5

6 Pacinotti descrisse la sua macchina sulla rivista scientifica Il Nuovo Cimento, ma trascurò di brevettarla. La brevettò invece il belga Zènobe Il funzionamento reversibile della dinamo, cioè la Gramme, a cui Pacinotti aveva mostrato il suo possibilità di usarla come motore anziché come prototipo, il quale poi ne promosse lo sviluppo generatore, fu osservato per caso da Gramme, industriale. L inizio della diffusione degli impieghi nell occasione del guasto del motore che azionava dell elettricità, prima nel campo dell illuminazione una dinamo. Questa, che era collegata elettricamente in parallelo a un altra dinamo in funzione, continuò e poi anche per la trazione di tram e altri veicoli, a girare nonostante il guasto. Gramme, infatti, aveva risale agli anni fra il 1870 e il 1880, grazie alla copiato il progetto di Pacinotti, ma non aveva letto disponibilità delle l articolo sul Nuovo Cimento, dove era descritto il intense correnti funzionamento reversibile della macchina. generate dalle dinamo. Figura A. Il primo generatore basato sull induzione elettromagnetica fu il disco di Faraday (1831). Gli elettroni liberi presenti nel rame, quando il disco ruota, sotto l azione della forza di Lorentz, si spostano radialmente verso il centro del disco. Fra i contatti esterni, di conseguenza, scorre una corrente continua. L intensità di questa corrente è proporzionale alla velocità di rotazione del disco. (Adattare da Hecht, vol. 2, pag. 733) Figura B. Nella figura una delle prime macchine magnetoelettriche, costruita dal francese Antoine-Hippolyte Pixii nel Figura C. Rappresentazione schematica della dinamo di Pacinotti. Fra i poli di un magnete fisso ruota un anello di ferro (anello di Pacinotti), attorno al quale è avvolta una spirale di rame chiusa su se stessa. Durante la rotazione dell anello, nei diversi tratti della spirale vengono indotte delle tensioni la cui somma si manifesta fra i contatti striscianti dai quali si preleva la corrente indotta. Approfondimento 1. La corrente trifase. La corrente alternata, prodotta da un generatore di tensione sinusoidale e trasmessa a destinazione attraverso i collegamenti costituiti da due conduttori, prende anche il nome di corrente monofase. Nei grandi sistemi elettrici di generazione e trasporto a distanza dell elettricità si utilizza invece la corrente trifase, costituita da un insieme di tre correnti sfasate di 120 l una rispetto all altra, che sono prodotte da tre generatori di tensione sinusoidali indipendenti, sfasati fra loro allo stesso modo. Il vantaggio di questa scelta sta nel fatto che in tal caso, come mostrato nello schema di figura A, sono sufficienti linee costituite da tre, anziché sei, conduttori: la classica terna di conduttori che si osserva appunto nelle linee ad alta tensione. Per generare queste correnti, in pratica, non si utilizzano tre diversi alternatori, ma alternatori trifase: macchine dotate di tre bobine fisse disposte a 120 l una rispetto all altra, come mostrato in figura B, oltre che del normale elettromagnete rotante che produce il campo magnetico. Figura A. I tre generatori di tensione producono tensioni sinusoidali della stessa ampiezza, ma sfasate fra loro di 120 (a). Ciascun generatore alimenta un carico simboleggiato da una resistenza. Se i carichi sono equilibrati, cioè hanno la stessa resistenza e quindi sono percorsi da correnti della stessa intensità, allora la corrente nel conduttore di ritorno (chiamato neutro) è nulla. In pratica, l intensità di questa corrente non è nulla ma è comunque molto minore di quelle che attraversano i tre conduttori principali, sicché il conduttore di ritorno può essere realizzato molto economicamente, con sezione molto minore di quella degli altri conduttori. (a) adattare da Amaldi, La Fisica, vol. 3, pag. 264, fig. 31; b) adattare da Amaldi, La Fisica, vol. 3, pag. 264, fig. 33 modificata ponendo a sinistra, al posto delle tre bobine, tre generatori (rappresentati con il simbolo a fianco), collegati con linee più lunghe ai tre resistori, posti a destra, senza la scritta utilizzatori) Figura B. Schema semplificato di un alternatore trifase con tre bobine fisse uguali, i cui assi sono disposti a 120 gradi fra loro. Le tensioni indotte nelle tre bobine hanno la stessa ampiezza, ma sono sfasate fra loro di 120. (adattare da Caforio, Nuova Physica 2000, pag. E256, fig. 36, modificandone la parte centrale come nella figura 6). 6

7 La Fisica della tecnologia 1. I motori a corrente alternata. Eseguendo il semplice esperimento illustrato nella figura A si nota che l ago magnetico ruota in perfetto sincronismo con il magnete. Sebbene quasi banale, l esperimento dimostra il principio di funzionamento dei motori sincroni a corrente alternata. In queste macchine vi sono delle bobine fisse che generano un campo magnetico rotante, il quale esercita una coppia di forze sulla parte rotante del motore, costituita da un elettromagnete, provocandone appunto la rotazione. E chiaro che il rotore dei motori sincroni non deve perdere il passo con il campo rotante (da cui la loro denominazione), altrimenti il momento della coppia s indebolisce o addirittura cambia segno. Si può ripetere l esperimento (ma questa volta perché funzioni occorre un magnete assai potente) ruotando il magnete al di sopra di un dischetto di metallo libero di ruotare. Questo ruoterà a sua volta, ma con una velocità di rotazione più bassa, senza inseguire il campo rotante in modo sincrono. In questo caso, infatti, la coppia di trascinamento non proviene dalla magnetizzazione della parte rotante, ma dalle correnti parassite indotte dalle variazioni del campo del magnete, più precisamente dall interazione fra il campo rotante e queste correnti. Che vengono indotte dal campo nel disco a prescindere dalla sua posizione angolare, esercitando così sempre un momento di rotazione. Questo esperimento dimostra il funzionamento dei motori asincroni, introdotti dall ingegnere italiano Galileo Ferraris ( ), che sono i motori a corrente alternata di impiego più comune, usati nelle lavatrici come nei locomotori. Figura A. Esperimento. Il principio del motore elettrico sincrono. Sospendete un magnete a ferro di cavallo al di sopra di una bussola. Imprimendo al magnete un moto di rotazione attorno al suo asse, osserverete che l ago della bussola ruoterà a sua volta, e che i due moti sono esattamente sincronizzati. (adattare da Delaruelle, vol. 3, pag. 311: una calamita a ferro di cavallo sospesa con un filo a un sostegno, che ruota al di sopra dell ago di una bussola, che ruota a sua volta) Figura B. Fotografia dello spaccato di un motore in alternata con dida appropriata Figura 5. (a) Un tipico generatore da laboratorio fornisce tensioni alternate, delle quali si può scegliere la forma (sinusoidale, triangolare, rettangolare, ), la frequenza (generalmente da frazioni di Hz a qualche MHz) e l ampiezza. (b) Un onda triangolare osservata all oscilloscopio (foto di generatore da laboratorio e di onda triangolare sullo schermo di un oscilloscopio) Figura 5 bis. Gli anelli A e B, collegati rigidamente alla spira che ruota nel campo magnetico, sono collegati ai contatti striscianti C e C, consentendo alla corrente indotta nella spira di scorrere nel carico esterno R. (adattare da Cforio, Fisica 3, pag. 271, aggiustando le scritte e disegnando un resistore R collegato con due fili ai contatti striscianti) Figura 6. Schema semplificato di un alternatore, che utilizza bobine fisse in un campo magnetico rotante. La parte rotante è infatti costituita da un elettromagnete, alimentato da una corrente continua esterna attraverso contatti striscianti, mentre le bobine dove sviluppa la corrente indotta sono disposte sulla parte fissa della macchina. La tensione indotta è direttamente proporzionale al numero di spire di questi avvolgimenti. (adattare da il Mondo della Fisica, vol. B, pag 467) 3.4 I circuiti in corrente alternata Abbiamo già visto che in un circuito resistivo alimentato da una tensione alternata scorre una corrente che ha la stessa frequenza e la stessa fase della tensione, e intensità data dalla formula (3), come è mostrato nella figura 7. Se V 0 è l ampiezza della tensione ed R la resistenza del circuito, l ampiezza della corrente è: i 0 = V 0 /R. La stessa relazione vale ovviamente anche per i valori efficaci: i eff = V eff /R. Ma se il circuito contiene induttanza o capacità, la nozione di resistenza come rapporto fra tensione e corrente perde senso. Per rappresentare questo rapporto, non importa se fra le ampiezze o i valori efficaci, si deve infatti introdurre una grandezza più generale, che prende il nome di impedenza. Tale grandezza, che come la resistenza si misura in ohm, dipende in generale sia dalla resistenza, dall induttanza e dalla capacità inserite nel circuito sia dalla frequenza della tensione 7

