Complementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013

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1 Complementi di Analisi per nformatica *** Capitolo 2 Numeri Complessi e Circuiti Elettrici a Corrente Alternata Sergio Benenti 7 settembre 2013?

2 ndice 2 Circuiti elettrici a corrente alternata 1 21 Circuito elettrico elementare 1 22 Regime in corrente alternata 2 23 La legge di Ohm complessa 3 24 mpedenze in serie e in parallelo 6 25 Blocchi e relazioni input-output 6 ii

3 Capitolo 2 Numeri complessi e circuiti elettrici a corrente alternata 21 Circuito elettrico elementare La Fig 1 illustra un circuito elettrico elementare costituito da un generatore di tensione (t), variabile nel tempo, che alimenta un carico Ci proponiamo di studiare la relazione intercorrente tra la tensione (t) e la corrente elettrica (t) assorbita dal carico, misurata da un amperometro A, relazione che dipenderà sia dalla legge temporale della tensione (t) sia dal tipo di carico Fig 1 Generatore di tensione (t) Corrente (t) A Carico Dobbiamo partire dai tre tipi di carico fondamentali, illustrati nella Tabella 1, per poi estendere le nostre considerazioni a carichi più complessi 1

4 2 Capitolo 2 Circuiti elettrici a corrente alternata Tabella 1 Elementi fondamentali passivi di un circuito elettrico Carico Simbolo Caratteristica numerica Unità di misura Resistore R = resistenza Ohm Condensatore C = capacità Farad(ay) nduttore L = induttanza Henry legami (tensione corrente) che caratterizzano ciascuno di questi carichi sono retti dalle tre leggi fondamentali seguenti: (21) = R, = C d dt, = L d dt La prima equazione, = R, è la legge di Ohm Essa è di tipo algebrico, mentre le altre due sono di tipo differenziale 22 Regime in corrente alternata Consideriamo il caso elementare, ma fondamentale per le applicazioni, in cui (t) ha la forma (t) = 0 cos ωt dove 0 è costante e ω > 0 è la pulsazione 1 Applicando le tre leggi fondamentali (21) si ottengono i risultati riportati nella Tabella 2 1 Ricordiamo che ω = 2π f, dove f è la frequenza (pes 50 Hertz per le nostre linee elettriche)

5 23 La legge di Ohm complessa 3 Tabella 2 Relazioni tensione corrente in corrente alternata Carico Legge Tensione Corrente = R = 0 cosωt = 0 R cosωt = C d dt = L d dt = 0 cosωt = ω C 0 sin ωt = ω C 0 cos(ωt + π 2 ) = 0 cosωt = 1 ω L 0 sin ωt = 1 ω L 0 cos(ωt π 2 ) Dall ultima colonna osserviamo che: 1 Per un carico puramente resistivo ed sono in fase 2 Per un carico puramente capacitivo la corrente (t) è in anticipo rispetto alla tensione (t) di un angolo retto, π/2 3 Per un carico puramente induttivo la corrente (t) è invece in ritardo di un angolo retto rispetto alla tensione (t) Nelle figure 21, 22 e 23 vengono rappresentati questi tre casi Per ognuno di questi, sul lato sinistro, è riporato il vettore tensione (t) di lunghezza fissa 0 che si deve pensare ruotare intorno all origine del piano (x, y) con velocità angolare costante ω, con posizione iniziale (ciè per t = 0) sull asse x, e in senso antiorario Le tre corrispondenti correnti (t) sono solidalmente legate a, e quindi ruotano anch esse con velocità angolare ω in senso antiorario Le proiezioni di questi vettori sull asse x sono riporate a destra come funzioni del tempo t 23 La legge di Ohm complessa Se identifichiamo il piano (x, y) col piano di Gauss dei numeri complessi z = x + iy, allora il vettore (t) si può interpretare come numero complesso (22) (t) = 0 (cosω t + i sinωt), Se si utilizza la formula di Euler si può scrivere più brevemente (23) (t) = 0 e iωt Si noti bene che qui si abbandona la notazione vettoriale in grassetto l vantaggio dell utilizzo dei numeri complessi anziché dei vettori consiste nel fatto che, come si

6 4 Capitolo 2 Circuiti elettrici a corrente alternata y x 0 (t) = 0 cos ωt (t) = 0 R cos ωt t Figura 21: Carico resistivo: la corrente è in fase con la tensione y x 0 (t) = 0 cos ωt (t) = 0 ω L cos(ωt π 2 ) t Figura 22: Carico induttivo: la corrente è in ritardo di 90 rispetto alla tensione vedrà tra breve, sarà necessario eseguire l operazione di prodotto, cosa che è possibile per i numeri complessi ma che non può essere definita per i vettori nel piano Come si è visto, per un carico puramente capacitivo la corrente (t) è sfasata di un angolo retto in anticipo rispetto alla tensione (t) Siccome la moltiplicazione di un numero complesso per i provoca la sua rotazione di )0 in senso antiorario, possiamo rappresentare questo sfasamento in anticipo moltiplicando la per l unità immaginaria i e quindi scrivere = i ω C Analogamente, per un carico induttivo, per cui la tensione (t) è in anticipo rispetto

