Soluzioni. Se l interallo avesse livello di confidenza 99%, al posto di 1,96 avremmo

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1 Esercizio 1 Soluzioi 1. Ricordiamo che l ampiezza di u itervallo di cofideza è fuzioe della umerosità campioaria edellivellodicofideza. Aparità di tutto il resto, l ampiezza dimiuisce al crescere di eaumetaal crescere di 1 α. Quidi, se da 1 α =0, 9 si passa a 1 α=0,99 l ampiezza aumeta, ma per compesare questo aumeto possiamo far crescere. Sia R la variabile casuale che descrive il reddito di u abitate della cittadia. I base alle ipotesi del problema, R N(µ, σ )coσ ota. U itervallo di cofideza per µ al livello 9% co =100è σ σ x 1, 96, x +1, L ampiezza dell itervallo è 1, 96 σ 10 Se l iterallo avesse livello di cofideza 99%, al posto di 1,96 avremmo z 0,99 =, 76 e l ampiezza dell itervallo, per ua umerosità campioaria geerica, sarebbe, 76 σ Allora, affiché i due itervalli abbiao uguale ampiezza 1, 96 σ 10 =, 76 σ Risolvedo l equazioe otteuta rispetto ad si ottiee =173(arrotodado).. Se σ dimiuisce l ampiezza dimiuisce, per compesare questa riduzioe e mateere ialterata l ampiezza dell itervallo dobbiamo ridurre. L itervallo di cofideza di livello 9% per µ co ua variaza di popolazioe pari a σ /euaumerositàcampioaria geerica è σ σ x 1, 96, x +1, 96 L ampiezza dell itervallo è 1, 96 σ Allora, per avere la stessa ampiezza dell itervallo co = 100 e variaza pari a σ,deveessere 1, 96 σ σ = 1, Risolvedo l equazioe rispetto a si deriva =.

2 Esercizio 1. Abbiamo visto che ua stima corretta di ua probabilità è la corrispodete frazioe calcolata sul campioe osservato. I questo caso, il umero di furti i bigiotteria complessivamete è pari a 19. Tra questi furti 377 soo commessi da persoe di età compresa tra 1 e 1 ai. La frazioe cercata è allora. p = =0, 9 1 α =0, 9 α =0, 0 1 α/ =0, 97 z 0,97 =1, 96 L itervallo cercato è 0, 9 (1 0, 9) 0, 9 (1 0, 9) 0, 9 1, 96 ;0, 9 + 1, 96 = =(0, 6; 0, 31) 3. Sì, perché 0,3 è icluso el precedete itervallo di livello 9%. Esercizio 3 1. Idichiamo co µ la media dell aumeto delle ore di lavoro e co σ la variaza dell aumeto. Sia µ che σ soo igoti. Facciamo u ipotesi di ormalità per l aumeto delle ore di lavoro. Gli igredieti ecessari per costruire l itervallo soo equidi x =3, 9 s =, s =, 0 =6, 8 19 dove si è supposto che la deviazioe stadard campioaria specificata el testo sia quella associata a s, 1 α =0, 9 1 α/ =0, 9 t 19;0,9 =1, 79 Allora, l itervallo richiesto è 6, 8 3, 9 ± 1, 79 =(, 91; 4, 89) ore 0. Per il uovo itervallo, abbiamo t. 119;0,9 = z 0,9 =1, 64

