Geometria analitica. punti, rette, circonferenza, ellisse, iperbole, parabola. ITIS Feltrinelli anno scolastico Il piano cartesiano

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1 Geometri nlitic punti, rette, circonferenz, ellisse, iperbole, prbol ITIS Feltrinelli nno scolstico Il pino crtesino Si dice pino crtesino un sistem formto d due rette perpendicolri che si intersecno in un punto O, detto origine. Il pino crtesino rppresent un sistem di riferimento ortogonle (cioè con le rette perpendicolri). Le due rette prendono il nome di ssi: quello orizzontle è detto sse delle scisse e quello verticle sse delle ordinte. Ricordte qundo, prlndo del prodotto crtesino tr insiemi, vevmo detto che ogni coppi di numeri reli è in corrispondenz biunivoc con un punto del pino crtesino? Ebbene, d ogni punto del pino corrisponde inftti un coppi di numeri reli, costituit dll misur che l proiezione del punto stcc sugli ssi. Tli numeri reli si dicono coordinte del punto e sono l sciss sull sse e l ordint sull sse y. L origine O h coordinte (0,0). y P ( 1,y 1 ) ordint o sciss 1

2 Distnz di due punti L distnz tr due punti posti sull stess rett si clcol misurndo il segmento compreso tr i due punti, ovvero, scelto un punto di riferimento (origine) e un unità di misur sul segmento, l differenz tr l misur del segmento più grnde (il punto più lontno dll origine) e il segmento più piccolo (il punto più vicino ll origine, fornisce l distnz cerct. Ricordte che i punti di un rett sono in corrispondenz biunivoc con i numeri reli! o A B Con riferimento ll figur, l distnz AB tr A e B è dt d: AB= OB OA M se i punti sono nel pino? Con riferimento ll figur, dovremo clcolre l misur del segmento PQ Osservndo bene l figur, si noterà che possimo y y Q usre il teorem di Pitgor e dunque l distnz, se considerimo le coordinte dei punti P ( 1,y 1 ) e Q (,y ) y 1 P srà dt d o 1 dist( PQ) = ( ) + ( y y 1 1) (dto un tringolo rettngolo, l re del qudrto costruito sull ipotenus è ugule l somm delle ree dei qudrti costruiti sui cteti). Equzione dell rett Un equzione di primo grdo nelle incognite e y è l equzione di un rett nel pino. L form cnonic è: +by+c=0, con e b rispettivmente coefficienti dell incognit e y e c termine noto. Per rppresentre un rett nel pino, bst sostituire opportuni vlori lle incognite e y, per ottenere due punti e disegnre l rett che pss per tli punti (ricordte che per due punti pss un ed un sol rett). Ad esempio, se nell rett di equzione +3y+4=0 sostituisco prim 0 ll, ottengo y=-4/3. Se poi sostituisco 0 ll y, ottengo =-4/=-. Ho trovto dunque i due punti (0,-4/3) e (-,0). Li disegno sul pino crtesino e li unisco con un rett, che srà proprio quell di equzione +3y+4=0. L equzione generic dell rett scritt sopr, si dice equzione dell rett in form esplicit +by+c=0: Se in tle equzione mnc il termine dell, cioè se =0, l rett è prllel ll sse delle scisse. Se mnc il termine dell y, cioè se b=0, llor l rett è prllel ll sse delle ordinte. Se mnc il termine noto, cioè se c=0, llor l rett pss per l origine degli ssi. Se l rett non è prllel ll sse delle y, cioè se b 0, l equzione può essere scritt in form implicit, cioè come y=m+q dove m è detto coefficiente ngolre e q è dett ordint ll origine. q rppresent l ordint del punto di intersezione dell rett con l sse y, mentre m è l misur dell pendenz dell rett, cioè dell su inclinzione rispetto ll sse. Si h: Se m>0 l rett cresce, perché umentno nche i vlori delle ordinte Se m<0 l rett decresce, perché diminuiscono i vlori delle ordinte

