Controllo di Azionamenti Elettrici. Lezione n 3. Caratteristiche e predisposizione dei regolatori PID

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1 Controllo di Azionamenti Elettrici Lezione n 3 Coro di Laurea in Ingegneria dell Automazione Facoltà di Ingegneria Univerità degli Studi di alermo Caratteritiche e predipoizione dei regolatori ID 1

2 Introduzione I regolatori ad azione roporzionale, Integrale e Derivativa (regolatori ID) ono i regolatori lineari maggiormente utilizzati in ambito indutriale. Infatti, nel controllo di molti procei indutriali, a fronte di notevoli variazioni delle caratteritiche dinamiche dei itemi controllati, riulta economicamente conveniente che gli apparati di controllo iano unificati. iù preciamente, la tendenza in atto è quella di fare in modo di diporre di apparati di controllo tandard, ma provviti di dipoitivi di correzione con parametri regolabili entro certi limiti, in modo tale da potere eere adattati al particolare itema di regolazione in cui vengono ineriti. Quindi, nell ambito dei itemi di regolazione, l apparato controllante viene di olito realizzato a truttura fia e a parametri aggiutabili. In tale ituazione il compito del progettita conite nell aegnare i valori dei parametri, nel loro campo di ecurione, in modo tale che iano oddifatte le pecifiche di progetto; l operazione a eguito della quale vengono fiati i valori dei predetti parametri prende il nome di predipoizione dei regolatori. 2

3 Caratteritiche dei regolatori ID 1. Il loro impiego conente di controllare in modo oddifacente un ampia gamma di procei 2. Sono viluppate emplici regole per la loro taratura automatica, applicabili con buoni riultati anche nel cao in cui non ia diponibile un modello matematico precio del itema da controllare 3. er la loro emplicità i regolatori ID poono eere realizzati con le tecnologie più varie: elettroniche analogiche e digitali, meccaniche, pneumatiche, idrauliche, etc. 4. Rendono poibile la realizzazione di chemi di controllo complei in tempi brevi e con coti contenuti 3

4 Caratteritiche dei regolatori ID (2) d r - e regolatore u attuatore m itema controllato y y m traduttore di miura La variabile di controllo m viene generata dalla omma di tre contributi un primo contributo proporzionale all errore e tra il egnale di riferimento r e la variabile d ucita y (o una ua miura y m ) del itema controllato; un econdo contributo proporzionale all integrale dell errore e (e quindi al uo valore medio), in modo che l errore a regime i poa annullare a fronte di egnali di riferimento o diturbi additivi cotanti; un terzo contributo proporzionale alla derivata dell errore e, in grado di fornire un azione anticipativa ull andamento dell errore teo 4

5 arametri dei regolatori ID d r - e regolatore u attuatore m itema controllato y y m traduttore di miura G ID ( ) = I D = D 2 I = T T I D 2 T T I I 1 prende il nome di coefficiente dell azione proporzionale I e D prendono il nome, ripettivamente, di coefficiente dell azione integrale e coefficiente dell azione derivativa banda proporzionale: B=100/. tempo integrale: T I = / I tempo derivativo: T D = D / 5

6 Tipi di regolatori regolatore proporzionale (): G ( ) = regolatore integrale (I): GI ( ) = T I regolatore proporzionale-integrale (I) : 1 GI ( ) = 1 TI regolatore proporzionale-derivativo (D): G D ( ) = ( 1 T ) D regolatore proporzionale-integrale-derivativo (ID): 1 GID ( ) = 1 TD TI 6

7 Caratteritiche dell azione proporzionale er avere un errore a regime bao è neceario occorre un guadagno d anello elevato, occorre che ia elevato il coefficiente dell azione proporzionale ( ) oibili problemi riguardanti la tabilità del itema a catena chiua Vantaggio dovuto al fatto che un valore elevato del coefficiente dell azione proporzionale riduce gli effetti delle variazioni parametriche e dei diturbi Dal punto di vita dinamico l azione proporzionale produce un aumento della banda paante, quindi una migliore prontezza di ripota, ma allo teo tempo riduce i margini di tabilità. 7

