Titoli Obbligazionari, Duration e Immunizzazione. Laura Gardini

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1 Titoli Obbligazionari, Duration e Immunizzazione Laura Gardini

2 Indice 1 Indici Temporali Scadenza Media Aritmetica (Average Term to Maturity) Scadenza Media Finanziaria (o Scadenza Media) Durata Media Finanziaria o Duration Duration Piatta (Flat Yield Curve Duration) Duration Modificata e Convexity (stima della variazione delprezzo) Esercizisvolti Prestiti divisi Introduzione Titoli obbligazionari ed Obbligazioni (generalità) Titolidipurosconto(BuoniOrdinaridelTesoro,BOT) Titoliconcedolecostanti(BTP) Prestiti Obbligazionari con estrazione a sorte Ammortamento dei prestiti obbligazionari Esercizisvolti Elementi di gestione del portafoglio obbligazionario Ipotesi di Coerenza del Mercato (o Assenza di Arbitraggio) Struttura per scadenza, tassi spot e tassi forward Allungamento della struttura per scadenza ed effetto cedola Stima della curva dei rendimenti utilizzando i tassi a pronti Interpolazionelineare Interpolazionenonlineare Struttura dei rendimenti e dei prezzi a pronti Valutazionedeititoli Struttura per scadenza su base diversa dall anno

3 2 3.8 Rendimento effettivo di un flusso finanziario Esercizisvolti Duration e immunizzazione Cenni sulle tecniche d immunizzazione Immunizzazione per un flusso con più uscite MetodiEmpirici Esercizisvolti

4 1 Indici Temporali In questo paragrafo assumiamo che 0 sia l istante in cui ci poniamo per valutare le caratteristiche future di un contratto, per effettuare valutazioni su un operazione finanziaria costituita da importi positivi, 0 alle epoche future. Sia 0 l istante in cui vogliamo valutare l operazione finanziaria, il tempo in cuisihal ultimaposta,ladurata( 0 ) si chiama vita a scadenza, o vita residua, dell operazione finanziaria. È chiaro che per la traslabilità èsempre possibile assumere 0 =0 Vediamo ora alcuni indici atti a misurare la distribuzione nel tempo delle entrate future. Gli indicatori che si presentano nei prossimi paragrafi esistono sempre (per ogni flusso), sono unici, e rappresentano un tempo t (non necessariamente una scadenza del flusso) compreso fra la prima e l ultima delle scadenze del flusso ( 1 ) Per ciascuno di essi il significato applicativo può considerarsi il medesimo: rappresentano una sorta di baricentro delle scadenze del flusso, opportunamente pesate, ossia un fulcro in corrispondenza del quale si realizza una sorta di equilibrio. Tali indicatori possono essere usati per scegliere fra diverse operazioni di investimento: se ci aspettiamo che i tassi di interesse diminuiscano sceglieremo operazioni finanziarie con indice temporale maggiore (per far durare più a lungo le operazioni intraprese); se ci aspettiamo che i tassi di interesse crescano allora preferiamo operazioni con indice temporale minore (così che alcune poste si possano reinvestire ad un tasso piùelevato).peroperazionidifinanziamento è l opposto. Inoltre vedremo come per l indicatore duration si avranno anche altri significati finanziari, di notevole interesse applicativo.

5 1. Indici Temporali Scadenza Media Aritmetica (Average Term to Maturity) Si ègià visto questo indice temporale a proposito della classificazione dei flussi, ma lo ripresentiamo in questa sede per flussi di sole poste positive. La scadenza media aritmetica, è una media pesata dei tempi (scadenze), ponderata con pesi uguali alle poste relative, ossia alla posta normalizzata con la posta totale (semplice saldo complessivo di cassa), per cui èdatoda P =1 0 = ( 0 ) P X =1 = (1.1) 0 = X =1 =1 ( 0 ) ; = Come sappiamo, nel definire la scadenza media aritmetica non si introduce nessun elemento di reale valutazione finanziaria, è un indice che non dipende da uno o più tassi usati per la valutazione, per cui una prima modifica porta all introduzione di coefficienti di capitalizzazione o attualizzazione Scadenza Media Finanziaria (o Scadenza Media) Un secondo indice che si può usare nell ipotesi che si consideri un fissato tasso di valutazione 1 per attualizzare ogni posta ( ), èlascadenza media finanziaria (o semplicemente scadenza media dando per sottointeso finanziaria), definita come quel tempo in cui pensare concentrata l unica posta, dove = P =1 è il semplice saldo complessivo di cassa, tale che il valore attuale dell operazione costituita dal flusso elementare ( ) sia uguale al valore attuale della rendita { } =1. Assumendo il regime composto, si ottiene esplicitandolo dall equazione: = (1 + ) ( 0 ) (1.2) dove è il valore attuale del flusso ed è la posta totale: Si ottiene così = X (1 + ) ( 0 ) = =1 (1 + ) ( 0 ) = 0 = X =1 ln () ln () ln () = ln (1 + ) ln (1 + ) 1 Il tasso costante può essereiltasso di mercato, oppure si è nel caso di struttura per scadenza piatta, come si dice in ambito finanziario, che vedremo nel capitolo 6.

