Calcolo delle Probabilità: esercitazione 3

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1 Argometo: Probabilità codizioata e teorema di Bayes (par. 3.4 libro di testo) Esercizio Tra i partecipati ad u cocorso per giovai musicisti, il 50% suoa il piaoforte, il 30% suoa il violio ed il restate 20% suoa il violocello. Ioltre, partecipao per la prima volta ad u cocorso il 0% dei piaisti, il 33% dei violiisti ed il 0% dei violocellisti.. Scelto a caso u partecipate, qual è la probabilità che sia al suo primo cocorso? 2. Sapedo che il partecipate scelto è al suo primo cocorso, qual è la probabilità che sia u violocellista? 3. Sapedo che il partecipate scelto o è al suo primo cocorso, qual è la probabilità che sia u violocellista? 4. Si stabilisca se soo icompatibili gli eveti suoare il piao e partecipare per la prima volta ad u cocorso, motivado la risposta. 5. Si stabilisca se soo idipedeti gli eveti suoare il violio e partecipare per la prima volta ad u cocorso, motivado la risposta. Soluzioe Si defiiscao i segueti eveti A = {il musicista è u piaista}, B = {il musicista è u violiista}, C = {il musicista è u violocellista} e D = {il musicista partecipa per la prima volta ad u cocorso}. I base ai dati foriti si ha: P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(C) = 0.2 e P(D A) = 0., P(D B) = 0.33 e P(D C) = 0... La probabilità che scelto a caso u partecipate questo sia al suo primo cocorso è pari alla probabilità dell eveto D. Si ha che P(D) = P(D A)P(A) + P(D B)P(B) + P(D C)P(C). La precedete discede dalla proprietà P(D)= i = P(D C i)p(ci) P (D C ) dove C,,C costituisce ua partizioe dello spazio degli eveti co P(C i,)>0,.., (si veda libro di testo pag. 99). Nel caso i esame =3 co C =A, C 2 =B, C 3 =C. Si ottiee duque: P(D) = P(D A)P(A) + P(D B)P(B) + P(D C)P(C) = = = 0.69.

2 2. Se il partecipate scelto è al suo primo cocorso sappiamo essersi verificato l eveto D. Occorre quidi calcolare la probabilità che tale partecipate sia u violocellista, ovvero dell eveto C, sotto questa codizioe. I altri termii occorre calcolare: P(C D). Applicado il teorema di Bayes si ottiee P(C D) = P(D C)P(C) / P(D) e quidi: P(C D) = P(D C)P(C) / P(D) = / 0.69 = Se il partecipate scelto o è al suo primo cocorso, sappiamo che l eveto D o si è verificato e quidi si è verificato l eveto D. Occorre quidi studiare la probabilità che tale partecipate sia u violocellista, ovvero l eveto C, sotto questa codizioe. I altri termii occorre calcolare P(C D ). Applicado il teorema di Bayes si ottiee P(C D ) = P( D C)P(C) / P( D ) = [ P(D C)] P(C) / [ P(D)] = = / 0.83 = Se A e D soo eveti icompatibili allora A D = e P(A D) = 0 (pag del libro di testo). D altra parte P(A D) = P(D A) P(A), per il pricipio della probabilità composta (pag del libro di testo). Dai dati foriti si ha P(A D) = P(D A) P(A) = = Gli eveti A e D quidi o soo icompatibili. 5. Se B e D soo eveti stocasticamete idipedeti allora P(B D) = P(B) P(D) (pag. 02 del libro di testo). Dai dati foriti e dal puto dell esercizio si ha: P(B) P(D) = e P(B D) = P(D B) P(B) = = = P(B) P(D). Gli eveti B e D o soo quidi idipedeti. Tale coclusioe poteva otteersi i modo immediato osservado che, se l eveto D è idipedete dall eveto B, allora deve aversi per defiizioe (pag. 02 libro di testo): P(D B) = P(D). Nel caso i esame ivece di ha: P(D B) = = P(D). 2

