Esercizio 1 ( es 1 lez 11) La matrice è diagonalizzabile: verificare, trovando la matrice diagonalizzante, che A è simile a A.

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1 Eserciio ( es le La marice è diagonaliabile: verificare, rovando la marice diagonaliane, che è simile a. Esisono re auovalori: mol.alg(- dim V - ; mol.alg( dim V ; mol.alg(- dim V -. Esise una marice simile ' M ( R Una base che consene di rovare marice simile ad diagonale può essere: B((,,,(,,-/,(,, La marice diagonaliane è: Leione - Eserciaioni di lgebra e Geomeria - nno accademico 9-

2 Leione - Eserciaioni di lgebra e Geomeria - nno accademico 9- M ( / R La sua marice inversa: M ( / / / R / / / / ' Eserciio Deerminare gli auovalori di ( M - 4 R de(-λi 4

3 de( λi -λ λ - λ( -λ -λ -λ λi 4 M4( R -λ - - λ 4 -λ -λ -λ - -λ -λ -λ -λ ( λ λ [( ] λ de(-λi 4 (λ -λ(- λ-(- λ λ con moleplicià algebrica ; λ con moleplicià algebrica. Gli auospai associai avranno ciascuno dimensione. La marice non è diagonaliabile. Leione - Eserciaioni di lgebra e Geomeria - nno accademico 9-

4 6 - / - Daa la marice : Eserciio 6 - M ( - R a deerminare gli auovalori di ; b deerminare gli auospai associai, relaive dimensioni e base; c verificare che la marice è diagonaliabile; d deerminare una marice diagonaliane ale - con marice diagonale. raccia de(-λi λ o λ (mol.alg. dim V e una base è ((-,, dim V e una base è ((-,,,(,,. è diagonaliabile Leione - Eserciaioni di lgebra e Geomeria - nno accademico 9-4

5 Leione - Eserciaioni di lgebra e Geomeria - nno accademico 9- ' Eserciio 4 ( M R Daa la marice : a deerminare gli auovalori di ; b deerminare gli auospai associai, relaive dimensioni e base; c verificare che la marice è diagonaliabile; d deerminare una marice diagonaliane ale -.

6 -λ - -λ λi 4 M4( R --λ - λ Il deerminane di ques ulima marice è (-λ(--λ(--λ (-λ a Gli auovalori reali sono dunque: λ con moleplicià algebrica ; λ - con moleplicià algebrica ; λ - con moleplicià algebrica. bgli auospai relaivi sono: b ricerchiamo (-I 4 X I Quesa marice ha rango ed un sisema principale equivalene esrao è: Leione - Eserciaioni di lgebra e Geomeria - nno accademico 9-6

7 Leione - Eserciaioni di lgebra e Geomeria - nno accademico 9-7,,,, (( R x x S y Ques insieme di soluioni è V auospaio associao a λ. dim V e una base è ((,,,,(,,,. b ricerchiamo (I 4 X - I 4 Quesa marice ha rango ed un sisema principale equivalene esrao è:,,, (( R S y y x Ques insieme di soluioni è V - auospaio associao a λ-. dim V - e una base è ((-,,,. b ricerchiamo (I 4 X

8 Leione - Eserciaioni di lgebra e Geomeria - nno accademico I Quesa marice ha rango ed un sisema principale equivalene esrao è:,, ((, R S y x Ques insieme di soluioni è V - auospaio associao a λ-. dim V - e una base è ((,,,-. c la marice possiede 4 auovalori, non disini (conai con la rispeiva moleplicià, ciascuno degli auovalori rovai ha la moleplicià geomerica coincidene con la moleplicià geomerica: λ moleplicià algebrica. dim V λ- moleplicià algebrica.dim V - λ- moleplicià algebrica.dim V -. è diagonaliabile

9 Leione - Eserciaioni di lgebra e Geomeria - nno accademico 9-9 d Esise quindi una base di auoveori di ramie i quali la rappresenaione divena. er esempio: B((,,,,(,,,,(-,,,,(,,,-. La marice diagonaliane è: - Da cui - - '. Eserciio er quali valori del paramero reale h la seguene marice è diagonaliabile? h

10 Leione - Eserciaioni di lgebra e Geomeria - nno accademico 9- La marice è sicuramene diagonaliabile se gli auovalori λ h e λ risulano disini: h /. In queso caso i singoli auospai risulano avere dim, pari alla moleplicià algebrica. er h/ deerminiamo la dimensione dell auospaio associao a λ λ : Eserciio 6 Daa la marice k k k a Si indichi per quali valori di k il sisema k y x k

11 è compaibile e in al caso quane soluioni ammee; b si sudino al variare del paramero reale k gli auovalori e la moleplicià algebrica; c si individuino i valori del paramero k affinché la marice risuli diagonaliabile; d poso k - si scriva la marice diagonale simile e la marice diagonaliane. Svolgiamolo insieme Leione - Eserciaioni di lgebra e Geomeria - nno accademico 9-

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