6 1. Indici Temporali 5 Dalle proprità delle medie discende anche che la scadenza media in regime composto è sempre inferiore alla scadenza media aritmetica: La scadenza media può essere anche riferita alla valutazione del montante in della rendita ( )con 1 Si può infatti definire scadenza media quel tempo tale per cui il montante del flusso elementare ( )con = P sia uguale al montante della rendita, fissato il tasso di valutazione. È chiaro che se usiamo regimi scindibili non c è differenza fra le due definizioni, infatti dalla (12) abbiamo (1 + ) ( 0) {z } = (1 + ) ( 0 ) (1 + ) ( 0) dove è anche = X (1 + ) e quindi da ricaviamo = (1 + ) ( ) ln ln = (1.3) ln (1 + ) Le equazioni (1.2) e (1.3) hanno stessa soluzione. Se invece usiamo un regime diverso, per esempio il, le due definizioni temporali sono diverse: per la scadenza media calcolata col valore attuale si ha = dove è la posta totale come sopra e da cui = 1+( 0 ) X =1 1+( 0 ) 1+( 0 ) = 0 = 1 µ 1 (1.4)

7 1. Indici Temporali 6 per la scadenza media calcolata col valore finale si ha = (1 + ( ) ) con da cui X = (1 + ( ) ) =1 1+( ) = = 1 µ Durata Media Finanziaria o Duration Un terzo indice, la duration, si ottiene migliorando la definizione di scadenza media aritmetica dove, per tener conto dei tassi di valutazione relativi al periodo ( 0 ), vengono utilizzati come pesi delle varie scadenze anziché le singole poste ponderate con i pesi i valori attuali delle poste, rapportate al valore attuale totale: P =1 ( 0 ) = ( 0 ) (1 + ) ( 0 ) P 0 =1 = ( 0 ) ( 0 ) con 0 = 0 X (1 + ) ( 0 ) = =1 e ponendo = ( 0 ) 0 abbiamo ( 0 )= X ( 0 ) =1 X ( 0 ) (1.5) =1 La duration, o durata media finanziaria, così definita è stata introdotta da Macaulay (nel 1938), e costituisce un indice sintetico molto usato. Per esempio, consideriamo un progetto costituito da un portafoglio di titoli senza cedole, ciascuno con scadenza in dal valore nominale per = 1.

8 1. Indici Temporali 7 Sia ( 0 ) il valore attuale di 1 unità del titolo scadente in detto anche 1 prezzoapronti, ( 0 )= (1+ 0) ( 0) quindi = ( 0 )è il prezzo pagato in 0 per il titolo, e = P =1 è il valore attuale del portafoglio (prezzo pagato in 0 ). La duration del progetto è = ( 1 0 ) 1 + +( 0 ) = ( 1 0 ) 1 + +( 0 ) essendo = la frazione di unità di capitale investita (in 0 ) nel titolo. Esempio. Si consideri un titolo con cedole esia il tasso da applicare nell intervallo ( 0 ) per attualizzare la -esima posta (tasso che può essere dedotto, per esempio, da una struttura per scadenza, comevedremopiùavanti).siha 0 = X (1 + ) ( 0 ) + (1 + ) ( 0) =1 = 1 X ( 0 ) (1 + ) ( 0 ) 0 =1 = X ( 0 ) (1 + ) ( 0 ) 0 =1 + ( 0 )( + )(1+ ) ( 0) 0 + ( 0 )(1+ ) ( 0) 0 La duration di un progetto costituito da un unica scadenza 1 coincide con la vita a scadenza: =( 1 0 ) 1 ( 0 1 ) 1 ( 0 1 ) =( 1 0 )