8 alternata che lo alimenta. E naturalmente l impedenza di un circuito puramente resistivo si riduce alla sua resistenza. Notiamo inoltre che la corrente e la tensione hanno sempre la stessa frequenza anche se nel circuito sono inseriti induttori e condensatori. Però in generale la corrente non è in fase con la tensione, ma presenta uno sfasamento che dipende dalle caratteristiche del circuito. In questi circuiti, in altre parole, a una tensione V t V0 sent corrisponde sempre una corrente 0 sen( ) i t i t. La presenza di uno sfasamento fra la corrente e la tensione nei circuiti a corrente alternata ha un importante conseguenza per quanto riguarda la potenza che il generatore fornisce al circuito. Infatti la formula (9) è stata ricavata nel caso particolare di un circuito resistivo in cui la corrente e la tensione sono esattamente in fase fra loro, cioè quando = 0. Nel caso generale, esprimendo la potenza media come valor medio del prodotto dei valori istantanei della tensione e della corrente, si ottiene ( Problema 11) la formula di Galileo Ferraris: (10) 00 P( t) V t i t V i sent sen( t ) V i cos dove il fattore cos prende il nome di fattore di potenza. 3.5 Il circuito induttivo Consideriamo un circuito puramente induttivo, in pratica un circuito comprendente un induttore di trascurabile. In tal caso l equazione del circuito, costituito da un generatore collegato a un induttore ( figura 8), si ottiene eguagliando la tensione del generatore a quella ai capi di un induttore percorso da una corrente i(t): di V t V t L dt (11) 0sen Ora sappiamo che l andamento della corrente deve essere sinusoidale, della stessa frequenza della tensione, cioè deve avere la forma i(t) = i 0 sen (t+ L ampiezza i 0 e la fase si ricavano sostituendo tale espressione nella (11) e imponendo l uguaglianza fra i due membri. Sostituendo nella (11) la derivata temporale di i 0 sen(t+ cioè i 0 cos(t +), si ha: V sen t Li cos t L uguaglianza è verificata se i 0 = V 0 /L e = -/2 (infatti: cos(t-2) 0 0 = sen t). Si ha pertanto, sostituendo i valori di i 0 e nell espressione della corrente: V (12) 0 i t sen t L 2 Qui si notano due cose: a) l ampiezza della corrente, a parità di valori di V 0 e L, è inversamente proporzionale a, cioè alla frequenza (ricordiamo che f = /2); b) l onda che rappresenta la corrente è sfasata di /2 in ritardo rispetto a quella della tensione. Con la conseguenza che, in base alla (10), il generatore, in media, non fornisce potenza al circuito (e del resto, in assenza di resistenza, la potenza dove verrebbe dissipata?). Dalla (12) si ricava anche l impedenza dell induttore, definita come abbiamo detto dal rapporto fra l ampiezza della tensione e quella della corrente: (13) Z = V 0 /i 0 = V eff /i eff = L eff eff Il fatto che nel circuito induttivo l intensità della corrente sia tanto minore quanto maggiore è la frequenza deriva dalla proprietà di un induttore di opporsi alle variazioni della corrente che l attraversa. E queste variazioni sono appunto tanto più rapide quanto maggiore è la frequenza. 8