8 Caratteritiche dell azione integrale La funzione principale dell azione integrale è quella di annullare l errore a regime in preenza di diturbi cotanti ulla variabile d ucita. Dal punto di vita dinamico l azione integrale porta ad un peggioramento dei margini di tabilità in quanto introduce nella funzione di traferimento a catena aperta un ritardo di fae pari a π/2. Riduzione della banda paante. 8

9 Caratteritiche dell azione derivativa Migliora i margini di tabilità in quanto introduce un anticipo di fae pari a π/2. Introduce un azione di controllo proporzionale alla variazione dell errore, fornendo, quindi, una correzione che anticipa l andamento dell errore nel tempo. Svantaggio legato all aumento della banda paante che porta ad amplificare i egnali con contenuto armonico a frequenze elevate come ad eempio il rumore ovrappoto al egnale utile 9

10 Caratteritiche dell azione derivativa (2) non è fiicamente realizzabile in quanto la ripota in frequenza ad ea aociata ha modulo crecente al crecere della frequenza nella pratica i regolatori ID ono caratterizzati da un azione derivativa definita dalla eguente funzione di traferimento: dove N è un parametro il cui valore viene poto pari a in modo tale che il polo di valore N/T D, introdotto in per ottenere la fiica realizzabilità, i collochi al di fuori della banda di frequenze di interee per il progetto del itema di controllo. ovente l'azione derivativa viene impota oltanto ulla variabile d'ucita y econdo lo chema riportato in figura. D( ) = D D N D ( ) = ( ) 1 T T N I r e y G() - - D D D 10

11 Il fenomeno del wind-up Fenomeno dovuto alla preenza combinata dell azione integrale e della aturazione dell attuatore d r - e regolatore u attuatore m itema controllato y y m traduttore di miura m ( t ) = u M, u( t ) < u u( t ), u(t) um u M, u( t ) > u M M Quando l errore cambia egno, prima che l attuatore ritorni in zona lineare, i deve attendere la carica dell azione integrale 11

12 Uno chema anti-wind-up r L attuatore torna a funzionare in zona lineare non appena l errore cambia egno Il rientro in zona lineare è itantaneo 12

13 Taratura dei regolatori Si coniderano procei caratterizzati da una dinamica lenta, cioè da una ripota al gradino eenzialmente non ocillante e da una funzione di traferimento avente uno o due poli tabili ed eventualmente un ritardo di tempo Regole di Ziegler e Nichol: la taratura viene effettuata a partire da una parziale conocenza della funzione di traferimento del proceo G(), ottenibile con emplici eperimenti effettuati ul proceo teo Eperimenti in anello chiuo: i controlla il proceo mediante un regolatore proporzionale Eperimenti in anello aperto in anello aperto: i impongono opportuni ingrei al itema controllato G ( ) = 1 T e τ 13

14 Taratura dei regolatori (2) Il metodo claico di taratura in anello chiuo conite nel coniderare oltanto un azione di controllo di tipo proporzionale e nel modificare la enibilità dell azione proporzionale p fino a quando il itema reazionato viene portato ai limiti di tabilità, cioè quando, a fronte di variazioni a gradino impote al egnale di riferimento r, l ucita y del itema i porta in ocillazione permanente di periodo T. Il corripondente guadagno proporzionale prende il nome di guadagno critico e in bae al uo valore e a quello aunto dal periodo T i parametri del regolatore vengono tarati in modo da aumere i valori riportati nella eguente tabella p TI TD 0.5 p I 0.45 p 0.8T ---- ID 0.6 p 0.5T 0.125T 14

15 Taratura dei regolatori (3) Svantaggi delle regole di Ziegler e Nichol : nel cao in cui il proceo ia cotituito da impianti particolarmente delicati, quali ad eempio reattori chimici, non è penabile portare il itema ai limiti di tabilità; per itemi decritti da una funzione di traferimento G() del primo ordine enza ritardo non è poibile portare il itema in ocillazione permanente agendo unicamente ul guadagno del regolatore; il margine di fae che peo i ottiene uando le regole u epote riulta inoddifacente; ciò porta ad una ripota indiciale che preenta andamento ocillante con notevole ovraelongazione. 15

16 Altri metodi di taratura dei regolatori Aegnamento dei poli: nel cao in cui il ritardo apparente di tempo τ del proceo ia tracurabile, ricorrendo ad un controllore I è poibile aegnare i poli del itema a catena chiua. In particolare, imponendo che il polinomio caratteritico del itema a catena chiua auma la eguente forma: Λ 2 2 ( ) = 2ξω ω n n 2 nt 1 = ξω 2ξω nt 1 TI = 2 Tω n Affinchè i i valori di p e T I iano poitivi deve eere: ξω n > 0.5T 16