9 1. Indici Temporali 8 La duration di un progetto costituito da una rendita costante non dipende dall importo delle rate, ma solo dalla successione delle scadenze (oltre che dai tassi) = P =1 ( 0 ) ( 0 ) P =1 ( 0 ) = P =1 ( 0 ) ( 0 ) P =1 ( 0 ) Più in generale, vale il seguente Teorema 4.1: Due rendite con le stesse scadenze e poste proporzionali (con la stessa costante di proporzionalità) hanno la stessa duration. Infatti, consideriamo due rendite ) e) con le stesse scadenze e poste con costante di proporzionalità 0: si ha: () = P =1 ( 0 ) ( 0 ) P =1 ( 0 ) = P =1 ( 0 ) ( 0 ) P =1 ( 0 ) = () Duration Piatta (Flat Yield Curve Duration) Un espressione semplificata della duration si ottiene se il tasso di interesse da applicare negli intervalli ( 0 )è costante, sia,siha: ( 0 ) = 0 = P =1 ( 0 ) (1 + ) ( 0 ) (1.6) 0 X (1 + ) ( 0 ) (1.7) =1

10 1. Indici Temporali 9 In effetti la semplificazione introdotta è appropriata se il tasso utilizzato è il tasso implicito (o TIR) di un progetto. Ad esempio, sia il tasso implicito, che soddisfa l uguaglianza X X (1 + ) ( 0 ) = (1 + ) ( 0 ) =1 allora la duration piatta, calcolata con la formula (1.6) non èmoltodiversa dalla duration di Macauley (1.5). Se le scadenze sono equintervallate, per es. 0 =, siottienelaformula P ( 0 =1 )= (1 + ) P =1 = 0 dove 0 = X (1 + ) = =1 =1 X =1 0 =(1+ ) 1 Le espressioni sono valide anche se il tempo è misurato in una unità diversa dell anno, purchè il tasso sia espresso sulla base dell unità temporale utilizzata (tasso periodale). Senza perdita di generalità possiamo assumere 0 = 0 e la duration piatta (anche in presenza di scadenze non equintervallate) si scrive P =1 () = (1 + ) X con 0 () = (1 + ) 0 dove si mette in evidenza che la duration, al pari del valore attuale in =0 dipende dal tasso di valutazione La duration piatta viene spesso utilizzata come misura della sensibilità del valore attuale di un progetto (per es. prezzo di un titolo) in funzione del tasso Osserviamo infatti che considerando la funzione valore a tasso costante : X 0 () = (1 + ) (1.8) si ha, derivando rispetto al tasso: =1 0 () = 0 0 = = 1 (1 + ) =1 X (1 + ) 1 =1 X (1 + ) =1 = 1 (1 + ) () 0()

11 1. Indici Temporali 10 Valgono le seguenti proprietà: Teorema 4.2 La duration valutata al tasso nullo coincide con la scadenza media aritmetica: (0) = Infatti si ha immediatamente che per =0è (0) = P =1 Teorema 4.3. La duration piatta (di un flusso con poste funzione decrescente del tasso: 0) èuna () 0 Infatti, consideriamo la funzione X () = (1.9) =1 dove = (1+) 0 () possono essere pensati come pesi della variabile aleatoria discreta tempi o scadenze cheassumevalori{ } per =1 ed assumendo 0 =0 Si ha: () = X =1 (1.10) ed essendo = 0 = (1 + ) (1 + ) 2 0 = (1 + ) 1 (1 + ) (1 + )

12 1. Indici Temporali 11 si ottiene: () = X 0 = (1 + ) 1 X 2 (1 + ) X (1 + ) 0 = (1 + ) X 1 2 +(1+) 1 () () = (1 + ) 1 X Ã! 2 X 2 = (1 + ) 1 X ( ) 2 0 Dove si è tenuto conto dell espressione (di immediata verifica) utilizzata usualmente per la varianza di una variabile aleatoria con realizzazioni eprobabilità : X ( ) 2 = X Ã! 2 X 2 qui applicata alla variabile con pesi Duration Modificata e Convexity (stima della variazione del prezzo) Come si ègià detto, la duration viene spesso utilizzata come misura della sensibilità del valore attuale di un progetto in funzione di variazioni del tasso implicito di rendimento. Da X 0 () = (1 + ) (1.11) si introduce il rapporto: =1 0 () = 1 (1 + ) X (1 + ) =1 = 1 (1 + ) () 0() 0 0 () 0 () = 1 (1 + ) () = () (1.12)