3 Allora, 6, 8 3, 9 ± 1, 64 =(3, ; 4, 9) ore 10 L itervallo è più corto, come ci potevamo aspettare, dato che all aumetare della umerosità campioaria, a parità di tutto il resto, si riduce l ampiezza dell itervallo. 3. L ampiezza dell itervallo del puto precedete è 0,77. Allora, l ampiezza del uovo itervallo deve essere 0,77-0,77/4=0,8. Vogliamo determiare la umerosità campioaria i modo tale che il uovo itervallo abbia ampiezza 0,8. Per ridurre la dimesioe dell itervallo, aparitàdituttoilresto,laumerositèdeveaumetare,quidi>10. Il uovo itervallo è 6, 8 3, 9 ± 1, 64 co ampiezza 6, 8 1, 64 Risolvedo rispetto a l equazioe 6, 8 1, 64 =0, 8 si deriva =1(arrotodado). Esercizio 4 (a) Idicado co π I la percetuale di italiai che adrao i settimaa biaca per le vacaze di Natale e co I = 700 la umerosità del campioe, allora la stima campioaria di π I è d a t a d a p I =00/700 = 0, 86. Poichè I p I =00e I (1 p I )=0sooetrambi maggiori di, u itervallo di cofideza approssimato per π I è p I (1 p I ) p I ± z 0,9 I dove z 0,9 =1, 64 e pertato (0, 86±1, 64 0, 017) = (0, 8 ; 0, 314). (b) Occorre determiare la umerosità campioaria I i modo tale che l ampiezza dell itervallo idividuato al puto precedete sia miore o uguale a 0,04. Allora 0, 86 0, 714 1, 64 0, 04 I da cui I 1381, 4, ossia avrebbero dovuto essere itervistati almeo 138 italiai.

4 (c) Vogliamo saggiare seza effettuare calcoli il sistema di ipotesi co alterativa bilaterale H 0 : π I =0, 4 H 1 : π I =0, 4 al livello α =0, 1. Essedo la umerosità campioaria elevata e siccome l itervallo di cofideza al 90% (ossia di livello corrispodete ad α =10%)perπ I idividuato al puto a) o iclude il valore 0, 4 specificato dall ipotesi ulla, tedezialmete saremmo portati a rifiutare H 0. (d) Idicado co π T la percetuale di tedeschi che adrao i settimaa biaca per le vacaze di Natale, vogliamo testare al livello α =0, 01 il seguete sistema di ipotesi H0 : πt = πi H 1 : π T >π I Idicado co p T = =0, 3 la percetuale campioaria di tedeschi che adrao i settimaa biaca per le vacaze di Natale e co T la umerosità del campioe di tedeschi estratto, il test asitotico da adottare i questo ambito cosiste el rifiutare H 0 se p T p I >z 0,99 =, 36 p(1 p)( 1 T + 1 I ) dove p = p T T + p I I = =0, 87. T + I Dato che la statistica test risulta pari a 0,9 dobbiamo accettare l ipotesi ulla H 0. Esercizio (a) La media campioaria T 1 è u o s t i m a t o r e c o r r e t t o p e r µ, maachet è corretto ifatti E(T )= E(Y 1)+ 6 i= E(Y i) = µ. 10 Pertato, dovedo scegliere quale utilizzare tra i, dobbiamo optare per T 1 se V (T 1 ) V (T ). Idicado co σ la variabilità del coteuto di riso, si ha che e V (T 1 )= i=1 V (Y i )= σ 6 =0, 17 σ V (T )= V (Y 1)+ 6 i= V (Y i) =0, 3 σ 100 epertatoèopportuoutilizzarelostimatoret 1.

5 (b) Per costruire l itervallo di cofideza richiesto calcoliamo la variaza campioaria corretta: s = i=1 y i (y) = , 833 =139, 413 gr da cui s = s =167, 9 gr.l itervallodicofidezadi livello 1 α =0, 99 per σ è d a t o d a ( 1)s ; ( 1)s 166, , 97 = ; χ 1;1 α/ χ 1;α/ χ ; 0,99 χ ; 0,00 1 = 6 139,413 ossia 831, 4 16, 7 ; 831, 4 =(49, 64 ; 07, 93) gr. 0, 41 (c) Vogliamo ora saggiare al livello di sigificatività α =0, 0 il seguete sistema di ipotesi H 0 : µ =400 H 1 : µ = 400 Dato che l alterativa è bilaterale, rifiutiamo H 0 se ȳ µ 0 s = 410, ,97 =, 03 >t 1;1 α/ = t ;0,99 =3, Siccome ciò o è verificato dobbiamo accettare l ipotesi ulla H 0 secodo cui il peso medio delle cofezioi prodotte corrispode al valore dichiarato. Esercizio 6 Idicado co X la spesa bisettimaale per il miimetrò, dal testo si ha che X N(µ;). (a) Dato che: x =1euro,1 α =0, 9 e quidi α =0, 0, z 1 α/ = z 0,97 =1, 96 ed = 10 allora l itervallo di cofideza di livello 9% per µ è σ x ± z 1 α/ = 1 ± 1, 96 =(14, 6; 1, 4) euro. 10 (b) Essedo soddisfatte le codizioi di applicabilità del Teorema Cetrale del Limite, u itervallo di cofideza approssimato di livello 99% per la percetuale richiesta è p (1 p) 0, 6(1 0, 6) p ± z 1 α/ = 0, 6 ±, ossia (0, 48 ; 0, 71).