17 Altri metodi di taratura dei regolatori Aegnamento del margine di guadagno è poibile aegnare il margine di guadagno per il itema a catena chiua avente funzione di traferimento a catena aperta pari a F ( jω ) = G ( jω )G( jω ) ID il punto A, individuato mediante la procedura di taratura fornita dal metodo di Ziegler e Nichol in anello chiuo precedentemente decritto, deve eere potato nel punto A 1 corripondente al margine di guadagno m che i deve imporre 17

18 Altri metodi di taratura dei regolatori Aegnamento del margine di guadagno (2) i impone che la pulazione ω π in cui il diagramma polare F(jω) di 2 intereca il emiae reale negativo coincida con la pulazione critica ω = = k m T π Se i vogliono migliorare le pretazioni tatiche del itema a catena chiua i deve ricorrere all azione integrale; inoltre, ipotizzando empre ω π = ω, è neceario introdurre anche l azione derivativa in modo tale che lo faamento introdotto in corripondenza a ia nullo. Quindi è neceario che ia verificata la relazione: ω T I = 4T D 1 jω T I jω TD 2 = 0 T I = T D = ω 1 2ω 18

19 Altri metodi di taratura dei regolatori Aegnamento del margine di fae nel cao in cui i voglia ottenere un dato margine di fae ϕ m, i impone che la pulazione ω π in cui il diagramma polare F(jω) di intereca il emiae reale negativo coincida con la pulazione critica 2π ω = T ϕm arg( GID( jω )G( jω )) = ( 1) π 180 GID( jω )G( jω ) = 1 il punto A individuato con la procedura di Ziegler e Nichol in anello chiuo viene potato nel punto A 2 corripondente al margine di fae deiderato 19

20 Altri metodi di taratura dei regolatori Aegnamento del margine di fae (2) è neceario ricorrere all azione derivativa del regolatore ID in modo tale da poter ottenere l anticipo di fae neceario in corripondenza alla pulazione 2π critica ω = T > 0 arg( G( jω 1 ϕm arg( 1 jω TD ) = π jω T 180 I 1 1 ( 1 jω TD ) = 1 jω T I )) = π 1 tan( ϕ ) = co( ϕ ) ω TD = ω T I m T I = 4 T D m 20

21 Altri metodi di taratura dei regolatori Approccio a modello interno (IMC Internal Model Control) d r e Q() F() u G() y - G m () - G m () rappreenta il modello del proceo G() che i uppone eere aintoticamente tabile Q() viene celta come un invera approimata di G m (), cioè della parte di G m () a fae minima F() viene coniderata come un filtro del primo ordine con funzione di traferimento pari a: 1 F( ) = 1 T 21 f

22 Altri metodi di taratura dei regolatori Approccio a modello interno (2) d r e Q() F() u G() y - G m () - 1 T Q( ) = Lo chema di controllo a modello interno equivale ad un claico controllo in retroazione nel quale la funzione di traferimento del regolatore R() aume la forma Q( )F( ) R( ) = 1 Q( )F( )G ( ) m 22

23 Altri metodi di taratura dei regolatori Approccio a modello interno (3) G m ( ) = 1 T e τ e τ Se i approima con il uo viluppo in erie troncato al primo termine e τ 1 τ i ottiene la eguente funzione di traferimento R() del regolatore R( ) = 1 T (τ T f ) Corriponde ad un regolatore I avente i eguenti parametri p = T ( τ T f ) T i = T 23

24 Altri metodi di taratura dei regolatori Approccio a modello interno (4) τ G m( ) = e 1 T Se i approima con l approimante di adé e τ 1 τ e 2 τ 1 2 i ottiene la eguente funzione di traferimento R() del regolatore τ τ ( 1 )( 1 T ) ( 1 )( 1 T ) R( ) = 2 2 τ ( τ T T ) ( Tf ) f τ f 2 Corriponde ad un regolatore ID avente i eguenti parametri τ p T 05. τ = ( τ T ) f T i = 05. τ T T 05. τt = d 05. τ T 24