13 1. Indici Temporali 12 una sorta di variazione relativa, o semielasticità 2, nota con nome di Duration Modificata o anche VOL (volatilità del valore attuale 3 ). Per questo motivo, misurando la volatilità del prezzo di un titolo, la duration viene utilizzata come indicatore di rischio. Per stimare l effettiva variazione di prezzo dovuta ad una variazione del tasso questo nuovo indice viene approssimato sostituendo la derivata della funzione con il suo rapporto incrementale, o equivalentemente, considerando lo sviluppo in serie di Taylor della funzione Valore 0 ( + ) = 0 ()+ 0 0 () + approssimato ai termini del primo ordine (e trascurando quelli di ordine superiore ) 0 ( + ) ' 0 ()+ 0 0 () 0 ( + ) 0 () 0 () e dalla (1.12) otteniamo ' 0 0 () 0 () 0 ( + ) 0 () 0 () ' () ' () (1.13) questa stima approssimata viene anche usata con la duration effettiva anzichè la duration modificata, introducendo un ulteriore semplificazione, assumendo 1+ ' 1, e calcolando 0 0 ' () (1.14) Si nota che in ogni caso ad aumenti del tasso implicito, e quindi variazioni 0, corrisponde una diminuzione del prezzo, o valore attuale 0 (mentre ad una diminuzione del tasso, 0, il prezzo aumenta). Le considerazioni fin qui svolte sono state fatte considerando solo la derivata prima della funzione valore, tuttavia le stime si possono migliorare se prendiamo in esame ulteriori elementi dello sviluppo di Taylor della funzione valore, 2 Data una funzione (), si chiama elasticità di () rispetto a il limite (+) () () 0 = 0 () () = (log(()) (log()) ( = ) 3 Talvolta si intende con volatilità il rapporto qui indicato, ma cambiato di segno : 0 0 () 0 ()

14 1. Indici Temporali 13 senza fermarci all approssimazione del primo ordine, ma considerando anche quelli del secondo ordine. Da si deduce 0 ( + ) = 0 ()+ 0 0 () () ( + ) 0 () 0 () ' 0 0 () 0 () () 2 0 () 2 (1.15) in cui 0 0 () 0 () = 1 (1 + ) () e, derivando ulteriormente 0 0 (): 00 0 () = [ 1 (1 + ) si ha = = = 1 (1 + ) 2 1 (1 + ) 2 1 (1 + ) 2 X =1 =1 X (1 + ) ] =1 (1 + ) 1 (1 + ) X (1 + ) 1 + (1 + ) 2 X ( + 2 ) (1 + ) =1 X ( 2 ) (1 + ) 1 =1 X 2 (1 + ) = () 0 () = = P 1 =1 ( + 2 ) (1 + ) (1 + ) 2 0 () 1 (1 + ) 2 () in quanto si definisce ` di,o,ilrapporto () = P =1 ( + 2 ) (1 + ) 0 () in tal modo l espressione in (1.15) diviene: 0 ( + ) 0 () 0 () ' () (1 + ) () 2 (1 + ) 2

15 1. Indici Temporali 14 e si può notare che la convessità è una quantità sempre positiva, per cui il termine aggiuntivo dovuto ai termini di second ordine è sempre positivo indipendentemente dal segno di e quindi ha sempre l effetto di aumentare il valore trovato con i soli termini del primo ordine. Si ha: 0 ( + ) ' 0 ()+ 0 ()[ () (1 + ) () 2 (1 + ) 2 ] così che per variazioni 0, cui corrisponde una diminuzione del prezzo, o del valore attuale 0 la riduzione è inferiore a quella stimata con la sola duration, mentre ad una diminuzione del tasso, 0, il prezzo aumenta di più di quanto si stimi con la sola duration. Se ne deduce che il suo effetto è sempre quello di migliorare le stime fatte con la sola duration. Esempio. Confronto fra i due tipi di stime. Si consideri un titolo di puro sconto, con scadenza in =3,ilprezzoin =0sia =81465 : Il tasso implicito si deduce dall equazione (1 + ) 3 = esiha =707% La duration di Macauley è quindi pari alla vita a scadenza, =3 mentre la duration modificata è = 3 1+ = = 2802 Supponiamo ora che il tasso diminuisca di 10 p.b. (p.b.=punto base, 1 punto base è un centesimo di punto percentuale, ossia 1 =00001) passando da =00707 a =00697 così che = Si ha (usando la duration modificata, ossia la formula (1.13)): 0 0 = = () =( 0001) ( 2802) = ' 0003 stima che possiamo ottenere (anche se più rozza) con la duration (ossia usando la (114)): = () = ( 0001) 3 = 0003