6 (c) Dobbiamo ora verificare al livello α =0, 0 il seguete sistema di ipotesi: H 0 : π =0, H 1 : π>0, Essedo soddisfatte le codizioi di applicabilità del Teorema del Limite Cetrale, la statistica test adeguata è p 0, 0, (1 0,) 10 = 0, 60 0, 0, 0,4 10 =1, 101. Il test approssimato prevede di rifiutare H 0 se la statistica test risulta superiore al valore soglia z 0,98 =, 06. Tale codizioe o è verificata epertato,allalucedeirisultatiosservati,dobbiamoaccettarel ipotesi ulla assumedo quidi che la percetuale di resideti a Perugia che utilizzao il miimetrò per motivi o lavorativi sia pari a %. (d) Avedo accettato H 0 al livello % abbiamo la garazia che p-value> 0, 0. Esercizio 7 (a) Sotto le ipotesi specificate dal problema, u itervallo di cofideza di livello 90% per la differeza tra la media µ A del tempo per il caricameto di A, e la media µ B del tempo per il caricameto di B è dato da ( x A x B ) ± t 8;0,9 s P (1/+1/) dove x A è la media campioaria per il provider A x A = x B è la media campioaria per il provider B x A = =66, 8secodi =67, 8secodi e s P è la variaza combiata. Per determiare s P,calcoliamoiazitutto le due variaze campioarie: s A = , 8 =13, 76, s B = , 8 =1, 36 Quidi, s 13, 76 +1, 36 p = =19, 4. + Cotrollado le tavole della distribuzioe t si trova che t 8;0,9 =1, 89; ifie, l itervallo richiesto è (66, 8 67, 8) ± 1, 89 19, 4 (1/+1/) =( 18, 4; 16, 4) secodi

7 (b) E possibile costruire l appropriato test (i cui igredieti possoo essere derivati dal puto precedete), oppure più semplicemete otare che l itervallo al 90% per µ A µ B iclude il valore 0, il che implica che al livello 10% i due tempi medi o soo sigificativamete diversi. (c) Ua stima o distorta per il tempo medio µ per il caricameto di C è l a m e d i a c a m p i o a r i a x, metreperlavariazaσ,uastimao distorta è la variaza campioaria corretta s.l itervalloriportatoè della forma x ± t 4;0.97 s / Sappiamo che t 4;0.97 =, 776 e =. Possiamoalloraimpostareil sistema di due equazioi i due icogite x, 776 s /=, 4 Dalla prima equazioe x +, 776 s /=87, 6 x =, 776 s /+, 4 che sostituito ella secoda equazioe produce ossia e, 776 s /+, 4=87, 6 s =14, 18 s =01, 07 secodi. Sostituedo il risultato ell espressioe per x si ottiee Esercizio 8 x =, , 18/ +, 4=70secodi (a) Idichiamo co π la vera ed igota probabilità di vicita del premio da euro i ua data putata del gioco. La probabilità di vicita el caso i cui il gioco o sia truccato è 1/0=0,0. Vogliamo verificare ad u livello pari a 1% il seguete sistema di ipotesi H 0 : π =0, 0 H 1 : π<0, 0 Sia p =8/00 = 0, 04 la frazioe osservata di putate che risultao ella vicita massima. Poiché 00 p, 00 (1 p), ua statistica test adatta a saggiare il precedete sistema di ipotesi è (0, 04 0, 0) 0,0 0,9 00 = 0, 649 Rifiutiamo H 0 ad u livello approssimato pari a 0,01 se -0,649 è iferiore a z 0,99 =, 33. La codizioe o è soddisfatta, pertato accettiamo l ipotesi che il gioco o sia truccato.