7 23 La legge di Ohm complessa 5 y x 0 (t) = 0 cos ωt (t) = ω C 0 cos(ωt + π 2 ) t Figura 23: Carico capacitivo: la corrente è in anticipo di 90 sulla tensione alla corrente (t), scriviamo = i ω L Si può allora ricompilare la Tabella 2 in termini complessi: Tabella 3 Relazioni tensione corrente in termini complessi Carico Legge Tensione Corrente = R = 0 e iωt = 1 R = C d dt = L d dt = 0 e iωt = iω C = 0 e iωt = 1 i ω L = i ω L l vantaggio fondamentale della rappresentazione complessa consiste nel fatto che le leggi elementari (21), = R, = C d dt, = L d dt, possono ricondursi ad un unica equazione algebrica nfatti, nella Tabella 4 vediamo che queste tre leggi diventano (24) = R, = 1 i ω C, = i ωl

8 6 Capitolo 2 Circuiti elettrici a corrente alternata Ma, fatto interessante, queste tre equazioni hanno la stessa forma, vale a dire (25) = Z ponendo nei tre casi (26) Z = R, Z = 1 i ω C = i ω C, Z = i ω L Queste Z prendono il nome di impedenze, rispettivamente di impedenza puramente resistiva, puramente capacitiva, puramente induttiva 2 La (25) prende il nome di legge di Ohm complessa L inverso 1 Z di un impedenza prende il nome di conduttanza 24 mpedenze in serie e in parallelo Combinando fra loro in vario modo resistori, condensatori e induttori si può ottenere una qualunsue impedenza Z caratterizzata da un numero complesso e dalla pulsazione ω Nella schematizzazione dei circuiti elettrici una generica impedenza viene indicata col simbolo Per le impedenze si possono considerare due composizioni fondamentali: impedenze in serie e impedenze in parallelo Esercizio Dimostrare che: Le impedenze in serie si sommano (fig 24) Per impendenze in parallelo si sommano le conduttanze (fig 25) 25 Blocchi e relazioni input-output Nella Fig 5 è descritto un blocco, rappresentato da un rettangolo all interno del quale si trovano due impedenze Z 1 e Z 2 All ingresso del blocco (posto a sinistra) viene applicata una tensione (t) variabile nel tempo, detta segnale di entrata All uscita (posta a destra) viene di conseguenza misurata una tensione O (t) detta segnale di 2 Può far comodo denotarle Z R, Z C e Z L, rispettivamente

9 25 Blocchi e relazioni input-output 7 Z 1 Z Z 2 Z = Z 1 + Z 2 Figura 24: mpedenze in serie Z 1 Z 2 Z Figura 25: mpedenze in parallelo uscita Assumiamo che la misura della tensione O (t) non implichi assorbimento di corrente 3 (t) Z 1 Z 2 O (t) Per come sono poste le impedenze la corrente elettrica assorbita dall ingresso è tale 3 voltmetri sono supposti a impedenza infinita

10 8 Capitolo 2 Circuiti elettrici a corrente alternata da soddisfare la legge di Ohm per due impedenze in serie: = (Z 1 + Z 2 ) La tensione che si misura ai capi di Z 2, che coincide ovviamente con O, è data da O = Z 2 Mettendo insieme queste due equazioni si trova che O = Z 2 Z 1 + Z 2 Quest uguaglianza esprime dunque la relazione tra il segnale d ingresso ed il segnale di uscita Possiamo chiamare la funzione complessa F = Z 2 Z 1 + Z 2 funzione di trasferimento del blocco, potendosi scrivere O = F Dunque il segnale di uscita è uguale al prodotto del segnale di entrata per la funzione di trasferimento Consideriamo il caso in cui (t) è ti tipo sinusoidale, cioè del tipo (23) e Z 1 è costituita da un condensatore e da un induttore posti in parallelo: Dunque: Z 1 C 1 = = i ω C + 1 Z 1 Z C Z L i ω L = 1 ω2 L C i ω L cioè i ω L Z 1 = 1 ω 2 L C Ora, al posto di Z 2 poniamo una pura resistenza, Z 2 = R, L Z 1 R

11 25 Blocchi e relazioni input-output 9 per cui il blocco contiene il circuito seguente: Costruiamo la funzione di trasferimento: F = Z 2 Z 1 + Z 2 = R Z 1 + R = R i ω L 1 ω 2 L C + R = R (1 ω 2 L C) i ω L + R (1 ω 2 L C) ediamo che al limite per ω 2 che tende a 1/LC il segnale in uscita O tende a zero Ciò significa che un segnale sinusoidale con ω = 1 LC non passa attraverso il blocco Questo blocco è un esempio di filtro Si pone la questione: se in ingresso abbiamo un segnale (t) qualsiasi, come possiamo calcolare il segnale di uscita?? Questo tipo di problema si può affrontare con gli strumenti trattati nei prossimi capitoli