3 Luoghi geometrici e distnze L geometr nlitic è un modello mtemtico. Studi i luoghi geometrici, ossi, in prole povere, gli insiemi di punti che godono di un stess proprietà. Solitmente, e questo ci srà ben evidente già dl prossimo rgomento, l circonferenz, tle proprietà è espress in termini di distnz tr punti. Non occorre, dunque, mndre memori tutti i concetti,m piuttosto vere ben chiro come esprimere mtemticmente un proprietà e soprttutto come si esprime l distnz tr punti, che bbimo visto ll inizio dell lezione. L circonferenz L circonferenz è il luogo dei punti del pino equidistnti d un punto fissto. Il punto si dice centro C (α,β) e l distnz è il rggio r dell circonferenz. Dunque, ricordndo l definizione di distnz tr punti, l distnz r dl centro di un punto generico P (,y), srà dt d: Ovvero, elevndo l qudrto: Sviluppndo, si può scrivere l equzione dell circonferenz come: X + y + + by + c =0, con = -α, b = -β, c=α + β r Attenzione! Non tutte le equzione in cui i coefficienti di e y sono uguli sono delle circonferenze!... Vedimo lcuni esempi: X + y + 4 = 0 è impossibile e dunque NON rppresent lcun punto del pino (-1) + (y-) = 0 è verifict per =1 e y= e quindi solo (1,) è soluzione (non è un luogo geometrico) X y + y = 0, cioè (-y) = 0 è l rett di equzione =y, non l equzione di un circonferenz X + y y + y = 0, cioè (-y)(-y-1) = 0 rppresent due rette dist ( PC) = ( α) + ( y β ) = r ( α) + ( y β ) = r 3

4 L ellisse L ellisse è il luogo dei punti del pino per i quli è costnte l somm delle distnze d due punti detti fuochi. L equzione di un ellisse è: y + = 1 b con,b>0 con C (0,0) e con e y come ssi di simmetri. A (,0), A (-,0) sono i punti di intersezione dell ellisse con l sse B (b,0), B (-b,0) sono i punti di intersezione dell ellisse con l sse A e b sono le lunghezze dei semissi dell ellisse (se =b si ottiene l circonferenz) c Si dice eccentricità dell ellisse e = (c coordint del fuoco, semisse) P Volendo trovre l equzione bsndoci sull nozione di distnz e ricordndo l definizione di ellisse, con riferimento ll figur, si prte dl ftto che PF 1 +PF =costnte, intendendo con P il punto generico dell ellisse P (,y). F F 1 L dimostrzione è riportt ll pgin successiv. L ellisse (dimostrzione) Applicndo l PF 1 +PF = bbimo: ( c) + y + ( + c) + y = Ovvero, riscrivendo e ordinndo i termini: Or elevimo mbo i termini l qudrto: ( + c) + y = ( c) + y ( ( + c) + y ) = ( ( c) + y ) Ottenimo: 4 + c + c + y = 4 4 ( c) + y + c + c + y Sommo e isolo l rdice: 4 ( c) + y = 4 4c Or divido per 4: ( c) + y = c Elevo l qudrto, svolgo, metto in evidenz sinistr e destr. Pongo c =b (posso frlo perché >c). Ottengo b + y = b Divido tutto per b e ottengo proprio l equzione dell ellisse: y + = 1 b CVD. 4

5 L ellisse e il metodo del girdiniere (ribttezzto, per l occsione, tecnic Ruffldi) A lezione un vostro compgno di qurt, e cioè Ruffldi (forse con l hobby del girdinggio?) h osservto che per disegnre un ellisse perfett i girdinieri pintno due pletti per terr, legno un cord ciscun pletto e tenendone in mno le due estremità libere, comincino girre, trccindo così un ellisse. Ruffldi h ftto un buon osservzione, nche se v ftt un correzione: l cord è un sol e v psst ttorno i due pletti, tenendone poi le estremità in mno e girndo mn mno che si gir, le estremità compensno le lunghezze ed effettivmente rest in terr l trcci di un ellisse. Cos fnno i girdinieri, trtte le opportune conclusioni? Applicno empiricmente l crtteristic PF 1 +PF = costnte dove l costnte è l lunghezz totle dell cord. Questo metodo è conosciuto nche di disegntori che utilizzno due puntine infisse sul tecnigrfo e fnno scorrere l mtit sul foglio tenendo sempre teso un sottile spgo (non elstico). L iperbole L iperbole è il luogo dei punti del pino per i quli è costnte l differenz delle distnze d due punti detti fuochi. L equzione di un ellisse è: y = 1 con,b>0 b H gli ssi crtesini e y come ssi di simmetri. A (,0), A (-,0) sono i punti di intersezione dell ellisse con l sse I suoi sintoti (le rette che non l intersecno mi, m le si vvicinno sempre più qundo divent grnde) sono b y = ± P Anche in questo cso è interessnte (e può servire per risolvere i problemi sull iperbole) considerre il rpporto di eccentricità, dto d: c (c è l coordint del fuoco) e = F F 1 Inoltre si hnno due fuochi, simmetrici, rispetto gli sintoti e nche in questo cso, l dimostrzione può essere condott prtire dll proprietà: PF PF 1 = con semisse orizzontle. 5