9 Questa grandezza non è una costante del circuito (come in un circuito resistivo, in cui Z = R), ma è direttamente proporzionale alla frequenza. In particolare l impedenza si annulla a frequenza zero, cioè l induttore si comporta (idealmente) come un cortocircuito per una corrente continua. E se il circuito comprende sia induttanza che resistenza (circuito RL)? Si trova che la corrente scorre sempre in ritardo rispetto alla tensione: lo sfasamento è compreso fra zero (quando L=0, in pratica per L<<R) e -/2 (quando R=0, in pratica per RL). Il circuito si comporta infatti come resistivo alle frequenze più basse, come induttivo a quelle più alte. 3.6 Il circuito capacitivo Consideriamo ora un circuito puramente capacitivo, in pratica un circuito comprendente un condensatore di resistenza trascurabile. In tal caso l equazione del circuito, costituito da un generatore collegato a un condensatore ( figura 9), si ottiene eguagliando la tensione del generatore a quella ai capi di un condensatore sulle cui armature si trova la carica q (14) 0 qt () V t V sen t C L andamento della corrente (naturalmente anche qui sinusoidale e della stessa frequenza della tensione), si determina ricordando che i(t) = dq/dt. E quindi, ricavando q dalla (14), si ha: dv (15) i( t) C CV0cos t CV0sin t dt 2 In questo caso l onda che rappresenta la corrente è sfasata di /2 in anticipo rispetto a quella della tensione e la sua ampiezza è direttamente proporzionale alla frequenza. Ciò è in accordo col fatto che la corrente che attraversa un condensatore è tanto più intensa quanto più rapide sono le variazioni della tensione, cioè, nel caso di una tensione alternata, quanto maggiore è la frequenza. Anche in questo caso, inoltre, lo sfasamento fra corrente e tensione è tale che, in base alla (10), il generatore, in media, non fornisce potenza al circuito Dalla (15) si ricava poi che l impedenza del condensatore è: (16) Z = V 0 /i 0 = 1/C Z è inversamente proporzionale alla frequenza: per =0, l impedenza è infinita (e infatti il condensatore per una corrente continua si comporta come un circuito aperto); alle frequenze più alte, invece, l impedenza tende a zero, cioè il condensatore si comporta come un cortocircuito E se il circuito comprende sia capacità che resistenza (circuito RC)? Si trova che la corrente scorre sempre in anticipo rispetto alla tensione: lo sfasamento compreso è fra zero (quando 1/C=0, in pratica per C>>1/R) e /2 (quando R=0, in pratica per RC). Il circuito si comporta infatti come resistivo alle frequenze più alte, come capacitivo a quelle più basse. Figura 7. (a) Resistore alimentato da un generatore di tensione alternata. (b) L intensità della corrente che scorre nel circuito (linea blu), a ogni istante di tempo, è proporzionale alla tensione (linea rossa) (b). (adattare da Amaldi, La Fisica, vol. 3, pag. 258, rimettendo per dritto il circuito: generatore a sinistra e resistore a destra) Figura 8. (a) Induttore alimentato da un generatore di tensione alternata. (b) La corrente che scorre nel circuito (linea blu) è sfasata di /2 (corrispondenti a ¼ di periodo) in ritardo, rispetto alla tensione (linea rossa); la sua ampiezza è inversamente proporzionale alla frequenza. (adattare da Amaldi, La Fisica, vol. 3, pag. 259, rimettendo per dritto il circuito: generatore a sinistra e induttore a destra) 9

10 Figura 9. (a) Condensatore alimentato da un generatore di tensione alternata. (b) La corrente che scorre nel circuito (linea blu), è sfasata di /2 (corrispondenti a ¼ di periodo) in anticipo rispetto alla tensione (linea rossa); la sua ampiezza è direttamente proporzionale alla frequenza. (adattare da Amaldi, La Fisica, vol. 3, pag. 260, rimettendo per dritto il circuito: generatore a sinistra e condensatore a destra) 3.7 Il circuito RLC serie Consideriamo ora il caso, più generale, del circuito rappresentato nella figura 10, comprendente cioè resistenza, induttanza e capacità. L equazione di questo circuito si ottiene uguagliando la tensione del generatore alla somma delle tensioni ai capi dei tre elementi. Sviluppando i calcoli, si ricava l espressione della corrente e si trova che l impedenza del circuito è la seguente: (17) Z R L C e che lo sfasamento della corrente rispetto alla tensione è dato dalla relazione: (18) 1 L tang C R Notiamo subito che l impedenza complessiva del circuito non è uguale alla somma delle impedenze dei tre elementi. Essa si ottiene infatti dalla radice quadrata della somma dei quadrati della parte resistiva (R) dell impedenza e della parte chiamata reattiva (L 1/C). Esaminando la formula (17) si osserva che per frequenze molto basse l impedenza si riduce a quella (1/C) del condensatore; per frequenze molto alte a quella (L) dell induttanza. In queste due condizioni estreme si semplifica anche la formula (18): a bassa frequenza lo sfasamento è /2 in anticipo; ad alta frequenza, /2 in ritardo. Come appunto avviene, rispettivamente, in un circuito puramente capacitivo o puramente induttivo. Esempio 3. Calcoliamo la corrente in un circuito RLC collegato a una presa di rete. Vogliamo calcolare il valore efficace della corrente e lo sfasamento della corrente rispetto alla tensione quando si collega a una presa di rete (V eff = 220 V) un circuito RLC con R = 100, L = 0,5 H e C = 10 F. (Esperimenti al riguardo sono vivamente sconsigliati ai non esperti.) Ricaviamo l impedenza del circuito alla frequenza di rete f = 50 Hz, cioè per = 2f = 314 rad/s, dalla formula (17): Z R L ,5 112 C E quindi il valore efficace della corrente è i eff = V eff /Z = 220/112 = 1,96 A. Ricaviamo la tangente dello sfasamento della corrente dalla formula (18): 1 1 L 314 0, tang C 1, 61. Da cui si ottiene -58,2. Cioè la fase R 100 della corrente è in anticipo rispetto alla tensione, indicando che il circuito, alla frequenza di rete, ha un comportamento di tipo capacitivo. Esempio 4. Ricaviamo l impedenza di un circuito RL e di un circuito RC da quella del circuito RLC. La formula (17), che rappresenta l impedenza di un circuito RLC, può essere specializzata a vari casi particolari, per esempio quando nel circuito è assente la resistenza, cioè R = 0, o l induttanza, cioè L = 0, o la capacità, in tal caso assumendo 1/C = 0. 10