16 1. Indici Temporali 15 In effetti, assumendo che il tasso reale sia =00697 otteniamo 100 (00697) = (10697) 3 =81698 per cui si ha che la variazione relativa del prezzo è (00697) (00707) = = = (00707) Esempio. Titolo con Cedole Sia P il prezzo del titolo in =0,esia il tasso implicito per unità di tempo, ossia il tasso per cui si ha = ; =(1+) 1 = + (1 + ) La duration del titolo è: P =1 = (1 + ) + (1 + ) = P =1 (1 + ) + (1 + ) +(1+) Aparità di altre condizioni la duration di un tal titolo aumenta all aumentare del numero di scadenze, ossia con, mentre, come si èvisto,laduration diminuisce al crescere del tasso. Mostriamo ora che se il regime utilizzato èilrisanzichèilregime composto, allora la duration coincide con la scadenza media finanziaria. Consideriamo un flusso e calcoliamo la scadenza media finanziaria, ossia quel tempo per cui si ha, posto = P =1 :

17 1. Indici Temporali 16 (0 )= X (0 ) (1.16) =1 Fissato un tasso di valutazione (per esempio il tasso implicito se ènotoin 0 = 0 il prezzo dell operazione, o valore attuale), nel regime RIS otteniamo e l equazione per è: ossia 0 = X = (1.17) 1+ = 0 (1.18) 1+ = 0 da cui = 1 µ 1 0 = 1 P P (0 ) P (0 ) P ³ 1 (0 ) = P (0 ) P = P (0 ) (0 ) = Duration nel RIS dove si è tenuto conto che, essendo 1 (0 )= 1+ si ha e 1 (0 ) 1 (0 )= 1+ = 1+ = (0 )

18 1.1 Esercizi svolti Esercizi svolti Esercizio 1. Il signor Rossi ha diritto ad incassare le seguenti somme alle rispettive scadenze () C= Determinare la scadenza media, la scadenza media aritmetica e la duration dell operazione al tempo 0 = 0, nel regime di capitalizzazione composta ad un tasso annuo convertibile trimestralmente, (4) = 1025% Risoluzione. Calcolo del tasso effettivo annuo: (4) = +1 1= +1 1= Calcolo della scadenza media aritmetica: P 5 =1 = ( 0 ) P 5 =1 = = =62187 = 6 anni, 2 mesi e 19 giorni Calcolo della scadenza media: Ã 5X 5X! (1 + ) ( 0 ) = (1 + ) ( 0 ) =1 essendo 300 (1106) (1106) (1106) (1106) (1106) 9 = si ha =1 e da cui 5X (1 + ) ( 0 ) = =1 5X = = = = (1065) ( 0 ) = ln (6 400) ln ( ) =58453 ln (11065) = 5anni,10mesie4giorni

19 1.1 Esercizi svolti 18 Calcolo della Duration: P 5 =1 = (1 + ) ( 0 ) P 5 =1 (1 + ) ( 0 ) = (1106) (1106) (1106) (1106) (1106) = =5456 = 5 anni, 5 mesi, 14 giorni Esercizio 2. Un operatore finanziario possiede un portafoglio che dà diritto alla riscossione di C= tra 2 anni, tra 45 anni e tra 5 anni. Sapendo che il tasso, attualmente pari a 006, subisce uno shift additivo del 4%: 1. determinare, utilizzando il concetto di duration, la variazione del valore del portafoglio; 2. la scadenza media aritmetica e la scadenza media finanziaria del flusso; 3. la rata della rendita costante equivalente alla rendita data, avente le stesse scadenze, considerando il tasso di valutazione pari a 006. Risoluzione. 1. La duration risulta = (2) (106) 2 +(45) (1+006) 45 +(5) (1+006) (106) (106) (106) 5 = =41982 ' 4 anni, 2 mesi e 11 giorni e la variazione assoluta di tasso è = = per cui si ottiene la variazione relativa del valore del portafoglio = 1+ = = Scadenza media aritmetica : = = 428 ' 4anni,3mesie11giorni Scadenza media finanziaria e: ( ) = e =42397 ' 4anni,2mesie26giorni