6 L iperbole equilter Se =b l iperbole è dett equilter e con un rotzione dell figur nel pino, l si può trsformre ponendol nell form y=k con k R e k 0 L form che bbimo scritto è quell più utilizzt e di solito si pone nell form: k y = L iperbole h gli ssi crtesini come sintoti L prbol in posizione normle L prbol è il luogo dei punti del pino equidistnti d un punto fisso, detto fuoco, e d un rett fiss, dett direttrice. Se considerimo il fuoco sull'sse y e l direttrice come rett orizzontle dll prte oppost dell'origine rispetto l fuoco e che h dll'origine l stess distnz che il fuoco, si h PH=PF Un prbol è un curv costituit d due rmi simmetrici. L sse di un prbol F incontr l prbol nel punto V (vertice) e l direttrice v nel punto H. Siccome V è un punto dell prbol, H d deve essere equidistnte dl fuoco F e dll direttrice d e quindi deve essere FV=VH Anche in questo cso (fte riferimento ll prim immgine) si può scrivere l equzione di un prbol utilizzndo l proprietà PF=PH e prtendo dll formul per trovre l distnz tr due punti. Non dimo l dimostrzione, m dicimo che, ll fine dei clcoli, vremo trovto che: L equzione dell prbol che h il vertice V (0,0) nell origine degli ssi e l sse coincidente con l sse y è y= 6

7 L prbol in posizione normle (concvità) Possimo rissumere dicendo che: L equzione di un prbol in posizione normle con il vertice nell origine degli ssi e con l sse coincidente con l sse y è un funzione di secondo grdo, del tipo y= Il suo fuoco è il punto F(0, 1/4) L su direttrice h equzione y = -1/4 Se considerimo l equzione di un generic prbol in posizione normle, notimo che il vlore di y dipende dl vlore di, poiche è sempre positivo. Il segno di determin l concvità dell prbol, ovvero: y Se >o i vlori di y sono sempre positivi e umentno ll umentre del vlore ssoluto >0 di. L concvità è rivolt verso l lto Se <0 i vlori di y sono sempre negtivi e y diminuiscono ll umentre del vlore ssoluto di. L concvità è rivolt verso il bsso. Inoltre più, in vlore ssoluto è grnde, più l pertur <0 di un prbol è minore (l prbol è più strett ). L prbol generic L equzione di un prbol generic con sse verticle prllelo ll sse y è: y= + b + c con 0 L sse dell prbol h equzione = - b/ ed intersec l prbol in un unico punto V detto vertice, di coordinte (-b/, (4c b )/4) Per qunto rigurd l pertur dell prbol (per l qule prendo in considerzione il coefficiente in vlore ssoluto) e l concvità, vlgono le stesse considerzioni ftte per l prbol in posizione normle. Inoltre, per disegnre l prbol, possimo vedere come è posiziont nel pino. Questo equivle risolvere l equzione, quindi: Se Δ = b - 4c > 0 l prbol intersec l sse delle in due punti distinti di scisse b ± Δ Se Δ < 0 l prbol intersec l sse delle in due punti coincidenti di sciss b Se Δ = 0 l prbol non intersec l sse delle 7

8 Prbole prticolri Se b = 0 l equzione generic y= + b + c divent y= + c L sciss drl vertice è null e l prbol h il vertice sull sse y, nel punto di ordint c. Se c = 0 l equzione generic y= + b + c divent y= + b L equzione è soddisftt per = 0 e per y = 0 e quindi l prbol pss per l origine degli ssi. Se b = 0 e c = 0 l equzione generic y= + b + c divent y= L prbol h il vertice nell origine degli ssi e sse coincidente con l sse y. Ovvimente, se scmbimo l con l y, ovvero scrivimo: =y + by + c bbimo sempre che fre con un prbol, m con sse orizzontle. L prbol h le crtteristiche: Il vertice è il punto Δ b V, 4 b L sse di simmetri è l rett di equzione y = 1 Δ b Il fuoco è il punto F, 4 L direttrice è l rett prllel ll sse y di equzione = 4 Se >0 l concvità dell prbol è rivolt verso destr, se <0 l concvità è rivolt verso sinistr. 1 Δ 8

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