11 2 Nel caso di un circuito RL, ponendo 1/C = 0 nella (17), si ottiene: 2 Nel caso di un circuito RC, ponendo L = 0 nella (17), si ottiene: Z Z R L. 2 R Il fenomeno della risonanza La formula (17) mostra che quando in un circuito RLC l impedenza della capacità (1/C) è uguale a quella dell induttanza (L), cioè è verificata la condizione di risonanza 1 C (19) 1 R LC l impedenza del circuito assume il valore minimo in quanto si riduce a quella della resistenza. E quindi l intensità della corrente è massima. La formula (18) mostra poi che lo sfasamento si annulla, cioè la corrente è in fase con la tensione come se il circuito fosse puramente resistivo. L induttanza e la capacità restano forse a riposo? No certamente, perchè fra questi due elementi si verificano scambi continui di energia ( Approfondimento 2): l energia nell induttore è infatti massima quando l intensità della corrente attraverso il circuito raggiunge il valor massimo (positivo o negativo) e in tal caso l energia nel condensatore si annulla, mentre l energia nel condensatore è massima quando la corrente si annulla, e con essa l energia nell induttore. In queste condizioni, inoltre, la tensione agli estremi di questi elementi può risultare anche assai maggiore di quella del generatore, e in ciò si manifesta appunto il fenomeno della risonanza. Se infatti la tensione del generatore è V eff e la sua frequenza f = 2 R, la corrente che scorre nel circuito è i eff = V eff /R; e allora la tensione ai capi dell induttore, o del condensatore, è: (20) V eff = i eff R L = V eff R L/R il cui valore dipende dal rapporto R L/R, che può essere anche assai maggiore dell unità. L effetto della risonanza è infatti tanto più vistoso quanto minore è la resistenza, e la dissipazione di energia che essa comporta ( figura 12). Il fenomeno della risonanza non si verifica soltanto nei circuiti elettrici. Esso si manifesta infatti in tutti i processi fisici nei quali nei quali le forze sono conservative (o comunque le dissipazioni di energia sono di modesta entità) e si possono avere scambi periodici di energia fra una forma e un altra. I fenomeni di risonanza, in particolare, sono comuni nella meccanica, nel moto di un pendolo come nelle oscillazioni di una massa sospesa a una molla ( Tomo III, Modulo 1, Unità 1). In tali casi gli scambi di energia avvengono fra l energia cinetica di una massa e l energia potenziale, gravitazionale nel caso del pendolo, elastica nel caso della molla. E del resto sui fenomeni di risonanza meccanica è basato il funzionamento di gran parte degli strumenti musicali. Esempio 5. Il circuito risonante di un ricevitore radio. Il circuito d ingresso di un radioricevitore è costituito da un circuito RLC, schematizzato nella fìgura A, che serve a un duplice scopo: a) selezionare il segnale proveniente dall antenna, fra i tanti ricevuti, in base alla sua frequenza caratteristica (la selezione è affidata a un condensatore di capacità variabile); b) accrescerne l ampiezza per facilitarne la ricezione. Vogliamo calcolare la frequenza selezionata da un circuito costituito da una bobina di induttanza L = 90 H e resistenza R = 25 e da un condensatore variabile, quando esso presenta capacità C = 300 pf, e il fattore di amplificazione che il circuito fornisce a tale frequenza. La condizione di risonanza, in base alla formula (19), si ha per: 11

12 1 1 6 R 5,63 10 rad / s 6 12 LC E quindi la frequenza di risonanza, cioè la frequenza delle onde radio selezionate dal circuito, è: f R = R /2= 0,897 MHz. A tale frequenza il fattore di amplificazione del circuito, cioè il rapporto fra la tensione ai capi del condensatore e quella indotta nel circuito (rappresentata in figura dal generatore G), è dato dalla formula (20): R L/R = 5, /25 = 20,3. Figura A. (a) La bobina, avvolta su un nucleo di ferrite, si accoppia alla componente magnetica del campo a radiofrequenza, che vi induce una tensione secondo la legge di Faraday-Neumann; (b) Il generatore di tensione alternata G rappresenta la tensione indotta nella bobina; la corrispondente tensione di uscita V C viene prelevata ai capi del condensatore, amplificata grazie al fenomeno della risonanza. La freccia sul simbolo del condensatore indica che si tratta di un condensatore variabile, del quale cioè si può variare la capacità. (a) fotografia di una bobina avvolta su un nucleo di ferrite collegata a un condensatore variabile; b) schizzo a fianco) Approfondimento 2. Risonanza e scambi di energia in un circuito RLC. Per studiare gli scambi di energia in circuito RLC in condizioni di risonanza conviene esaminare cosa avviene quando un condensatore C, inizialmente carico alla tensione V 0 e quindi dotato di carica q 0 = CV 0, viene collegato a una induttanza L in serie a una resistenza R che per ora assumiamo di valore trascurabile. Quando l interruttore è chiuso, la tensione q/c ai capi del condensatore è certamente uguale a quella ai capi dell induttore, -Ldi/dt, se si trascura la caduta sulla resistenza. Imponendo questa uguaglianza, e ricordando che i = dq/dt, si ottiene l equazione differenziale: (A) Ld 2 q/dt 2 + q/c = 0 la cui soluzione generale, come si apprende dallo studio dell analisi matematica, è di tipo sinusoidale. Si ha cioè: q(t) = A sen (t +), dove restano da determinare le due costanti A e. Derivando tale espressione due volte rispetto al tempo si ha d 2 q/dt 2 = - 2 A sen (t +) che sostituiamo nella (A) ottenendo: -L 2 A sen (t +) + (A/C) sen (t +) = 0 Tale uguaglianza è verificata per R = 1/ (LC). Imponendo poi che al tempo t = 0 la carica del condensatore sia q(0) = q 0 e che la corrente (i = dq/dt) sia nulla, si ricavano i valori delle due costanti: A = q 0 e = /2. Da cui si ottiene q(t) = q 0 cos( R t). E quindi la tensione del condensatore e la corrente nel circuito seguono rispettivamente le leggi: V(t) = V 0 cos( R t) ; i(t) = R CV 0 sen( R t) Possiamo ora occuparci dell energia. Ricordando le espressioni dell energia di un induttore e di un condensatore e sostituendovi le espressioni della corrente e della tensione, abbiamo: (B) (C) E L (t) = ½ Li 2 (t) = ½ L( R CV 0 sen( R t)) 2 = CV 0 2 (1 - cos(2 R t))/4 E C (t) = ½ CV 2 (t) = ½ C(V 0 cos( R t)) 2 = CV 0 2 (1 + cos(2 R t))/4 12

13 E quindi l energia totale è costante e pari a quella posseduta inizialmente dal condensatore: E(t) = E L (t) + E C (t) = ½ C V 0 2 come del resto, in assenza di dissipazioni, si poteva prevedere. Esaminando le formule (B) e (C), si nota che l energia dei due elementi oscilla continuamente con frequenza doppia di quella della corrente, con scambi continui fra i due elementi. Più precisamente, come mostrato nella figura B, ci sono degli istanti in cui tutta l energia del sistema è energia elettrostatica immagazzinata nel condensatore. e degli altri in cui invece essa è tutta immagazzinata nell induttore come energia magnetica. E se la resistenza R non è trascurabile? In tal caso si trova che la dissipazione si manifesta introducendo un fattore esponenziale (exp(-rt/2l)) nelle espressioni della corrente e della tensione, che quindi si smorzano gradualmente fino ad annullarsi ( figura A(b)). E naturalmente anche l energia diminuirà nel tempo fino ad annullarsi. Figura A. (a) Il condensatore C possiede inizialmente la carica q(0). Al tempo t=0 l interruttore I viene chiuso provocando il passaggio nel circuito della corrente i(t). Questa corrente, nel caso ideale R = 0, è i( t) una sinusoide alla frequenza di risonanza del circuito; (b) In pratica, per R piccola ma diversa da zero, la corrente è una sinusoide smorzata con legge esponenziale. Con smorzamento tanto maggiore quanto maggiore è la resistenza. (aggiungere sulle ordinate la scritta i(t), sulle ascisse la scritta tempo) Figura B. La curva rossa rappresenta l energia del condensatore del circuito x( t) in y( t) figura A, quella blu l energia dell induttore, quella nera tratteggiata l energia totale; quest ultima è costante nel tempo (in assenza di dissipazioni, cioè per R = 0). (aggiungere sulle ordinate la scritta energia, sulle ascisse la scritta tempo) Figura 10. Circuito comprendente resistenza, induttanza e capacità disposte in serie, alimentato da un generatore sinusoidale. Figura 11. L impedenza di un circuito RLC, fissati i valori dei tre parametri (R, L e C) che lo caratterizzano, dipende dalla frequenza. Il minimo dell impedenza si ha alla frequenza f R per cui verificata la condizione di risonanza (19) e allora la corrente è massima perchè Z si riduce a R. Il grafico rappresenta l impedenza complessiva di un circuito RLC (curva nera), mostrando anche l andamento dell impedenza dell induttore (curva blu) e di quella del condensatore (curva rossa). Figura 12. Andamento della corrente in funzione della frequenza in un circuito RLC, con L = 1 H e C = 5 F, alimentato da un generatore di tensione di ampiezza costante e frequenza variabile per tre diversi valori della resistenza: R = 1 (curva rossa), R = 3 (curva blu), R = 10 (curva verde). Il picco alla frequenza di risonanza diventa sempre più pronunciato al diminuire della resistenza. i( w 1) i( w 3) c o r r e n t e i( w 10) t w frequenza (Hz) 3.9 I trasformatori 2 Il trasformatore elettrico è un dispositivo basato sul fenomeno dell induzione elettromagnetica fra due bobine ben accoppiate magneticamente, cioè avvolte su un medesimo nucleo di materiale ferromagnetico. La storia del trasformatore è curiosa: infatti il suo principio di funzionamento risale x( t) y( t) t 13