8 (b) Usado la otazioe del puto (a), si richiede u itervallo di cofideza di livello 0,9 per π. Sottolecodizioisopraspecificate,questoèdato da p(1 p) p ± z 0,97 =(0, 013; 0, 067) 00 dove z 0,97 =1, 96. (c) Per u geerico, l ampiezza dell itervallo di livello 0,9 per π è p(1 p) 0, 04(1 0, 04) 1, 96 = 1, 96 L ampiezza dell itervallo al puto (b) è (0,067-0,013)=0,04; se la vogliamo ridurre di 1/4 deve divetare 0,04-(0,04/4)=0,041. Pertato, la uova umerosità campioaria dovrà essere tale che 0, 04(1 0, 04) 1, 96 =0, 041 Risolvedo la precedete equazioe rispetto a si deriva =31(arrotodado), ossia si dovrebbero guardare 31 putate del programma. (d) Idichiamo co m la vera ed igota vicita media per putata. Si vuole verificare ad u livello α pari a 0,1 il sistema H 0 : m =10 H 1 : m<10 Se possiamo assumere che 00 osservazioi siao sufficieti per garatire ua buoa approssimazioe del test asitotico, ua statistica test adatta a saggiare il precedete sistema di ipotesi è x 10 S 00 = ( ) = 3, 14 dove si è assuto che la deviazioe stadard campioaria di 1800 euro sia la radice di s eodis. Rifiutiamo H 0 al livello 10% se la statistica test risulta iferiore al quatile z 0,9 = 1, 8. La codizioe di rifiuto è verificata, pertato, l evideza empirica ci idica che la vicita media per putata è iferiore al valore quotato dagli autori del programma. Esercizio 9 (a) Idichiamo co π la vera ed igota frazioe di famiglie ella popolazioe di riferimeto che preferiscoo mete alterative al mare. U itervallo di livello approssimato 90% per π è p(1 p) p ± z 0,9

9 dove p = (3 + 10)/100 = 0, 4 è la frazioe campioaria di scelte alterative al mare, = 100 è la umerosità campioaria e z 0,9 = 1, 64. Combiado questi igredieti, si ottiee l itervallo approssimato (0,37;0,3). Si oti che l approssimazioe dell itervallo può essere cosiderata soddisfacete, i quato p, (1 p). (b) Come sopra, idichiamo co π la vera ed igota frazioe di famiglie che el 009 preferiscoo mete alterative al mare. Si vuole verificare ad u livello α =0, 0 il seguete sistema di ipotesi: H 0 : π =0, 4 H 1 : π>0, 4 Ua statistica test appropriata per il sistema precedete è p 0, 4 0, 4(1 0, 4)/ dove p =0, 4 e = 100 soo derivati dal puto (a). Combiado gli igredieti, la statistica test risulta pari a 1,0. Rifiutiamo H 0 al livello approssimato α =0, 0 se 1, 0 >z 0,9 =1, 64. La codizioe o è verificata e accettiamo H 0,cocludedocheovièstatouaumeto sigificativo della percetuale di famiglie che scelgoo mete alterative al mare. (c) Idichiamo co µ 1 e µ, rispettivamete, la spesa media per famiglia per le vacaze al mare e per le vacaze i motaga. Il sistema che vogliamo saggiare per α =0, 01 è H 0 : µ 1 = µ H 1 : µ 1 >µ Se assumiamo che le spese siao ormalmete distribuite co uguale variaza per le due mete e se i due campioi soo idipedeti, allora ua statistica test adatta a saggiare il precedete sistema di ipotesi è x 1 x s p(1/ + 1/3) dove x 1 =, e x =, 3soolemediecampioarie,rispettivamete, per le vacaze al mare e i motaga e s p = , =1, 17 è la variaza campioaria combiata. Combiado gli igredieti, si deriva ua statistica test pari a 0,8. Rifiutiamo H 0 se 0, 8 >t 98;0,99 dove t 98;0,99 può essere approssimato co z 0,99 =, 33. La codizioe o è soddisfatta e cocludiamo che la spesa media per le vacaze al mare o è sigificativamete superiore a quella per le vacaze i motaga.