3 Esercizio 2 La probabilità che u soggetto abbia l ifezioe da HIV è pari a La diagosi dell ifezioe è effettuata mediate il test ELISA che ha le segueti caratteristiche: la probabilità che u soggetto ifetto risulti positivo al test è 0.999, metre la probabilità che u soggetto o ifetto o risulti positivo al test è Qual è la probabilità che u soggetto sia ifetto dato che è risultato positivo al test? 2. Qual è la probabilità che u soggetto sia ifetto dato che o è risultato positivo al test? Soluzioe Defiiamo i segueti eveti I = {soggetto ifetto} e T = {test positivo}. Sarà quidi I = { soggetto o ifetto } e { test egativo } Dai dati dell esercizio si ricava: T =. P( I ) = 0.05, P( T I ) = 0.999, P( T I ) = e P( T I ) = Nel puto è richiesto di studiare la probabilità P(I T). Applicado il teorema di Bayes si ha P( I T ) = P( T I )P( I ) / P( T ) Occorre quidi determiare la probabilità dell eveto T data da P( T ) = P( T I )P( I ) + P( T I )P( I ) = = (0.999)(0.05) + ( )( 0.05) = La precedete discede dalla proprietà P(T)= i = P(T C i)p(ci) P (T C ) dove C,,C costituisce ua partizioe dello spazio degli eveti co P(C i,)>0,.., (si veda libro di testo pag. 99). Nel caso i esame =2 co C =I e C 2 = I. Si ottiee quidi: P( I T ) = P( T I )P( I ) / P( T ) = / 0.05 = Co u elevata probabilità il test riesce quidi ad idetificare correttamete u idividuo ifetto. Si ha, per coverso, che P( I T)=0.008, quidi la probabilità dei cosiddetti falsipositivi, cioè quegli idividui sai erroeamete idetificati come malati da u test diagostico, è decisamete bassa. 2. Nel puto 2 è richiesto di studiare la probabilità P(I T ). Di uovo applicado il teorema di Bayes si ottiee P( I T ) = P( T I )P( I ) / P( T ) = ( 0.999)(0.05) / ( 0.05) =

4 Ache la probabilità che il test dia u risultato egativo (l idividuo è idetificato come sao dal test diagostico) quado ivece il soggetto è effettivamete ifetto (i cosiddetti falsi-egativi) risulta essere molto bassa. 4

5 Esercizio 3 La probabilità che u soggetto abbia u ifezioe virale è pari a La diagosi dell ifezioe è effettuata mediate u test cliico che ha le segueti caratteristiche: la probabilità che u soggetto ifetto risulti positivo al test è 0.95, metre la probabilità che u soggetto o ifetto o risulti positivo al test è Qual è la probabilità che u soggetto sia ifetto dato che è risultato positivo al test? 2. Qual è la probabilità che u soggetto sia ifetto dato che o è risultato positivo al test? Soluzioe Defiiti gli eveti I = {soggetto ifetto} e T = {test positivo}, si ha P( I ) = , P( T I ) = 0.95 e P( T I ) = 0.85, dode segue P( T ) = P( T I )P( I ) + P( T I )P( I ) = (0.95)(0.0005) + ( 0.85)( ) = P( I T ) = P( T I )P( I ) / P( T ) = /0.504 = /0.504 = P( I T ) = P( T I )P( I ) / P( T ) = ( 0.95)(0.0005) / ( 0.504) = / =

6 Esercizio 4 U servizio di autobus effettua il collegameto tra due stazioi seguedo la liea A el 30% dei casi e la liea B i tutti gli altri casi. U pedolare riesce a predere l autobus co probabilità 0.25 el caso i cui vega percorsa la liea A e co probabilità 0.65 el caso della liea B. Defiiti gli eveti: A = {l autobus percorre la liea A}, B = {l autobus percorre la liea B} e C = {il pedolare riesce a predere l autobus},. si calcoli la probabilità che il pedolare riesca a predere l autobus; 2. si calcoli la probabilità che l autobus abbia seguito la liea A dato che il pedolare o è riuscito a prederlo; 3. si calcoli la probabilità che l autobus abbia seguito la liea B dato che il pedolare è riuscito a prederlo; 4. si stabilisca se gli eveti A e B soo idipedeti, motivado la risposta; 5. si stabilisca se gli eveti A e C soo idipedeti, motivado la risposta. Soluzioe P(A) = 0.3, P(B) = 0.7, P(C A) = 0.25 e P(C B) = P(C) = P(C A) P(A) + P(C B) P(B) = = P(A C) = P( C A ) P(A) / P( C ) = ( 0.25) 0.3 / ( 0.53) = / 0.47 = P(B C) = P(C B) P(B) / P(C) = / 0.53 = / 0.53 = A e B o soo idipedeti. A e B soo ifatti icompatibili: P(A B) = P( ) P(A)P(B) = A e C o soo idipedeti: P(A) P(C) = = 0.59 P(A C) = P(C A) P(A) = =