14 al primo degli esperimenti svolti da Faraday nel 1831 ( Unità 2, 2.1), ma alla sua realizzazione pratica, e poi alla sua diffusione, si arrivò soltanto mezzo secolo dopo, attorno al La figura 13 mostra la struttura essenziale di un trasformatore e il simbolo usato per rappresentarlo negli schemi elettrici. Quando applichiamo una tensione alternata a una delle bobine, chiamata primario, la corrente che vi circola genera un campo magnetico variabile che induce una tensione nell altra bobina, chiamata secondario. Il campo, in effetti, è quasi completamente racchiuso nel nucleo ferromagnetico, grazie all elevata permeabilità magnetica del materiale nel quale le linee del campo vengono incanalate. Sicché il flusso magnetico nelle due bobine è sempre (approssimativamente) lo stesso, non importa se generato da correnti circolanti nell una, nell altra o in tutte e due. Chiamando N 1 il numero delle spire dell avvolgimento a cui è applicata la tensione alternata V 1, tale tensione equilibra la tensione autoindotta nella bobina stessa dalle variazioni del flusso nel nucleo. Quindi, essendo N 1 il flusso concatenato con questa bobina, dalla formula (7) dell unità 2 si ha: V 1 = N 1 /t Corrispondentemente, la tensione indotta nella seconda bobina, con N 2 spire e flusso concatenato N 2, è: V 2 = N 2 /t E quindi il rapporto fra le due tensioni è dato dal rapporto spire: (21) V 2 /V 1 = N 2 /N 1. I trasformatori sono realizzati di solito in modo da ridurre al minimo le perdite di energia: sia quelle dovute alle correnti che scorrono negli avvolgimenti, usando quindi conduttori di bassa resistenza, sia quelle dovute alle correnti parassite che vengono indotte nel nucleo, che perciò non non consiste di un unico blocco, ma di tanti strati sottili di materiale ferromagnetico, ben isolati fra loro. Da ciò consegue che quando la seconda bobina è collegata a un carico esterno, e quindi vi scorre corrente, la potenza V 2eff i 2eff che viene fornita al carico è approssimativamente uguale alla potenza V 1eff i 1eff assorbita dal generatore. Cioè il rendimento è poco inferiore all unità, con valori tipici fino al 98% nei grandi trasformatori. Dall uguaglianza (approssimata) fra le due potenze si ricava che il rapporto fra le intensità delle correnti deve essere (22) i 2eff /i 1eff V 1eff /V 2eff = N 1 /N 2 I risultati espressi dalle formule (21) e (22) rappresentano le proprietà essenziali di un trasformatore, come dispositivo in grado di convertire una intensa corrente alternata a bassa tensione in una corrente meno intensa a tensione più alta, o viceversa. E per questo i trasformatori trovano un gran numero di impieghi. Notiamo poi che un trasformatore elevatore, usato per esempio per innalzare la tensione da 125 a 220 V, può essere usato anche come trasformatore riduttore, per abbassarla da 220 a 125 V, semplicemente scambiando fra loro le due bobine. Si realizzano anche trasformatori con avvolgimenti dotati di prese intermedie, ciascuna delle quali fornisce una tensione diversa in rapporto a quella d ingresso, e anche trasformatori variabili, dotati di un cursore che permette di variare il numero di spire effettivamente utilizzato per prelevare la tensione d uscita, consentendo quindi di sceglierne il valore. Esempio 6. L adattatore di tensione di un calcolatore portatile. 14