10 (d) Poiché il p-value del test è 0, 3 > 0, 1, ossia maggiore del più grade valore di α tipicamete impiegato elle verifiche di ipotesi, possiamo cocludere che l ipotesi ulla di uguagliaza della spesa media tra il 008 e il 009 è sosteuta dai dati e può essere accettata a qualsiasi livello di sigificatività α ragioevole. Esercizio 10 (a) Calcoliamo la media campioaria e la variaza campioaria corretta di CR sul campioe delle imprese fallite: 0, , 1 + 1, 3 4 x = =0, 94 s = 0, , 1 + 1, 3 4 0, 94 =0, 0 49 Possiamo, allora, costruire l itervallo di cofideza richiesto che, sotto ipotesi di ormalità di CR, è dato da s x ± t 49;0,9. Poiché i gradi di libertà della t soo maggiori di 30, t 49;0,9 può essere approssimato co z 0,9 =1, 64. Sostituedo i valori otteuti el precedete itervallo, si deriva 0, 0 0, 94 ± 1, 64 =(0, 87; 0, 98) (b) No possiamo affermare che la media di CR elle aziede fallite è sigificativamete diversa da 0,9 al livello α =0, 1, i quato 0,9 è icluso el precedete itervallo di cofideza. ( Si ricorda che u itervallo di cofideza di livello 1-α iclude tutti i valori del parametro che verrebbero accettati cotro ua alterativa bilaterale ad u livello di sigificatività α). (c) Idichiamo co µ F e µ S,rispettivamete,ilvaloremediodiCRella popolazioe delle aziede fallite e ella popolazioe delle aziede sae. Si vuole verificare il seguete sistema di ipotesi H 0 : µ F = µ S H 1 : µ F <µ S al livello di sigificatività α =0, 01. Se, oltre alle codizioi distributive specificate dal problema, assumiamo l idipedeza e l omoschedasticità di CR tra le due tipologie di impresa, allora ua statistica test adatta a verificare il sistema di iteresse è x ȳ, s p

11 dove x =0, 94 è la media campioaria di CR sulle imprese fallite, calcolata al puto (a), e ȳ = 1, 1 7+1, , 7 6 =1, 48 è la corrispodete media sul campioe delle imprese sae. Per calcolare la variaza campioaria combiata, s p,abbiamobisogodella variaza campioaria per le imprese sae, data da 49 1, 1 7+1, , 7 6 1, 48 =0, 06, da cui s 49 0, , 06 p = =0, 0. + Sostituedo ell espressioe della statistica test, si ottiee Si rifiuta H 0 al livello α =0, 01 se 11.8 < t 98;0,99 = z 0,99 =, 33. La codizioe è soddisfatta, quidi, rigettiamo H 0 eaccettiamoh 1, cocludedo che le imprese sae soo caratterizzate da u valore medio di CR superiore alle imprese fallite. (d) U modo per affrotare il quesito è costruire il test chi quadrato sulla tabella a doppia etrata campioaria data dal problema. La tabella delle frequeze teoriche sotto ipotesi di idipedeza è data da da cui si deriva Stato di salute dell impresa CR Sae Fallite 0,4 1, ,0 1, 14, 14, 1, 1,4 10, 10, 1,4, χ = (1 0) (13 0) 13 =6, 8 Rifiutiamo al livello % l ipotesi H 0 di idipedeza tra le due variabili se 6, 8 >χ 3,0,9 =7, 81. La codizioe è soddisfatta e cocludiamo che esiste ua relazioe tra il valore di CR e lo stato di salute dell impresa.