20 1.1 Esercizi svolti La rata cercata R deve soddisfare la relazione di uguaglianza tra i valori attuali delle due rendite. Risulta quindi: = ( ) = Esercizio 3. Si consideri il flusso finanziariocostituitodaimportidic= [180, 250, 340, 220] alle scadenze [3, 5, 9, 12] in mesi, a partire da oggi. Calcolare la scadenza media aritmetica e la scadenza media finanziaria di tale flusso. Risoluzione. 1. La scadenza media aritmetica è: = P P= =1 = = (in mesi) = 7 mesi e 17 giorni = La scadenza media finanziaria risulta X (1 + ) (1 + ) = X =1 = (1054) = 990 = (in mesi) = 7 mesi e 17 giorni

21 2 Prestiti divisi 2.1 Introduzione I prestiti visti fino ad ora sono detti più propriamente prestiti indivisi, per evidenziare il fatto che in essi il creditore è un unico soggetto. Spesso accade che l entità del prestito sia così elevata da non rendere possibile, o conveniente, il ricorso ad un unico creditore. In questi casi si preferisce dividere il prestito in più parti, di modo che più soggetti possano diventare creditori, per importi a loro scelta, di un unico debitore (tipicamente lo Stato, le società). Si parla in questi casi di prestito diviso in titoli. Questi sono speciali titoli di credito, usualmente al portatore (per facilitarne la compravendita) ed assumono diverse denominazioni a seconda delle loro caratteristiche tecniche. Riguardo al soggetto emittente possiamo distinguere fra 1. titoli di Stato, titoli emessi da Stati sovrani per il finanziamento del debito pubblico; 2. obbligazioni societarie (corporate bonds); 3. obbligazioni emesse da organizzazioni sovranazionali. All interno dei prestiti obbligazionari possiamo distinguere le seguenti categorie di titoli: obbligazioni a cedola fissa (straight bonds): titoli in cui l emittente corrisponde al sottoscrittore gli interessi maturati, periodicamente, valutati ad un tasso di interesse prefissato (tasso tecnico) e in cui il capitale da rimborsare ed il termine di rimborso sono prefissati (ad eccezione dei casi in cui èprevista la facoltà di rimborsare le obbligazioni prima della scadenza); obbligazioni indicizzate (floating rate notes FRN): titoli che corrispondono una cedola di ammontare variabile generalmente legata ad un indicatore specifico. Un esempio è rappresentato da alcuni tipi di Certificati di Credito del Tesoro (CCT);

22 2.1 Introduzione 21 obbligazioni convertibili (convertible bonds): titoli convertibili in azioni, generalmente della stessa società emittente, a un tasso di conversione e in un periodo prefissati in sede di emissione del prestito; obbligazioni senza cedola (zero coupon o discount bonds): obbligazioni che non corrispondono cedole; l interesse è rappresentato dalla differenza fra il valore di rimborso (generalmente il valore nominale) ed il prezzo di emmissione. EsempiotipicosonoiBuoniOrdinaridelTesoro. Consideriamo il caso in cui l emittente del prestito (debitore) sia lo Stato Italiano ed esaminiamo i tipi più comuni di titoli obbligazionari emessi: Buoni Ordinari del Tesoro (BOT) titoli a capitalizzazione integrale, senza cedole (zero coupon bond); abrevescadenza:3,6,12mesi; emessi il 15 e 30 di ogni mese mediante asta competitiva sul mercato primario. Certificati del Tesoro Zero-Coupon (CTZ) titoli a capitalizzazione integrale; media scadenza, 2 anni; emessi con asta pubblica. Buoni del Tesoro Poliennali (BTP) titoli con cedole fisse (generalmente semestrali o annuali); amedioelungotermine:3,5,7,10e30anni; emessi con decreto del Ministero del Tesoro col quale si determinano l importo, la durata, il prezzo base di partecipazione all asta, il tasso tecnico (considerato al lordo dell aliquota fiscale prevista), il taglio minimo ed ogni altra caratteristica. Esempio di BTP con pagamento delle cedole semestrali: cheequivaleascrivere:

23 2.2 Titoli obbligazionari ed Obbligazioni (generalità) 22 dove va inteso come tasso semestrale ( 2 oppure 1 ) nel caso in esame 2 =5% 2 Certificati di Credito del Tesoro (CCT). titoli indicizzati, prevedono la corresponsione periodica degli interessi maturati con cedola indicizzata (le cedole, semestrali o annuali, corrisposte in via posticipata, vengono calcolate ad un tasso adeguabile, ottenuto sulla base del rendimento medio dei BOT a 6 mesi emessi nel bimestre o trimestre precedente il mese antecedente il godimento della cedola); amedioelungotermine:3,4,5,6,7e10anni; emessi con cadenza mensile e regolamento ai primi giorni del mese; la gestione del loro collocamento sul mercato è affidata alla Banca d Italia. 2.2 Titoli obbligazionari ed Obbligazioni (generalità) Nel caso dei BOT, CTZ e CCT la data del rimborso del capitale è fissata in partenza, al contrario nel caso di alcuni BTP e dei titoli obbligazionari in generale, la data del rimborso del capitale non è nota in partenza. Questi prestiti, ancora molto diffusi fra le aziende pubbliche e private, permettono di ridurre nel tempo, con gradualità a certe scadenze, il debito inizialmente contratto (rimborso parziale del capitale). Nei casi più comuni l estinzione graduale del debito avviene rimborsando integralmente il capitale rappresentato da un certo numero di titoli, che vengono estratti a sorte a scadenze prefissate, fino ad esaurimento entro la scadenza finale prevista. Ovviamente alle scadenze fissate vengono anche pagati gli interessi (cedole) di ogni titolo ancora vivente. I titoli di stato vengono acquistati dagli operatori autorizzati a partecipare all asta presso la Banca d Italia o Amministrazione Centrale. Gli operatori autorizzati a negoziare in questo mercato primario sono Banche, Società Finanziarie, Aziende di Credito, Società di Assicurazioni e altri. Ogni successiva negoziazione (compra-vendita) dei titoli avviene nel mercato secondario, e nel mercato telematico di stato (MTS). Le regole e le leggi sui titoli di stato e titoli pianificati (emessi per es. da società) vengono stabiliti da decreti del Ministro del Tesoro. I titoli sono generalmente al portatore, negoziabili (possono cioè essere venduti ed acquistati in qualisiasi momento, dando così luogo ad un mercato di

24 2.2 Titoli obbligazionari ed Obbligazioni (generalità) 23 continue negoziazioni: il mercato secondario). Esistono, inoltre, anche titoli nominali. Definiamo di seguito le principali caratteristiche dei titoli obbligazionari in esame: Valore Nominale o Valore Facciale,è la parte del debito rappresentata da un obbligazione o titolo, ossia èilcapitalecheverràrimborsatoascadenza, e viene solitamente indicato con il simbolo o, alternativamente, con i simboli già usati:100. In questo capitolo useremo prevalentemente o. Valore (o Prezzo) di Emissione, èl importo al quale un obbligazione o un titolo viene pagato all emissione (sul mercato primario) ossia èl importo che il sottoscrittore paga. Il prezzo può o no coincidere con il valore nominale. Se = si parla di emissione (o acquisto) alla pari; Se emissione sotto la pari, e la differenza ( ) viene detta premio di emissione (o capital gain); Se emissione sopra la pari, e la differenza ( ) sovrapprezzo di emisione. Valore di Rimborso (o Capitale di rimborso), è il valore effettivo del rimborso a scadenza che può non coincidere con il valore nominale in alcuni casi può essere incluso un premio così che il capitale effettivamente rimborsato è( + ) Spese di emissione, di rimborso, di sottoscrizione. Sonolespesechedeve sostenere il possessore del titolo comprendenti spese notarili, di registrazione, di commissioni bancarie, deposito custodito, oneri fiscali, spese di tesoreria. Cedola (o coupon, dal francese tagliare-couper) è quella parte del titolo che rappresenta l interesse da pagarsi sul capitale (valore nominale del titolo), generalmente a scadenze periodiche, e proporzionali al valore nominale del titolo in ragione del tasso tecnico (detto anche tasso fisso, o tasso cedolare, o tasso nominale). Per i titoli con cedole periodiche, con periodi all anno, se viene dato il tasso tecnico annuo questo va inteso nominale convertibile volte, ossia = e, quindi, l importo delle cedole èparia. Il giorno di pagamento delle cedole viene detto giorno di godimento. Per esempio, se il tasso tecnico annuo è dell 11% con cedole semestrali, allora significa che il tasso usato, tasso tecnico, è il tasso semestrale 2 =0055, per cui la cedola è55% =0055 Inoltre, una peculiarità di tali titoli è quella di assumere che gli interessi siano pagati in regime semplice. Quindi si può equivalentemente dire che gli interessi