15 L adattatore di tensione usato per ricaricare le batterie di un calcolatore portatile, come di qualsiasi altro oggetto elettronico portatile (telefonino, riproduttore di suoni, ) contiene un trasformatore riduttore che converte a una tensione più bassa la corrente prelevata dalla rete elettrica e un circuito che converte poi questa corrente alternata in una corrente continua. Vogliamo calcolare il numero di spire N 1 dell avvolgimento primario di un trasformatore che fornisce in uscita una corrente alternata a 12 V eff, sapendo che il numero di spire dell avvolgimento secondario è N 2 = 30. Essendo V 1eff = 220 V e V 2eff = 12 V, dalla formula (21) si ricava: N 1 = N 2 V 1 /V 2 = 30220/12 = 550 spire Fotografia dello spaccato di un adattatore di tensione, che evidenzi il trasformatore Esempio 7. Il calore sviluppato da un trasformatore di grande potenza. Un trasformatore di grande potenza, con rendimento = 98%, viene usato per elevare da 8 kv a 150 kv la corrente generata da un alternatore da 10 MW, allo scopo di trasmetterla a distanza attraverso una linea elettrica ad alta tensione. Vogliamo calcolare la quantità di calore sviluppata ogni ora dal trasformatore durante il suo funzionamento. La potenza dissipata nel trasformatore è P = (1 - ) = W. Pertanto la quantità di calore sviluppata durante un ora di funzionamento è : /4187 = 1, kcal. Figura 13. a) Schema costruttivo di un trasformatore; b) simbolo usato per rappresentare il trasformatore negli schemi elettrici. Se N 1 = 100 e N 2 = 50, quando alla prima bobina si applicano 220 V, un voltmetro collegato alla seconda indicherà 110 V. E se scambiamo fra loro i due avvolgimenti, applicando 220 V al secondo? (Adattare da il Mondo della Fisica, vol. B, pag. 439: a) con più spire a sinistra che a destra, con meno spazio vuoto in orizzontale nella parte interna, aggiungendo due freccette dirette verso destra accanto alle scritte i 1 e i 2 ) Figura 14. Negli impianti dell Enel si usano trasformatori di grande potenza per innalzare o abbassare le tensioni delle correnti alternate. Nella fotografia (Simile a quella in Mondo della Fisica, vol. B, pag. 439, con dida appropriata) Figura 15. a) Trasformatore con secondario universale, che permette di ottenere in uscita tensioni di valore diverso, b) Trasformatore di tipo variabile, che permette di ottenere una tensione il cui valore dipende dalla posizione del cursore. (adattare da Fisica per tutti, pag. 408) 3.10 La produzione dell energia elettrica Il grafico in figura 16 rappresenta i consumi annui di energia elettrica (curva blu in basso) e di energia totale (curva rossa in alto) in Italia nel corso degli ultimi decenni (andamenti simili a questi si registrano anche negli altri Paesi). Non soltanto il consumo di energia elettrica è aumentato nel corso del tempo, ma è cresciuta anche la frazione dell energia totale che viene richiesta come elettricità. Ciò deriva dalla grande convenienza pratica di questa forma di energia. Essa infatti, come si è già detto, ci permette di ottenere luce e calore, senza dover bruciare combustibili, e lavoro meccanico dove e quando ci serve, senza dover usare motori termici, ed è inoltre essenziale per il funzionamento degli apparati di elaborazione e di trasmissione delle informazioni. Occorre tuttavia precisare che l elettricità non è una fonte di energia, come il carbone o il petrolio. Essa è piuttosto un vettore di energia, cioè un mezzo per trasportare energia a distanza e per distribuirla agli utilizzatori. La generazione dell energia elettrica avviene infatti attraverso la conversione di altre forme di energia. Questi processi vengono attuati nelle centrali elettriche, generalmente impiegando vari tipi di motori per azionare degli alternatori. Nelle centrali idroelettriche si utilizza l energia idraulica, cioè l energia cinetica di un flusso d acqua, per mettere in rotazione delle turbine, cioè delle ruote dotate di palette. Nelle centrali termoelettriche si utilizza l energia termica ottenuta bruciando un combustibile, che a sua volta deriva dall energia chimica (energia di legame fra gli atomi) di queste sostanze, per azionare dei motori termici, generalmente del tipo a turbina. Centrali termoelettriche di tipo particolare sono le centrali geotermiche, che sfruttano il calore del sottosuolo, le centrali nucleari, che utilizzano il calore prodotto da reazioni nucleari di fissione ( Tomo V, pag. xxx) di particolari sostanze radioattive e le centrali solari termiche, che impiegano il calore del Sole. Nelle centrali solari 15

16 fotovoltaiche si sfrutta la conversione diretta della radiazione solare in elettricità utilizzando le celle fotovoltaiche ( Tomo V, pag. xxx); nelle centrali eoliche, l energia cinetica del vento. Una caratteristica importantissima dei processi fisici utilizzati per convertire le diverse forme di energia in energia elettrica è il rendimento. Per quanto riguarda gli alternatori, abbiamo già detto che in queste macchine la conversione da energia cinetica in energia elettrica non presenta limiti teorici e infatti in pratica il rendimento è appena inferiore all unità. Diverso è il caso dei motori termici, il cui rendimento, come sapete ( Tomo II, pag. xxx), dipende dalle temperature a cui queste macchine scambiano energia termica con la sorgente calda e la sorgente fredda. I motori termici, in pratica, convertono l energia termica in energia cinetica con rendimenti fra il 30% e il 50%, fino al 60% negli impianti di più recente concezione. Le turbine idrauliche usate nelle centrali idroelettriche, infine, offrono rendimenti assai elevati, fra l 80 e il 90%, nella conversione dell energia cinetica di un flusso d acqua in quella di rotazione necessaria per azionare gli alternatori. Altre caratteristiche importanti delle centrali riguardano l inquinamento che esse producono, i costi di esercizio (che nel caso delle centrali termoelettriche dipendono dai combustibili usati) e la continuità della fornitura dell energia. Le centrali nucleari, per esempio, devono funzionare con continuità; le centrali termoelettriche possono invece esser accese o spente quando è necessario; il funzionamento delle centrali idroelettriche dipende dalla portata dei corsi d acqua che le alimentano o dalla disponibilità di acqua nei bacini montani, le centrali solari possono evidentemente funzionare soltanto nelle ore centrali del giorno e se cielo è sereno, Di questi argomenti ci occuperemo più in dettaglio nel Tomo V. Figura 16. Consumi annui di energia elettrica (curva blu in basso) e di energia totale (curva rossa in alto) in Italia. Dal 1960 a oggi è aumentata anche, dall 8 al 15%, la frazione di energia elettrica rispetto all energia totale. Figura 17. Schema del sistema di generazione, trasmissione e distribuzione dell energia elettrica in corrente alternata. Parti essenziali del sistema sono gli alternatori, le linee di trasmissione e i trasformatori. (Adattare da il Mondo della Fisica, vol. B, pag. 471, riducendo la torre a media tensione ) energia totale ed energia elettrica (EJ) Figura 18. Il consumo totale di energia elettrica in Italia nel 2004 è stato di 349 TWh = 1,26 EJ (1 EJ = J) al quale i diversi tipi di centrali hanno contribuito come mostrato nella figura A, con concorso prevalente delle centrali termoelettriche e con forti importazioni dall estero di energia prodotta in centrali nucleari. La potenza totale delle centrali italiane, 84,4 MW, è infatti insufficiente a assicurare il fabbisogno. Tale potenza è fornita attualmente per la maggior parte da centrali termoelettriche (61,5 MW) e idrauliche (21,1 MW). termoelettrico 75,6% idraulico 21,5% geotermico 1,7% fotovoltaico ed eolico 0,6% importazioni 14,0% La Fisica della tecnologia 2. Le centrali di pompaggio. I consumi di energia elettrica variano grandemente durante le stagioni, i giorni e le ore del giorno. La figura A mostra per esempio che in una giornata invernale il fabbisogno nel pomeriggio è quasi il doppio di quello delle ore notturne. Per fronteggiare la richiesta di energia nelle ore di punta sarebbe necessario disporre di un numero di centrali assai maggiore di quanto occorrerebbe se il fabbisogno fosse costante nel tempo. Risulta allora conveniente trasformare in energia potenziale 16

17 gravitazionale l energia elettrica prodotta in eccesso nei periodi di minor consumo, per riottenerla poi quando serve. A questo scopo si utilizzano le cosidette centrali di pompaggio, nelle quali l energia elettrica in eccesso viene usata per pompare acqua da un bacino a un altro a quota più alta; quando poi si richiede energia elettrica, l impianto funziona come una normale centrale idroelettrica. Uno dei maggiori impianti di questo tipo, con potenza di 1 GW, si trova a Presenzano, Caserta. I due bacini si trovano rispettivamente a 150 e 630 metri di quota; la centrale comprende quattro alternatori da 300 MW, collegati ad altrettante turbine idrauliche reversibili, che possono funzionare sia come pompe che come normali turbine (cioè motori idraulici). Figura A Il grafico rappresenta il fabbisogno orario di potenza elettrica (in GW) in Italia durante le 24 ore di giovedì 15 dicembre (solo la linea rossa, in ascissa solo le ore pari, in ordinata le scritte senza virgole e zeri) 3.11 Il trasporto e la distribuzione dell energia elettrica Le centrali elettriche si trovano generalmente in luoghi lontani dalle città e dai siti industriali dove si utilizza l energia prodotta da esse, spesso anche a distanze notevoli. Perché le centrali idroelettriche vanno situate in montagna o lungo i fiumi, le centrali termoelettriche vengono costruite lontano dalle città per evitare di inquinarne l aria con i fumi della combustione del carbone o del petrolio, e gli altri tipi di centrali devono essere impiantate dove è disponibile calore dal sottosuolo a profondità convenienti (centrali geotermiche), dove il vento soffia intensamente e con continuità (centrali eoliche) o dove sono disponibili grandi spazi con forte insolazione (centrali solari). Ma questo non è il solo motivo per cui occorre trasportare energia elettrica a distanza. Vi è infatti anche la necessità di collegare fra loro le centrali di un Paese, e anche di più Paesi diversi, in modo che esse possano contribuire assieme nel modo più conveniente e sicuro alla fornitura di energia elettrica. Per trasmettere l energia elettrica a distanza si usa una rete di linee di trasmissione, impiegando sia linee aeree, costituite da conduttori di rame o di alluminio sorretti da grandi torri, sia cavi sotterranei, costituiti da conduttori ben isolati fra loro, posti all interno di una guaina di protezione, sia cavi sottomarini, attraverso bracci di mare. A queste linee si richiede di trasportare grandi quantità di energia, con potenze quindi assai elevate, e conseguentemente con inevitabili dissipazioni per effetto Joule nella resistenza dei conduttori che le costituiscono. Per ridurre le dissipazioni si potrebbe diminuire la resistenza dei conduttori, aumentandone la sezione, ma ciò non è conveniente dal punto di vista sia economico (costo del metallo) sia pratico (peso eccessivo dei conduttori delle linee aeree). La scelta seguita comunemente è perciò quella di ridurre l intensità delle correnti a parità di potenza trasmessa. Ciò si realizza, ricordando che la potenza è il prodotto della tensione per la corrente, con linee a tensioni molto elevate, fino a centinaia di migliaia di volt. A questo scopo si impiegano dei trasformatori, elevatori all ingresso della linea, riduttori alla sua uscita; questi naturalmente introducono ulteriori dissipazioni ma, come sappiamo, di modesta entità. Esempio 8. Le linee ad alta tensione permettono di ridurre le perdite per effetto Joule. Gli alternatori situati in una centrale elettrica generano corrente alternata alla tensione V 1eff = 12 kv, con potenza P = 50 MW. Questa viene trasmessa a distanza con una linea elettrica i cui conduttori presentano resistenza totale R = 1. Vogliamo calcolare le dissipazioni per effetto Joule 17

18 nella linea, e quindi il suo rendimento energetico quando la corrente viene trasmessa: a) alla tensione dell alternatore, b) alla tensione V 2eff = 220 kv. La corrente erogata dagli alternatori ha intensità: i 1eff = P/V 1eff = / = 4, A. a) Alimentando direttamente la linea con questa corrente, la potenza dissipata nella linea è: P 1diss = i 1eff 2 R = (4, ) 2 1 = 1, W, quella fornita al carico all uscita della linea: P 1 = P - P 1diss = , = 3, W. Sicché il rendimento energetico della linea è: 1 = P 1 /P = 3, / = 65,2%. b) Innalzando la tensione, con un trasformatore, da 12 kv a V 2eff = 220 kv, la corrente inviata sulla linea avrà intensità i 2eff = P/V 2eff = / = 227 A. In questo caso la potenza dissipata nella linea è: P 2diss = i 2eff 2 R = (227) 2 1 = 5, W, quella fornita al carico all uscita della linea: P 2 = P P 2diss = , = 4, W. Sicché il rendimento della linea è: 2 = P 2 /P = 4, / = 99,9%. Nei grandi sistemi elettrici si utilizzano linee a diversi livelli di tensione. Le tensioni più alte, in Italia 220 e 380 kv, sono impiegate per trasmettere grandi quantità di energia a grandi distanze, tensioni via via minori per trasmetterla localmente e poi per distribuirla agli utilizzatori: nelle abitazioni e negli uffici a 220 V, alle industrie a tensioni più alte. In Italia la lunghezza totale delle linee ad altissima tensione (220 e 380 kv) è di oltre km; circa altrettanto quella delle linee a 120 e 150 kv. Collegamento con la storia 1. Corrente continua o corrente alternata? Sebbene nel corso dell Ottocento gli impieghi pratici dell elettricità avessero trovato un certo sviluppo, le potenze utilizzabili in pratica erano relativamente modeste, in quanto le uniche sorgenti di elettricità erano i generatori elettrochimici: pile e accumulatori. Una svolta decisiva si ebbe negli anni attorno al 1880, grazie all introduzione di generatori elettromeccanici azionati da motori: la dinamo e l alternatore, che producevano rispettivamente correnti continue e correnti alternate, in entrambi i casi fornendo potenze considerevoli. E proprio in quegli anni sorse un acceso dibattito su quale tipo di corrente fosse più conveniente distribuire agli utilizzatori. Acceso fautore delle correnti continue fu Edison, Nella sua polemica contro l impiego delle correnti alternate, mirata all affermazione delle tecnologie in suo possesso, Edison tentò per anni di screditarle, insistendo sulla loro maggiore pericolosità per l uomo. Egli riuscì addirittura a far adottare la corrente alternata per le esecuzioni capitali nello stato di New York. che nel 1882 realizzò a New York una delle prime centrali elettriche, impiegando delle dinamo, per alimentare gli impianti di illuminazione delle strade e degli edifici della città, sostituendo l illuminazione a gas usata a quel tempo. Ma si trovò presto che queste centrali potevano distribuire l elettricità soltanto a distanze relativamente brevi, oltre le quali le dissipazioni per effetto Joule nelle linee elettriche di collegamento risultavano inaccettabili. Le tensioni utilizzate erano infatti relativamente basse (240 V) e conseguentemente le correnti molto intense. Sicché le centrali, alimentate a carbone, dovevano essere situate nel centro delle città, con evidenti inconvenienti, ma l attenzione ai problemi ambientali era all epoca assai minore di oggi. Per l affermazione delle correnti alternate risultò decisivo l impiego dei trasformatori, che consentivano di innalzare a tensioni elevate le correnti generate dagli alternatori, trasmetterle a distanza senza perdite eccessive, e poi ridurne la tensione per distribuirle convenientemente agli utilizzatori. Uno dei primi impianti di questo tipo fu realizzato nel 1892 dal fisico italiano Giuseppe 18