25 2.2 Titoli obbligazionari ed Obbligazioni (generalità) 24 cedolari vengono computati in regime semplice, da un punto di vista formale in effetti è la stessa cosa, in quanto la relazione fra tasso annuo e tasso periodale nel RIS è =.Comevedremo,ciò ha particolare importanza nella negoziazione di tali titoli a scedenze non corrispondenti al godimento di cedola. E bene notare che il tasso tecnico non è in genere il tasso di rendimento di un titolo acquistato. Un titolo può essere considerato come un flusso che remunera non il capitale (valore nominale) ma l importo pagato al suo acquisto, per cui il rendimento del titolo acquistato avviene ad un tasso effettivo, o tasso implicito, che è il TIR dell intera operazione, ed è generalmente diverso dal tasso tecnico. Se la negoziazione del titolo avviene in coincidenza con la data di godimento della cedola allora il tasso interno ed il tasso tecnico coincidono solo nel caso in cui il titolo sia negoziato alla pari ( = ). Per esempio, se il titolo riportato sopra è stato pagato = in = 0 il TIR dell operazione è 2 = 0055 tasso semestrale, e il tasso annuo equivalente in RIC è = (1 + 2 ) 2 1=0113 mentre il TIR sarà diversonelcaso 6= FIGURA 2.1. Rateo Rateo (o dietimo) di interesse è la parte di interessi maturati in dall ultimo godimento di cedola (in 1 ) Il rateo è quindi la parte di interessi non ancora esigibili, ma da considerare in caso di negoziazione del titolo ad un tempo diverso da una scadenza cedolare. Il rateo viene calcolato in RIS. Per esempio, se il titolo dato sopra viene negoziato dopo due mesi e 7 giorni dal distacco (o godimento) della prima cedola, il rateo, ossia gli interessi maturati da = 100 nell intervallo di 67 giorni, è dato da: = (67) = Interessi per 67 giorni valore nominale dove il tasso denota il tasso periodale in RIS ed indicando con il tempo trascorso dall ultimo distacco di cedola, misurato in semestri, si ha: = ( )= 2 = =002047

26 2.2 Titoli obbligazionari ed Obbligazioni (generalità) 25 Pertanto, per = 100, il rateo è =2047 In generale, per una cedola di importo () su un valore nominale, ( denota il tasso periodale relativo alla durata ( 1 )) il rateo al tempo maturato dall ultimo distacco di cedola, avvenuto in 1 è dato dagli interessi maturati da nell intervallo di tempo trascorso, calcolati in RIS: = = ( 1 ) =() ( 1 ) (2.1) dove, ripetiamo, è il tasso cedolare e ( 1 )è il tempo trascorso dall ultimo distacco di cedola (ovviamente il tasso ed il tempo devono essere espressi rispetto alla medesima unità, annua o semestrale). Questa semplice espressione per il calcolo del rateo viene spesso presentata come segue: = ( ) i cui termini vanno interpretati come si è detto sopra. FIGURA 2.2. Corso di Acquisto (o corso di un titolo), èilprezzo al quale un titolo o obbligazione viene negoziato successivamente alla sua emissione (nel mercato secondario, usualmente nelle Borse Valori o nel MTS). Se un titolo è negoziato ad un tempo non coincidente con la data di godimento della cedola, ossia 1, il corso si distingue in corso secco e corso tel-quel. Il corso secco è il prezzo, o corso, che avrebbe il titolo valutato al tempo dell ultimo distacco di cedola, ossia in 1 (valore fissato dal mercato, o Borsa Valori, o Istituti Finanziari, ecc. in cui gli operatori negoziano i titoli). Il corso tel-quel è il prezzo del titolo in, ossia il corso secco più il rateo (interessi maturati nell intervallo ( 1 )). corsotel-quel=corsosecco+rateo Si noti che generalmente la negoziazione avviene al corso tel-quel. Tuttavia, come vedremo, il prezzo di un titolo è molto inflenzato dalla vicinanza o meno di una cedola, per cui generalmente le quotazioni vengono fatte al corso secco,

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