19 Mengarini, professore di elettrotecnica all università di Roma, collegando la rete elettrica della città a una centrale idroelettrica situata a Tivoli con una linea ad alta tensione funzionante a 5000 volt. Figura. Le prime centrali elettriche, che usavano motori termici e dinamo per generare correnti continue, erano situate nel centro delle città. Nella fotografia la prima centrale italiana, costruita nel 1883 a Milano in via Santa Radegonda, nei pressi del Duomo. Quattro dinamo fornivano 350 kw complessivi: quanto bastava per accendere 4800 lampade ad incandescenza da 16 candele, alimentate a circa 100 V. Ma soltanto nel raggio di poche centinaia di metri. La Fisica intorno a noi 1. I blackout elettrici. Si verificano talvolta, sebbene assai di rado, delle interruzioni della fornitura di energia elettrica di durata relativamente lunga (ore o giorni) e riguardanti regioni più o meno estese, che prendono il nome di blackout (oscuramento). Le conseguenze, si capisce, sono pesantissime: tutte le luci si spengono, gli apparecchi elettrici smettono di funzionare, si bloccano gli ascensori delle case come pure le ferrovie metropolitane, il traffico impazzisce perché i semafori non funzionano, Uno di questi eventi ebbe luogo nel novembre 1965, in una vasta regione degli Stati Uniti e del Canada comprendente la città di New York. 30 milioni di persone dovettero aspettare molte ore, in alcune zone addirittura giorni, prima che il servizio venisse ristabilito. Un altro caso del genere, sempre in Usa, si verificò nell agosto 2003, questa volta riguardando ben 50 milioni di persone. In Italia si ricorda il blackout del settembre 2003, che coinvolse tutto il Paese, ad eccezione della Sardegna, e una parte della Svizzera. L interruzione della fornitura ebbe inizio alle 3:30 della notte del 28 settembre e terminò poche ore dopo in alcune zone, protraendosi in altre fino al pomeriggio. Le cause dell evento del 28 settembre sono state investigate. Causa specifica fu il ramo di un albero (evidentemente non potato a regola) che il vento portò a sfiorare i conduttori di un elettrodotto in Svizzera, provocando alle 3:01 un cortocircuito che mise fuori servizio la linea, che trasmetteva energia verso l Italia. A seguito di ciò, altre linee, che portavano anch esse energia verso l Italia dalla Francia e dalla Svizzera, subirono un aumento dell intensità di corrente per compensare il deficit. Esse subirono un graduale riscaldamento dei conduttori, fino all interruzione, alle 3:25, per l intervento degli interruttori di sicurezza (ciò si sarebbe evitato se gli operatori delle reti elettriche dei tre Paesi si fossero scambiati in tempo le informazioni sulla situazione). A quel punto tutto il sistema elettrico nazionale entrò in crisi: gli interruttori di protezione delle centrali in funzione in quel momento, insufficienti alla bisogna, le distaccarono automaticamente dalla rete e l Italia rimase al buio. Cause più remote, d altra parte, sono la debolezza del nostro sistema di produzione di elettricità, che richiede forti approvvigionamenti dall estero. Le importazioni sono, d altra parte, fortemente incentivate dal fatto che l energia elettrica prodotta in Italia è più costosa di quella prodotta altrove (per esempio in Francia, dove sono attive numerose centrali nucleari). Nel momento dell interruzione, infatti, l Italia stava importando ben 6,4 GW di potenza. 19

20 Test di verifica 1) La tensione indotta in una spira che ruota in un campo magnetico è sempre nulla quando il campo è diretto Ο parallelamente Ο perpendicolarmente Ο a 45 rispetto all asse di rotazione della spira 2) Vero o falso? V F - la tensione indotta in una spira in un campo magnetico è direttamente proporzionale al flusso concatenato con essa O O - la tensione indotta in una spira che ruota in un campo magnetico è direttamente proporzionale alla derivata rispetto al tempo del flusso concatenato con essa O O - l ampiezza della tensione indotta in una spira che ruota in un campo magnetico è direttamente proporzionale alla sua velocità di rotazione O O - la tensione indotta in una spira che ruota in un campo magnetico è direttamente proporzionale all area della sua superficie O O - una corrente elettrica non può scorrere in un circuito nel quale non vi è un generatore O O 3) La tensione indotta in una spira che ruota in un campo magnetico ha Ο la stessa ampiezza Ο la stessa fase Ο la stessa frequenza delle variazioni del flusso concatenato con essa 4) Sottolineate gli errori che individuate nella frase seguente. La corrente continua scorre sempre nello stesso senso con intensità variabile; la corrente alternata scorre con intensità costante, e il suo senso s inverte una volta durante ogni periodo. 5) Completate la frase seguente Il valore efficace di una corrente alternata è l intensità della corrente continua che, attraversando lo stesso conduttore, dissiperebbe per effetto Joule la stessa potenza della corrente alternata. 6) La corrente alternata descritta dalla legge 0 sen i t i t ha valore efficace O i 0 O i 0 / 2 O 2 i 0 7) Il valore efficace della corrente che scorre in un resistore da 1000 ohm collegato a una tensione alternata di ampiezza V 0 = 100 volt è O 0,1 A O 0,141 A O 0,0707 A 8) La corrente che scorre in un resistore alimentato da una tensione alternata con frequenza di 400 Hz ha il periodo di O 400 ms O 400 Hz O 2,5 ms 9) La potenza media dissipata da una corrente alternata in un circuito resistivo si può esprimere come prodotto del valore efficace della corrente per O la resistenza del circuito O il reciproco della resistenza O il valore efficace della tensione 10) Negli alternatori la corrente indotta viene generata in bobine O rotanti in un campo magnetico costante O fisse in un campo magnetico variabile O fisse in un campo magnetico costante 11) Le bobine usate negli alternatori hanno generalmente O molte spire O poche spire O una elevata resistenza elettrica 20

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